ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เทนเซอร์คอตตอนบนแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ที่มีมิติn คือ เทนเซอร์อันดับสามที่สัมพันธ์กับเทนเซอร์เมตริก การที่เทนเซอร์คอตตอนเป็นศูนย์สำหรับn = 3เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและ เพียงพอ สำหรับแมนิโฟลด์ที่จะแบนราบเชิงคอน ฟอร์มัลในระดับท้องถิ่น ในทาง ตรงกันข้าม ในมิติn ≥ 4การที่เทนเซอร์คอตตอนเป็นศูนย์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับเมตริกที่จะแบนราบเชิงคอนฟอร์มัล แต่เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่สอดคล้องกันในมิติที่สูงกว่าเหล่านี้คือการที่เทนเซอร์เวล์ เป็นศูนย์ ในขณะที่เทนเซอร์คอตตอนจะกลายเป็นค่าคงที่คูณด้วยไดเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์เวล์ สำหรับn < 3เทนเซอร์คอตตอนจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ แนวคิดนี้ตั้งชื่อตาม เอ มิ ล คอตตอน

ไอเซนฮาร์ทได้พิสูจน์ผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ว่าสำหรับn = 3การที่เทนเซอร์คอตตอนหายไปเทียบเท่ากับการที่เมตริกแบนราบแบบคอนฟอร์มัล โดยใช้ การอ้างเหตุผล เรื่องความสามารถในการ หาปริพันธ์แบบมาตรฐาน ความหนาแน่นของเทนเซอร์นี้มีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันโดยคุณสมบัติคอนฟอร์มัลของมัน ควบคู่ไปกับความต้องการที่จะหาอนุพันธ์ได้สำหรับเทนเซอร์เมตริกใดๆ ดังที่อัลเดอร์สลีย์ (1979) ได้แสดงไว้ เทนเซอร์คอตตอนเป็นส่วนประกอบหนึ่งของความโค้งคอนฟอร์มัลคาร์ตัน แบบเต็ม ในทุกมิติโดยส่วนประกอบอีกส่วนหนึ่งคือความโค้งเวล์ ${\displaystyle n>2}$

ในปัจจุบัน การศึกษาเกี่ยวกับปริภูมิสามมิติได้รับความสนใจอย่างมาก เนื่องจากเทนเซอร์คอตตอนจำกัดความสัมพันธ์ระหว่างเทนเซอร์ริชชีและเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมในสมการของไอน์สไตน์และมีบทบาทสำคัญในรูปแบบแฮมิลโทเนียนของ ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป

ในระบบพิกัด โดยกำหนดให้R _ij เป็น เทนเซอร์ริชชีและR เป็นความโค้งสเกลาร์ ส่วนประกอบของเทนเซอร์คอตตอนคือ

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right)}$

เทนเซอร์คอตตอนสามารถมองได้ว่าเป็น2-ฟอร์ม ที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ และสำหรับn = 3 ตัวดำเนินการดาวฮอดจ์จะแปลงสิ่งนี้ให้เป็นความหนาแน่นเทนเซอร์ลำดับที่สองที่ปราศจากร่องรอย:

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}$

บางครั้งเรียกว่าCotton – York tensor

ภายใต้การปรับขนาดแบบคอนฟอร์มอลของเมตริกสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์บางฟังก์ชันเราจะเห็นว่าสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลแปลงรูปดังนี้ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }`{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

เทนเซอร์อยู่ ที่ไหน${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }$

เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์แปลงรูปดังนี้

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{__{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }__{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

ในแมนิโฟลด์มิติ เราจะได้เทนเซอร์ริชชีโดยการหดตัวของเทนเซอร์รีมันน์ที่แปลงแล้ว เพื่อให้เห็นการแปลงเป็น ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}__{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

ในทำนองเดียวกันสเกลาร์ริชชีจะแปลงดังนี้

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

เมื่อนำข้อเท็จจริงทั้งหมดเหล่านี้มารวมกัน เราจึงสรุปได้ว่าการแปลงเทนเซอร์คอตตอน-ยอร์กมีดังนี้

${\displaystyle {\widetilde {C}__{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}$

หรือใช้ภาษาที่ไม่ขึ้นกับพิกัด เช่น

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

โดย ที่ เกรเดียนต์ถูกหดตัวด้วยเทนเซอร์เวล์ W

เทนเซอร์คอตตอนมีสมมาตรดังต่อไปนี้:

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.}$

นอกจากนี้ สูตรของ Bianchi สำหรับเทนเซอร์ Weylสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,}$

ความ แตก ต่างเชิงบวกในส่วนประกอบแรกของW อยู่ ที่ใด${\displaystyle \delta }$