ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (โดยเฉพาะทฤษฎีทวิสเตอร์ ) ปริภูมิทวิสเตอร์คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนของคำตอบของสมการทวิสเตอร์Roger Penroseและ Malcolm MacCallum ได้อธิบายไว้ในช่วงทศวรรษ 1960 ^{[ 1 ]}ตามที่Andrew Hodges กล่าว ปริภูมิทวิสเตอร์มีประโยชน์สำหรับการสร้างแนวคิดเกี่ยวกับวิธีที่โฟตอนเดินทางผ่านอวกาศโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน สี่จำนวน เขายังตั้งสมมติฐานว่าปริภูมิทวิสเตอร์อาจช่วยในการทำความเข้าใจความไม่สมมาตรของ แรง นิวเคลียร์อ่อน^{[ 2 ]}${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\โอเมก้า _{^{}}^{B)}=0}$

ตามคำกล่าว (ที่แปลแล้ว) ของJacques Hadamard : "เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างความจริงสองประการในโดเมนจริงนั้นผ่านโดเมนเชิงซ้อน" ดังนั้น เมื่อศึกษาปริภูมิสี่มิติ การระบุความจริงสองประการในปริภูมิสี่มิติอาจเป็นประโยชน์อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่มีวิธีการที่เป็นมาตรฐานในการทำเช่นนั้น จึง พิจารณาเฉพาะ ไอโซมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ที่เคารพการวางแนวและเมตริกระหว่างทั้งสองแทน ปรากฏว่าปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ 3 มิติกำหนดพารามิเตอร์ไอโซมอร์ฟิซึมดังกล่าวร่วมกับพิกัดเชิงซ้อน ดังนั้น พิกัดเชิงซ้อนหนึ่งตัวอธิบายการระบุความจริง และอีกสองตัวอธิบายจุดในปริภูมิ เชิงซ้อน 3 มิติ ปรากฏว่ากลุ่มเวกเตอร์ที่มีการเชื่อมต่อแบบคู่ตัวเองบน( instantons ) สอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกบนปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ 3 มิติ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

สำหรับปริภูมิ Minkowskiซึ่งแทนด้วยคำตอบของสมการทวิสเตอร์จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

โดยที่และเป็นสปินเนอร์ Weyl คงที่สองตัว และเป็นจุดในปริภูมิ Minkowski และเป็นเมทริกซ์ Pauliโดยมีดัชนีบนเมทริกซ์ ปริภูมิทวิสเตอร์นี้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสี่มิติ ซึ่งจุดต่างๆ จะถูกแทนด้วยและ มีรูปแบบเฮอร์มิเชียน${\displaystyle \omega ^{A}}$${\displaystyle \pi _{A'}}$${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu }=(ฉัน,{\vec {\sigma }})}$${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$${\displaystyle Z^{\alpha }=(\โอเมก้า ^{A},\pi _{A'})}$

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่ม SU(2,2)ซึ่งเป็นการปกคลุมสี่เท่าของกลุ่มคอนฟอร์มอล C(1,3) ของปริภูมิเวลา Minkowski แบบกระชับ

จุดต่างๆ ในปริภูมิ Minkowski มีความสัมพันธ์กับปริภูมิย่อยของปริภูมิ Twistor ผ่านความสัมพันธ์เชิงเหตุการณ์

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

ความสัมพันธ์ของการเกิดเหตุการณ์นี้ยังคงอยู่ภายใต้การปรับขนาดโดยรวมของทวิสเตอร์ ดังนั้นโดยปกติแล้วเราจะทำงานในปริภูมิทวิสเตอร์เชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งแสดง ด้วยสัญลักษณ์ ซึ่งมีลักษณะสมมาตรในฐานะ แม นิโฟลด์เชิงซ้อนกับ${\displaystyle \mathbb {PT} }$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

เมื่อกำหนดจุดหนึ่ง จุดนั้นจะสัมพันธ์กับเส้นตรงในปริภูมิทวิสเตอร์เชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งเราสามารถมองเห็นความสัมพันธ์ของการเกิดเหตุการณ์ได้ว่าเป็นการฝังเชิงเส้นของจุดที่กำหนด พารามิเตอร์โดย${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \pi _{A'}}$

ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตระหว่างปริภูมิทวิสเตอร์เชิงโปรเจกทีฟและปริภูมิมีนโกวสกีแบบกระชับเชิงซ้อนนั้นเหมือนกับความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงและระนาบสองมิติในปริภูมิทวิสเตอร์ กล่าวคือ ปริภูมิทวิสเตอร์คือ

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

มันเกี่ยวข้องกับการจัดเรียงเส้นใย คู่ ของแมนิโฟลด์ธง ซึ่งเป็นปริภูมิทวิสเตอร์เชิงฉาย ${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

และเป็นปริภูมิ Minkowski ที่ซับซ้อนและกระชับ ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

และพื้นที่การติดต่อระหว่างและคือ ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

ในข้อความข้างต้นหมายถึง ปริภูมิ เชิงฉาย (projective space ) หมายถึงกราสส์มัน น์ (Grassmannian ) และหมายถึงแมนิโฟลด์ธง (flag manifold ) การ จัดเรียง แบบไฟเบอร์คู่ (double fibration)ก่อให้เกิดการจับคู่ สองแบบ (ดูการแปลงเพนโรส (Penrose transform ) ด้วย) และ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \operatorname {Gr} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

ปริภูมิ Minkowski ที่ซับซ้อนและกระชับถูกฝังด้วยการฝังแบบ Plücker โดย ภาพที่ได้คือ ปริภูมิควอดริก ของ Klein${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$

• แรงลอเรนซ์