พิกัดเส้น

ในทางเรขาคณิตพิกัดเส้นใช้เพื่อระบุตำแหน่งของเส้นตรงเช่นเดียวกับที่พิกัดจุด (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าพิกัด ) ใช้เพื่อระบุตำแหน่งของจุดแนวคิดเรื่องพิกัดเส้นเป็นพื้นฐานสำคัญของเรขาคณิตเส้นตรงซึ่งเป็นแนวทางหนึ่งในเรขาคณิตที่ถือว่าเส้นตรงเป็นวัตถุพื้นฐานและแบ่งแยกไม่ได้ แทนที่จะเป็นจุด

เส้นในระนาบ

มีหลายวิธีในการระบุตำแหน่งของเส้นตรงในระนาบ วิธีที่ง่ายคือการใช้คู่ (m, b) โดย $สมการของเส้นตรงคือ y = mx + b ในที่นี้ m คือความชัน และ b คือจุดตัดแกน y ระบบนี้ใช้ระบุพิกัดสำหรับเส้นตรงทุกเส้นที่ไม่ใช่เส้นแนวตั้ง อย่างไรก็ตาม การใช้พิกัด (l, m)$ โดย $สม การ ของ เส้น ตรง$ คือ $lx$ + my = $1$ = 0 $นั้น$ เป็นที่นิยมและง่ายกว่าในทางพีชคณิต $ระบบ นี้ ใช้ ระบุ พิกัด$ สำหรับ $เส้น ตรง ทุก เส้น$ ยกเว้นเส้นที่ผ่านจุดกำเนิด ความหมายทางเรขาคณิตของ $l$ และ $m$ คือส่วนกลับเชิงลบของจุดตัดแกน $x$ และ แกน $y$ ตามลำดับ

การไม่รวมเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดสามารถแก้ไขได้โดยใช้ระบบพิกัดสามตัว $(l, m, n)$ เพื่อระบุเส้นตรงด้วยสมการ $lx + my + n = 0$ โดยที่ $l$ และ $m$ อาจไม่ใช่ 0 ทั้งคู่ ในสมการนี้ มีเพียงอัตราส่วนระหว่าง $l$ , $m$ และ $n$ เท่านั้น ที่มีความสำคัญ กล่าวคือ ถ้าพิกัดถูกคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ เส้นตรงที่แสดงจะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น $(l, m, n)$ จึง เป็นระบบพิกัดเอกพันธุ์สำหรับเส้นตรงนั้น

ถ้าจุดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงถูกแทนด้วยพิกัดเอกพันธุ์ $(x, y, z)$ สมการของเส้นตรงจะเป็น $lx + my + nz = 0$ โดยมีเงื่อนไขว่า $(l, m, n) \neq (0,0,0)$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิกัดเส้นตรง $(0, 0, 1)$ แทนเส้นตรง $z = 0$ ซึ่งเป็นเส้นตรงอนันต์ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟพิกัดเส้นตรง $(0, 1, 0)$ และ $(1, 0, 0)$ แทน แกน $x$ และ แกน $y$ ตามลำดับ

สมการสัมผัส

เช่นเดียวกับที่ $f (x, y) = 0$ สามารถแทนเส้นโค้งเป็นเซตย่อยของจุดบนระนาบได้ สมการ $φ(l, m) = 0$ ก็แทนเซตย่อยของเส้นตรงบนระนาบเช่นกัน เซตของเส้นตรงบนระนาบนั้น ในแง่นามธรรม อาจคิดได้ว่าเป็นเซตของจุดในระนาบเชิงฉาย ซึ่งเป็นระนาบคู่ขนานของระนาบเดิม ดังนั้น สมการ $φ(l, m) = 0$ จึงแทนเส้นโค้งในระนาบคู่ขนานนั้น

