ในทางคณิตศาสตร์ ระบบ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางระบบสามารถกำหนดสูตรได้อย่างมีประโยชน์ จากมุมมองของโครงสร้างทางเรขาคณิตและพีชคณิตพื้นฐาน โดยใช้ระบบรูปแบบเชิงอนุพันธ์แนวคิดคือการใช้ประโยชน์จากวิธีที่รูปแบบเชิงอนุพันธ์จำกัดอยู่บนส่วนย่อยของพื้นผิวและข้อเท็จจริงที่ว่าข้อจำกัดนี้เข้ากันได้กับอนุพันธ์ภายนอกนี่เป็นแนวทางหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับระบบที่มีตัวแปรเกินจำนวนที่กำหนด บางระบบ ตัวอย่างเช่น รวมถึงคู่ Laxของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้

ระบบPfaffianนั้นระบุได้ด้วย1-ฟอร์มเพียงอย่างเดียว แต่ทฤษฎีนี้ยังรวมถึงตัวอย่างระบบเชิงอนุพันธ์ ประเภทอื่นๆ ด้วย กล่าวคือ ระบบ Pfaffian คือเซตของ 1-ฟอร์มบนแมนิโฟลด์เรียบ (ซึ่งเรากำหนดให้เท่ากับ 0 เพื่อหาคำตอบของระบบ)

เมื่อกำหนดชุดของ 1-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์มิติ⁠ ⁠ แล้วแมนิโฟลด์เชิงอินทิก รัลคือซับแม นิ โฟลด์ที่ฝังตัว (ไม่จำเป็นต้องฝังตัว) ซึ่งปริภูมิสัมผัสที่ทุกจุดถูกทำลายโดย (พูลแบ็กของ) แต่ละ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle p\in N}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

แมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์สูงสุดคือแมนิโฟลด์ย่อยที่ฝังตัวอยู่ (ไม่จำเป็นต้องฝังแน่น)

${\displaystyle i:N\subset M}$

โดยที่แกนหลักของแผนที่การจำกัดบนรูปแบบ

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

ถูกสร้างขึ้นโดยที่ทุกจุดของ⁠ ⁠ถ้านอกจากนี้เป็นอิสระเชิงเส้นแล้วจะมีมิติ ( ⁠ ⁠ ) ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle nk}$

กล่าวได้ว่าระบบ Pfaffian สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์หาก ระบบนั้น ยอมรับการแบ่งส่วนด้วยแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์สูงสุด (โปรดทราบว่าการแบ่งส่วนไม่จำเป็นต้องเป็นแบบปกติกล่าวคือ ใบของการแบ่งส่วนอาจไม่ใช่ซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่) ${\displaystyle M}$

เงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์คือเงื่อนไขที่รับประกันว่าจะมีซับแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ที่มีมิติสูงเพียงพอ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

ระบบ Pfaffian ถูกกำหนดโดย 1-ฟอร์ม ณ แต่ละจุดชุดของ 1-ฟอร์มสามารถมองเห็นได้เป็นชุดของไฮเปอร์เพลน หรือองค์ประกอบสัมผัสที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ไฮเปอร์เพลนเหล่านี้ตัดกัน ทำให้ เกิดปริภูมิย่อยเชิงเส้น ของ ปริภูมิ สัมผัสเฉพาะที่ฟิลด์ของปริภูมิย่อยเชิงเส้นนี้ในระดับท้องถิ่นดูเหมือน ชิ้น ส่วนเล็กๆของแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์สูงสุด แต่การนำชิ้นส่วนเล็กๆ เหล่านี้มารวมกันเป็นแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์สูงสุดอาจเป็นไปไม่ได้ ชิ้นส่วนเหล่านั้นอาจบิดเบี้ยวเข้าหากัน ทำให้ความพยายามใดๆ ในการนำมารวมกันนั้นล้มเหลว ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle T_{x}M}$

ตัวอย่างเช่น ถ้ามี 3 มิติ ฟอร์ม 1 ตัวเดียวจะสร้างสนามของระนาบ ในขณะที่ฟอร์ม 1 สองตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่ทุกจุดจะสร้างสนามของเส้นตรง การอินทิเกรตสนามของเส้นตรงเป็นไปได้เสมอ แต่การอินทิเกรตสนามของระนาบอาจเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก "การบิดเบี้ยว" ในระดับท้องถิ่น สนามของระนาบที่ไม่สามารถอินทิเกรตได้ดังกล่าวจะมีลักษณะคล้ายโครงสร้างสัมผัสมาตรฐานบน ซึ่งกำหนดโดยฟอร์ม1 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dz-ydx}$

