ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตโลบาเชฟสกีหรือเรขาคณิตโบไล - โลบาเชฟสกี ) เป็นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดยจะแทนที่ สัจพจน์เส้นขนานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ด้วย:

สำหรับเส้นตรงR ใดๆ และจุดPที่ไม่ได้อยู่บน เส้นตรง Rนั้น ในระนาบที่ประกอบด้วยทั้งเส้นตรงRและจุดPจะมีเส้นตรงที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองเส้นที่ลากผ่านจุดPและไม่ตัดกับเส้นตรงR

(เปรียบเทียบข้างต้นกับสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ ซึ่ง เป็นสัจพจน์เส้นขนานของยูคลิด ใน รูปแบบสมัยใหม่)

ระนาบไฮเปอร์โบลิกเป็นระนาบที่ทุกจุดเป็นจุดอานม้า เรขาคณิตของ ระนาบไฮเปอร์โบลิกยังเป็นเรขาคณิตของพื้นผิวทรงกลมเทียม ซึ่งเป็นพื้นผิวที่มี ความโค้งเกาส์เซียนเป็นลบคงที่พื้นผิวอานม้ามีความโค้งเกาส์เซียนเป็นลบอย่างน้อยในบางบริเวณ ซึ่งในบริเวณนั้น จะ มีลักษณะคล้ายกับระนาบไฮเปอร์โบลิก

แบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกแสดงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอนาคตหนึ่งหน่วยเวลาในปริภูมิมีนคอฟสกีซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยแต่ละเหตุการณ์จะสอดคล้องกับความเร็วในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง

เมื่อนักเรขาคณิตตระหนักเป็นครั้งแรกว่าพวกเขากำลังทำงานกับสิ่งที่แตกต่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิดมาตรฐาน พวกเขาจึงอธิบายเรขาคณิตของพวกเขาภายใต้ชื่อต่างๆ มากมาย ในที่สุด เฟลิกซ์ ไคลน์ก็ตั้งชื่อศาสตร์นี้ว่าเรขาคณิตไฮ เปอร์โบลิก เพื่อรวมมันไว้ในลำดับที่ปัจจุบันไม่ค่อยได้ใช้แล้ว ได้แก่เรขาคณิตวงรี ( เรขาคณิตทรงกลม ) เรขาคณิตพาราโบลิก ( เรขาคณิตแบบยุคลิด ) และเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ในอดีตสหภาพโซเวียตมักเรียกกันว่า เรขาคณิตโลบาเชฟสกี ซึ่งตั้งชื่อตามหนึ่งในผู้ค้นพบ คือนิโคไล โลบาเชฟสกีนัก เรขาคณิตชาวรัสเซีย

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับเรขาคณิตยูคลิดมากกว่าที่คิดความแตกต่างเชิงสัจพจน์ เพียงอย่างเดียวคือ สัจพจน์เส้นขนานเมื่อตัดสัจพจน์เส้นขนานออกจากเรขาคณิตยูคลิด เรขาคณิตที่ได้จะเป็นเรขาคณิตสัมบูรณ์เรขาคณิตสัมบูรณ์มีสองประเภท คือ ยูคลิดและไฮเปอร์โบลิก ทฤษฎีบททั้งหมดของเรขาคณิตสัมบูรณ์ รวมถึงข้อเสนอ 28 ข้อแรกในหนังสือเล่มแรกของElementsของยูคลิด ล้วนใช้ได้ในเรขาคณิตยูคลิดและไฮเปอร์โบลิก ข้อเสนอที่ 27 และ 28 ในหนังสือเล่มแรกของElements ของยูคลิด พิสูจน์การมีอยู่ของเส้นขนาน/เส้นที่ไม่ตัดกัน

ความแตกต่างนี้ส่งผลกระทบหลายประการ กล่าวคือ แนวคิดที่เทียบเท่ากันในเรขาคณิตแบบยุคลิดจะไม่เทียบเท่ากันในเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก จำเป็นต้องมีการแนะนำแนวคิดใหม่ นอกจากนี้ เนื่องจากมุมขนานเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกจึงมีมาตราส่วนสัมบูรณ์ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการวัดระยะทางและมุม

เส้นตรงเดี่ยวในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีคุณสมบัติเหมือนกับเส้นตรงเดี่ยวในเรขาคณิตยูคลิดทุกประการ ตัวอย่างเช่น จุดสองจุดสามารถกำหนดเส้นตรงได้อย่างเฉพาะเจาะจง และส่วนของเส้นตรงสามารถต่อขยายออกไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันในเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันจะตัดกันได้ไม่เกินหนึ่งจุด เส้นตรงที่ตัดกันจะก่อให้เกิดมุมตรงข้ามที่เท่ากัน และมุมประชิดของเส้นตรงที่ตัดกันจะมีผลรวมเท่ากับ 180องศา

เมื่อมีการเพิ่มเส้นที่สามเข้ามา คุณสมบัติของเส้นตัดกันอาจแตกต่างจากเส้นตัดกันในเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเส้นตัดกันสองเส้น จะมีเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นใดเส้นหนึ่งเป็นจำนวนอนันต์

คุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมดเป็นอิสระจากแบบจำลองที่ใช้ แม้ว่าเส้นกราฟอาจดูแตกต่างกันอย่างมากก็ตาม

เส้นที่ไม่ตัดกันในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีคุณสมบัติที่แตกต่างจากเส้นที่ไม่ตัดกันในเรขาคณิตยุคลิด เช่นกัน :

สำหรับเส้นตรงR ใดๆ และจุดP ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง Rในระนาบที่ประกอบด้วยเส้นตรงRและจุดPจะมีเส้นตรงที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองเส้นที่ลากผ่านจุดPและไม่ตัดกับเส้นตรงR

นั่นหมายความว่ามีเส้นตรงที่อยู่บนระนาบเดียวกันจำนวนอนันต์เส้นที่ผ่านจุดP ซึ่งไม่ตัดกับจุดR

เส้นที่ไม่ตัดกันเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองประเภท:

• เส้นสองเส้น ( xและyในแผนภาพ) เป็นเส้นขนานจำกัด (บางครั้งเรียกว่าเส้นขนานวิกฤต เส้นขนานแนวนอน หรือเส้นขนานธรรมดา): มีเส้นหนึ่งอยู่ในทิศทางของจุดในอุดมคติแต่ละจุดที่ "ปลาย" ของR ซึ่งเข้าใกล้ Rอย่างไม่สิ้นสุด เข้าใกล้R มากขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่เคยบรรจบกัน
• เส้นอื่นๆ ที่ไม่ตัดกันทั้งหมดจะมีจุดที่มีระยะห่างน้อยที่สุดและแยกออกจากกันจากทั้งสองด้านของจุดนั้น และเรียกว่าเส้นขนานยิ่งยวดเส้นขนานที่แยกออกจากกันหรือบางครั้ง เรียกว่า เส้นไม่ตัดกัน

นักเรขาคณิตบางคนใช้คำว่า " เส้นขนาน " ในความหมายว่า " เส้นขนาน จำกัด " และ เส้นขนาน ยิ่งยวดหมายถึงเส้นที่ไม่ตัดกัน