สำหรับเส้นโค้ง $f (x, y) = 0$ ในระนาบเส้นสัมผัสของเส้นโค้งนี้จะก่อให้เกิดเส้นโค้งในปริภูมิคู่ขนาน เรียกว่าเส้นโค้งคู่ขนานถ้า $φ(l, m) = 0$ คือสมการของเส้นโค้งคู่ขนาน สมการนี้จะเรียกว่าสมการสัมผัสของเส้นโค้งดั้งเดิม สมการ $φ(l, m) = 0$ ที่กำหนดให้ แทนเส้นโค้งในระนาบดั้งเดิม ซึ่งกำหนดเป็นเส้นโค้งห่อหุ้มของเส้นตรงที่สอดคล้องกับสมการนี้ ในทำนองเดียวกัน ถ้าφ $(l, m, n)$ เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ $φ(l, m, n) = 0$ จะแทนเส้นโค้งในปริภูมิคู่ขนานที่กำหนดในพิกัดเอกพันธุ์ และอาจเรียกว่า สมการสัมผัสเอกพันธุ์ของเส้นโค้งห่อหุ้ม

สมการสัมผัสมีประโยชน์ในการศึกษาเส้นโค้งที่กำหนดเป็นเส้นขอบ เช่นเดียวกับที่สมการคาร์ทีเซียนมีประโยชน์ในการศึกษาเส้นโค้งที่กำหนดเป็นตำแหน่ง

สมการสัมผัสของจุด

สมการเชิงเส้นในพิกัดเส้นตรงมีรูปแบบ $al + bm + c = 0$ โดยที่ $a$ , $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ สมมติว่า $(l, m)$ เป็นเส้นตรงที่สอดคล้องกับสมการนี้ ถ้า $c$ ไม่เป็น 0 แล้ว $lx + my + 1 = 0$ โดยที่ $x = a / c$ และ $y = b / c$ ดังนั้นทุกเส้นตรงที่สอดคล้องกับสมการดั้งเดิมจะผ่านจุด $(x, y)$ ในทางกลับกัน เส้นตรงใดๆ ที่ผ่าน จุด $(x, y)$ จะสอดคล้องกับสมการดั้งเดิม ดังนั้น $al + bm + c = 0$ คือสมการของเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(x, y)$ สำหรับจุด $(x, y)$ ที่กำหนด สมการของเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้นคือ $lx + my + 1 = 0$ ดังนั้นจึงอาจนิยามสมการนี้ได้ว่าเป็นสมการสัมผัสของจุดนั้น ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุด $(x, y, z)$ ที่กำหนดในพิกัดเอกพันธุ์ สมการของจุดในพิกัดสัมผัสเอกพันธุ์คือ $lx + my + nz =$ 0

สูตร

จุดตัดของเส้นตรง $(l 1, m 1)$ และ $(l 2, m 2)$ คือคำตอบของสมการเชิงเส้น

${\begin{aligned}l_{1}x+m_{1}y+1&=0,\\l_{2}x+m_{2}y+1&=0.\end{aligned}}$

ตามกฎของเครเมอร์คำตอบคือ

$x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\quad y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.$

เส้นตรง $(l 1, m 1)$ , $(l 2, m 2)$ และ $(l 3, m 3)$ ตัดกันที่จุดเดียวกันเมื่อดีเทอร์มิแนนต์

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

สำหรับพิกัดเอกพันธุ์ จุดตัดของเส้นตรง $(l 1, m 1, n 1)$ และ $(l 2, m 2, n 2)$ คือผลคูณเวกเตอร์ :

$(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\ l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\ l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).$

เส้นตรง $(l 1, m 1, n 1)$ , $(l 2, m 2, n 2)$ และ $(l 3, m 3, n 3)$ ตัดกันที่จุดเดียวกันเมื่อดีเทอร์มิแนนต์

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.$

ในทำนองเดียวกัน พิกัดของเส้นตรงที่ประกอบด้วย $(x 1, y 1, z 1)$ และ $(x 2, y 2, z 2)$ สามารถหาได้โดยใช้ผลคูณเวกเตอร์: $(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$

