ในทางเรขาคณิตการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกเป็นการแปลงแบบไอโซเมตริก ของปริภูมิไฮเปอร์โบ ลิก ภายใต้การประกอบกันของฟังก์ชัน การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกจะก่อให้เกิดกลุ่มต่อเนื่องกลุ่มนี้กล่าวได้ว่าเป็น กลุ่มที่บ่งบอกลักษณะเฉพาะของปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิก แนวทางดังกล่าวในเรขาคณิตได้รับการพัฒนาโดยเฟลิกซ์ ไคลน์ในโครงการเออร์ลังเงน ของเขา แนวคิดในการลดทอนเรขาคณิตให้เหลือเพียงกลุ่มลักษณะเฉพาะได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะโดยมาริโอ ปิเอรีในการลดทอนแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตให้เหลือเพียงจุดและการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกมักได้มาจากเรขาคณิตผกผัน : การเคลื่อนที่เหล่านี้ประกอบด้วยการสะท้อนในเส้นตรงหรือวงกลม (หรือในระนาบไฮเปอร์หรือทรงกลมไฮเปอร์สำหรับปริภูมิไฮเปอร์โบลิกที่มีมากกว่าสองมิติ) เพื่อแยกแยะการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิก เส้นตรงหรือวงกลมเฉพาะจะถูกกำหนดให้เป็นค่าสัมบูรณ์โดยมีเงื่อนไขว่าค่าสัมบูรณ์ต้องเป็นเซตที่ไม่เปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกทั้งหมด ค่าสัมบูรณ์แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วนที่เชื่อมต่อกันและการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกต้องไม่สลับตำแหน่งส่วนต่างๆ เหล่านี้

หนึ่งในบริบทที่พบได้บ่อยที่สุดสำหรับเรขาคณิตผกผันและการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกคือการศึกษาการแมปของระนาบเชิงซ้อนโดยการแปลงโมเบียสตำราเรียนเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงซ้อนมักกล่าวถึงแบบจำลองทั่วไปสองแบบของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก ได้แก่แบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเรซึ่งค่าสัมบูรณ์คือเส้นจำนวนจริงบนระนาบเชิงซ้อน และแบบจำลองดิสก์ปวงกาเรซึ่งค่าสัมบูรณ์คือวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกยังสามารถอธิบายได้บนแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก^{[ 1 ]}

บทความนี้แสดงตัวอย่างการใช้การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิก ได้แก่ การขยายเมตริกไปยังระนาบครึ่งและวงกลมหน่วย ${\displaystyle d(a,b)=|{\log(b/a)}|}$

ทุกการเคลื่อนที่ ( การแปลงหรือไอโซเมตรี ) ของระนาบไฮเปอร์โบลิกไปยังตัวมันเอง สามารถเกิดขึ้นได้จากการประกอบกันของการสะท้อน อย่างมากที่สุดสามครั้ง ใน ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก nมิติ อาจต้องใช้การสะท้อนมากถึงn + 1 ครั้ง (สิ่งเหล่านี้ก็เป็นจริงสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดและทรงกลมเช่นกัน แต่การจัดประเภทด้านล่างจะแตกต่างกัน)

การแปลงสมมาตรทั้งหมดของระนาบไฮเปอร์โบลิกสามารถจำแนกออกเป็นกลุ่มต่างๆ ได้ดังนี้:

• การรักษาทิศทาง
  • ไอ โซ เมตรีเอกลักษณ์ — ไม่มีสิ่งใดเคลื่อนไหว การสะท้อนเป็นศูนย์ระดับความเป็นอิสระเป็น ศูนย์
  • การกลับด้านโดยผ่านจุด (การหมุนครึ่งรอบ) — การสะท้อนสองครั้งโดยเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกันที่ผ่านจุดที่กำหนด กล่าวคือ การหมุน 180 องศา รอบจุดนั้น มีองศาอิสระ สอง องศา
  • การหมุนรอบจุดปกติ — การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด (รวมถึงการกลับด้านเป็นกรณีพิเศษ); จุดเคลื่อนที่บนวงกลมรอบจุดศูนย์กลาง; สามองศาอิสระ
  • "การหมุน" รอบจุดอุดมคติ (horolation) — การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่นำไปสู่จุดอุดมคติ จุดต่างๆ เคลื่อนที่ไปตามวงกลมรอบจุดอุดมคติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดอุดมคติ มีอิสระสองระดับ
  • การแปลตามแนวเส้นตรง — การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด จุดที่อยู่นอกเส้นตรงที่กำหนดจะเคลื่อนที่ไปตามไฮเปอร์ไซเคิล มีอิสระในการเคลื่อนที่สามระดับ
• การกลับทิศทาง
  • การสะท้อนผ่านเส้นตรง — การสะท้อนหนึ่งครั้ง; สององศาอิสระ
  • การสะท้อนผ่านเส้นตรงและการเลื่อนไปตามเส้นตรงเดียวกัน — การสะท้อนและการเลื่อนสามารถสลับที่ได้ ต้องใช้การสะท้อนสามครั้ง มีอิสระสามระดับ

จุดต่างๆ ของแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเร (HP) กำหนดไว้ในพิกัดคาร์ทีเซียนเป็น {( x , y ): y > 0} หรือในพิกัดเชิงขั้วเป็น {( r cos a , r sin a ): 0 < a < π, r > 0 } การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกจะถือว่าเป็นการประกอบกันของการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกพื้นฐานสามแบบ ให้ p = ( x,y ) หรือ p = ( r cos a , r sin a ), p ∈ HP

