ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลุ่มเส้น ( line complex)คือเซตของเส้นที่สามารถระบุได้ด้วยรายการสม การพหุนามเอกพันธุ์ ( homogeneous polynomial equations) กล่าวคือ เป็น วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟของเส้น (projective variety of lines)

คอมเพล็กซ์เส้นตรงเชิงเส้นถูกกำหนดโดยรายการของพหุนามดีกรี 1 คอมเพล็กซ์เส้นตรงกำลังสองถูกกำหนดโดยรายการของพหุนามดีกรี 2 ในทำนองเดียวกันสำหรับกำลังสาม กำลังสี่ กำลังห้า กำลังหก เป็นต้น

พวกเขาได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยJulius PlückerในNeue Geometrie des Raumes (1868) บุคคลสำคัญอื่นๆ ได้แก่Felix Klein , Sophus Lie , Arthur Cayley , William HamiltonและAlfred Clebsch

โดยใช้เทคนิคมาตรฐานในเรขาคณิตเชิงฉายเส้นตรงในปริภูมิ 3 มิติจะถูกยกขึ้นไปยังระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิ 4 มิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิของเส้นตรงในถูกยกขึ้นไปยังปริภูมิของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดในซึ่งก็คือ กราสส์มันน์ (Grassmannian ) จากนั้นจึงฝังลงในปริภูมิเชิงฉายผ่านผลคูณภายนอก (exterior product) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle G(2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$

โปรดทราบว่าในระหว่างการฝังเชิงโปรเจคทีฟ เราจะได้เส้นที่ไม่ existent นั่นคือเส้นที่อนันต์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$คือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของไบเวกเตอร์ในโดยที่คือผลคูณภายนอกปริภูมินี้มีพิกัดเอกพันธุ์ ( พิกัดพลุคเกอร์ ) ตามธรรมเนียม ถ้าโดยที่เขียนแล้ว ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle [p_{12},p_{13},p_{14},p_{23},p_{24},p_{34}]}$${\displaystyle p_{ij}}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle p_{ij}:=-p_{ji}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$มี 5 มิติ และมี 4 มิติ ${\displaystyle G(2,4)}$

ระนาบในสามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์สองตัวที่ไม่ขนานกันจากนั้นจะถูกแมปไปยังด้วยพิกัดดังนั้นเราจึงได้การฝังตัวมันไม่ใช่ทั้งหมดแต่เป็นเพียงส่วนย่อยที่กำหนดโดยควอดริกของไคลน์กล่าวโดยย่อคือโปรดทราบว่านี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่ไม่สำคัญ เนื่องจากไบเวกเตอร์ทั่วไปไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle G(2,4)}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle [v\wedge w]}$${\displaystyle p_{ij}=v_{i}w_{j}-v_{j}w_{i}}$${\displaystyle p:G(2,4)\hookrightarrow \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$$${\displaystyle p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0}$$${\displaystyle p\wedge p=0}$${\displaystyle (e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4})}$

จากนี้ไปเราจะเขียนราวกับว่ามันเป็นเซตย่อยของโดยใช้การฝังตัว (embedding) ${\displaystyle G(2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$

โครงสร้างเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่าปริภูมิของเส้นในถูกยกขึ้นไปยัง จากนั้นฝังเป็นส่วนย่อยของเนื่องจากมีมิติ และมีมิติ จึงควรเป็นไปได้ที่จะเขียนมันเป็นการตัดกันของไฮเปอร์เซอร์เฟซ อย่างไรก็ตามคือการตัดกันของสมการ: ดังนั้น สมการเหล่านี้จะต้องขึ้นอยู่ซึ่งกันและกันเมื่อนี่เรียกว่า sygyzy${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G(2,n+1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1}$${\displaystyle G(2,n+1)}$${\displaystyle 2(n-2)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)}$${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)}$$${\displaystyle Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)}$$${\displaystyle n\geq 5}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อพื้นที่นั้นเป็นซับสเปซที่มีมิติร่วม 3 ของ ซึ่งกำหนดโดยการตัดกันของสมการ 5 สมการ ดังนั้นจึงมีความซ้ำซ้อน 2 ประการ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสมการเมทริกซ์: ในซับสเปซของโดยที่syzygie เชิงเส้นสองตัวแสดงให้เห็นว่า ถ้าแล้วเงื่อนไขอีกสองข้อจะได้รับการตอบสนองโดยอัตโนมัติ นี่คือความซ้ำซ้อน ${\displaystyle n=5}$${\displaystyle G(2,5)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad {\begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$${\displaystyle p_{12}=1}$$${\displaystyle Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}}$$${\displaystyle Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0}$