เส้นขนานที่จำกัดเหล่า นี้ทำมุมθกับPBโดยมุมนี้ขึ้นอยู่กับความโค้งเกาส์ของระนาบและระยะทางPB เท่านั้น และเรียกว่ามุมขนาน

สำหรับเส้นขนานยิ่งยวดทฤษฎีบทเส้นขนานยิ่งยวดกล่าวว่า มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวในระนาบไฮเปอร์โบลิกที่ตั้งฉากกับเส้นขนานยิ่งยวดแต่ละคู่

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีrจะมากกว่า. ${\displaystyle 2\pi r}$

ให้โดยที่คือความโค้งเกาส์ของระนาบ ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีค่าเป็นลบ ดังนั้นรากที่สองจึงเป็นจำนวนบวก ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ดังนั้น เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีrจะเท่ากับ:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

และพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบนั้นคือ:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

ดังนั้น ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อรัศมีจึงมากกว่า 1 เสมอแม้ว่าจะสามารถทำให้ใกล้เคียงกันมากเท่าใดก็ได้โดยการเลือกวงกลมที่มีขนาดเล็กพอ ${\displaystyle 2\pi }$

ถ้าความโค้งเกาส์เซียนของระนาบคือ −1 แล้วความโค้งจีโอเดสิกของวงกลมที่มีรัศมีr คือ: ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ไม่มีเส้นตรงใดที่จุดทุกจุดอยู่ห่างจากเส้นตรงอื่นเป็นระยะทางเท่ากัน แต่จุดที่อยู่ห่างจากเส้นตรงที่กำหนดให้ในระยะทางเท่ากันนั้นจะอยู่บนเส้นโค้งที่เรียกว่าไฮเปอร์ไซเคิล

เส้นโค้งพิเศษอีกเส้นหนึ่งคือเส้นโค้งโฮโรไซเคิลซึ่ง รัศมี ปกติ ( เส้น ตั้งฉาก ) ของเส้นโค้งนี้ล้วนขนานกันแบบจำกัด (ทั้งหมดลู่เข้าสู่ จุดอุดมคติเดียวกันในทิศทางเดียว ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของเส้นโค้งโฮโรไซเคิล)

จะมีวงกลมโฮโรไซเคิลสองวงพาดผ่านจุดทุกคู่ จุดศูนย์กลางของวงกลมโฮโรไซเคิลทั้งสองคือจุดในอุดมคติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดทั้งสองนั้น

เมื่อกำหนดจุดสามจุดที่แตกต่างกัน จุดเหล่านั้นจะอยู่บนเส้นตรง ไฮเปอร์ไซเคิลโฮโรไซเคิลหรือวงกลม

ความยาวของส่วนของเส้นตรง คือความยาวที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุด

ความยาวส่วนโค้งของไฮเปอร์ไซเคิลที่เชื่อมต่อจุดสองจุดนั้นยาวกว่าความยาวส่วนโค้งของเส้นตรง และสั้นกว่าความยาวส่วนโค้งของโฮโรไซเคิลที่เชื่อมต่อจุดสองจุดเดียวกันนั้น

ความยาวของส่วนโค้งของโฮโรไซเคิลทั้งสองที่เชื่อมต่อจุดสองจุดนั้นเท่ากัน และยาวกว่าความยาวส่วนโค้งของไฮเปอร์ไซเคิลใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดทั้งสอง และสั้นกว่าความยาวส่วนโค้งของวงกลมใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดสองจุด

ถ้าความโค้งเกาส์เซียนของระนาบคือ −1 ความโค้งจีโอ เดสิก ของโฮโรไซเคิลจะเป็น 1 และความโค้งจีโอเดสิกของไฮเปอร์ไซเคิลจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ^{[ 1 ]}

ต่างจากสามเหลี่ยมยุคลิดที่มุมทุกมุมรวมกันได้ π เรเดียน (180° ซึ่งเป็นมุมตรง ) ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า π เรเดียน (180°) เสมอ ความแตกต่างนี้เรียกว่า ข้อบกพร่องโดยทั่วไป ข้อบกพร่องของรูปหลายเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกนูนที่มีด้านยาวเท่ากับผลรวมของมุมลบด้วยจำนวนด้าน ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$

พื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกจะคำนวณจากค่าเบี่ยงเบนในหน่วยเรเดียนคูณด้วยR²ซึ่งเป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกนูนทั้งหมดด้วย^{[ 2 ] ดังนั้นสามเหลี่ยมไฮ เปอร์โบลิกทั้งหมดจะมีพื้นที่น้อยกว่า หรือ}เท่ากับR²πพื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกในอุดมคติซึ่งมุมทั้งสามเป็น 0° จะเท่ากับค่าสูงสุดนี้

เช่นเดียวกับในเรขาคณิตแบบยุคลิดสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกแต่ละรูปจะมีวงกลมแนบใน ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ถ้าจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมอยู่บนโฮโรไซเคิลหรือไฮเปอร์ไซเคิลสามเหลี่ยมนั้นจะไม่มีวงกลมล้อมรอบ

เช่นเดียวกับในเรขาคณิตทรงกลมและ เรขาคณิตวงรี ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะต้องเท่ากันทุกประการ

รูปหลายเหลี่ยมพิเศษในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ได้แก่ รูปหลายเหลี่ยมปกติรูปหลายเหลี่ยม เสมือน และรูปหลายเหลี่ยมเสมือน ที่มีจำนวนด้านอนันต์

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดวิธีเดียวที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวได้ คือการทำให้ความยาวด้านเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งจะทำให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นไม่สามารถแยกแยะได้จากวงกลม หรือทำให้มุมภายในเข้าใกล้ 180° ซึ่งจะทำให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นเข้าใกล้เส้นตรง

อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก รูปอะพีโรกอนปกติหรือรูปซูโดกอนจะมีด้านยาวเท่าใดก็ได้ (กล่าวคือ ยังคงเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านที่เห็นได้ชัด)

เส้นแบ่งครึ่งด้านและมุมจะเป็นเส้นขนานจำกัดหรือเส้นขนานแยกออกจากกัน ขึ้นอยู่กับความยาวด้านและมุมระหว่างด้าน หากเส้นแบ่งครึ่งเป็นเส้นขนานจำกัด แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า และสามารถวาดวงกลม ศูนย์กลางเดียวกันล้อมรอบและวาดภายในรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า ได้

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุมแยกออกจากกันขนานกัน แสดงว่าเป็นรูปเหลี่ยมเทียม และสามารถวาดวงกลมหลายมิติ ล้อมรอบและแนบในได้ (เนื่องจากจุดยอดทุกจุดอยู่ห่างจากเส้นตรงแกนในระยะทางเท่ากัน และจุดกึ่งกลางของด้านต่างๆ ก็อยู่ห่างจากแกนในระยะทางเท่ากันเช่นกัน)

เช่นเดียวกับระนาบยุคลิด ก็สามารถปูระนาบไฮเปอร์โบลิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ ได้ เช่นกัน

