ในทางคณิตศาสตร์พิกัดเอกพันธุ์หรือพิกัดเชิงฉาย ซึ่ง ออกัสต์ เฟอร์ดินานด์ โมเบียสได้นำ เสนอไว้ในงาน Der barycentrische Calcul ใน ^ปีค.ศ. 1827 [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ]}เป็นระบบพิกัดที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงฉายเช่นเดียวกับพิกัดคาร์ทีเซียนที่ใช้ในเรขาคณิตแบบยุคลิด พิกัดเอกพันธุ์ มีข้อดีคือ พิกัดของจุดต่างๆ รวมถึงจุดที่อนันต์สามารถแสดงได้โดยใช้พิกัดจำกัด สูตรที่เกี่ยวข้องกับพิกัดเอกพันธุ์มักจะเรียบง่ายและสมมาตรกว่าสูตรที่ใช้พิกัดคาร์ทีเซียน พิกัดเอกพันธุ์มีการใช้งานที่หลากหลาย รวมถึงกราฟิกคอมพิวเตอร์และการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์ 3 มิติ ซึ่งช่วยให้การแปลงเชิงเส้นตรงและโดยทั่วไปการแปลงเชิงฉายสามารถแสดงได้ง่ายด้วยเมทริกซ์นอกจากนี้ยังใช้ใน อัลกอริธึ มการเข้ารหัสเส้นโค้งวงรี พื้นฐานอีกด้วย ^{[ 4 ​​]}

ถ้าพิกัดเอกพันธุ์ของจุดหนึ่งถูกคูณด้วยสเกลาร์ ที่ไม่เป็นศูนย์ พิกัดที่ได้จะแสดงถึงจุดเดียวกัน เนื่องจากพิกัดเอกพันธุ์ยังใช้กับจุดที่อนันต์ได้ด้วย จำนวนพิกัดที่จำเป็นสำหรับการขยายนี้จึงมากกว่ามิติของปริภูมิเชิงฉายที่กำลังพิจารณาอยู่หนึ่งพิกัด ตัวอย่างเช่น ต้องใช้พิกัดเอกพันธุ์สองพิกัดเพื่อระบุจุดบนเส้นเชิงฉาย และต้องใช้พิกัดเอกพันธุ์สามพิกัดเพื่อระบุจุดในระนาบเชิงฉาย

ระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงสามารถคิดได้ว่าเป็นระนาบยุคลิดที่มีจุดเพิ่มเติมเข้ามา ซึ่งเรียกว่าจุดอนันต์และถือว่าอยู่บนเส้นตรงใหม่เส้นตรงอนันต์มีจุดอนันต์ที่สอดคล้องกับแต่ละทิศทาง (กำหนดเป็นตัวเลขโดยความชันของเส้นตรง) ซึ่งโดยทั่วไปนิยามว่าเป็นลิมิตของจุดที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางนั้นห่างจากจุดกำเนิด เส้นขนานในระนาบยุคลิดจะตัดกันที่จุดอนันต์ที่สอดคล้องกับทิศทางร่วมกัน สำหรับจุดหนึ่งบนระนาบยุคลิด สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆสามค่านี้เรียกว่าเซตของพิกัดเอกพันธุ์สำหรับจุดนั้น ตามนิยามนี้ การคูณพิกัดเอกพันธุ์ทั้งสามด้วยตัวประกอบร่วมที่ไม่เป็นศูนย์จะให้เซตของพิกัดเอกพันธุ์ใหม่สำหรับจุดเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นระบบพิกัดเอกพันธุ์สำหรับจุดตัวอย่างเช่น จุดคาร์ทีเซียนสามารถแสดงในพิกัดเอกพันธุ์ได้เป็นหรือพิกัดคาร์ทีเซียนดั้งเดิมจะถูกกู้คืนโดยการหารตำแหน่งสองตำแหน่งแรกด้วยตำแหน่งที่สาม ดังนั้นจึงแตกต่างจากพิกัดคาร์ทีเซียนตรงที่ จุดเดียวสามารถแทนด้วยพิกัดเอกพันธุ์ได้ไม่จำกัดจำนวน ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (xZ,yZ,Z)}$${\displaystyle (x,y,1)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (1,2)}$${\displaystyle (1,2,1)}$${\displaystyle (2,4,2)}$