พื้นผิวแบบเส้นตรงในคือเส้นโค้งในควอดริกของไคลน์พื้นผิวแบบเส้นตรงเป็นคอมเพล็กซ์เส้นตรงเมื่อมันเป็นจุดตัดของคอมเพล็กซ์เส้นตรง 3 คอมเพล็กซ์ โดยแต่ละคอมเพล็กซ์ถูกกำหนดโดยพหุนามเอกพันธุ์เดี่ยวบน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle G(2,4)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$

โดยทั่วไป พื้นผิวที่ลากเส้นตามระนาบ (ruled surface) คือกลุ่มของเส้นตรงที่มีพารามิเตอร์ 1 ตัว ส่วนความสอดคล้องของเส้นตรง (congruence of lines) คือกลุ่มของเส้นตรงที่มีพารามิเตอร์ 2 ตัว ตัวอย่างเฉพาะอย่างหนึ่งคือเซตของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับพื้นผิวที่กำหนดทฤษฎีบทของ Malus–Dupinแสดงให้เห็นว่าทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตรักษาความสอดคล้องเชิงตั้งฉากไว้ได้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

คอมเพล็กซ์เส้นตรงเชิงเส้นคือจุดตัดของกับระนาบหลายมิติหนึ่งหรือมากกว่าในซึ่งจะถูกกำหนดโดยสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันคือปริภูมิของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดซึ่งทำให้2-ฟอร์มในเท่ากับศูนย์ ${\displaystyle G(2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$

ตัวอย่างเช่นกำหนดปริภูมิของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดซึ่งทำให้เท่ากับ 0 มีระนาบดังกล่าวอยู่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นปริภูมิ 3 มิติของเส้นตรงใน(รวมถึงเส้นตรงที่อนันต์) ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดโดยการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นตรง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เส้นตรงเหล่านี้เป็นเส้นสัมผัสกับโครงสร้างสัมผัส ทรงกระบอก บน: นั่นคือ พวกมันเป็นซับแมนิโฟลด์เลอจองเดรียนเชิง เส้น${\displaystyle p_{12}+p_{34}=0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \omega :=dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}}$${\displaystyle \infty ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle v_{2}w_{1}-v_{1}w_{2}+w_{3}=0}$${\displaystyle \{v+tw:t\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle dz-xdy+ydx=dz-r^{2}d\theta }$$

โดยทั่วไปแล้วนิยามของปริภูมิระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดซึ่งทำให้เท่ากับ 0 มีระนาบดังกล่าวอยู่ รูปแบบนี้เรียกว่ารูปแบบเชิงซิมเพล็กติกระนาบเหล่านี้เรียกว่าระนาบไอโซโทรปิก ของ${\displaystyle p_{12}+\dots +p_{2n-1,2n}=0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \omega :=dx_{1}\wedge dx_{2}+\dots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}}$${\displaystyle \infty ^{2n-5}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

การแปลงเชิงเส้นใดๆ ของจะเหนี่ยวนำให้เกิดการแปลงของที่รักษาค่า ไว้ถ้าการแปลงนั้นรักษาค่า ไว้ด้วย แล้ว การแปลงนั้นจะเป็นการ แปลงเชิงซิมเพล็กติก ตามแนวคิดของโครงการเออร์ลังเงนเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกศึกษาค่าคงที่ของการแปลงเชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle G(2,n+1)}$${\displaystyle \omega }$