มีการปูพื้นแบบสม่ำเสมอจำนวนอนันต์โดยอิงจากสามเหลี่ยม Schwarz ( p q r ) โดยที่ 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 โดยที่p , q , rคือลำดับของสมมาตรการสะท้อนที่จุดสามจุดของสามเหลี่ยมโดเมนพื้นฐานกลุ่มสมมาตรคือกลุ่มสามเหลี่ยม ไฮเปอร์โบลิก นอกจากนี้ยังมีการปูพื้นแบบสม่ำเสมอจำนวนอนันต์ที่ไม่สามารถสร้างจากสามเหลี่ยม Schwarz ได้ บางแบบต้องใช้รูปสี่เหลี่ยมเป็นโดเมนพื้นฐาน^{[ 3 ]}

แม้ว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจะใช้ได้กับพื้นผิวใดๆ ที่มีความโค้งเกาส์ เซียนเป็นลบคงที่ แต่โดยทั่วไปมักจะสมมติมาตราส่วนที่ความโค้งKมีค่าเท่ากับ −1

ส่งผลให้สูตรบางสูตรมีความเรียบง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น:

• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับค่าเบี่ยงเบนของมุมในหน่วยเรเดียน
• พื้นที่ของภาคส่วนโฮโรไซคลิกเท่ากับความยาวของส่วนโค้งโฮโรไซคลิกนั้น
• ส่วนโค้งของโฮโรไซเคิลที่เส้นตรงซึ่งสัมผัสที่จุดปลายด้านหนึ่งจะขนานกับรัศมีที่ผ่านจุดปลายอีกด้านหนึ่งจะมีขนาดเท่ากับ 1 ^{[ 4 ]}
• อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งระหว่างรัศมีสองรัศมีของวงกลม ศูนย์กลางสองวง ที่วงกลมทั้งสองอยู่ห่างกันเป็นระยะ 1 คือe : 1 ^{[ 4 ]}

เมื่อเปรียบเทียบกับเรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกมีปัญหามากมายสำหรับระบบพิกัด เช่น ผลรวมของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมมักน้อยกว่า 360 องศา ไม่มีเส้นตรงที่อยู่ห่างกันอย่างเท่าๆ กัน ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแท้จะต้องถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรงสองเส้นและไฮเปอร์ไซเคิลสองอัน การเคลื่อนย้ายส่วนของเส้นตรงขนานไปรอบๆ รูปสี่เหลี่ยมจะทำให้รูปสี่เหลี่ยมหมุนเมื่อกลับมายังจุดกำเนิด เป็นต้น

อย่างไรก็ตาม มีระบบพิกัดที่แตกต่างกันสำหรับเรขาคณิตระนาบไฮเปอร์โบลิก ทุกระบบล้วนมีพื้นฐานมาจากการเลือกจุดหนึ่ง (จุดกำเนิด) บนเส้นตรงที่กำหนดทิศทาง ( แกน x ) และหลังจากนั้นก็มีตัวเลือกมากมายให้เลือกใช้

พิกัดโลบาเชฟสกีxและyหาได้จากการลากเส้นตั้งฉากลงบนแกนx โดยที่ xคือพิกัดของจุดปลายเส้นตั้งฉาก และyคือระยะทางตามแนวเส้นตั้งฉากจากจุดปลายเส้นตั้งฉากไปยังจุดที่กำหนด (เป็นบวกด้านหนึ่งและเป็นลบอีกด้านหนึ่ง)

ระบบพิกัดอีกระบบหนึ่งจะวัดระยะทางจากจุดไปยังโฮโรไซเคิลโดยผ่านจุดกำเนิดที่อยู่ตรงกลางและความยาวตามโฮโรไซเคิลนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle (0,+\infty )}$

ระบบพิกัดอื่นๆ ใช้แบบจำลองไคลน์หรือแบบจำลองดิสก์ปวงกาเรที่อธิบายไว้ด้านล่าง และถือว่าพิกัดยุคลิดเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก

ระบบพิกัดคล้ายคาร์ทีเซียน ( x, y ) บนระนาบไฮเปอร์โบลิกที่มีทิศทางถูกสร้างขึ้นดังนี้ เลือกเส้นตรงในระนาบไฮเปอร์โบลิกพร้อมกับทิศทางและจุดกำเนิดoบนเส้นตรงนั้น จากนั้น:

• พิกัดxของจุด คือระยะทางที่มีเครื่องหมายของการฉายภาพของจุดนั้นลงบนเส้นตรง (จุดปลายของส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงจากจุดนั้น) ไปยังจุดกำเนิด
• พิกัดyคือระยะทาง ที่มีเครื่องหมาย จากจุดไปยังเส้น โดยเครื่องหมายจะขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นอยู่ด้านบวกหรือด้านลบของเส้นที่กำหนดทิศทางไว้

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่แสดงด้วย ( x_i, y_i ), i=1,2ในระบบพิกัดนี้คือ $${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

สูตรนี้สามารถได้มาจากสูตรเกี่ยวกับสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก

ฟิลด์เทนเซอร์เมตริกที่สอดคล้องกันคือ: . ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

ใน ระบบ พิกัดนี้ เส้นตรงจะมีรูป แบบใดรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้ (( x , y ) คือจุดบนเส้นตรง; x₀ _, y₀ _, Aและαคือพารามิเตอร์):

ขนานกับแกน x อย่างมาก

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

ขนานเชิงอะซิมโทติกทางด้านลบ

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

ขนานเชิงอะซิมโทติกทางด้านบวก

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

ตัดกันในแนวตั้งฉาก

${\displaystyle x=x_{0}}$

ตัดกันเป็นมุมα

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

โดยทั่วไป สมการเหล่านี้จะใช้ได้เฉพาะในโดเมน (ของ ค่า x ) ที่จำกัดเท่านั้น ที่ขอบของโดเมนนั้น ค่าของyจะพุ่งสูงขึ้นไปถึง ±อนันต์

นับตั้งแต่การตีพิมพ์หนังสือElementsของยูคลิดราว 300 ปีก่อนคริสตกาลนักเรขาคณิต หลายคน พยายามพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานบางคนพยายามพิสูจน์โดยการสมมติการปฏิเสธและพยายามหาข้อขัดแย้ง บุคคลสำคัญในกลุ่มนี้ได้แก่โพรค ลัส อิบ นุอัล-ฮัยธัม (อัลฮาเซน) โอมาร์ คัยยัม [ ^{6 ] นาซี} ร์อัล-ดิน อัล-ตูซีวิเทโล เกอร์โซนิเดส อัล ฟอนโซและต่อมาโจ วันนี เกโรลาโม ซัคเครี จอห์นวอลลิสโยฮันน์ ไฮน์ริช แลมเบิร์ตและเลอฌองเดร [ ^{7 ] ความ} พยายามของพวกเขาต้องล้มเหลว (ดังที่เราทราบกันในปัจจุบันว่า สัจพจน์เส้นขนานไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์อื่นๆ) แต่ความพยายามของพวกเขานำไปสู่การค้นพบเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

ทฤษฎีบทของอัลฮาเซน, คัยยัม และอัล-ตูซีเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมอิบนุ อัล-ฮัยธัม-แลมเบิร์ตและรูปสี่เหลี่ยมคัยยัม-ซัคเครีเป็นทฤษฎีบทแรกในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ผลงานของพวกเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาในหมู่นักเรขาคณิตชาวยุโรปรุ่นหลัง รวมถึงวิเทโล, เกอร์โซนิเดส, อัลฟอนโซ, จอห์น วอลลิส และซัคเครี^{[ 8 ]}

