ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอลคือการศึกษาเซตของการแปลงที่รักษาองศา ( คอนฟอร์มอล ) บนปริภูมิหนึ่งๆ

ในปริภูมิสองมิติที่แท้จริง เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัลคือเรขาคณิตของพื้นผิวรีมันน์ อย่างแม่นยำ ในปริภูมิที่สูงกว่าสองมิติ เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัลอาจหมายถึงการศึกษาการแปลงเชิงคอน ฟอร์มัล ของสิ่งที่เรียกว่า "ปริภูมิราบ" (เช่นปริภูมิยุคลิดหรือทรงกลม ) หรือการศึกษาแมนิโฟลด์เชิงคอนฟอร์ มัล ที่เป็น แมนิโฟลด์ รีมันน์หรือแมนิโฟลด์เสมือนรีมันน์ที่มีเมตริกส์ที่กำหนดขึ้นตามมาตราส่วน การศึกษาโครงสร้างราบเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตโมเบียส และเป็นเรขาคณิต ไคล น์ประเภทหนึ่ง

แมนิโฟลด์แบบคอนฟอร์มอลคือแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (หรือแมนิโฟลด์แบบเสมือนรีมันน์ ) ที่มีชั้นสมมูลของเทนเซอร์เมตริกซึ่งเมตริกสองตัวgและhจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

โดยที่λ คือ ฟังก์ชันเรียบค่าจริงที่กำหนดบนแมนิโฟลด์และเรียกว่าตัวประกอบเชิงคอนฟอร์มัลชั้นสมมูลของเมตริกดังกล่าวเรียกว่าเมตริกเชิงคอนฟอร์มัลหรือชั้นคอนฟอร์มัลดังนั้น เมตริกเชิงคอนฟอร์มัลอาจถือได้ว่าเป็นเมตริกที่กำหนดขึ้น "ตามมาตราส่วน" เท่านั้น บ่อยครั้งที่เมตริกเชิงคอนฟอร์มัลได้รับการจัดการโดยการเลือกเมตริกในชั้นคอนฟอร์มัล และใช้เฉพาะโครงสร้าง "ไม่เปลี่ยนแปลงเชิงคอนฟอร์มัล" กับเมตริกที่เลือกเท่านั้น

เมตริกเชิงคอนฟอร์มอลจะแบนราบเชิงคอนฟอร์มอลก็ต่อเมื่อมีเมตริกที่แทนเมตริกนั้นซึ่งแบนราบ ในความหมายปกติที่เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์เป็นศูนย์ อาจเป็นไปได้ที่จะพบเมตริกในชั้นคอนฟอร์มอลที่แบนราบเฉพาะในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของแต่ละจุดเท่านั้น เมื่อจำเป็นต้องแยกแยะกรณีเหล่านี้ กรณีหลังเรียกว่าแบนราบเชิงคอนฟอร์มอลเฉพาะที่ แม้ว่าในเอกสารทางวิชาการมักจะไม่มีการแยกแยะความแตกต่าง นี้ก็ตาม ทรงกลม nมิติเป็นแมนิโฟลด์แบนราบเชิงคอนฟอร์มอลเฉพาะที่ แต่ไม่ใช่แบนราบเชิงคอนฟอร์มอลทั่วโลกในความหมายนี้ ในขณะที่ปริภูมิยุคลิด ทอรัส หรือแมนิโฟลด์เชิงคอนฟอร์มอลใดๆ ที่ถูกปกคลุมด้วยเซตย่อยแบบเปิดของปริภูมิยุคลิดนั้นแบนราบเชิงคอนฟอร์มอล (ทั่วโลก) ในความหมายนี้ แมนิโฟลด์แบนราบเชิงคอนฟอร์มอลเฉพาะที่นั้น สอดคล้องกับเรขาคณิตโมเบียส เฉพาะ ที่ หมายความว่ามีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล เฉพาะที่ที่รักษาค่ามุม จากแมนิโฟลด์ไปยังเรขาคณิตโมเบียส ในสองมิติ เมตริกเชิงคอนฟอร์มอลทุกตัวจะแบนราบเชิงคอนฟอร์มอลเฉพาะที่ ในมิติn > 3เมตริกเชิงคอนฟอร์มอลจะแบนราบเชิงคอนฟอร์มอลเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อเทนเซอร์เวล์ ของมัน เป็นศูนย์ ในมิติn = 3ก็ต่อเมื่อเทนเซอร์คอตตอนเป็นศูนย์