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบูรณาการอย่างสมบูรณ์ของระบบ Pfaffian นั้นกำหนดโดยทฤษฎีบท Frobeniusทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวว่า ถ้าอุดมคติที่สร้างขึ้นทางพีชคณิตโดยกลุ่มของα _iภายในวงแหวน Ω( M ) นั้นปิดเชิงอนุพันธ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

ดังนั้น ระบบจึงยอมรับการแบ่งชั้นโดยใช้แมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์สูงสุด (ส่วนกลับนั้นชัดเจนจากนิยาม)

เมื่อกำหนดโฟลิเอชันปกติใดๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ของมันเพื่อสร้างระบบปกติที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยอันดับของระบบนั้นคือโคไดเมนชันของโฟลิเอชันนั้น

การ จัดเรียง แบบ Hopf fibrationคือการจัดเรียงทรงกลม 3 มิติออกเป็นวงกลม ซึ่งเป็นการจัดเรียงแบบปกติที่มีมิติร่วมเท่ากับ 2

เช่นเดียวกับระบบปกติที่หาคำตอบได้ การแบ่งส่วนแบบเอกลักษณ์จะสร้างระบบเอกลักษณ์ที่หาคำตอบได้ ตัวอย่างเช่นสามารถแบ่งส่วนออกเป็นวงกลมศูนย์กลางร่วมกันโดยมีจุดเอกลักษณ์อยู่ที่จุดกำเนิด ซึ่งสอดคล้องกับระบบเอกลักษณ์ที่หาคำตอบได้${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle d(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0\implies xdx+ydy+zdz=0}$$

ไม่ใช่ทุกระบบของ Pfaffian ที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ในความหมายของ Frobenius ตัวอย่างเช่น พิจารณารูปแบบหนึ่งต่อไปนี้บนR ³ ∖ (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

ถ้าdθอยู่ในอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยθเราจะได้ โดยอาศัยความเบี่ยงเบนของผลคูณลิ่ม

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

แต่การคำนวณโดยตรงให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz,}$

ซึ่งเป็นผลคูณที่ไม่เป็นศูนย์ของรูปแบบปริมาตร มาตรฐาน บนR ³ดังนั้นจึงไม่มีใบสองมิติ และระบบจึงไม่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์

ในทางกลับกัน สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดโดย

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\quad z=e^{-t/c},\qquad t>0}$

ดังนั้นθที่กำหนดไว้ข้างต้นจึงเป็น 0 และด้วยเหตุนี้จึงสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นโค้งดังกล่าวเป็นคำตอบ (กล่าวคือเส้นโค้งเชิงปริพันธ์ ) สำหรับระบบ Pfaffian ข้างต้นสำหรับค่าคงที่c ใดๆ ที่ ไม่ใช่ศูนย์

โดยทั่วไป 1-ฟอร์มในแมนิโฟลด์มิติ n จะไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อทุกที่ ตามทฤษฎีบทของ Pfaff ซึ่งได้รับการขยายความโดยทฤษฎีบทของ Darbouxจะมีพิกัดท้องถิ่นที่ 1-ฟอร์มนั้นมีรูปแบบ n-1 โครงสร้างดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง สัมผัส${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$${\displaystyle dz-\sum _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$

ในทำนองเดียวกัน ในแมนิโฟลด์ที่มีมิติเป็นเลขคู่ 1-ฟอร์มในแมนิโฟลด์ที่มีมิติเป็น 1-ฟอร์ม จะไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อทุกที่ โครงสร้างดังกล่าวเป็นโครงสร้างสัมผัสแบบเลขคู่ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2n+2}$${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$

ทรงกลม 3 มิติ สามารถกำหนดโครงสร้างการสัมผัสได้โดยพิจารณาว่าเป็นทรงกลมหน่วยในรูปแบบการสัมผัสมาตรฐานบนคือ: โดยที่คือพิกัดบน ${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$${\textstyle \mathbb {C} ^{2}}$${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}+x_{2}dy_{2}-y_{2}dx_{2}\right)}$$${\textstyle \left(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right)}$${\textstyle \mathbb {R} ^{4}}$