การแปลงซิมเพล็กติกประกอบเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มซิมเพล็กติกกลุ่มนี้กระทำต่อ โดยแยกออกเป็น 2 วงโคจร: วงโคจรหนึ่งสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ และอีกวงโคจรหนึ่งสำหรับ 0 นอกจากนี้ยังกระทำต่อ โดยแยกออกเป็น 2 วงโคจร: วงโคจรหนึ่งสำหรับระนาบไอโซโทรปิก และอีกวงโคจรหนึ่งสำหรับระนาบซิมเพล็กติก โดยทั่วไปแล้ว การแปลงเชิงโปรเจกทีฟใดๆ บนที่รักษาคอมเพล็กซ์เส้นตรงที่กำหนดโดย ไว้จะเป็นการแปลงซิมเพล็กติก นี่คือเหตุผลที่ Lie มักเรียกกลุ่มซิมเพล็กติกว่า "กลุ่มเชิงโปรเจกทีฟของคอมเพล็กซ์เส้นตรง" ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G(2,n+1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \omega }$

รูปแบบ 2-ฟอร์มอาจเป็นแบบไม่เสื่อมสภาพหรือเสื่อมสภาพก็ได้ ฟอร์มซิมเพล็กติกเป็นแบบไม่เสื่อมสภาพ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

ในกรณีเสื่อมสภาพ เคอร์เนลของมันคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติคู่ที่ไม่เป็นศูนย์: ซึ่งฉายไปยังระนาบมิติคี่ใน ${\displaystyle \ker \sigma :=\{v\in \mathbb {R} ^{n+1}|\sigma (v,\cdot )=0\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n+1})}$

ฟอร์ม 2 มิติที่เสื่อมสภาพแต่ไม่เป็นศูนย์บนมีเคอร์เนล 2 มิติ ซึ่งฉายภาพไปยังเส้นตรงในพลูเกอร์เรียกคอมเพล็กซ์เส้นตรงเชิงเส้นที่นิยามโดยฟอร์มพิเศษ ที่เสื่อมสภาพ และแกนของมันว่า ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ker \sigma }$

กำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้น บน. คอมเพล็กซ์เส้นเชิงเส้นสองชุดที่กำหนดโดยปริภูมิย่อยเชิงเส้นสองชุดจะอยู่ในภาวะผกผันหรืออยู่ในขั้วไคลน์ถ้าเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากเมื่อ เทียบกับ${\displaystyle B(p,q):=\sum _{i<j}p_{ij}q_{ij}}$${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V,W\subset \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V,W}$${\displaystyle B}$

เส้นดินสอระนาบ คือเซตของเส้นทั้งหมดที่ผ่าน จุดหนึ่งในระนาบสองมิติ โดยเส้นดินสอระนาบนี้จะถูกฝังอยู่ในเส้นตรงใน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$

โดยทั่วไปแล้ว เซตของเส้นทั้งหมดที่ผ่านจุดนี้ภายในk - flatจะถูกฝังลงใน(k-1) -flat ใน ${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$

เมื่อกำหนดระนาบ 2 มิติแล้ว เซตของเส้นตรงทั้งหมดในระนาบนั้นจะถูกแจงนับโดยกลุ่มเส้นตรงของแต่ละจุดบนเส้นตรง ระนาบนี้ถูกฝังลงในระนาบ 2 มิติใน ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มเส้นตรงระนาบของจุดที่อนันต์ ในทำนองเดียวกันสำหรับแต่ละจะมีกลุ่มเส้นตรงระนาบในแต่ละเส้นตรงในกลุ่มเส้นตรงของสอดคล้องกับกลุ่มเส้นตรงที่จุดใน ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p(F)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$${\displaystyle p(l)\in p(F)}$${\displaystyle p(F)}$${\displaystyle p(l)}$${\displaystyle l\subset F}$

โดยทั่วไปแล้ว เซตของเส้นทั้งหมดภายในk -flat จะถูกฝังลงใน(2k-2) -flat ใน ${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$

โดยทั่วไป เซตของเส้นตรงทั้งหมดที่สอดคล้องกับข้อจำกัดเชิงเส้นจำนวนหนึ่ง เรียกว่า กลุ่มเส้นตรงเชิงเส้น (linear line complex)