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดสามารถเขียนได้เป็นโดยที่และไม่ใช่ค่าคงที่ทั้งคู่ใน รูปแบบ พาราเมตริกสามารถเขียนได้เป็นให้ดังนั้นพิกัดของจุดบนเส้นตรงสามารถเขียนได้เป็นในพิกัดเอกพันธุ์จะได้เป็นในลิมิต เมื่อเข้าใกล้อนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อจุดเคลื่อนห่างจากจุดกำเนิดจะเข้าใกล้และพิกัดเอกพันธุ์ของจุดจะกลายเป็นดังนั้นเราจึงกำหนดให้ เป็นพิกัดเอกพันธุ์ของจุดที่อนันต์ซึ่งสอดคล้องกับทิศทางของเส้นตรงเนื่องจากเส้นตรงใดๆ ในระนาบยุคลิดขนานกับเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด และเนื่องจากเส้นตรงขนานกันมีจุดเดียวกันที่อนันต์ จุดอนันต์บนเส้นตรงทุกเส้นในระนาบยุคลิดจึงมีพิกัดเอกพันธุ์ ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle nx+my=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=mt,y=-nt}$${\displaystyle Z=1/t}$${\displaystyle (m/Z,-n/Z)}$${\displaystyle (m,-n,Z)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (m,-n,0)}$${\displaystyle (m,-n,0)}$${\displaystyle nx+my=0}$

สรุปได้ว่า:

• จุดใดๆ ในระนาบเชิงฉายจะถูกแทนด้วยสามพิกัดที่เรียกว่า 'พิกัดเอกพันธุ์' หรือ 'พิกัดเชิงฉาย' ของจุดนั้น โดยที่, และไม่ใช่พิกัดทั้งหมด${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$
• จุดที่แสดงด้วยชุดพิกัดเอกพันธุ์ที่กำหนดจะไม่เปลี่ยนแปลง หากพิกัดเหล่านั้นถูกคูณด้วยตัวประกอบร่วม
• ในทางกลับกัน ชุดพิกัดเอกพันธุ์สองชุดจะแสดงถึงจุดเดียวกันก็ต่อเมื่อชุดหนึ่งได้มาจากการคูณพิกัดทั้งหมดด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ชุดเดียวกัน
• เมื่อใดที่จุดที่แสดงไม่ใช่จุดในระนาบยูคลิด${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (X/Z,Y/Z)}$
• เมื่อใดที่จุดที่แสดงเป็นจุดอนันต์${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$

สามตัวนี้ถูกละเว้นและไม่ได้แสดงถึงจุดใดๆจุดกำเนิดของระนาบยุคลิดแสดงด้วย^{[ 5 ]}${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (0,0,1)}$

ผู้เขียนบางคนใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันสำหรับพิกัดเอกพันธุ์ ซึ่งช่วยแยกแยะออกจากพิกัดคาร์ทีเซียน การใช้เครื่องหมายโคลอนแทนเครื่องหมายจุลภาค เช่นแทนเน้นย้ำว่าพิกัดเหล่านั้นถือเป็นอัตราส่วน^{[ 6 ]}วงเล็บเหลี่ยม เช่นเน้นย้ำว่าพิกัดหลายชุดเกี่ยวข้องกับจุดเดียว^{[ 7 ]} ผู้เขียนบางคนใช้การผสมผสานระหว่างเครื่องหมายโคลอนและ วงเล็บเหลี่ยม เช่น^{[ 8 ]}${\displaystyle (x:y:z)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle [x,y,z]}$${\displaystyle [x:y:z]}$

การอภิปรายในส่วนก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟอื่นๆ นอกเหนือจากระนาบได้เช่นเดียวกัน ดังนั้นจุดบนเส้นโปรเจกทีฟอาจแสดงด้วยคู่พิกัดไม่ใช่ศูนย์ทั้งคู่ ในกรณีนี้ จุดที่อนันต์คือ ในทำนองเดียวกัน จุดในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจะถูกแทนด้วย-tuple ^{[ 9 ]}${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$