เส้นในพื้นที่สามมิติ

สำหรับจุดสองจุดที่กำหนดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง ( $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $,$ $z$ $1$ $)$ และ $($ $x$ $2$ $,$ $y$ $2$ $,$ $z$ $2$ $)$ ดีเทอร์มิแนนต์ทั้ง $สาม$

$y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ \ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ \ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\ \$

จงหาเส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟที่บรรจุจุดเหล่านั้น

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุดสองจุดใน⁠ ⁠ $\mathbb {RP} ^{3},$ $(x 1, y 1, z 1, w 1)$ และ $(x 2, y 2, z 2, w 2)$ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองนั้นจะถูกกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหกตัว

${\begin{aligned}&x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},&&x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\\&x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},&&y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\\&y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},&&z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.\end{aligned}}$

นี่คือพื้นฐานสำหรับระบบพิกัดเส้นตรงเอกพันธุ์ในปริภูมิสามมิติที่เรียกว่าพิกัดพลูเกอร์ (Plücker coordinates ) ตัวเลขหกตัวในชุดพิกัดจะแทนเส้นตรงได้ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามสมการเพิ่มเติม ระบบนี้แปลงปริภูมิของเส้นตรงในปริภูมิสามมิติไปสู่ปริภูมิเชิงฉาย (projective space ) แต่ $\mathbb {RP} ^{5},$ มีข้อกำหนดเพิ่มเติมคือ ปริภูมิของเส้นตรงต้องสอดคล้องกับควอดริกไคลน์ (Klein quadric ) ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์มิติสี่

โดยทั่วไปแล้ว เส้นใน ปริภูมิเชิงฉาย $n$ มิติ จะถูกกำหนดโดยระบบ พิกัดเอกพันธุ์ $n (n - 1)/2$ ที่สอดคล้องกับชุด เงื่อนไข $(n - 2)(n - 3)/2$ ส่งผลให้เกิดแมนิโฟลด์ที่มีมิติ $2 n -$ 2

ด้วยจำนวนเชิงซ้อน

Isaak Yaglomได้แสดงให้เห็น^{[ 1 ]}ว่าจำนวนคู่ให้พิกัดสำหรับเส้นตรงที่มีทิศทางในระนาบยุคลิดและจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนสร้างพิกัดเส้นตรงสำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิก พิกัดขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดกำเนิดและเส้นอ้างอิงบนระนาบนั้น จากนั้น เมื่อกำหนดเส้นตรงใดๆ พิกัดของเส้นตรงนั้นจะพบได้จากจุดตัดกับเส้นอ้างอิง โดยใช้ ระยะทาง $s$ จากจุดกำเนิดถึงจุดตัดและมุมเอียง $θ ระหว่างเส้นตรงทั้งสอง$

$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (1+s\epsilon )$ คือเลขคู่^{[ 1 ]}^{: 81}สำหรับเส้นยูคลิด และ
$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (\cosh s+j\sinh s)$ คือจำนวนเชิงซ้อนแบบ แยก ^{[ 1 ]}^{: 118}สำหรับเส้นในระนาบ Lobachevski

เนื่องจากมีเส้นตรงที่ขนานกับเส้นอ้างอิงในระนาบโลบาเชฟสกีอย่างมาก เส้นเหล่านั้นจึงจำเป็นต้องมีพิกัดด้วย กล่าวคือ มีเส้นตั้งฉากร่วม เพียงเส้นเดียว สมมติว่า $s$ คือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงเส้นตั้งฉากนี้ และ $d$ คือความยาวของส่วนของเส้นตรงระหว่างเส้นอ้างอิงกับเส้นที่กำหนดให้

$z=\tanh \!{\bigl (}{\tfrac {d}{2}}{\bigr )}\ (\sinh s+j\cosh s)$ หมายถึงเส้นขนานพิเศษ^{[ 1 ]}^{: 118}

การเคลื่อนที่ของเรขาคณิตเส้นจะถูกอธิบายด้วยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นบนระนาบเชิงซ้อนที่เหมาะสม^{[ 1 ]}^{: 87, 123}

ดูเพิ่มเติม

[ 1 ]