เรขาคณิตแบบคอนฟอร์มอลมีคุณสมบัติหลายประการที่แตกต่างจากเรขาคณิตแบบ (ซูโด-)รีมันน์ ประการแรกคือ แม้ว่าในเรขาคณิตแบบ (ซูโด-)รีมันน์จะมีเมตริกที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในแต่ละจุด แต่ในเรขาคณิตแบบคอนฟอร์มอลนั้นมีเพียงกลุ่มของเมตริกเท่านั้น ดังนั้นความยาวของเวกเตอร์สัมผัส จึงไม่สามารถกำหนดได้ แต่ยังสามารถกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ^ได้อีกคุณสมบัติหนึ่งคือไม่มีการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซิวิทาเพราะถ้าgและλ²gเป็นตัวแทนสองตัวของโครงสร้างแบบคอนฟอร์มอล สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลของ^g และ λ²g จะไม่ตรงกันสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับλ²g จะเกี่ยวข้อง ^กับอนุพันธ์ของฟังก์ชันλในขณะที่สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับgจะไม่เกี่ยวข้อง

ถึงแม้จะมีความแตกต่างกันเหล่านี้ เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอลก็ยังคงสามารถจัดการได้ การเชื่อมต่อ Levi-Civita และเทนเซอร์ความโค้งแม้ว่าจะถูกกำหนดขึ้นเมื่อมีการเลือกตัวแทนเฉพาะของโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลแล้วเท่านั้น แต่ก็ยังคงสอดคล้องกับกฎการแปลงบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับλและอนุพันธ์ของมัน เมื่อเลือกตัวแทนที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (ในมิติที่สูงกว่า 3) เทนเซอร์ Weylกลับไม่ขึ้นอยู่กับλดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่เชิงคอนฟอร์มอลยิ่งไปกว่านั้น แม้ว่าจะไม่มีการเชื่อมต่อ Levi-Civita บนแมนิโฟลด์เชิงคอนฟอร์มอล แต่เราสามารถใช้การเชื่อมต่อเชิงคอนฟอร์มอลแทน ได้ ซึ่งสามารถจัดการได้ทั้งในรูปแบบของการเชื่อมต่อ Cartanที่จำลองมาจากเรขาคณิต Möbius ที่เกี่ยวข้อง หรือในรูปแบบของการเชื่อมต่อ Weylวิธีนี้ทำให้เราสามารถกำหนดความโค้งเชิงคอนฟอร์มอลและค่าคงที่อื่นๆ ของโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลได้

เรขาคณิตโมเบียสคือการศึกษา " ปริภูมิยุคลิดที่มีจุดเพิ่มเข้ามาที่อนันต์" หรือ " ปริภูมิเสมือนยุคลิดที่มีกรวยศูนย์เพิ่มเข้ามาที่อนันต์" กล่าวคือ บริบทคือการทำให้ปริภูมิที่คุ้นเคยกลายเป็นปริภูมิกระชับ และ เรขาคณิตจะเกี่ยวข้องกับความหมายของการรักษาค่ามุม

ในระดับนามธรรม พื้นที่ยุคลิดและพื้นที่เสมือนยุคลิดสามารถจัดการได้ในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นในกรณีมิติสอง ระนาบมินคอฟสกี สองมิติแบบกระชับ แสดงสมมาตร เชิงคอนฟอร์มอลอย่างกว้างขวาง ในทางรูปธรรม กลุ่มของการแปลงเชิงคอนฟอร์มอลของมันมีมิติอนันต์ ในทางตรงกันข้าม กลุ่มของการแปลงเชิงคอนฟอร์มอลของระนาบยุคลิดแบบกระชับมีมิติเพียง 6 มิติ