ในศตวรรษที่ 18 โยฮันน์ ไฮน์ริช แลมเบิร์ตได้แนะนำฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก^{[ 9 ]}และคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก^{[ 10 ]}

ในศตวรรษที่ 19 เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้รับการสำรวจอย่างกว้างขวางโดยNikolai Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich GaussและFranz Taurinusแตกต่างจากผู้มาก่อนหน้าซึ่งต้องการเพียงแค่กำจัดสมมติฐานเส้นขนานออกจากสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิด ผู้เขียนเหล่านี้ตระหนักว่าพวกเขาได้ค้นพบเรขาคณิตรูปแบบใหม่^{[ 11 ] [ 12 ]}

เกาส์เขียนในจดหมายถึงฟรานซ์ ทอรีนัสในปี พ.ศ. 2467 ว่าเขาได้สร้างมันขึ้นมา แต่เกาส์ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานของเขา เกาส์เรียกมันว่า " เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด " ^{[ 13 ]}ทำให้ผู้เขียนสมัยใหม่หลายคนยังคงพิจารณาว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด" และ "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" เป็นคำพ้องความหมาย ทอรีนัสตีพิมพ์ผลลัพธ์เกี่ยวกับตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิกในปี พ.ศ. 2469 โต้แย้งว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องในตัวเอง แต่ยังคงเชื่อในบทบาทพิเศษของเรขาคณิตยุคลิด ระบบเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ได้รับการตีพิมพ์โดยโลบาเชฟสกีในปี พ.ศ. 2462/2473 ในขณะที่โบลยาอิค้นพบมันอย่างอิสระและตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2475

ในปี ค.ศ. 1868 ยูจีนิโอ เบลตรามีได้นำเสนอแบบจำลองของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก และใช้แบบจำลองนี้เพื่อพิสูจน์ว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องก็ต่อเมื่อเรขาคณิตยุคลิดมีความ สอดคล้องเท่านั้น

คำว่า "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" ได้รับการแนะนำโดยเฟลิกซ์ ไคลน์ในปี พ.ศ. 2414 ^{[ 14 ]}ไคลน์ได้ปฏิบัติตามความคิดริเริ่มของอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ในการใช้การแปลงของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟเพื่อสร้างไอโซเมตรีแนวคิดนี้ใช้ภาคตัดกรวยหรือควอดริกเพื่อกำหนดพื้นที่ และใช้อัตราส่วนไขว้เพื่อกำหนดเมตริกการแปลงเชิงโปรเจกทีฟที่ทำให้ภาคตัดกรวยหรือควอดริกมีเสถียรภาพคือไอโซเมตรี "ไคลน์แสดงให้เห็นว่าถ้าค่าสัมบูรณ์ของเคย์ลีย์เป็นเส้นโค้งจริงแล้ว ส่วนของระนาบเชิงโปรเจกทีฟภายในนั้นจะสมมาตรกับระนาบไฮเปอร์โบลิก..." ^{[ 15 ]}

การค้นพบเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมี ผลกระทบ ทางปรัชญา ที่สำคัญ ก่อนการค้นพบนี้ นักปรัชญาหลายคน (เช่นฮอบส์และสปิโนซา ) มองความเข้มงวดทางปรัชญาในแง่ของ "วิธีการทางเรขาคณิต" ซึ่งหมายถึงวิธีการให้เหตุผลที่ใช้ในตำรา Elementsของยูคลิด

คานท์ในหนังสือวิจารณ์เหตุผลบริสุทธิ์สรุปว่าพื้นที่ (ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ) และเวลาไม่ได้ถูกค้นพบโดยมนุษย์ในฐานะคุณลักษณะที่เป็นปรนัยของโลก แต่เป็นส่วนหนึ่งของกรอบระบบที่หลีกเลี่ยงไม่ได้สำหรับการจัดระเบียบประสบการณ์ของเรา^{[ 16 ]}

กล่าวกันว่าเกาส์ไม่ได้ตีพิมพ์อะไรเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเลยเพราะกลัว "ความวุ่นวายของชาวโบโอเทียน " (ซึ่งชาวเอเธนส์โบราณมองว่าเป็นคนโง่^{[ 17 ]} ) ซึ่งจะทำลายสถานะของเขาในฐานะprinceps mathematicorum (ภาษาละติน แปลว่า "เจ้าชายแห่งนักคณิตศาสตร์") ^{[ 18 ]} "ความวุ่นวายของชาวโบโอเทียน" เกิดขึ้นและผ่านพ้นไป และเป็นแรงผลักดันให้เกิดการปรับปรุงครั้งใหญ่ในด้านความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ปรัชญาเชิงวิเคราะห์และตรรกศาสตร์ในที่สุดเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกก็ได้รับการพิสูจน์ว่าสอดคล้องกันและจึงเป็นเรขาคณิตที่ถูกต้องอีกรูปแบบหนึ่ง

เนื่องจากเรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก และเรขาคณิตแบบวงรี ล้วนมีความสอดคล้องกัน คำถามจึงเกิดขึ้นว่า เรขาคณิตที่แท้จริงของอวกาศคืออะไร และถ้าเป็นเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกหรือแบบวงรี ความโค้งของมันคืออะไร?

โลบาเชฟสกีเคยพยายามวัดความโค้งของจักรวาลโดยการวัดพารัลแลกซ์ของดาวซิริอุสและถือว่าดาวซิริอุสเป็นจุดในอุดมคติของมุมขนานเขาตระหนักว่าการวัดของเขาไม่แม่นยำเพียงพอที่จะให้คำตอบที่แน่นอน แต่เขาก็ได้ข้อสรุปว่าหากเรขาคณิตของจักรวาลเป็นแบบไฮเปอร์โบลิกความยาวสัมบูรณ์จะมีค่าอย่างน้อยหนึ่งล้านเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางวงโคจรของโลก (2,000,000 AU  , 10 พาร์เซก ) [ ^{19 ] บาง}คน โต้แย้งว่าการวัดของเขามีข้อบกพร่องทางระเบียบวิธี^{[ 20 ]}

อองรี ปวงกาเรด้วยการทดลองทางความคิดเรื่องโลกทรงกลม ของเขา ได้ข้อสรุปว่า ประสบการณ์ในชีวิตประจำวันไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ของรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ออกไปเสมอไป

ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตให้รายการความเป็นไปได้แปดประการสำหรับรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของอวกาศของเรา ปัญหาในการพิจารณาว่าข้อใดใช้ได้คือ เพื่อให้ได้คำตอบที่ชัดเจน เราจำเป็นต้องสามารถพิจารณารูปทรงขนาดใหญ่มาก ซึ่งใหญ่กว่าสิ่งใดๆ บนโลกหรืออาจจะในกาแล็กซีของเราด้วยซ้ำ^{[ 21 ]}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษวางพื้นที่และเวลาไว้บนพื้นฐานที่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงพิจารณาเรขาคณิตของปริภูมิเวลา ที่เป็นหนึ่งเดียว แทนที่จะพิจารณาพื้นที่และเวลาแยกจากกัน^{[ 22 ] [ 23 ]}เรขาคณิตของมินคอฟสกีแทนที่เรขาคณิตของกาลิเลียน (ซึ่งเป็นปริภูมิยุคลิด 3 มิติที่มีเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพของกาลิเลียน ) ^{[ 24 ]}