การใช้จำนวนจริงทำให้ได้พิกัดเอกพันธุ์ของจุดในกรณีคลาสสิกของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริง อย่างไรก็ตามสามารถใช้ฟิลด์ ใดก็ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถใช้จำนวนเชิงซ้อน สำหรับ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนได้ ตัวอย่างเช่นเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนใช้พิกัดเชิงซ้อนเอกพันธุ์สองพิกัด และรู้จักกันในชื่อทรงกลมรีมันน์ฟิลด์อื่นๆ รวมถึงฟิลด์จำกัดก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน

พิกัดเอกพันธุ์สำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสามารถสร้างได้ด้วยองค์ประกอบจากวงแหวนการหาร (ฟิลด์เฉียง) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ต้องระมัดระวังในการคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณอาจไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่^{[ 10 ]}

สำหรับ วงแหวน ทั่วไปA เส้น ตรงเชิงโปรเจกทีฟเหนือAสามารถกำหนดได้โดยใช้ปัจจัยเอกพันธุ์ที่กระทำทางด้านซ้ายและกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟที่กระทำทางด้านขวา

นิยามอีกแบบหนึ่งของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงสามารถให้ได้ในแง่ของชั้นสมมูลสำหรับสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของกำหนดให้ หมายความว่ามีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ ที่ทำให้แล้วคือความสัมพันธ์สมมูลและระนาบเชิงโปรเจกทีฟสามารถนิยามได้ว่าเป็นชั้นสมมูลของถ้าเป็นหนึ่งในสมาชิกของชั้นสมมูลแล้วสมาชิกเหล่านี้จะถือว่าเป็นพิกัดเอกพันธุ์ของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})\sim (x_{2},y_{2},z_{2})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})=(\แลมบ์ดา x_{2},\แลมบ์ดา y_{2},\แลมบ์ดา z_{2})}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}.}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

เส้นตรงในปริภูมินี้ถูกนิยามให้เป็นเซตของคำตอบของสมการในรูปแบบ โดยที่ , และไม่ใช่ทั้งหมดเป็นศูนย์ การที่เงื่อนไขเป็นจริงขึ้นอยู่กับชั้นสมมูลของ เท่านั้นดังนั้นสมการจึงกำหนดเซตของจุดในระนาบเชิงฉาย การแมปกำหนดการรวมจากระนาบยุคลิดไปยังระนาบเชิงฉาย และส่วนเติมเต็มของภาพคือเซตของจุดที่มี สมการ เป็นสมการของเส้นตรงในระนาบเชิงฉาย ( ดูคำนิยามของเส้นตรงในระนาบเชิงฉาย ) และเรียกว่าเส้นตรงที่อนันต์ ${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle (x,y,z),}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,1)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=0}$

ชั้นสมมูลคือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดโดยที่จุดกำเนิดถูกลบออกไป จุดกำเนิดไม่ได้มีบทบาทสำคัญในการอภิปรายก่อนหน้านี้ ดังนั้นจึงสามารถเพิ่มจุดกำเนิดกลับเข้าไปได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของระนาบเชิงฉาย ซึ่งจะทำให้เกิดนิยามที่แตกต่างออกไป กล่าวคือ ระนาบเชิงฉายถูกนิยามว่าเป็นเซตของเส้นตรงใน ที่ผ่านจุดกำเนิด และพิกัดขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ ของเส้นตรงจะถือว่าเป็นพิกัดเอกพันธุ์ของเส้นตรงนั้น เส้นตรงเหล่านี้จึงถูกตีความว่าเป็นจุดในระนาบเชิงฉาย ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$

การอภิปรายนี้สามารถนำไปใช้กับมิติอื่นๆ ได้เช่นกัน ดังนั้นปริภูมิเชิงฉายของมิติ n สามารถกำหนดได้ว่าเป็นเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

พิกัดเอกพันธุ์ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยจุดใดจุดหนึ่ง ดังนั้นฟังก์ชันที่กำหนดบนพิกัด เช่น จึง ไม่สามารถกำหนดฟังก์ชันที่กำหนดบนจุดได้เหมือนกับพิกัดคาร์ทีเซียน แต่เงื่อนไขที่กำหนดบนพิกัด เช่น ที่อาจใช้เพื่ออธิบายเส้นโค้ง จะกำหนดเงื่อนไขบนจุดได้หากฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่ามีค่า อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z).}$$