กลุ่มคอนฟอร์มอลสำหรับรูปแบบกำลังสองของมินคอฟสกีq ( x , y ) = 2 xyในระนาบคือกลุ่มลีแบบอาเบเลียน

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

โดยใช้พีชคณิตลีcso (1, 1)ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ แนวทแยงมุมจริง 2 × 2 ทั้งหมด

ลองพิจารณาเครื่องบินมินคอฟสกีที่ติดตั้งระบบเมตริก ดูสิ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

กลุ่มการแปลงคอนฟอร์มอลแบบ 1 พารามิเตอร์ก่อให้เกิดสนามเวกเตอร์Xที่มีคุณสมบัติว่าอนุพันธ์ลีของgตามแนวXเป็นสัดส่วนกับgในเชิงสัญลักษณ์

L _X g = λg   สำหรับ λ บาง ค่า

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้คำอธิบายข้างต้นของพีชคณิต Lie cso (1, 1)หมายความว่า

1. ∫ L _X   dx = a ( x ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

สำหรับ ฟังก์ชัน ค่าจริงบางฟังก์ชันaและb ซึ่งขึ้นอยู่กับ xและyตามลำดับ

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดฟังก์ชันค่าจริงคู่ใด ๆ ก็ตาม จะมีสนามเวกเตอร์Xที่สอดคล้องกับ 1 และ 2 ดังนั้นพีชคณิตลีของสมมาตรอนันต์ของโครงสร้างคอนฟอร์มัลพีชคณิตวิทท์จึงมีมิติ อนันต์

การคอมแพ็กต์เชิงคอนฟอร์มอลของระนาบมินคอฟสกีคือผลคูณคาร์ทีเซียนของวงกลมสองวงS ¹ × S ¹บนการปกคลุมสากลไม่มีสิ่งกีดขวางการรวมสมมาตรอนันต์เล็ก ๆ ดังนั้นกลุ่มของการแปลงเชิงคอนฟอร์มอลจึงเป็นกลุ่มลีอนันต์มิติ

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

โดยที่ Diff( S ¹ ) คือกลุ่มดิฟเฟโอมอร์ฟิซึมของวงกลม^{[ 1 ]}

กลุ่มคอนฟอร์มอลCSO(1, 1)และพีชคณิตลีของกลุ่มนี้กำลังเป็นที่สนใจในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติ ใน ปัจจุบัน

กลุ่มสมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลของรูปแบบกำลังสอง

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

คือกลุ่มGL ₁ ( C ) = C ^×ซึ่งเป็นกลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อน พีชคณิตลีของกลุ่มนี้คือgl ₁ ( C ) = C .

พิจารณา ระนาบเชิงซ้อน (แบบยุคลิด) ที่มีเมตริก

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

สมมาตรคอนฟอร์มอลขนาดเล็กมากเป็นไปตามเงื่อนไข

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

โดยที่fสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเหนือโดเมนของมัน (ดูพีชคณิตวิทท์ )

ไอโซเมตรีเชิงคอนฟอร์มอลของโดเมนจึงประกอบด้วยแผนที่โฮโลมอร์ฟิกของตัวเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บนการบีอัดเชิงคอนฟอร์มอล – ทรงกลมรีมันน์ – การแปลงเชิงคอนฟอร์มอลจะได้รับจากการแปลงโมเบียส