การเคลื่อนที่พื้นฐานได้แก่:

p → q = ( x + c , y ), c ​​∈ R (เลื่อนซ้ายหรือขวา)

p → q = ( sx , sy ), s > 0 ( การขยาย )

p → q = ( r ⁻¹ cos a , r ⁻¹ sin a ) ( การผกผันในครึ่งวงกลมหน่วย )

หมายเหตุ: การเลื่อนและการขยายเป็นการแมปจากเรขาคณิตผกผัน ซึ่งประกอบด้วยการสะท้อนสองครั้งในเส้นแนวตั้งหรือวงกลมศูนย์กลางเดียวกันตามลำดับ

พิจารณาสามเหลี่ยม {(0,0),(1,0),(1,tan a )} เนื่องจาก 1 + tan ² a = sec ² aความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลี่ยม คือ sec aโดยที่ sec แทนฟังก์ชันซีแคนต์ กำหนดให้ r = sec aและใช้การเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิกพื้นฐานที่สามเพื่อให้ได้ q = ( r cos a , r sin a ) โดยที่ r = sec ⁻¹ a = cos aตอนนี้

| คิว – (½, 0)| ² = (cos ² a – ½) ² +cos ² aบาป² a = ¼

ดังนั้นq จึง อยู่บนครึ่งวงกลมZที่มีรัศมี ½ และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (½, 0) ดังนั้นรังสีสัมผัสที่ (1, 0) จะถูกแมปไปยังZโดยการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกพื้นฐานลำดับที่สาม ครึ่งวงกลมใดๆ ก็สามารถปรับขนาดได้โดยการขยายให้มีรัศมี ½ และเลื่อนไปยังZจากนั้นการผกผันจะนำมันไปยังรังสีสัมผัส ดังนั้นชุดของการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกจะสลับครึ่งวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางบนy = 0 บางครั้งก็มีรังสีแนวตั้ง และในทางกลับกัน สมมติว่าเราตกลงที่จะวัดความยาวบนรังสีแนวตั้งโดยใช้การวัดแบบลอการิทึม :

d (( x , y ),( x , z )) = |log( z / y )|.

จากนั้นโดยใช้การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิก เราสามารถวัดระยะห่างระหว่างจุดบนครึ่งวงกลมได้เช่นกัน: ขั้นแรกย้ายจุดไปยังZด้วยการเลื่อนและการขยายที่เหมาะสม จากนั้นวางจุดเหล่านั้นโดยการกลับด้านบนรังสีสัมผัสซึ่งทราบระยะทางแบบลอการิทึม

สำหรับจุด mและnในเซตไฮเปอร์โบลิก (HP) ให้ bเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างmและnถ้าbขนานกับ แกน abscissaแล้วmและnจะเชื่อมต่อกันด้วยรังสีแนวตั้ง มิฉะนั้นbจะตัดกับแกน abscissa ดังนั้นจึงมีครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดนี้ซึ่งผ่านจุดmและnเซต HP จะกลายเป็นปริภูมิเมตริกเมื่อกำหนดระยะทาง d ( m , n ) สำหรับ m , n ∈ HP ตามระยะทางบนรังสีแนวตั้งหรือครึ่งวงกลม เราเรียกเส้นตรงและครึ่งวงกลม แนวตั้งว่า เส้นไฮเปอร์โบลิกใน HP เรขาคณิตของจุดและเส้นไฮเปอร์โบลิกใน HP เป็นตัวอย่างของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดอย่างไรก็ตาม การสร้างแนวคิดเรื่องเส้นและระยะทางสำหรับ HP นั้นอาศัยเรขาคณิตดั้งเดิมของยุคลิดเป็นอย่างมาก

พิจารณาดิสก์ D = { z ∈ C  : zz * < 1 } ในระนาบเชิงซ้อนCระนาบเรขาคณิตของโลบาเชฟสกีสามารถแสดงใน D ได้ด้วยส่วนโค้งวงกลมที่ตั้งฉากกับขอบเขตของ D ซึ่งแสดงถึงเส้นไฮเปอร์โบลิกการใช้เลขคณิตและเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน และการแปลงโมเบียสทำให้ได้แบบจำลองดิสก์ปวงกาเรของระนาบไฮเปอร์โบลิก:

สมมติว่าaและbเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีaa * −  bb * = 1 โปรดสังเกตว่า

| bz + ก *| ² − | az + b *| ² = ( aa * − bb *)(1 − | z | ² ),

ดังนั้น | z | < 1 จึงหมายความว่า |( a z + b *)/( bz + a *)| < 1 ด้วยเหตุนี้ ดิสก์ D จึงเป็นเซตไม่เปลี่ยนแปลงของการแปลงโมเบียส

ฉ( z ) = ( az + b *)/( bz + a *).

เนื่องจากมันยังสลับตำแหน่งของเส้นไฮเปอร์โบลิกด้วย เราจึงเห็นว่าการแปลงเหล่านี้เป็นการเคลื่อนที่ของแบบจำลอง D ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเมทริกซ์เชิงซ้อน

${\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}$

โดยที่aa * − bb * = 1 ซึ่งเป็นสมาชิกของกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(1,1 )