ถ้าชุดพิกัดหนึ่งแทนจุดเดียวกันกับ อีกจุด หนึ่ง ก็สามารถเขียนได้ เป็น สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ของแล้ว ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle f(x,y,z)=0\iff f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)=0.}$$

พหุนาม ดีกรี n สามารถเปลี่ยนให้เป็นพหุนามเอกพันธุ์ได้โดยการแทนที่n ด้วยn และคูณด้วยn กล่าวอีกนัยหนึ่งคือโดยการกำหนด n = n ${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x/z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y/z}$${\displaystyle z^{k}}$

$${\displaystyle f(x,y,z)=z^{k}g(x/z,y/z).}$$

ฟังก์ชันที่ได้เป็นพหุนาม ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะขยายโดเมนของฟังก์ชันไปยังสามสิ่งที่มีค่าเท่ากับ โดยที่กระบวนการนี้สามารถย้อนกลับได้โดยการตั้งค่าหรือ ${\displaystyle f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle g(x,y)=f(x,y,1).}$$

สมการดังกล่าวสามารถคิดได้ว่าเป็นรูปแบบเอกพันธุ์ของ และกำหนดเส้นโค้งเดียวกันเมื่อจำกัดไว้ที่ระนาบยูคลิด ตัวอย่างเช่น รูปแบบเอกพันธุ์ของสมการของเส้นตรงคือ^{[ 12 ]}${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle g(x,y)=0}$${\displaystyle ax+by+c=0}$${\displaystyle ax+by+cz=0.}$

สมการของเส้นตรงในระนาบเชิงโปรเจกทีฟอาจกำหนดได้เป็น โดยที่, และเป็นค่าคงที่ แต่ละสามค่าจะกำหนดเส้นตรง เส้นตรงที่กำหนดจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคูณด้วยสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ และอย่างน้อยหนึ่งใน, และต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นสามค่านี้จึงอาจถือได้ว่าเป็นพิกัดเอกพันธุ์ของเส้นตรงในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ นั่นคือพิกัดเส้นตรงซึ่งแตกต่างจากพิกัดจุด หากในตัวอักษร, และถูกกำหนดให้เป็นตัวแปร และ , และถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่ สมการจะกลายเป็นสมการของเซตของเส้นตรงในปริภูมิของเส้นตรงทั้งหมดในระนาบ ในทางเรขาคณิต มันแสดงถึงเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดและอาจตีความได้ว่าเป็นสมการของจุดในพิกัดเส้นตรง ในทำนองเดียวกัน ระนาบในปริภูมิ 3 มิติอาจกำหนดเซตของพิกัดเอกพันธุ์สี่ตัว และอื่นๆ สำหรับมิติที่สูงกว่า^{[ 13 ]}${\displaystyle sx+ty+uz=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (s,t,u)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (s,t,u)}$${\displaystyle sx+ty+uz=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle (x,y,z)}$

ความสัมพันธ์เดียวกันอาจถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตรงหรือสมการของจุด โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีความแตกต่างกันทั้งในเชิงพีชคณิตหรือเชิงตรรกะระหว่างพิกัดเอกพันธุ์ของจุดและเส้นตรง ดังนั้นเรขาคณิตระนาบที่มีจุดเป็นองค์ประกอบพื้นฐานและเรขาคณิตระนาบที่มีเส้นตรงเป็นองค์ประกอบพื้นฐานจึงเทียบเท่ากัน ยกเว้นการตีความ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของความเป็นคู่ในเรขาคณิตเชิงฉาย หลักการที่ว่าบทบาทของจุดและเส้นตรงสามารถสลับกันได้ในทฤษฎีบทในเรขาคณิตเชิงฉาย และผลลัพธ์ก็จะเป็นทฤษฎีบทเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีของจุดในปริภูมิ 3 มิติเชิงฉายเป็นคู่กันกับทฤษฎีของระนาบในปริภูมิ 3 มิติเชิงฉาย และอื่นๆ สำหรับมิติที่สูงกว่า^{[ 14 ]}${\displaystyle sx+ty+uz=0}$