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แทนที่จะใช้เรขาคณิตแบบยุคลิด วงรี และไฮเปอร์โบลิก เรขาคณิตที่เหมาะสมที่จะพิจารณาคือปริภูมิMinkowski ปริภูมิ de Sitterและปริภูมิ anti-de Sitter ^{[ 25 ] [ 26 ]}ซึ่งสอดคล้องกับความโค้งเป็นศูนย์ เป็นบวก และเป็นลบ ตามลำดับ

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเข้าสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษผ่านทางความเร็วซึ่งใช้แทนความเร็วและแสดงโดยมุมไฮเปอร์โบลิกการศึกษาเรขาคณิตความเร็วนี้เรียกว่าเรขาคณิตจลนพลศาสตร์พื้นที่ของความเร็วสัมพัทธภาพมีเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามมิติ โดยที่ฟังก์ชันระยะทางถูกกำหนดจากความเร็วสัมพัทธ์ของจุด (ความเร็ว) ที่ "อยู่ใกล้กัน" ^{[ 27 ]}

ในปริภูมิยูคลิด มีทรงกลมเสมือน หลายแบบ ที่มีพื้นที่จำกัดและมีค่าความโค้งเกาส์เซียนเป็นลบคงที่

ตามทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ตเราไม่สามารถฝังระนาบไฮเปอร์โบลิกสมบูรณ์ (พื้นผิวปกติสมบูรณ์ที่มีความโค้งเกาส์เซียน ลบคงที่ ) ลงในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ ได้อย่างสมมาตร

แบบจำลอง ทางเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ที่มีประโยชน์อื่นๆยังมีอยู่ในปริภูมิยูคลิด ซึ่งเมตริกไม่ได้รับการรักษาไว้ แบบจำลองกระดาษที่เป็นที่รู้จักกันดีเป็นพิเศษซึ่งอิงตามทรงกลมเทียมนั้นเป็นผลงานของวิลเลียม เธอร์สตัน

ศิลปะการถักโครเชต์ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยการสาธิตครั้งแรกดังกล่าวทำโดยDaina Taimiņa ^{[ 28 ]}

ในปี 2000 Keith Henderson ได้สาธิตแบบจำลองกระดาษที่ทำได้อย่างรวดเร็วซึ่งเรียกว่า " ลูกฟุตบอลไฮเปอร์โบลิก " (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือการปูพื้นสามเหลี่ยมลำดับที่ 7 ที่ถูกตัดทอน ) ^{[ 29 ] [ 30 ]}

คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการทำผ้าห่มไฮเปอร์โบลิกที่ออกแบบโดย^Helaman Ferguson [ ^{31 ]}ได้รับการเผยแพร่โดยJeff Weeks ^{[ 32 ]}

พื้นผิว ทรงกลมเทียมต่างๆ– พื้นผิวที่มีความโค้งเกาส์เซียนเป็นลบคงที่ – สามารถฝังลงในพื้นที่ 3 มิติภายใต้เมตริกแบบยุคลิดมาตรฐานได้ และสามารถสร้างเป็นแบบจำลองที่จับต้องได้ ในบรรดาพื้นผิวเหล่านี้แทรกทอยด์ (หรือทรงกลมเทียม) เป็นที่รู้จักกันดีที่สุด การใช้แทรกทอยด์เป็นแบบจำลองของระนาบไฮเปอร์โบลิกนั้นคล้ายคลึงกับการใช้กรวยหรือทรงกระบอกเป็นแบบจำลองของระนาบยุคลิด อย่างไรก็ตาม ระนาบไฮเปอร์โบลิกทั้งหมดไม่สามารถฝังลงในพื้นที่ยุคลิดด้วยวิธีนี้ได้ และแบบจำลองอื่นๆ อีกหลายแบบจึงสะดวกกว่าสำหรับการสำรวจเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกในเชิงนามธรรม

มีแบบจำลอง สี่แบบ ที่ใช้กันทั่วไปในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ได้แก่แบบจำลองไคลน์ แบบจำลองดิสก์ปวงกาเรแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเรและแบบจำลองลอเรนซ์หรือไฮเปอร์โบโลอิดแบบจำลองเหล่านี้กำหนดระนาบไฮเปอร์โบลิกซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก แม้จะมีชื่อคล้ายกัน แต่สามแบบแรกที่กล่าวถึงข้างต้นนั้นถูกนำเสนอเป็นแบบจำลองของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกโดยเบลตรามีไม่ใช่โดยปวงกาเรหรือไคลน์แบบจำลองทั้งหมดนี้สามารถขยายไปยังมิติที่มากขึ้นได้

แบบ จำลองเบลตรามี-ไคลน์ หรือที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองจานฉาย แบบจำลองจานไคลน์ และแบบจำลองไคลน์ตั้งชื่อตามยูจีนิโอ เบลตรามีและเฟลิกซ์ ไคลน์

สำหรับสองมิติ โมเดลนี้ใช้พื้นที่ภายในของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นระนาบ ไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ และคอร์ดของวงกลมนี้คือเส้นไฮเปอร์โบลิก

สำหรับมิติที่สูงกว่านี้ แบบจำลองนี้ใช้พื้นที่ภายในของทรงกลมหน่วยและคอร์ดของ ทรงกลม nมิตินี้คือเส้นไฮเปอร์โบลิก

• แบบจำลองนี้มีข้อดีคือเส้นตรง แต่ข้อเสียคือมุมบิดเบี้ยว (การแปลงไม่สอดคล้องกัน ) และวงกลมก็ไม่ได้แสดงเป็นวงกลมอย่างถูกต้อง
• ระยะทางในแบบจำลองนี้คือครึ่งหนึ่งของลอการิทึมของอัตราส่วนไขว้ ซึ่ง อาร์เธอร์ เคย์ลีย์ได้นำเสนอไว้ในเรขาคณิตเชิงฉาย

แบบจำลองดิสก์ของปวงกาเรหรือที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองดิสก์แบบคอนฟอร์มอล ก็ใช้พื้นที่ภายในของวงกลมหน่วย เช่นกัน แต่เส้นต่างๆ จะถูกแทนด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ตั้งฉากกับวงกลมขอบเขต บวกกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมขอบเขต

• แบบจำลองนี้รักษาค่ามุมไว้ ดังนั้นจึงเป็นแบบจำลองเชิงคอนฟอร์มัล การแปลง ไอโซเมตรีทั้งหมดภายในแบบจำลองนี้จึงเป็นการแปลงโมเบียส
• วงกลมที่อยู่ภายในวงกลมอย่างสมบูรณ์จะยังคงเป็นวงกลม แม้ว่าจุดศูนย์กลางแบบยุคลิดของวงกลมจะอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางของวงกลมมากกว่าจุดศูนย์กลางแบบไฮเปอร์โบลาของวงกลมก็ตาม
• วงกลมภายในแผ่นดิสก์ซึ่งสัมผัสกับวงกลมขอบเขตโดยลบจุดสัมผัสออกไป
• ไฮเปอร์ไซเคิลคือเส้นโค้งปลายเปิดและส่วนโค้งวงกลมภายในแผ่นดิสก์ที่สิ้นสุดบนวงกลมขอบเขตที่มุมที่ไม่ตั้งฉากกัน

