ในทางคณิตศาสตร์จุดอานม้าหรือจุดมินิแม็กซ์^{[ 1 ]}คือจุดบนพื้นผิวของกราฟของฟังก์ชันที่ความชัน (อนุพันธ์) ใน ทิศทาง ตั้งฉากทั้งหมดเป็นศูนย์ ( จุดวิกฤต ) แต่ไม่ใช่จุดสุดขั้วเฉพาะที่ของฟังก์ชัน^{[ 2 ]} ตัวอย่างของจุดอานม้าคือเมื่อมีจุดวิกฤตที่มีค่าต่ำสุด สัมพัทธ์ ตามทิศทางแกนหนึ่ง (ระหว่างจุดสูงสุด) และค่าสูงสุด สัมพัทธ์ ตามแกนตัด อย่างไรก็ตาม จุดอานม้าไม่จำเป็นต้องอยู่ในรูปแบบนี้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันมีจุดวิกฤตที่ซึ่งเป็นจุดอานม้าเนื่องจากไม่ใช่ทั้งค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ แต่ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ในทิศทาง ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y}$

ชื่อนี้มีที่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ตัวอย่างต้นแบบในสองมิติคือพื้นผิวที่โค้งขึ้นไปในทิศทางหนึ่ง และโค้งลงไปในอีกทิศทางหนึ่ง คล้ายกับอานม้าในแง่ของเส้นชั้นความสูงจุดอานม้าในสองมิติจะทำให้เกิดแผนที่เส้นชั้นความสูงที่มีเส้นสองเส้นตัดกันที่จุดนั้นโดยหลักการแล้ว การตัดกันเช่นนี้พบได้ยากในแผนที่เส้นชั้นความสูงที่วาดด้วยเส้นชั้นความสูงแบบแยกส่วน เช่น แผนที่สำรวจทางทหาร เนื่องจากความสูงของจุดอานม้าไม่น่าจะตรงกับจำนวนเต็มที่ใช้ในแผนที่ดังกล่าว แทนที่จะเป็นเช่นนั้น จุดอานม้าจะปรากฏเป็นพื้นที่ว่างตรงกลางระหว่างเส้นชั้นความสูงสี่ชุดที่เข้าใกล้และเบี่ยงเบนออกจากจุดนั้น สำหรับจุดอานม้าพื้นฐาน ชุดเส้นเหล่านี้จะมาเป็นคู่ โดยมีคู่สูงตรงข้ามและคู่ต่ำตรงข้ามอยู่ในทิศทางตั้งฉากกัน โดยทั่วไปแล้ว เส้นชั้นความสูงที่สำคัญไม่จำเป็นต้องตัดกันในแนวตั้งฉาก

เกณฑ์ง่ายๆ ในการตรวจสอบว่าจุดนิ่งที่ กำหนด ของฟังก์ชันค่าจริงF ( x , y ) ของตัวแปรจริงสองตัวนั้นเป็นจุดอานม้าหรือไม่ คือการคำนวณเมทริกซ์เฮสเซียน ของฟังก์ชัน ที่จุดนั้น: ถ้าเมทริกซ์เฮสเซียนไม่แน่นอนแสดงว่าจุดนั้นเป็นจุดอานม้า ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชันที่จุดนิ่งคือเมทริกซ์ = ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

ซึ่งเป็นค่าที่ไม่แน่นอน ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นจุดอานม้า เกณฑ์นี้ให้เงื่อนไขที่เพียงพอเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จุดนั้นเป็นจุดอานม้าสำหรับฟังก์ชันแต่เมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชันนี้ที่จุดกำเนิดเป็นเมทริกซ์ศูนย์ซึ่งไม่ใช่ค่าที่ไม่แน่นอน ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$

โดยทั่วไปแล้วจุดอานม้าสำหรับฟังก์ชันเรียบ (ซึ่งกราฟเป็นเส้นโค้งพื้นผิวหรือไฮเปอร์เซอร์เฟซ ) คือจุดนิ่งที่เส้นโค้ง/พื้นผิว/ฯลฯ ในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้นไม่ได้อยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของปริภูมิสัมผัสที่จุดนั้นโดย สมบูรณ์

ในโดเมนหนึ่งมิติ จุดอานม้าคือจุดที่เป็นทั้งจุดนิ่งและจุดเปลี่ยนเว้าเนื่องจากเป็นจุดเปลี่ยนเว้า จึงไม่ใช่จุดสุดขั้วเฉพาะที่

พื้นผิวอานม้าคือพื้นผิวเรียบที่มีจุดอานม้าตั้งแต่หนึ่งจุดขึ้นไป

ตัวอย่างคลาสสิกของพื้นผิวอานม้าสองมิติในปริภูมิยูคลิดได้แก่ พื้นผิวอันดับสองพาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิก (ซึ่งมักเรียกว่า " พื้นผิว อานม้า " หรือ "พื้นผิวอานม้ามาตรฐาน") และไฮเปอร์โบโลอิดหนึ่งแผ่นมันฝรั่งทอดกรอบพริงเกิลส์เป็นตัวอย่างทั่วไปของรูปทรงพาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$

พื้นผิวอานม้ามีความโค้งเกาส์เซียน เป็นลบ ซึ่งทำให้แตกต่างจากพื้นผิวนูน/วงรีซึ่งมีความโค้งเกาส์เซียนเป็นบวก พื้นผิวอานม้าลำดับที่สามแบบคลาสสิกคืออานม้าลิง^{[ 3 ]}

ในเกมสองผู้เล่นที่มีผลรวมเป็นศูนย์ซึ่งกำหนดไว้บนปริภูมิต่อเนื่อง จุด สมดุลคือจุดอานม้า

สำหรับระบบเชิงเส้นอิสระอันดับสองจุดวิกฤตคือจุดอานม้าหากสมการลักษณะเฉพาะ มี ค่าไอเกนจริงบวกหนึ่งค่าและลบหนึ่งค่า^{[ 4 ]}

ในการหาค่าเหมาะสมที่สุดภายใต้ข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน เงื่อนไขอันดับแรกจะอธิบายจุดอานม้าของลากรางเจียน

ในระบบพลวัตถ้าพลวัตถูกกำหนดโดยแผนที่อนุพันธ์fแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดไฮเปอร์โบลิกก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ของƒ ⁿ (โดยที่nคือคาบของจุดนั้น) ไม่มีค่าไอเกนบนวงกลมหน่วย (เชิงซ้อน) เมื่อคำนวณที่จุดนั้น ดังนั้นจุดอานม้า จึง เป็นจุดคาบไฮเปอร์โบ ลิก ที่ มีแมนิโฟลด์ เสถียรและไม่เสถียร ซึ่ง มีมิติไม่เป็นศูนย์

จุดอานม้าของเมทริกซ์ คือ สมาชิกที่มีค่ามากที่สุดในคอลัมน์ และมีค่าน้อยที่สุดในแถว

• วิธีจุดอานม้า (Saddle-point method)เป็นส่วนขยายของวิธีลาปลาซ (Laplace's method)สำหรับการประมาณค่าอินทิกรัล
• ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
• การทดสอบอนุพันธ์
• จุดสมดุลไฮเปอร์โบลิก
• เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก
• ทฤษฎีมินิแม็กซ์
• อสมการสูงสุด-ต่ำสุด
• ทฤษฎีช่องเขา

• ฮิลเบิร์ต, เดวิด ; โคห์น-วอสเซน, สเตฟาน (1952). เรขาคณิตและจินตนาการ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). เชลซี. ISBN 0-8284-1087-9.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับSaddle pointใน Wikimedia Commons