การกำหนดพิกัดให้กับเส้นในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากดูเหมือนว่าต้องใช้พิกัดทั้งหมด 8 พิกัด ซึ่งอาจเป็นพิกัดของจุดสองจุดที่อยู่บนเส้น หรือระนาบสองระนาบที่ตัดกับเส้นนั้น วิธีการที่มีประโยชน์ ซึ่งคิดค้นโดยJulius Plückerได้สร้างชุดพิกัดหกพิกัดเป็นดีเทอร์มิแนนต์ จากพิกัดเอกพันธุ์ของจุดสองจุดที่อยู่บนเส้นการฝังตัวของ Plückerเป็นการขยายความของวิธีนี้เพื่อสร้างพิกัดเอกพันธุ์ขององค์ประกอบในมิติใดๆในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติ^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}(1\leq i<j\leq 4)}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

รูปแบบเอกพันธุ์สำหรับสมการของวงกลมในระนาบโปรเจคทีฟจริงหรือเชิงซ้อนคือ จุดตัดของเส้นโค้งนี้กับเส้นตรงที่อนันต์สามารถหาได้โดยการตั้งค่า ซึ่ง จะทำให้เกิดสมการ ที่มีสองคำตอบเหนือจำนวนเชิงซ้อน ทำให้เกิดจุดที่มีพิกัดเอกพันธุ์และในระนาบโปรเจคทีฟเชิงซ้อน จุดเหล่านี้เรียกว่าจุดวงกลมที่อนันต์และสามารถถือได้ว่าเป็นจุดตัดร่วมของวงกลมทั้งหมด สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่เส้นโค้งลำดับที่สูงกว่าเป็นเส้นโค้งพีชคณิตวงกลมได้^{[ 17 ]}${\displaystyle x^{2}+y^{2}+2axz+2byz+cz^{2}=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$${\displaystyle (1,i,0)}$${\displaystyle (1,-i,0)}$

เช่นเดียวกับการเลือกแกนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ การเลือกใช้ระบบพิกัดเอกพันธุ์เพียงระบบเดียวจากระบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็ค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจเช่นกัน ดังนั้น การทราบความสัมพันธ์ระหว่างระบบต่างๆ จึงเป็นสิ่งที่มีประโยชน์

ให้)เป็นพิกัดเอกพันธุ์ของจุดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ เมทริกซ์คง ที่ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ ไม่เป็นศูนย์ กำหนดระบบพิกัดใหม่โดยสมการ การคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลลัพธ์เป็นการคูณด้วยสเกลาร์เดียวกัน และ, และไม่สามารถเป็นทั้งหมดได้เว้นแต่, และจะเป็นศูนย์ทั้งหมด เนื่องจากเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ดังนั้น จึงเป็นระบบพิกัดเอกพันธุ์ใหม่สำหรับจุดเดียวกันในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle (x,y,z}$$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle (X,Y,Z)}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,Y,Z)}$

สูตรดั้งเดิมของโมเบียสเกี่ยวกับพิกัดเอกพันธุ์ระบุตำแหน่งของจุดว่าเป็นศูนย์กลางมวล (หรือแบรีเซ็นเตอร์) ของระบบมวลจุดสามจุดที่วางอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมคงที่ จุดที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมจะถูกแทนด้วยมวลบวก และจุดที่อยู่นอกสามเหลี่ยมจะถูกแทนด้วยมวลลบ การคูณมวลในระบบด้วยสเกลาร์จะไม่ส่งผลต่อศูนย์กลางมวล ดังนั้นนี่จึงเป็นกรณีพิเศษของระบบพิกัดเอกพันธุ์

ให้, และเป็นเส้นตรงสามเส้นในระนาบ และกำหนดชุดพิกัด, และของจุด เป็นระยะทางแบบมีเครื่องหมายจากไปยังเส้นตรงทั้งสามนี้ พิกัดเหล่านี้เรียกว่าพิกัดสามมิติของ โดยอ้างอิงกับสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็นจุดตัดกันเป็นคู่ๆ ของเส้นตรงทั้งสาม กล่าวอย่างเคร่งครัด พิกัดเหล่านี้ไม่เป็นเอกพันธ์ เนื่องจากค่าของ, และถูกกำหนดอย่างแม่นยำ ไม่ใช่แค่สัดส่วน อย่างไรก็ตาม มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างพิกัดเหล่านี้ ดังนั้นพิกัดเหล่านี้สามารถทำให้เป็นเอกพันธ์ได้โดยการอนุญาตให้ค่าทวีคูณของ แทน จุดเดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว, และสามารถกำหนดให้เป็นค่าคงที่, และคูณด้วยระยะทางไปยัง, และส่งผลให้ได้ระบบพิกัดเอกพันธ์ที่แตกต่างกันโดยมีสามเหลี่ยมอ้างอิงเดียวกัน อันที่จริง นี่คือระบบพิกัดเอกพันธ์ประเภททั่วไปที่สุดสำหรับจุดในระนาบ หากไม่มีเส้นตรงใดเป็นเส้นตรงที่อนันต์^{[ 18 ]}${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