แบบจำลองระนาบครึ่งของปวงกาเรใช้ระนาบยูคลิดครึ่งหนึ่งซึ่งถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรงBของระนาบนั้น เป็นแบบจำลองของระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยที่เส้นตรงB นั้น ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลองนี้

อาจถือได้ว่าระนาบยุคลิดเป็นระนาบที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยให้แกน x เป็นเส้นตรง Bและระนาบครึ่งคือครึ่งบน ( y > 0) ของระนาบนี้

• เส้นไฮเปอร์โบลิกจะเป็นครึ่งวงกลมที่ตั้งฉากกับBหรือเป็นรังสีที่ตั้งฉากกับBก็ได้
• ความยาวของช่วงบนรังสีนั้นกำหนดโดยการวัดแบบลอการิทึมดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบโฮโมเทติก${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• เช่นเดียวกับแบบจำลองจานปวงกาเร แบบจำลองนี้รักษาค่ามุมไว้ และจึงเป็นแบบคอนฟอร์มอล การแปลง ไอโซเมตรีทั้งหมดภายในแบบจำลองนี้จึงเป็นการแปลงโมเบียสของระนาบ
• แบบจำลองครึ่งระนาบเป็นขีดจำกัดของแบบจำลองดิสก์ของปวงกาเร ซึ่งมีขอบเขตสัมผัสกับจุดBที่จุดเดียวกัน ในขณะที่รัศมีของแบบจำลองดิสก์มีค่าเข้าสู่อนันต์

แบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิด หรือแบบจำลองลอเรนซ์ใช้ ไฮเปอร์โบโลอิดแบบ หมุน 2 มิติ (ของแผ่นสองแผ่น แต่ใช้แผ่นเดียว) ที่ฝังอยู่ใน ปริภูมิมินคอฟสกี 3 มิติ แบบ จำลองนี้โดยทั่วไปได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของปวงกาเร แต่เรย์โนลด์^{[ 33 ]}กล่าวว่าวิลเฮล์ม คิลลิงใช้แบบจำลองนี้ในปี พ.ศ. 2328

• แบบจำลองนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้โดยตรงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ เนื่องจากปริภูมิ 3 มิติของมินคอฟสกีเป็นแบบจำลองของปริภูมิเวลาโดยตัดมิติเชิงพื้นที่ออกไปหนึ่งมิติ เราสามารถใช้ไฮเปอร์โบโลอิดแทนเหตุการณ์ (ตำแหน่งในปริภูมิเวลา) ที่ ผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ อย่างเฉื่อย หลายคน ซึ่งเริ่มต้นจากเหตุการณ์ร่วมกัน จะไปถึงในเวลาที่กำหนดได้
• ระยะทางไฮเปอร์โบลิกระหว่างสองจุดบนไฮเปอร์โบโลอิดสามารถระบุได้ด้วยความเร็ว สัมพัทธ์ ระหว่างผู้สังเกตการณ์สองคนที่สอดคล้องกัน
• แบบจำลองนี้สามารถขยายไปสู่มิติเพิ่มเติมได้โดยตรง: เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามมิติในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติมีความสัมพันธ์กับปริภูมิมินคอฟสกี 4 มิติ

แบบจำลอง ซีกโลกนั้นไม่ค่อยถูกนำมาใช้เป็นแบบจำลองโดยตัวมันเอง แต่เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการแสดงภาพการเปลี่ยนแปลงระหว่างแบบจำลองอื่นๆ

แบบจำลองซีกทรงกลมใช้ครึ่งบนของทรงกลมหน่วย : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

เส้นไฮเปอร์โบลิกเป็นครึ่งวงกลมที่ตั้งฉากกับขอบเขตของซีกทรงกลม

แบบจำลองซีกทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมรีมันน์และการฉายภาพที่แตกต่างกันจะให้แบบจำลองที่แตกต่างกันของระนาบไฮเปอร์โบลิก:

• การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจาก ระนาบหนึ่งไปยังอีก ระนาบหนึ่ง จะฉายจุดที่สอดคล้องกันลงบนแบบจำลองดิสก์ของปวงกาเร${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$
• การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจาก พื้นผิวหนึ่งไปยังอีกพื้นผิวหนึ่ง จะฉายจุดที่สอดคล้องกันลงบนแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิด${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$
• การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจากระนาบหนึ่งไปยังอีก ระนาบหนึ่ง จะฉายจุดที่สอดคล้องกันลงบนแบบจำลองครึ่งระนาบของปวงกาเร${\displaystyle (-1,0,0)}$${\displaystyle x=1}$
• การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกบนระนาบ จะ ฉายจุดที่สอดคล้องกันลงบนแบบจำลอง Beltrami–Klein${\displaystyle z=C}$
• การฉายภาพจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมไปยังระนาบจะฉายจุดที่สอดคล้องกันบนแบบจำลอง Gans${\displaystyle z=1}$

แบบจำลองทั้งหมดอธิบายโครงสร้างเดียวกันโดยพื้นฐาน ความแตกต่างระหว่างแบบจำลองเหล่านั้นคือ แบบจำลองเหล่านั้นแสดงแผนภูมิพิกัด ที่แตกต่างกัน ซึ่งวางลงบนพื้นที่เมตริก เดียวกัน นั่นคือระนาบไฮเปอร์โบลิก คุณลักษณะเฉพาะของระนาบไฮเปอร์โบลิกเองก็คือ มีความโค้งเกาส์เซียนเชิง ลบคงที่ ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับแผนภูมิพิกัดที่ใช้ เส้นทางจีโอเดสิกก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน กล่าวคือ เส้นทางจีโอเดสิกจะถูกแปลงเป็นเส้นทางจีโอเดสิกภายใต้การแปลงพิกัด เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโดยทั่วไปจะถูกนำเสนอในแง่ของเส้นทางจีโอเดสิกและจุดตัดของเส้นทางเหล่านั้นบนระนาบไฮเปอร์โบลิก^{[ 34 ]}

เมื่อเราเลือกแผนภูมิพิกัด (หนึ่งใน "แบบจำลอง") แล้ว เราสามารถฝังมันลงในปริภูมิยูคลิดที่มีมิติเดียวกันได้เสมอ แต่การฝังนั้นจะไม่สมมาตรอย่างชัดเจน (เนื่องจากความโค้งของปริภูมิยูคลิดเป็น 0) ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามารถแสดงได้ด้วยแผนภูมิที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน แต่การฝังในปริภูมิยูคลิดโดยใช้แผนภูมิเฉพาะทั้งสี่นี้แสดงให้เห็นลักษณะที่น่าสนใจบางประการ

เนื่องจากแบบจำลองทั้งสี่แบบอธิบายปริภูมิเมตริกเดียวกัน ดังนั้นแต่ละแบบจึงสามารถแปลงไปเป็นอีกแบบหนึ่งได้

ดูตัวอย่างเช่น:

