ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเส้นตรงสองเส้นจะเรียกว่าขนานพิเศษ (ultraparallel)หากเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกันและไม่ใช่เส้นขนานจำกัด (limiting parallel )

ทฤษฎีบทอัลตร้าพาราเลลกล่าวว่า เส้นตรงอัลตร้าพาราเลลทุกคู่ (ที่แตกต่างกัน) จะมีเส้นตั้งฉาก ร่วมที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นเดียว (ซึ่งเป็นเส้นไฮเปอร์โบลิกที่ตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งสอง)

ให้rและsเป็นเส้นตรงขนานกันอย่างยิ่งสองเส้น

จากจุด AและCสองจุดใดๆบนระนาบ s ให้ลากเส้นABและCB'ตั้งฉากกับระนาบ rโดยให้จุด BและB'อยู่บนระนาบ rเช่นกัน

ถ้าหาก AB = CB' เส้นตั้งฉากร่วมที่ต้องการจะเชื่อมจุดกึ่งกลางของ AC และ BB' (โดยอาศัยสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยม Saccheri ACB'B)

ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น เราอาจสมมติว่า AB < CB' โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ให้ E เป็นจุดบนเส้นตรง s ที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของ A จาก C ให้ A' อยู่บน CB' โดยที่ A'B' = AB ลากเส้นตรง s' (A'E') ผ่าน A' ทางด้านที่ใกล้กับ E มากขึ้น โดยที่มุม B'A'E' เท่ากับมุม BAE จากนั้น s' จะตัดกับ s ที่จุดธรรมดา D' สร้างจุด D บนรังสี AE โดยที่ AD = A'D'

ดังนั้น D' ≠ D พวกมันอยู่ห่างจาก r เป็นระยะทางเท่ากันและทั้งคู่อยู่บน s ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ D'D (ส่วนของ s) จึงตั้งฉากกับ r ด้วย^{[ 1 ]}

(ถ้า r และ s ขนานกันในเชิงอะซิมโทติกแทนที่จะเป็นขนานกันอย่างมาก การสร้างนี้จะล้มเหลวเพราะ s' จะไม่พบกับ s แต่ s' จะเป็นเส้นขนานจำกัดของทั้ง s และ r)

อนุญาต

${\displaystyle a<b<c<d}$

ให้ เป็นจุดที่แตกต่างกันสี่จุดบนแกน abscissaของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนให้และเป็นครึ่งวงกลมเหนือแกน abscissa โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางและตามลำดับ แล้วในแบบจำลองระนาบครึ่งของปวงกาเร (HP) และจะแทนเส้นขนานยิ่งยวด ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle cd}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

จงประกอบ การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกสองแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle x\to xa}$

${\displaystyle {\mbox{การผกผันในครึ่งวงกลมหน่วย}}}$

แล้ว${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (ba)^{-1},\quad c\to (ca)^{-1},\quad d\to (da)^{-1}.}$

ต่อไปนี้คือการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกสองแบบ:

${\displaystyle x\to x-(ba)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(ca)^{-1}-(ba)^{-1}\right]^{-1}x}$

จากนั้นจะอยู่ที่, , , (สมมติ) ครึ่งวงกลมที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและตั้งฉากกับครึ่งวงกลมบนจะต้องมีรัศมีสัมผัสกับรัศมีของอีกครึ่งวงกลมหนึ่ง สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากแกน abscissa และรัศมีตั้งฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเนื่องจาก เป็นรัศมีของครึ่งวงกลมบนดังนั้นเส้นตั้งฉากร่วมที่ต้องการหาจึงมีรัศมีเท่ากับกำลังสอง ${\displaystyle a}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle b\to 0}$${\displaystyle c\to 1}$${\displaystyle d\to z}$${\displaystyle 1z}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)}$${\displaystyle 1z}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกทั้งสี่แบบที่สร้างขึ้นข้างต้น สามารถกลับด้านและนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับกับครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมีเพื่อให้ได้เส้นไฮเปอร์โบลิกที่ไม่ซ้ำกันซึ่งตั้งฉากกับทั้งอัลตราพาราเลล และ${\displaystyle z}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ในแบบจำลอง Beltrami-Kleinของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก:

• เส้นตรงขนานสองเส้นจะสอดคล้องกับ คอร์ด สอง เส้นที่ไม่ตัดกัน
• จุดขั้วของเส้นตรงทั้งสองนี้คือจุดตัดของเส้นสัมผัสกับวงกลม ขอบเขต ณ จุดปลายของคอร์ดตามลำดับ
• เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงlจะถูกจำลองโดยคอร์ดที่มีส่วนขยายผ่านจุดขั้วของเส้นตรงl
• ดังนั้น เราจึงลากเส้นตรงเส้นเดียวระหว่างขั้วของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนด และตัดกับวงกลมขอบเขต เส้นคอร์ดของการตัดกันจะเป็นเส้นตั้งฉากร่วมที่ต้องการของเส้นขนานยิ่งยวดทั้งสอง

ถ้าคอร์ดหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เราจะไม่มีขั้ว แต่ในกรณีนี้ คอร์ดใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ก็จะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นหนึ่งในแบบจำลอง Beltrami-Klein ด้วย ดังนั้นเราจึงลากเส้นผ่านขั้วของเส้นอีกเส้นหนึ่งที่ตัดกับเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก เพื่อให้ได้เส้นตั้งฉากร่วม

การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์โดยการแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างนี้เป็นไปได้เสมอ:

• ถ้าคอร์ดทั้งสองเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ดทั้งสองจะตัดกัน (ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมขอบเขต)
• ถ้าคอร์ดเพียงเส้นเดียวเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ดอีกเส้นจะทอดลงมาตั้งฉากกับส่วนหนึ่งของคอร์ดแรกที่อยู่ภายใน และเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางจะตัดทั้งเส้นผ่านศูนย์กลางและคอร์ดนั้น
• ถ้าเส้นทั้งสองไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง เราอาจต่อเส้นสัมผัสที่ลากจากแต่ละขั้วเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมหน่วยอยู่ภายใน ขั้วทั้งสองเป็นจุดยอดตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนี้ และคอร์ดคือเส้นที่ลากระหว่างด้านที่อยู่ติดกันของจุดยอด ผ่านมุมตรงข้าม เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปนูน เส้นที่ลากระหว่างขั้วจึงตัดกับคอร์ดทั้งสองที่ลากผ่านมุม และส่วนของเส้นที่ลากระหว่างคอร์ดจะกำหนดคอร์ดที่ต้องการซึ่งตั้งฉากกับคอร์ดอีกสองเส้น

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถสร้างเส้นตั้งฉากร่วมของเส้นขนานพิเศษได้ดังนี้: เส้นขนานพิเศษในแบบจำลอง Beltrami-Klein เป็นคอร์ดที่ไม่ตัดกันสองคอร์ด แต่ในความเป็นจริงแล้วเส้นทั้งสองจะตัดกันนอกวงกลม ขั้วของจุดตัดคือเส้นตั้งฉากร่วมที่ต้องการ^{[ 2 ]}