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

โดยที่ad − bcมีค่าไม่เป็นศูนย์

ในสองมิติ กลุ่มของการแปลงอัตโนมัติแบบคอนฟอร์มอลของปริภูมิอาจมีขนาดใหญ่มาก (เช่นในกรณีของรูปแบบกำลังสองแบบลอเรนซ์) หรือแปรผันได้ (เช่นในกรณีของรูปแบบกำลังสองแบบจำกัด (แบบยุคลิด)) ความไม่ยืดหยุ่นของกรณีสองมิติเมื่อเทียบกับมิติที่สูงกว่านั้น มาจากข้อเท็จจริงเชิงวิเคราะห์ที่ว่า การพัฒนาเชิงอะซิมโทติกของการแปลงอัตโนมัติแบบอนันต์ของโครงสร้างนั้นค่อนข้างไม่มีข้อจำกัด ในกรณีของรูปแบบกำลังสองแบบลอเรนซ์ ความเป็นอิสระจะอยู่ในคู่ของฟังก์ชันค่าจริง ในกรณีของรูปแบบกำลังสองแบบจำกัด ความเป็นอิสระจะอยู่ในฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเพียงฟังก์ชันเดียว

ในกรณีของมิติที่สูงกว่า การพัฒนาเชิงอะซิมโทติกของสมมาตรอนันต์เล็ก ๆ จะเป็นพหุนามกำลังสองอย่างมากที่สุด^{[ 2 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันก่อตัวเป็นพีชคณิตลี มิติจำกัด สมมาตรคอนฟอร์มอลอนันต์เล็ก ๆ แบบจุดต่อจุดของแมนิโฟลด์สามารถบูรณาการได้อย่างแม่นยำเมื่อแมนิโฟลด์เป็น ปริภูมิราบคอนฟอร์มอลแบบจำลองบางอย่าง( จนถึงการใช้การปกคลุมสากลและผลหารกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง) ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีทั่วไปของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอลมีความคล้ายคลึงกัน แม้ว่าจะมีความแตกต่างกันบ้างในกรณีของลายเซ็นแบบยุคลิดและแบบยุคลิดเทียม^{[ 4 ]} ในทั้งสองกรณี มีหลายวิธีในการแนะนำพื้นที่แบบจำลองของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอลแบบแบน เว้นแต่จะชัดเจนเป็นอย่างอื่นจากบริบท บทความนี้จะกล่าวถึงกรณีของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอลแบบยุคลิด โดยเข้าใจว่าสามารถนำไปใช้กับสถานการณ์แบบยุคลิดเทียม ได้ เช่นกัน

แบบจำลองผกผันของเรขาคณิตคอนฟอร์มอลประกอบด้วยกลุ่มของการแปลงเฉพาะที่บนปริภูมิยุคลิดE ⁿที่สร้างขึ้นโดยการผกผันในทรงกลม ตามทฤษฎีบทของ Liouvilleการแปลงเฉพาะที่ (คอนฟอร์มอล) ที่รักษามุมใดๆ ก็ตามจะมีรูปแบบนี้^{[ 5 ]} จากมุมมองนี้ คุณสมบัติการแปลงของปริภูมิคอนฟอร์มอลแบบราบคือคุณสมบัติของเรขาคณิตผกผัน

แบบจำลองเชิงโปรเจคทีฟระบุทรงกลมคอนฟอร์มอลกับควอดริก บางอย่าง ในปริภูมิเชิงโปรเจ คทีฟ ให้qแทนรูปแบบควอดริกแบบล อเรนซ์ บนR ^{n +2}ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ( R ^{n +2} ) ให้Sเป็นโลคัสของq = 0แล้วSคือแบบจำลองเชิงโปรเจกทีฟ (หรือโมเบียส) ของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล การแปลงเชิงคอนฟอร์มัลบนSคือการแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟของP ( R ^{n +2} ) ที่ทำให้ควอดริกไม่เปลี่ยนแปลง

ในการสร้างที่เกี่ยวข้องนั้น ควอดริกSถูกมองว่าเป็นทรงกลมท้องฟ้าที่อนันต์ของกรวยว่างในปริภูมิยูคลิดเทียมR ^{n +1,1}ซึ่งมีรูปแบบกำลังสองqดังที่กล่าวมาข้างต้น กรวยว่างถูกกำหนดโดย