• ความสัมพันธ์ของแบบจำลอง Beltrami–Klein กับแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิด
• ความสัมพันธ์ของแบบจำลอง Beltrami–Klein กับแบบจำลองจาน Poincaré
• และความสัมพันธ์ของแบบจำลองดิสก์ปวงกาเรกับแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิด

ในปี พ.ศ. 2509 David Gans ได้เสนอแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดแบบแบนราบในวารสารAmerican Mathematical Monthly [ ^{35 ] ซึ่ง}เป็นการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกของแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดลงบนระนาบ xy แบบจำลองนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายเท่าแบบจำลองอื่นๆ แต่ก็มีประโยชน์มากในการทำความเข้าใจเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

• แตกต่างจากแบบจำลองของไคลน์หรือปวงกาเร แบบจำลองนี้ใช้ ระนาบยูคลิดทั้งหมด
• เส้นในแบบจำลองนี้แสดงเป็นกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลา^{[ 36 ]}

แบบจำลองสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบคอนฟอร์มอลของระนาบไฮเปอร์โบลิกเกิดขึ้นจากการใช้การแมป Schwarz–Christoffelเพื่อแปลงดิสก์ Poincaréให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 37 ]}แบบจำลองนี้มีขอบเขตจำกัดเช่นเดียวกับดิสก์ Poincaré อย่างไรก็ตาม จุดทั้งหมดอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส แบบจำลองนี้เป็นแบบคอนฟอร์มอล ซึ่งทำให้เหมาะสำหรับการใช้งานทางศิลปะ

แบบจำลองแถบใช้ส่วนหนึ่งของระนาบยุคลิดระหว่างเส้นขนานสองเส้น^{[ 38 ]}ระยะทางจะถูกรักษาไว้ตามเส้นหนึ่งที่ผ่านตรงกลางของแถบ สมมติว่าแถบกำหนดโดยเมตริกจะกำหนดโดย ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}}$${\displaystyle |dz|\sec(\operatorname {Im} z)}$

ไอโซเมตรี ( การแปลงหรือการเคลื่อนที่ ) ทุก รูปแบบ ของระนาบไฮเปอร์โบลิกไปยังตัวมันเอง สามารถสร้างขึ้นได้จากการประกอบกันของการสะท้อน อย่างมากที่สุดสามครั้ง ใน ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก nมิติ อาจต้องใช้การสะท้อนมากถึงn + 1 ครั้ง (สิ่งเหล่านี้ก็เป็นจริงสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดและทรงกลมเช่นกัน แต่การจัดประเภทด้านล่างจะแตกต่างกัน)

การแปลงไอโซเมตริกทั้งหมดของระนาบไฮเปอร์โบลิกสามารถจำแนกได้เป็นประเภทต่างๆ ดังนี้:

• การรักษาทิศทาง
  • สมมาตรเอกลักษณ์ – ไม่มีสิ่งใดเคลื่อนที่ การสะท้อนเป็นศูนย์ระดับความเป็นอิสระเป็น ศูนย์
  • การกลับด้านโดยผ่านจุด (การหมุนครึ่งรอบ) – การสะท้อนสองครั้งโดยเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกันที่ผ่านจุดที่กำหนด กล่าวคือ การหมุน 180 องศา รอบจุดนั้น มีองศาอิสระ สอง องศา
  • การหมุนรอบจุดปกติ – การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด (รวมถึงการกลับด้านเป็นกรณีพิเศษ); จุดเคลื่อนที่บนวงกลมรอบจุดศูนย์กลาง; สามองศาอิสระ
  • "การหมุน" รอบจุดอุดมคติ (horolation) – การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่นำไปสู่จุดอุดมคติ จุดต่างๆ เคลื่อนที่ไปตามวงกลมรอบจุดอุดมคติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดอุดมคติ มีอิสระสองระดับ
  • การแปลตามแนวเส้นตรง – การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด จุดที่อยู่นอกเส้นตรงที่กำหนดจะเคลื่อนที่ไปตามไฮเปอร์ไซเคิล มีอิสระในการเคลื่อนที่สามระดับ
• การกลับทิศทาง
  • การสะท้อนผ่านเส้นตรง – การสะท้อนหนึ่งครั้ง; สององศาอิสระ
  • การสะท้อนผ่านเส้นตรงและการเลื่อนไปตามเส้นตรงเดียวกัน – การสะท้อนและการเลื่อนสามารถสลับที่ได้ ต้องใช้การสะท้อนสามครั้ง มีอิสระสามระดับ

ภาพพิมพ์ที่มีชื่อเสียงของเอ็ม.อี. เอสเชอร์ เรื่องCircle Limit IIIและCircle Limit IV แสดงให้เห็นถึงแบบจำลองจานโค้ง ( แบบจำลองจานปวงกาเร ) ได้เป็นอย่างดี เส้นสีขาวในภาพ IIIไม่ใช่เส้นจีโอเดสิกโดยตรง (แต่เป็นไฮเปอร์ไซเคิล ) แต่ก็อยู่ใกล้เคียงกัน นอกจากนี้ยังสามารถมองเห็นความโค้ง เชิงลบ ของระนาบไฮเปอร์โบลิก ผ่านผลกระทบที่มีต่อผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมได้อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น ในCircle Limit IIIจุดยอดทุกจุดเป็นของสามเหลี่ยม 3 รูปและสี่เหลี่ยม 3 รูป ในระนาบยุคลิด มุมของจุดยอดเหล่านี้จะรวมกันได้ 450° นั่นคือ วงกลมหนึ่งวงกับอีกหนึ่งในสี่ส่วน จากนี้เราจะเห็นว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมในระนาบไฮเปอร์โบลิกต้องน้อยกว่า 180° คุณสมบัติที่เห็นได้ชัดอีกอย่างหนึ่งคือการเติบโตแบบเลขชี้กำลังในCircle Limit IIIตัวอย่างเช่น เราจะเห็นว่าจำนวนปลาที่อยู่ภายในระยะn จากจุดศูนย์กลางเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง ปลาแต่ละ ตัว มีพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกเท่ากัน ดังนั้นพื้นที่ของลูกบอลที่มีรัศมีnจะต้องเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังตามn

ศิลปะการถักโครเชต์ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงระนาบไฮเปอร์โบลิก (ดังภาพด้านบน) โดยชิ้นแรกทำโดยDaina Taimiņa [ ^{28 ]}ซึ่งหนังสือCrocheting Adventures with Hyperbolic Planes ของเธอ ได้รับ รางวัล Bookseller /Diagram Prize ประจำปี 2009 สำหรับ ^{ชื่อ เรื่อง ที่}แปลกที่สุดแห่งปี [ ^{39 ]}

HyperRogueเป็น เกม แนวโร้กไลค์ที่ดำเนินเรื่องบนระนาบไฮเปอร์โบลิกที่มีลักษณะการเรียงตัวแบบต่างๆ

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกไม่ได้จำกัดอยู่แค่ 2 มิติเท่านั้น เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีอยู่สำหรับจำนวนมิติที่มากกว่านั้นทุกจำนวน

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมิติnเป็นกรณีพิเศษของปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ชนิดไม่กระชับ เนื่องจากมีสมบัติสมมาตรกับปริภูมิผลหาร