ระบบ Pfaffian บางระบบไม่มีการแบ่งส่วนที่สามารถหาปริพันธ์ได้สูงสุด แต่ก็ไม่ได้ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น โครงสร้างสัมผัสมาตรฐานบนซึ่งกำหนดโดย 1-ฟอร์ม นั้นไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์ ในแง่ที่ว่าแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ใดๆ ของมันจะมีได้เพียง 1 มิติเท่านั้น (สิ่งเหล่านี้เรียกว่าซับแมนิโฟลด์เลอจองเดรียน ) อย่างไรก็ตาม หากเราขยายไปยัง แล้วจะมีแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ที่มี 3 มิติ นี่ไม่ใช่มิติต่ำสุดที่สามารถทำได้ ดังนั้นมันจึงไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์หรือหาปริพันธ์ไม่ได้โดยสมบูรณ์ ทำให้มันสามารถหาปริพันธ์ได้บางส่วน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$

ในกรณีนี้1-ฟอร์มที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์จะมีแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ 4 มิติ ในขณะที่โครงสร้างสัมผัสมาตรฐานจะมีแมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ได้เพียง 2 มิติเท่านั้น ซึ่งทำให้ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}-x_{4}dx_{3}}$

ในเรขาคณิตแบบซูโดรีมันน์เราอาจพิจารณาปัญหาของการหาโคเฟรม เชิงตั้งฉาก θ ⁱซึ่งก็คือชุดของ 1-ฟอร์มที่สร้างฐานของปริภูมิโคแทนเจนต์ณ ทุกจุดที่มีเซตปิด ( dθ ⁱ = 0, i = 1, 2, ..., n ) ตามทฤษฎีบทของปวงกาเร โคเฟรม θ ⁱในระดับท้องถิ่นจะมีรูปแบบdx i ^{สำหรับ}ฟังก์ชันx ⁱ บางฟังก์ชัน บนแมนิโฟลด์ และด้วยเหตุนี้จึงให้ไอโซเมตรีของเซตย่อยเปิดของMกับเซตย่อยเปิดของR ⁿแมนิโฟลด์ดังกล่าวเรียกว่า แบน ราบ ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

ปัญหานี้ลดรูปเหลือเพียงคำถามเกี่ยวกับบันเดิลโคเฟรมของMสมมติว่าเรามีโคเฟรมปิดดังกล่าว

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

ถ้าเรามีโคเฟรมอีกอันหนึ่งโคเฟรม${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$ทั้งสองจะมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงตั้งฉาก

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

ถ้าการเชื่อมต่อแบบ 1-ฟอร์มคือωแล้วเราจะได้ว่า

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

ในทางกลับกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

แต่เป็นรูปแบบ Maurer–Cartanสำหรับกลุ่มเชิงตั้งฉากดังนั้น จึงสอดคล้อง กับสมการโครงสร้าง และนี่ก็คือความโค้งของM : หลังจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Frobenius สรุปได้ว่าแมนิโฟลด์Mแบนราบเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อความโค้งของมันเป็นศูนย์ ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0}$${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

มีการวางนัยทั่วไปมากมายเกี่ยวกับเงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์ของระบบเชิงอนุพันธ์ที่ไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้นจากวันฟอร์ม ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดคือทฤษฎีบทของคาร์ตัน-เคห์เลอร์ซึ่งใช้ได้เฉพาะกับ ระบบเชิงอนุพันธ์ เชิงวิเคราะห์จริงและทฤษฎีบทการขยายของคาร์ตัน-คุรานิชิดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่หัวข้อ§ การอ่านเพิ่มเติมทฤษฎีบทของนิวแลนเดอร์-นิเรนเบิร์กให้เงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์สำหรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน

• Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths (1991) ระบบเชิงอนุพันธ์ภายนอก , สำนักพิมพ์สถาบันวิจัยวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97411-3
• Olver, P. (1995) ความสมมูล ตัวแปรคงที่ และสมมาตรสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-47811-1
• Ivey, T., Landsberg, JM (2016) Cartan สำหรับผู้เริ่มต้น: เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ผ่านเฟรมเคลื่อนที่และระบบเชิงอนุพันธ์ภายนอกสมาคมคณิตศาสตร์ อเมริกันISBN 0-8218-3375-8
• Dunajski, M. (2010) โซลิตอน อินสแตนตอน และทวิสเตอร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟ อร์ ด ISBN 978-0-19-857063-9