ในพีชคณิตจำนวนคู่ (dual numbers ) เป็นพีชคณิตกำลังสองที่ถูกนำเสนอครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 โดยเป็นนิพจน์ในรูปแบบa + bεโดยที่aและbเป็นจำนวนจริงและεเป็นสัญลักษณ์ที่เลือกให้สอดคล้องกับ เงื่อนไข . ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

สามารถนำจำนวนคู่มาบวกกันแบบทีละส่วน แล้วคูณด้วยสูตร

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติε ² = 0และข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณเป็นการ ดำเนินการแบบทวิ เชิง เส้น

จำนวนคู่ (dual numbers) ก่อให้เกิดพีชคณิตสลับที่ (commutative algebra)ที่มีมิติสองเหนือจำนวนจริง และยังเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบอาร์ทิเนียน (Artinian local ring ) อีกด้วย พวกมันเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของวงแหวนที่มีสมาชิกนิลโพเทนต์ที่ไม่ เป็นศูนย์

จำนวนคู่ (Dual numbers) ถูกนำเสนอครั้งแรกในปี ค.ศ. 1873 โดยวิลเลียม คลิฟฟอร์ดและถูกนำมาใช้ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเอดูอาร์ด สตูดี (Eduard Study ) ซึ่งใช้แทนมุมคู่ (dual angle) ที่วัดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นที่เฉียงกันในอวกาศ สตูดีนิยามมุมคู่ว่าθ + dεโดยที่θคือมุมระหว่างทิศทางของเส้นตรงสองเส้นในอวกาศสามมิติ และdคือระยะห่างระหว่าง เส้นตรงทั้งสอง การขยายความในมิติn หรือจำนวนกราสส์มันน์ ( Grassmann number ) ถูกนำเสนอโดย เฮอร์มัน น์ กราสส์มันน์ (Hermann Grassmann)ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19

ในพีชคณิต สมัยใหม่ พีชคณิตของจำนวนคู่มักถูกกำหนดให้เป็น^ผลหารของวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนจริงโดยอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดยกำลัง สอง ของตัวแปรไม่กำหนด [ ^{1 ]}นั่นคือ ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

อาจนิยามได้อีกอย่างว่า คือพีชคณิตภายนอก ของ ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติโดยมีเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ${\displaystyle \varepsilon }$

การหารจำนวนคู่ (dual numbers) นิยามได้เมื่อส่วนจริงของตัวส่วน ( cในสมการด้านล่าง) ไม่เป็นศูนย์กระบวนการหารคล้ายคลึงกับการหารจำนวนเชิงซ้อนตรงที่ตัวส่วนจะถูกคูณด้วยจำนวนคู่สังยุค (conjugate) เพื่อตัดส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงออกไป

ดังนั้น เพื่อประเมินนิพจน์ในรูปแบบดังกล่าว

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวผกผันของตัวส่วน:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(cd\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(cd\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

ในทางกลับกัน ถ้าcเป็นศูนย์ในขณะที่dไม่ใช่ศูนย์ สมการจะเป็นดังนี้

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. ไม่มีคำตอบหากaไม่เป็นศูนย์
2. มิฉะนั้นจะแก้ได้ด้วยจำนวนคู่ใดๆ ในรูปแบบ⁠ข/ง⁠ + yε .

นี่หมายความว่าส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ "ผลหาร" นั้นเป็นค่าโดยพลการ และดังนั้นการหารจึงไม่สามารถนิยามได้สำหรับจำนวนคู่ที่ไม่ใช่จำนวนจริงโดยสมบูรณ์ อันที่จริงแล้ว จำนวนเหล่านั้นเป็นตัวหารศูนย์ (อย่างเห็นได้ชัด) และก่อตัวเป็นอุดมคติของพีชคณิต แบบสมาคม (และดังนั้นจึงเป็นวงแหวน ) ของจำนวนคู่

จำนวนคู่สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์จัตุรัสในการแสดงแบบนี้ เมทริกซ์จัตุรัสจะยกกำลังสองได้เป็นเมทริกซ์ศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนคู่ ${\displaystyle a+b\varepsilon }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \varepsilon }$