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

นี่คือกรวยแอฟฟินเหนือควอดริกเชิงโปรเจกทีฟSให้N ⁺เป็นส่วนอนาคตของกรวยว่าง (โดยลบจุดกำเนิดออก) จากนั้นการฉายภาพแบบทอโทโลจิคัลR ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} )จะจำกัดเป็นการฉายภาพN ⁺ → Sซึ่งทำให้N ⁺มีโครงสร้างของบันเดิลเส้นเหนือSการแปลงคอนฟอร์มอลบนSเกิดขึ้นจากการแปลงลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสของR ^{n +1,1}เนื่องจากเป็นการแปลงเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่รักษากรวยว่างในอนาคตไว้

โดยสัญชาตญาณแล้ว เรขาคณิตแบบคอนฟอร์มอลแบนราบของทรงกลมนั้นมีความยืดหยุ่นน้อยกว่าเรขาคณิตแบบรีมันน์ ของทรงกลม สมมาตรแบบคอนฟอร์มอลของทรงกลมเกิดจากการผกผันใน ไฮเปอร์สเฟียร์ทั้งหมด ในทางกลับกัน ไอโซเมตรีแบบรีมันน์ของทรงกลมเกิดจากการผกผันในไฮเปอร์สเฟียร์แบบจีโอเดสิก (ดูทฤษฎีบทคาร์ตัน-ดีเออโดเน ) ทรงกลมแบบยุคลิดสามารถแปลงเป็นทรงกลมแบบคอนฟอร์มอลได้ในลักษณะมาตรฐาน แต่ในทางกลับกันนั้นทำไม่ได้

ทรงกลมหน่วยแบบยุคลิดคือโลคัสในR ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

สามารถแมปไปยังปริภูมิยูคลิดเทียมR ^{n +1,1} ได้ โดยการกำหนดให้

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

เห็นได้ชัดว่าภาพของทรงกลมภายใต้การแปลงนี้เป็นศูนย์ในปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิด และดังนั้นจึงอยู่บนกรวยN ⁺ด้วยเหตุนี้ จึงกำหนดภาคตัดขวางของมัดเส้นตรงN ⁺ → Sได้

อย่างไรก็ตาม มีการเลือกโดยพลการ หากκ ( x )เป็นฟังก์ชันบวกใดๆ ของx = ( z , x0 _, ..., xn ₎แล้วการกำหนดค่า

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

นอกจากนี้ยังให้การแมปไปยังN ⁺ ด้วย ฟังก์ชันκเป็นการเลือกมาตราส่วนคอนฟอร์มอลโดยพลการ

เมตริกแบบรีมันน์ที่เป็นตัวแทนบนทรงกลมคือเมตริกที่เป็นสัดส่วนกับเมตริกมาตรฐานของทรงกลม ซึ่งทำให้ทรงกลมปรากฏเป็นแมนิโฟลด์แบบคอนฟอร์มอ ล เมตริกมาตรฐานของทรงกลมคือการจำกัดของเมตริกแบบยุคลิดบนR ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

ไปยังทรงกลม

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

ตัวแทนเชิงคอนฟอร์มอลของgคือเมตริกในรูปแบบλ ² gโดยที่λเป็นฟังก์ชันบวกบนทรงกลม คลาสเชิงคอนฟอร์มอลของgซึ่งเขียนแทนด้วย [ g ] คือกลุ่มของตัวแทนดังกล่าวทั้งหมด:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

การฝังทรงกลมยุคลิดลงในN ⁺ดังที่กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้า จะกำหนดมาตราส่วนคอนฟอร์มอลบนSในทางกลับกัน มาตราส่วนคอนฟอร์มอลใดๆ บนSจะได้รับจากการฝังดังกล่าว ดังนั้นบันเดิลเส้นN ⁺ → Sจึงถูกระบุว่าเป็นบันเดิลของมาตราส่วนคอนฟอร์มอลบนSการให้ส่วนตัดของบันเดิลนี้เทียบเท่ากับการระบุเมตริกในคลาสคอนฟอร์มอล [ g ]

อีกวิธีหนึ่งในการทำให้เมตริกตัวแทนเป็นจริงคือผ่านระบบพิกัด พิเศษ บนR ^{n +1,1}สมมติว่าทรงกลมยุคลิดnมิติSมีระบบพิกัดสเตอริโอกราฟิกซึ่งประกอบด้วยแผนที่ต่อไปนี้ของR ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