ในที่นี้ข้อจำกัดเชิงเส้นประกอบด้วย การผ่านจุด การตัดเส้นตรง และการขนานกับระนาบ เซตของเส้นตรงทั้งหมดที่ตัดกับเส้นตรง 2 เส้นและขนานกับระนาบ (ในตำแหน่งทั่วไป ) คือพื้นผิวแบบกฎคู่ที่กำหนดโดยการตัดกันของกลุ่มเส้นตรงเชิงเส้น 3 กลุ่ม โดยทั่วไปแล้ว เซตของเส้นตรงทั้งหมดที่ตรงตามข้อจำกัดเชิงเส้น 3 ข้อ คือระนาบปกติที่กำหนดโดยการตัดกันของกลุ่มเส้นตรงเชิงเส้น 3 กลุ่ม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ยังมีตัวอย่างที่แปลกใหม่กว่านี้อีก ตัวอย่างเช่น กลุ่มเส้นเลอจองเดรียนที่กล่าวถึงข้างต้นซึ่งกำหนดโดยเป็นกลุ่มเส้นตรง ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นข้อจำกัดเชิงเส้นของ ${\displaystyle p_{12}+p_{34}=0}$${\displaystyle dz-xdy+ydx}$

กลุ่มเส้นกำลังสองได้มาจากการตัดกับพื้นผิวกำลังสองใน ในพิกัดเอกพันธุ์ กลุ่มเส้นเหล่านี้มีรูปแบบโดยที่เป็น เมทริก ซ์ สมมาตร${\displaystyle G(2,n+1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$${\displaystyle p^{T}Mp}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)\times {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$

ในกรณีของคอมเพล็กซ์เส้นกำลังสองทั่วไปจะถูกกำหนดโดยรูปแบบกำลังสองบนโมดูลัสของควอดริกไคลน์ ส่งผลให้มีพารามิเตอร์ 19 ตัว โดยทั่วไปพารามิเตอร์ นั้นจำเป็น ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle {\binom {{\tfrac {1}{2}}n(n+1)}{2}}-{\binom {n+1}{4}}-1}$

โดยทั่วไป เซตของเส้นตรงทั้งหมดที่สอดคล้องกับข้อจำกัดเชิงเส้นจำนวนหนึ่ง และข้อจำกัดเชิงกำลังสองอย่างน้อยหนึ่งข้อ เรียกว่า คอมเพล็กซ์เส้นตรงเชิงกำลังสอง ตัวอย่างใน: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• ตัดกับภาคตัดกรวย
• เส้นสัมผัสกับพื้นผิวกำลังสองโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นที่อยู่ห่างจากจุดคงที่ (เช่น เส้นสัมผัสกับทรงกลม) และเส้นที่อยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่ (เช่น เส้นสัมผัสกับทรงกระบอก)
• ขนานกับเส้นตรงในกรวยกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพ (กล่าวคือ กรวยที่มีหน้าตัดเป็นภาคตัดกรวย) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นตรงทั้งหมดที่ทำมุมคงที่กับระนาบ (กล่าวคือ ขนานกับเส้นตรงในกรวยวงกลม) หรือเทียบเท่ากับเส้นตรงทั้งหมดที่ทำมุมเฉียงคงที่กับเส้นตรง
• กำหนดให้มีพื้นผิวกำลังสองสองพื้นผิวและจำนวนจริงจำนวน หนึ่ง เส้นตรงที่ตัดกับพื้นผิวทั้งสองที่ 4 จุด ซึ่งมีอัตราส่วนไขว้เท่ากับ จะก่อให้เกิดกลุ่มเส้นตรงกำลังสอง กลุ่มเส้นตรงนี้เรียกว่ากลุ่มฮาร์มอนิก${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

การตัดกันของข้อจำกัดเชิงเส้น/กำลังสอง 3 ข้อในตำแหน่งทั่วไปจะสร้างพื้นผิวแบบเส้นตรง ตัวอย่างเช่น พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ของเส้นโค้งเกลียวเกิดจากการตัดกันของข้อจำกัด 3 ข้อ ได้แก่ การสัมผัสกับทรงกระบอก การทำมุมคงที่กับระนาบ และการอยู่ในกลุ่มเส้นตรงเลอจองเดรียน ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มเส้นตรงกำลังสอง