โดยทั่วไป ถ้าเป็น เมทริกซ์ นิลโพเทนต์แล้วB = { x I + y : x, yจำนวนจริง} จะเป็น ซับ อัลเจบราที่สมมูลกับอัลเจบราของจำนวนคู่ ในกรณีของเมทริกซ์จำนวนจริง 2x2 M(2, R ) สามารถเลือกได้ว่าเป็นเมทริกซ์ใดๆ ในรูปแบบที่มีp = a ² + bc = 0 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

จำนวนคู่เป็นหนึ่งในสามชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิต 2 มิติจริงใน M(2, R ) เมื่อp > 0 พีชคณิตย่อยBจะมีไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนและเมื่อp < 0 B จะมีไอโซมอ ร์ ฟิกกับระนาบเชิงซ้อน

หนึ่งในแอปพลิเคชันของจำนวนคู่คือการหาอนุพันธ์อัตโนมัติพหุนามใดๆ

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

ฟังก์ชันที่มีสัมประสิทธิ์จริงสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่มีค่าเป็นจำนวนคู่ได้

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

อนุพันธ์ของ คือ อยู่ที่ไหน${\displaystyle P'}$${\displaystyle P.}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจริง (เชิงวิเคราะห์) ใดๆ ก็สามารถขยายไปสู่จำนวนคู่ (dual numbers) ได้โดยใช้อนุกรมเทย์เลอร์ :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

เนื่องจากพจน์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับε ²หรือกำลังที่มากกว่านั้น ล้วนเป็น 0 อย่างเห็นได้ชัดตาม นิยามของε

โดยการคำนวณองค์ประกอบของฟังก์ชันเหล่านี้เหนือจำนวนคู่และตรวจสอบสัมประสิทธิ์ของεในผลลัพธ์ เราพบว่าเราได้คำนวณอนุพันธ์ขององค์ประกอบนั้นโดยอัตโนมัติแล้ว

วิธีการที่คล้ายกันนี้สามารถใช้ได้กับพหุนามของ ตัวแปร nตัว โดยใช้พีชคณิตภายนอกของ ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ

"วงกลมหน่วย" ของจำนวนคู่ประกอบด้วยจำนวนที่มีa = ±1เนื่องจากจำนวนเหล่านี้สอดคล้องกับzz * = 1โดยที่z * = a − bεอย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่า

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

ดังนั้นแผนที่เลขชี้กำลังที่ใช้กับ แกน εจึงครอบคลุมเพียงครึ่ง "วงกลม" เท่านั้น

ให้z = a + bεถ้าa ≠ 0และm = ⁠ข/เอดังนั้นz = a (1 + mε )คือการแยกส่วนเชิงขั้วของจำนวนคู่ zและความชันmคือส่วนเชิงมุม แนวคิดของการหมุนในระนาบจำนวนคู่เทียบเท่ากับการแมปเฉือนแนวตั้ง เนื่องจาก (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε

ในปริภูมิและเวลาสัมบูรณ์การแปลงแบบกาลิเลียน

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

นั่นคือ

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

เชื่อมโยงระบบพิกัดหยุดนิ่งกับกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ที่มีความเร็วvโดยใช้ตัวเลขคู่t + xεแทนเหตุการณ์ ตามมิติพื้นที่และเวลา เดียวกัน การแปลงแบบเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นได้ด้วยการคูณด้วย1 + vε

เมื่อกำหนดจำนวนคู่pและq สองตัว พวกมันจะกำหนดเซตของzโดยที่ผลต่างของความชัน ("มุมกาลิเลียน") ระหว่างเส้นจากzไปยังpและqมีค่าคงที่ เซตนี้เป็นวัฏจักรในระนาบจำนวนคู่ เนื่องจากสมการที่กำหนดผลต่างของความชันของเส้นให้มีค่าคงที่คือสมการกำลังสองในส่วนจริงของzดังนั้นวัฏจักรจึงเป็นพาราโบลา "การหมุนแบบวัฏจักร" ของระนาบจำนวนคู่เกิดขึ้นเป็นการเคลื่อนที่ของเส้นเชิงฉาย ตามที่ Isaak Yaglom [ ^{2 ] : 92–93} กล่าวไว้วัฏจักรZ = { z  : y = αx ² }จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การประกอบของแรงเฉือน