การสาธิตการแปลงเมทริกซ์พิกัดเอกพันธุ์ ปรับตัวเลขในเมทริกซ์เพื่อใช้การแปลงนั้นกับภาพ

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

พิกัดเอกพันธุ์เป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในกราฟิกคอมพิวเตอร์ เนื่องจากช่วยให้การดำเนินการเวกเตอร์ทั่วไป เช่นการเลื่อนการหมุน การปรับขนาดและการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ที่เวกเตอร์ถูกคูณได้ ตามกฎลูกโซ่ลำดับของการดำเนินการดังกล่าวสามารถคูณออกเป็นเมทริกซ์เดียวได้ ทำให้การประมวลผลง่ายและมีประสิทธิภาพ ในทางตรงกันข้าม การใช้พิกัดคาร์ทีเซียน การเลื่อนและการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟไม่สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์ได้ แม้ว่าการดำเนินการอื่นๆ จะทำได้ก็ตามการ์ดกราฟิกOpenGLและDirect3D สมัยใหม่ ใช้ประโยชน์จากพิกัดเอกพันธุ์เพื่อใช้งานvertex shaderอย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้โปรเซสเซอร์เวกเตอร์ที่มีรีจิสเตอร์ 4 องค์ประกอบ^{[ 19 ] [ 20 ]}

ตัวอย่างเช่น ในการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟ ตำแหน่งในอวกาศจะสัมพันธ์กับเส้นตรงจากตำแหน่งนั้นไปยังจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางการฉายภาพ จากนั้นจุดนั้นจะถูกแมปไปยังระนาบโดยการหาจุดตัดระหว่างระนาบนั้นกับเส้นตรง ซึ่งจะทำให้ได้ภาพที่ถูกต้องของวัตถุสามมิติที่ปรากฏต่อสายตา ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด จุดศูนย์กลางการฉายภาพคือจุดกำเนิด และจุดต่างๆ จะถูกแมปไปยังระนาบ โดยในขณะนี้จะใช้พิกัดคาร์ทีเซียน สำหรับจุดที่กำหนดในอวกาศจุดที่เส้นตรงและระนาบตัดกันคือเมื่อตัดพิกัดที่ไม่จำเป็นออกไป จะได้เป็นในพิกัดเอกพันธุ์ จุดจะถูกแทนด้วยและจุดที่มันแมปไปบนระนาบจะถูกแทนด้วยดังนั้นการฉายภาพสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้เป็น เมทริก ซ์ที่แทนการแปลงทางเรขาคณิตอื่นๆ สามารถรวมเข้ากับเมทริกซ์นี้และเมทริกซ์อื่นๆ ได้โดยการคูณเมทริกซ์ส่งผลให้การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟใดๆ ของอวกาศสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์เดียวได้^{[ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle z=1}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (x/z,y/z,1)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle (x/z,y/z)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (xw,yw,zw,w)}$${\displaystyle (xw,yw,zw)}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$$

• สติลเวลล์, จอห์น (2002). คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ของมัน . สปริงเกอร์. หน้า 134 เป็นต้นไป. ISBN 0-387-95336-1.

• โรเจอร์ส, เดวิด เอฟ. (1976). องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์สำหรับกราฟิกคอมพิวเตอร์ . แมคกรอว์ฮิลล์. ISBN 0070535272.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงฉาย (Projective geometry )

• Jules Bloomenthal และ Jon Rokne พิกัดเอกพันธุ์[1] เก็บถาวรเมื่อ 2021-02-26 ที่Wayback Machine
• ชิงกวงเสิน พิกัดเอกพันธุ์[2]
• Wolfram MathWorld