ในกรณีพิเศษที่พื้นผิวกำลังสองสองพื้นผิวเสื่อมสภาพกลายเป็นระนาบ 4 ระนาบ เส้นตรงที่ตัดระนาบทั้ง 4 ที่จุด 4 จุดซึ่งมีอัตราส่วนไขว้เท่ากับจำนวนคงที่ จะก่อให้เกิดกลุ่มเส้นตรงกำลังสอง นี่คือกลุ่มทรงสี่หน้าซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกลุ่มฮาร์มอนิก

ทฤษฎีบทของฟอน สเตาด์ท : เมื่อกำหนดเส้นตรงที่ อยู่ในตำแหน่งทั่วไปโดยมีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดและหน้าของจุดยอดเหล่านั้นอัตราส่วนไขว้ของระนาบทั้ง 4 จะเท่ากับอัตราส่วนไขว้ของจุดทั้ง4 ${\displaystyle l}$${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle abcd}$${\displaystyle [lA,lB,lC,lD]}$${\displaystyle [l\cap a,l\cap b,l\cap c,l\cap d]}$

สำหรับคอมเพล็กซ์กำลังสองและคอมเพล็กซ์เชิงเส้นใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป จุดตัดของคอมเพล็กซ์ทั้งสองจะอยู่ในคอมเพล็กซ์ทรงสี่หน้า

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มเส้นกำลังสองที่กำหนดโดยสมการกำลัง สองเดี่ยว จะมี 3 มิติ ดังนั้นผ่านแต่ละจุดในกลุ่มเส้นนั้น จะมีกลุ่มเส้นตรง 1 มิติทั้งหมดที่กวาดเป็นรูปกรวยกำลังสอง ซึ่งสามารถสร้างได้โดยการตัดกันของข้อจำกัดกำลังสองกับข้อจำกัดเชิงเส้นของ "การผ่านไปยังจุดหนึ่ง" ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

อย่างไรก็ตาม มีชุดจุด 2 มิติที่ทำให้สิ่งนี้ล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ณ จุดเหล่านี้ กรวยกำลังสองจะเสื่อมสภาพกลายเป็นระนาบแบนสองระนาบ จุดเหล่านี้คือจุดเอกฐานของกลุ่มเส้นกำลังสอง เซตของจุดเหล่านี้คือพื้นผิวเอกฐานพื้นผิวเอกฐานนี้คือพื้นผิวของคุมเมอร์มันเป็นพื้นผิวกำลังสี่แต่ละเส้นตัดกับพื้นผิวที่ 4 จุด และผ่านแต่ละเส้นจะมีระนาบสัมผัสกับพื้นผิว 4 ระนาบ มันมีจุดเอกฐาน ("โหนด") 16 จุด และระนาบเอกฐาน ("โทรป") 16 ระนาบ ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับพื้นผิวกำลังสี่ มีโหนด 6 โหนดอยู่ในแต่ละโทรปทั้ง 16 ระนาบ และมีโทรป 6 ระนาบที่ผ่านแต่ละโหนดทั้ง 16 โหนด

ในทำนองเดียวกัน ระนาบแต่ละระนาบจะตัดกับกลุ่มเส้นกำลังสองที่กลุ่มเส้นกำลังสองมิติหนึ่ง โดยทั่วไป เส้นเหล่านี้จะกวาดพื้นที่ภาคตัดกรวยเป็นพื้นผิวห่อหุ้มอย่างไรก็ตามมีระนาบสองมิติชุดหนึ่งที่หลักการนี้ใช้ไม่ได้ ระนาบเหล่านี้คือระนาบเอกฐาน พื้นผิวห่อหุ้มของระนาบเหล่านี้ก็คือพื้นผิวเอกฐานเดียวกันอีกครั้ง ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

มีกลุ่มของคอมเพล็กซ์กำลังสองจำนวนอนันต์ในมิติเดียวที่มีพื้นผิวเอกฐานเดียวกัน คอมเพล็กซ์เหล่านี้เรียกว่าคอมเพล็กซ์โคซิงกูลาร์