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

พร้อมกับการแปล

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

จำนวนคู่มีการประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการสังเคราะห์จลนศาสตร์ ตัวอย่างเช่น จำนวนคู่ทำให้สามารถแปลงสมการอินพุต/เอาต์พุตของกลไกทรงกลมสี่แท่ง ซึ่งประกอบด้วยข้อต่อโรทอยด์เท่านั้น ให้เป็นกลไกเชิงพื้นที่สี่แท่ง (โรทอยด์ โรทอยด์ โรทอยด์ ทรงกระบอก) มุมคู่ประกอบด้วยส่วนดั้งเดิม มุม และส่วนคู่ ซึ่งมีหน่วยเป็นความยาว^{[ 3 ]}ดูทฤษฎีสกรูสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ในเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ จำนวนคู่เหนือฟิลด์(ซึ่งเราหมายถึงวงแหวน) อาจใช้เพื่อกำหนดเวกเตอร์สัมผัสไปยังจุดของ-scheme ^{[ 4 ]}เนื่องจากสามารถเลือกฟิลด์ได้โดยเนื้อแท้ จึงสามารถพูดถึงเวกเตอร์สัมผัสของ scheme ได้อย่างง่ายดาย ซึ่งทำให้สามารถนำแนวคิดจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มาใช้ในเรขาคณิตพีชคณิต ได้${\displaystyle k}$${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

โดยละเอียด: วงแหวนของจำนวนคู่สามารถคิดได้ว่าเป็นวงแหวนของฟังก์ชันบน "ย่านใกล้เคียงลำดับแรกของจุด" กล่าวคือ -scheme [ ^{4 ] จาก} นั้น เมื่อกำหนด-schemeแล้ว-points ของ scheme จะมีความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 กับแผนที่ในขณะที่เวกเตอร์สัมผัสจะมีความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 กับแผนที่ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$

สามารถเลือก ฟิลด์ข้างต้นให้เป็นฟิลด์ตกค้าง ได้โดยเนื้อแท้ กล่าวคือ: เมื่อกำหนดจุดบนแผนผังให้พิจารณาก้าน (stalk ) สังเกตว่าเป็นวงแหวนเฉพาะที่ที่มีอุดมคติสูงสุดที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งใช้สัญลักษณ์ จากนั้นให้. ${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$

การสร้างนี้สามารถดำเนินการได้โดยทั่วไปมากขึ้น: สำหรับวงแหวนสลับที่Rเราสามารถกำหนดจำนวนคู่เหนือRเป็นผลหารของวงแหวนพหุนามR [ X ]โดยอุดมคติ( X ² ) : ภาพของXจะมีกำลังสองเท่ากับศูนย์และสอดคล้องกับองค์ประกอบεจากข้างต้น

มีการสร้างจำนวนคู่แบบทั่วไปอีกแบบหนึ่ง โดยกำหนดให้ริงสลับที่ และโมดูลจะมีริงที่เรียกว่าริงของจำนวนคู่ ซึ่งมีโครงสร้างดังต่อไปนี้: ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[M]}$

มันคือโมดูลที่มีการคูณที่กำหนดโดยสำหรับและ${\displaystyle R}$${\displaystyle R\oplus M}$${\displaystyle (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)}$${\displaystyle r,r'\in R}$${\displaystyle i,i'\in I.}$

พีชคณิตของจำนวนคู่คือกรณีพิเศษที่และ${\displaystyle M=R}$${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

