ในพีชคณิตนามธรรมสมาชิกaของริงRเรียกว่าตัวหารศูนย์ซ้ายถ้ามีx ที่ไม่ใช่ศูนย์ ในRที่ทำให้ax = 0 [ ^{1 ]}หรือเทียบเท่ากับถ้าแผนที่จากRไปRที่ส่งxไปยังaxไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่ง^ต่อหนึ่ง^{[ a ]} ​​ในทำนองเดียวกัน สมาชิกaของริงเรียกว่าตัวหารศูนย์ขวาถ้ามีy ที่ไม่ใช่ศูนย์ ในRที่ทำให้ya = 0นี่เป็นกรณีบางส่วนของการหารลงตัวในริงสมาชิกที่เป็นตัวหารศูนย์ซ้ายหรือขวาเรียกว่า ตัว หารศูนย์^{[ 2 ]}สมาชิก  aที่เป็นทั้งตัวหารศูนย์ซ้ายและขวาเรียกว่าตัวหารศูนย์สองด้าน ( x ที่ไม่ใช่ศูนย์ ที่ทำให้ax = 0อาจแตกต่างจากy ที่ไม่ใช่ศูนย์ ที่ทำให้ya = 0 ) ถ้าริงเป็น ริง สลับที่ได้ตัวหารศูนย์ซ้ายและขวาจะเป็นตัวเดียวกัน

องค์ประกอบของริงที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ซ้าย (หรือตัวหารศูนย์ขวา) เรียกว่าตัวหารปกติซ้ายหรือตัวหารที่ตัดทิ้งได้ซ้าย (หรือ ตัวหาร ปกติขวาหรือตัวหารที่ตัดทิ้งได้ขวา ) องค์ประกอบของริงที่ตัดทิ้งได้ทั้งซ้ายและขวา และไม่ใช่ตัวหารศูนย์ เรียกว่า ตัว หารปกติหรือ ตัวหาร ที่ตัดทิ้งได้^{[ 3 ]}หรือตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ ( หมายเหตุ:ใน "ตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์" คำนำหน้า "non-" เข้าใจว่าเป็นการแก้ไข "ตัวหารศูนย์" โดยรวมมากกว่าแค่คำว่า "ศูนย์" ในบางตำรา "ตัวหารศูนย์" เขียนเป็น "zerodivisor" และ "ตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์" เขียนเป็น "nonzerodivisor" ^{[ 4 ]}หรือ "non-zerodivisor" ^{[ 5 ]}เพื่อความชัดเจน) ตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์หรือ ตัวหารศูนย์ ที่ไม่ใช่ศูนย์ศูนย์ วงแหวน ที่ไม่เป็นศูนย์ และไม่มีตัว หาร ศูนย์ที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ที่เป็นศูนย์ เรียกว่าโดเมน

• ในวงแหวน นั้น ชั้นเศษเหลือจะเป็นตัวหารศูนย์เนื่องจาก${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• ตัวหารศูนย์เพียงตัวเดียว ของวงแหวนจำนวนเต็มคือ.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$
• สมาชิกนิลโพเทนต์ของริงที่ไม่ใช่ริงศูนย์ จะเป็นตัวหารศูนย์สองด้านเสมอ
• สมาชิกเอกลักษณ์ ของริงคือตัวหารศูนย์สองด้านเสมอเนื่องจาก${\displaystyle e\neq 1}$${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• วงแหวนของเมทริกซ์n × nบนฟิลด์จะมีตัวหารศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อn ≥ 2 ตัวอย่างของตัวหารศูนย์ในวงแหวนของเมทริกซ์ 2 × 2 (บนวงแหวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์) แสดงไว้ที่นี่:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• ผลคูณโดยตรงของริงที่ไม่เป็นศูนย์สองริงขึ้นไปจะมีตัวหารศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์เสมอ ตัวอย่างเช่น ในริงที่มี n ที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละตัว n ก็คือ n ดังนั้น n จึงเป็นตัวหารศูนย์${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$${\displaystyle (1,0)}$
• ให้เป็นฟิลด์ และเป็นกลุ่มสมมติว่ามีสมาชิก ที่มี อันดับจำกัดแล้วในริงกลุ่มจะมีโดยที่ตัวประกอบทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น จึงเป็นตัวหารศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ใน${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$${\displaystyle 1-g}$${\displaystyle K[G]}$

• พิจารณาวงแหวนของเมทริกซ์ (เชิงรูปธรรม) ที่มีและแล้วและถ้าแล้วเป็นตัวหารศูนย์ซ้ายก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนคู่เนื่องจากและเป็นตัวหารศูนย์ขวาก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนคู่ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน ถ้า ตัวใดตัวหนึ่งของ เป็นแล้ว มันจะเป็นตัวหารศูนย์สองด้าน${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x\neq 0\neq z}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x,z}$${\displaystyle 0}$
• นี่คืออีกตัวอย่างหนึ่งของริงที่มีสมาชิกที่เป็นตัวหารศูนย์ด้านเดียวเท่านั้น ให้เป็นเซตของลำดับจำนวนเต็ม ทั้งหมด แทนริงด้วยแผนที่การบวก ทั้งหมด จากไปยังโดยมี การบวก แบบจุดต่อจุดและการประกอบเป็นตัวดำเนินการของริง (นั่นคือ ริงของเราคือริงเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มการบวก) ตัวอย่างสามอย่างของสมาชิกในริงนี้คือการเลื่อนขวาการเลื่อนซ้ายและแผนที่การฉายภาพไปยังตัวประกอบแรกแผนที่การบวกทั้งสามนี้ไม่ใช่ศูนย์ และตัวประกอบและต่างก็เป็นศูนย์ ดังนั้น จึงเป็นตัวหารศูนย์ซ้าย และเป็นตัวหารศูนย์ขวาในริงของแผนที่การบวกจากไปยังอย่างไรก็ตามไม่ใช่ตัวหารศูนย์ขวา และไม่ใช่ตัวหารศูนย์ซ้าย: ตัวประกอบคือ เอกลักษณ์เป็นตัวหารศูนย์สองด้านเนื่องจากในขณะที่ไม่ใช่ในทิศทางใดเลย${\displaystyle S}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$${\displaystyle LP}$${\displaystyle PR}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle LR}$${\displaystyle RL}$${\displaystyle RLP=0=PRL}$${\displaystyle LR=1}$

• วงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลจำนวนเฉพาะไม่มีตัวหารศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวเป็นหน่วยดังนั้นวงแหวนนี้จึงเป็นฟิลด์จำกัด
• โดยทั่วไปแล้ววงแหวนการหารจะไม่มีตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์
• วงแหวนสลับที่ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีตัวหารศูนย์เพียงตัวเดียวคือ 0 เรียกว่าโดเมนเชิงอินทิกรัล

• ในวงแหวนของ เมทริกซ์ n × nบนฟิลด์ ตัวหารศูนย์ด้านซ้ายและด้านขวาจะตรงกัน ซึ่งก็คือเมทริกซ์เอก ฐานนั่นเอง ในวงแหวนของ เมทริกซ์ n × nบนโดเมนจำนวนเต็มตัวหารศูนย์ก็คือเมทริกซ์ ที่มี ดีเทอร์มิแนนต์ เป็นศูนย์นั่นเอง
• ตัวหารศูนย์ทางซ้ายหรือขวาไม่สามารถเป็นหน่วยได้เพราะถ้าเมทริกซ์ aหาเมทริกซ์ผกผันได้ และax = 0สำหรับx ที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัว แล้ว0 = a ⁻¹และ 0 = a ^{−1 และ} ax = xซึ่งขัดแย้งกัน
• องค์ประกอบสามารถตัดทอนได้ทางด้านที่มันเป็นปกติ กล่าวคือ ถ้าaเป็นปกติทางซ้ายax = ayหมายความว่าx = yและในทำนองเดียวกันสำหรับปกติทางขวา

ไม่จำเป็นต้องมีข้อกำหนดเฉพาะสำหรับกรณีa = 0เนื่องจากนิยามนี้ใช้ได้ในกรณีนี้เช่นกัน:

• ถ้าRเป็นริงอื่นที่ไม่ใช่ริงศูนย์แล้ว0จะเป็นตัวหารศูนย์ (สองด้าน) เพราะว่าสมาชิกx ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะสอดคล้องกับ0 x = 0 = x 0
• ถ้าRคือวงแหวนศูนย์ ซึ่ง0 = 1แล้ว0ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ เพราะไม่มี สมาชิก ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดที่เมื่อคูณกับ0 แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็น0

เอกสารอ้างอิงบางฉบับรวมหรือไม่รวม0เป็นตัวหารศูนย์ใน ริง ทั้งหมดตามธรรมเนียม แต่ก็ต้องแลกมาด้วยการสร้างข้อยกเว้นในข้อความต่างๆ เช่น ข้อความต่อไปนี้:

• ในริงสลับที่Rเซตของตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์เป็นเซตการคูณในR (ซึ่งมีความสำคัญต่อคำนิยามของริงผลหารทั้งหมด ) เช่นเดียวกันกับเซตของตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ทางซ้ายและเซตของตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ทางขวาในริงใดๆ ไม่ว่าจะเป็นริงสลับที่หรือไม่ก็ตาม
• ในวงแหวนโนเธอร์เรียนแบบสลับ ที่ได้ Rเซตของตัวหารศูนย์คือ การ รวมกันของอุดมคติเฉพาะที่เกี่ยวข้องของR

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ ให้M เป็นโมดูลRและให้aเป็นสมาชิกของRกล่าวได้ว่าaเป็นM-ปกติถ้าแผนที่ "การคูณด้วยa " เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และaเป็นตัวหารศูนย์บนMมิฉะนั้น^{[ 6 ]} เซตของ^{สมาชิก} M-ปกติเป็นเซตการคูณในR ^{[ 6} ]${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

การกำหนดนิยามของ " M-ปกติ" และ "ตัวหารศูนย์บนM " ให้เฉพาะเจาะจงกับกรณีM = Rจะได้นิยามของ "ปกติ" และ "ตัวหารศูนย์" ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้

• คุณสมบัติผลคูณเป็นศูนย์
• คำศัพท์เฉพาะทางพีชคณิตเชิงสลับที่ (ตัวหารศูนย์ที่แน่นอน)
• กราฟตัวหารศูนย์
• เซเดเนียนซึ่งมีตัวหารเป็นศูนย์

• "ตัวหารศูนย์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• มิเชล ฮาเซวิงเคิล ; นาดิยา กูบาเรนี; นาเดซดา มิคาอิลอฟนา กูบาเรนี; วลาดิมีร์ วี. คิริเชนโก (2004), พีชคณิต, วงแหวนและโมดูล , ฉบับที่. 1, สปริงเกอร์, ISBN 1-4020-2690-0