พื้นผิวแบบเส้นตรงเป็นตระกูลของเส้นที่มีพารามิเตอร์ 1 ตัวสามารถหาได้จากการตัดกันของข้อจำกัด 3 ข้อในตำแหน่งทั่วไป ความผิดปกติ ที่มีเสถียรภาพเชิงโครงสร้าง เพียงอย่างเดียว ที่สามารถปรากฏในพื้นผิวแบบเส้นตรงได้คือ cross-cap ซึ่งมีลักษณะคล้ายร่ม Whitney ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ความสอดคล้องของเส้นตรงคือตระกูลพารามิเตอร์ 2 ตัวในและได้มาจากการตัดกันของข้อจำกัด 2 ข้อในตำแหน่งทั่วไป โดยทั่วไปแล้ว ที่แต่ละจุดใน จะ มีเส้นตรงที่สอดคล้องกัน ผ่านเพียง เส้นเดียว และที่แต่ละระนาบใน จะมีเส้นตรงที่สอดคล้อง กันผ่านเพียง เส้นเดียว ความสอดคล้องดังกล่าวเรียกว่ามีความสอดคล้องอันดับและชั้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดตัดของคอมเพล็กซ์กำลังสองกับคอมเพล็กซ์เชิงเส้นคือความสอดคล้องที่มีอันดับ 2 และชั้น 2

เมื่อจูเลียส พลุคเกอร์เสียชีวิต ผลงานNeue Geometrie des Raumes ของเขา ได้รับการเขียนต่อจนเสร็จสมบูรณ์โดยเฟลิกซ์ ไคลน์ ลูกศิษย์ของเขาในปี 1868 ไคลน์ใช้ทฤษฎีอินแวเรียนต์ที่เขาเรียนรู้มาจากอัลเฟรด เคล็บช์

ไคลน์และลีศึกษาคอมเพล็กซ์เส้น โดยเฉพาะคอมเพล็กซ์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า กลุ่มของการแปลงเชิงโปรเจคทีฟทั้งหมดที่ทำให้ จุดยอดทั้ง 4 ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามีเสถียรภาพคือ กลุ่มลีแบบอาเบเลียน 3 มิติสำหรับจุดสองจุดใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไปกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จะมีค่า ที่ไม่ซ้ำกันเพียงค่าเดียวซึ่งทำให้ คอมเพล็กซ์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละอันได้มาจากการโคจรของเส้นตรงเส้นเดียวภายใต้การกระทำของ ${\displaystyle G}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g(x)=y}$${\displaystyle G}$

ลีถามไคลน์ว่ามีเส้นโค้งใดบ้างที่ถ้าแมปบางค่าไปยังบางค่าแล้วเส้นโค้งนั้นจะแมปเส้นสัมผัสไปยังเส้นสัมผัสด้วยไคลน์ค้นพบว่ามีเส้นโค้งที่เสถียรโดยกลุ่มย่อย 1 มิติของเขาเรียกเส้นโค้งเหล่านี้ว่าเส้นโค้ง Wเนื่องจากเส้นโค้งถูกแปลความหมายโดยพื้นฐานจากการกระทำของกลุ่ม จึงจำเป็นต้องแมปเส้นสัมผัสไปยังเส้นสัมผัส นี่เป็นการประยุกต์ใช้พีชคณิตลีในยุคก่อนประวัติศาสตร์ของทฤษฎีกลุ่มลี การตรวจสอบคอมเพล็กซ์เชิงเส้นดังกล่าวยังเป็นแรงบันดาลใจให้ไคลน์เสนอโปรแกรมเออร์ลังเงน^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle x\in \gamma }$${\displaystyle g(x)\in \gamma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle T_{x}\gamma }$${\displaystyle T_{g(x)}\gamma }$${\displaystyle G}$

งานของพวกเขาในเรขาคณิตเส้นได้รับการสานต่อโดยCorrado Segreซึ่งงานของเขา รวมถึงการจำแนกประเภทของคอมเพล็กซ์เส้นกำลังสอง เป็นรากฐานของโรงเรียนเรขาคณิตพีชคณิตของอิตาลี^{[ 4 ]}