จำนวนคู่ (Dual numbers) มีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาที่ง่ายที่สุดของซูเปอร์สเปซ (Superspace ) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวนคู่เป็นซูเปอร์นัมเบอร์ที่มีตัวสร้างเพียงตัวเดียว ซูเปอร์นัมเบอร์ขยายแนวคิดนี้ไปยังตัวสร้างε ที่แตกต่างกัน n ตัว โดยแต่ละตัวมีคุณสมบัติสลับที่กันได้ และอาจมีnไปจนถึงอนันต์ ซูเปอร์สเปซขยายแนวคิดของซูเปอร์นัมเบอร์เล็กน้อย โดยอนุญาตให้มีมิติที่สลับที่กันได้หลายมิติ

แรงจูงใจในการนำจำนวนคู่มาใช้ในฟิสิกส์นั้นมาจากหลักการกีดกันของเปาลีสำหรับเฟอร์มิออน ทิศทางตามแนวεเรียกว่าทิศทาง "เฟอร์มิออน" และส่วนประกอบจริงเรียกว่าทิศทาง "โบซอนิก" ทิศทางเฟอร์มิออนได้รับชื่อนี้เนื่องจากเฟอร์มิออน ปฏิบัติตามหลักการกีดกันของเปาลี กล่าวคือ ภายใต้การสลับพิกัด ฟังก์ชัน คลื่นกลศาสตร์ควอนตัมจะเปลี่ยนเครื่องหมาย และดังนั้นจึงหายไปหากนำพิกัดสองพิกัดมาอยู่ด้วยกัน แนวคิดทางฟิสิกส์นี้ถูกแสดงโดยความสัมพันธ์ทางพีชคณิต  ε² = ⁰

แนวคิดของเส้นโปรเจกทีฟเหนือจำนวนคู่ได้รับการเสนอโดย Grünwald ^{[ 5 ]}และCorrado Segre ^{[ 6 ]}

เช่นเดียวกับทรงกลมรีมันน์ที่ต้องการจุดขั้วเหนือที่อนันต์เพื่อปิดเส้นเชิงซ้อนเชิงโปรเจกที ฟ เส้นที่อนันต์ก็ประสบความสำเร็จในการปิดระนาบของจำนวนคู่ให้เป็นทรงกระบอก^{[ 2 ] : 149–153}

สมมติว่าDคือวงแหวนของจำนวนคู่x + yεและUคือเซตย่อยที่มีx ≠ 0แล้วUคือกลุ่มของหน่วยในDให้B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U หรือb ∈ U}ความสัมพันธ์ ถูกกำหนดบน B ดังนี้: ( a , b ) ~ ( c , d )เมื่อมีuในUที่ua = cและub = dความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูล จุด บนเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเหนือ Dคือชั้นสมมูลในB ภายใต้ความ สัมพันธ์ นี้: P ( D ) = B /~จุดเหล่านี้ถูกแทนด้วยพิกัดเชิงโปรเจกทีฟ[ ​​a , b ]

พิจารณาการฝังD → P ( D )โดยz → [ z , 1]แล้วจุด[1, n ]สำหรับn ² = 0จะอยู่ในP ( D )แต่ไม่ใช่ภาพของจุดใดๆ ภายใต้การฝังP ( D )ถูกแมปไปยังทรงกระบอกโดย การฉายภาพ : พิจารณาทรงกระบอกที่สัมผัสกับระนาบจำนวนคู่บนเส้นตรง{ yε  : y ∈ R } , ε ² = 0จากนั้นพิจารณาเส้นตรงข้ามบนทรงกระบอกสำหรับแกนของกลุ่มระนาบระนาบที่ตัดกับระนาบจำนวนคู่และทรงกระบอกจะให้ความสอดคล้องกันของจุดระหว่างพื้นผิวเหล่านี้ ระนาบที่ขนานกับระนาบจำนวนคู่จะสอดคล้องกับจุด[1, n ] , n ² = 0ในเส้นตรงเชิงฉายภาพเหนือจำนวนคู่

• การวิเคราะห์อนันต์เล็กที่ราบเรียบ
• ทฤษฎีการรบกวน
• เล็กน้อยมาก
• ทฤษฎีสกรู
• เลขเชิงซ้อนคู่
• การแปลงลากูร์
• หมายเลขกราสส์มันน์
• การหาผลต่างอัตโนมัติ