${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).}$

กลุ่มออร์โธโกนอลO(1, n ) ทำงานโดยการแปลงที่รักษาค่าบรรทัดฐานบนปริภูมิ Minkowski R ^{1, n}และทำงานแบบทรานซิทีฟบนไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่นของเวกเตอร์บรรทัดฐาน 1 เส้นไทม์ไลค์ (เช่น เส้นที่มีเส้นสัมผัสบรรทัดฐานเป็นบวก) ที่ผ่านจุดกำเนิดจะผ่านจุดตรงข้ามในไฮเปอร์โบโลอิด ดังนั้นปริภูมิของเส้นดังกล่าวจึงให้แบบจำลองของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกnมิติตัวรักษาเสถียรภาพของเส้นใด ๆ จะสม isomorphic กับผลคูณของกลุ่มออร์โธโกนอล O( n ) และ O(1) โดยที่ O( n ) ทำงานบนปริภูมิเส้นสัมผัสของจุดในไฮเปอร์โบโลอิด และ O(1) สะท้อนเส้นที่ผ่านจุดกำเนิด แนวคิดพื้นฐานหลายอย่างในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามารถอธิบายได้ใน รูป พีชคณิตเชิงเส้น เช่น เส้นทางจีโอเดสิกอธิบายได้ด้วยจุดตัดกับระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด มุมไดเฮดรัลระหว่างไฮเปอร์เพลนสามารถอธิบายได้ด้วยผลคูณภายในของเวกเตอร์ตั้งฉาก และกลุ่มการสะท้อนไฮเปอร์โบลิกสามารถแสดงออกมาในรูปเมทริกซ์ได้อย่างชัดเจน

ในมิติขนาดเล็ก มีไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษของกลุ่มลีที่ให้วิธีการเพิ่มเติมในการพิจารณาสมมาตรของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ตัวอย่างเช่น ในมิติ 2 ไอโซมอร์ฟิซึมSO ⁺ (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1)อนุญาตให้ตีความแบบจำลองระนาบครึ่งบนเป็นผลหารSL(2, R )/SO(2)และแบบจำลองจานปวงกาเรเป็นผลหารSU(1, 1)/U(1)ในทั้งสองกรณี กลุ่มสมมาตรทำงานโดยการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน เนื่องจากทั้งสองกลุ่มเป็นตัวรักษาเสถียรภาพที่รักษาทิศทางในPGL(2, C )ของปริภูมิย่อยของทรงกลมรีมันน์ตามลำดับ การแปลงเคย์ลีย์ไม่เพียงแต่เปลี่ยนแบบจำลองหนึ่งของระนาบไฮเปอร์โบลิกไปเป็นอีกแบบจำลองหนึ่งเท่านั้น แต่ยังทำให้ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มสมมาตรเป็นจริงในฐานะการผันแปรในกลุ่มที่ใหญ่กว่าด้วย ในมิติที่ 3 การกระทำเชิงเส้นเศษส่วนของPGL(2, C )บนทรงกลมรีมันน์นั้นเทียบเท่ากับการกระทำบนขอบเขตคอนฟอร์มอลของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติที่เหนี่ยวนำโดยไอโซมอร์ฟิซึมO ⁺ (1, 3) ≅ PGL(2, C )ซึ่งทำให้สามารถศึกษาไอโซเมตรีของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติได้โดยพิจารณาคุณสมบัติสเปกตรัมของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่เป็นตัวแทน ตัวอย่างเช่น การแปลงพาราโบลิกเป็นคู่ควบกับการเลื่อนแบบแข็งในแบบจำลองครึ่งพื้นที่บน และเป็นการแปลงที่สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ สามเหลี่ยมบนแบบยูนิโพ เทนต์

• A'Campo, Norbertและ Papadopoulos, Athanase, (2012) บันทึกเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกใน: Strasbourg Master class on Geometry, หน้า 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, เล่มที่ 18, ซูริค: European Mathematical Society (EMS), 461 หน้า, SBN ISBN 978-3-03719-105-7DOI 10.4171–105
• Coxeter, HSM , (1942) เรขาคณิตนอกยุคยูคลิดสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโทรอนโต โทรอนโต
• Fenchel, Werner (1989). เรขาคณิตเบื้องต้นในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก . การศึกษาคณิตศาสตร์ของ De Gruyter เล่มที่ 11. เบอร์ลิน-นิวยอร์ก: Walter de Gruyter & Co.
• เฟนเชล, แวร์เนอร์ ; นีลเซ่น, ยาคอบ (2003) อัสมุส แอล. ชมิดต์ (เอ็ด.) กลุ่มของไอโซเมตรีที่ไม่ต่อเนื่องกันในระนาบไฮเปอร์โบลิก เดอ กรอยเตอร์ ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 29. เบอร์ลิน: Walter de Gruyter & Co.
• โลบาเชฟสกี, นิโคไล ไอ., (2010) เรขาคณิตเชิงพื้นที่ , เรียบเรียงและแปลโดย อะทานาเซ ปาปาโดปูลอส, มรดกแห่งคณิตศาสตร์ยุโรป, เล่มที่ 4. ซูริค: สมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป (EMS). xii, 310 หน้า, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
• Milnor, John W. , (1982) เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก: 150 ปีแรก , Bull. Amer. Math. Soc. (NS) เล่ม 6, ฉบับที่ 1, หน้า 9–24.
• Reynolds, William F., (1993) เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกบนไฮเปอร์โบโลอิด , American Mathematical Monthly 100:442–455
• สติลเวลล์, จอห์น (1996). แหล่งที่มาของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก . ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์. เล่มที่ 10. พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-0529-9MR 1402697​ ​
• Samuels, David, (มีนาคม 2549) ทฤษฎีการถักนิตติ้งนิตยสาร Discover เล่มที่ 27 ฉบับที่ 3
• เจมส์ ดับเบิลยู. แอนเดอร์สัน, เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก , สปริงเกอร์ 2005, ISBN 1-85233-934-9
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon และ Walter R. Parry (1997) เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก , สำนักพิมพ์ MSRI, เล่มที่ 31

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

• ซอฟต์แวร์ JavaScript ฟรีสำหรับสร้างภาพร่างในแบบจำลองดิสก์ปวงกาเรของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมหาวิทยาลัยนิวเม็กซิโก
• "เพลงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก"วิดีโอเพลงสั้นเกี่ยวกับพื้นฐานของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก สามารถรับชมได้ทาง YouTube
• "เรขาคณิตของโลบาเชฟสกี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ปริภูมิเกาส์-โบลยาอิ-โลบาเชฟสกี" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" . แมธเวิลด์ .
• ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก รวมถึงวิดีโอและสมการสำหรับการแปลงระหว่างแบบจำลองต่างๆมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์บานา-แชมเปญ
• แผนภาพโวโรนอยไฮเปอร์โบลิกแบบเข้าใจง่าย โดย แฟรงค์ นีลเซน
• Stothers, Wilson (2000). "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" . maths.gla.ac.uk . มหาวิทยาลัยกลาสโกว์ .เว็บไซต์การเรียนการสอนแบบโต้ตอบ
• เทสเซลเลชันระนาบไฮเปอร์โบลิก
• แบบจำลองของระนาบไฮเปอร์โบลิก