ในแง่ของพิกัดสเตอริโอกราฟิกเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบพิกัดบนกรวยว่างN ⁺ในปริภูมิยูคลิดเทียม โดยใช้การฝังตัวที่ให้ไว้ข้างต้น ส่วนตัดเมตริกที่เป็นตัวแทนของกรวยว่างคือ

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

แนะนำตัวแปรใหม่tที่สอดคล้องกับการขยายขึ้นN ⁺เพื่อให้กรวยว่างมีพิกัดโดย

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

สุดท้ายนี้ ให้ρเป็นฟังก์ชันนิยามของN ⁺ ดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

ใน พิกัด t , ρ , yบนR ^{n +1,1}เมตริกแบบลอเรนซ์จะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

โดยที่g _ijคือเมตริกบนทรงกลม

^ในเงื่อนไขเหล่านี้ ส่วนหนึ่งของบันเดิลN ⁺ประกอบด้วยการระบุค่าของตัวแปรt = t ( yi ⁾เป็นฟังก์ชันของyiตามกรวยศูนย์ρ = 0 ซึ่ง จะให้ตัวแทนของเมตริกคอนฟอร์มอลบน Sดังต่อไปนี้:

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

พิจารณากรณีของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัลแบบแบนในรูปแบบยูคลิดก่อน แบบ จำลอง nมิติคือทรงกลมท้องฟ้าของปริภูมิโลเรนซ์มิติ( n + 2) R ^{n +1,1}ในที่นี้แบบจำลองคือเรขาคณิตไคล น์ : ปริภูมิเอกพันธุ์G / Hโดยที่G = SO( n + 1, 1)กระทำบนปริภูมิโลเรนซ์มิติ( n + 2) R ^{n +1,1}และHคือกลุ่มไอโซโทรปีของรังสีศูนย์คงที่ในกรวยแสงดังนั้นแบบจำลองเชิงคอนฟอร์มัลแบบแบนจึงเป็นปริภูมิของเรขาคณิตผกผันสำหรับแบบจำลองซูโด-ยูคลิดในรูปแบบเมตริก( p , q )เรขาคณิตเชิงแบนของแบบจำลองถูกกำหนดในทำนองเดียวกันเป็นปริภูมิเอกพันธุ์O( p + 1, q + 1) / Hโดยที่Hถูกเลือกอีกครั้งเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของเส้นศูนย์ โปรดสังเกตว่าทั้งปริภูมิแบบจำลองยูคลิดและซูโด-ยูคลิดเป็นปริภูมิ กระชับ

เพื่ออธิบายกลุ่มและพีชคณิตที่เกี่ยวข้องในปริภูมิแบบจำลองราบ ให้กำหนดรูปแบบต่อไปนี้บนR ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

โดยที่Jเป็นรูปแบบกำลังสองของลายเซ็น( p , q )จากนั้นG = O( p + 1, q + 1)ประกอบด้วยเมทริกซ์( n + 2) × ( n + 2) ที่ทำให้ Q มีเสถียรภาพ  : ^t MQM = Q (ตัวยกtหมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์) พีชคณิต Lie ยอมรับการแยกส่วนแบบ Cartan

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{\text{t}}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{\text{t}}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง การแยกส่วนนี้สอดคล้องกับโครงสร้างพีชคณิต Lie ตามธรรมชาติที่กำหนดบนR n ^⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗

ตัวรักษาเสถียรภาพของรังสีศูนย์ที่ชี้ขึ้นไปยังเวกเตอร์พิกัดสุดท้ายนั้นกำหนดโดยพีชคณิตย่อยของโบเรล

h = g ₀ ⊕ g ₁ .

• พีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล
• แรงโน้มถ่วงเชิงคอนฟอร์มอล
• สมการการสังหารตามรูปร่าง
• โครงการเออร์ลังเงน
• ระนาบโมเบียส

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล

• GV Bushmanova (2001) [1994], "เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm