ในทางคณิตศาสตร์วิธีการลงต่ำสุดหรือวิธีการจุดอานม้าเป็นส่วนขยายของวิธีการของลาปลาซสำหรับการประมาณค่าอินทิกรัล โดยที่ต้องทำการปรับเปลี่ยนอินทิกรัลตามเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนให้ผ่านใกล้จุดนิ่ง ( จุดอานม้า ) ในทิศทางที่ลงต่ำสุดหรืออยู่ในแนวเดียวกับเฟสนิ่งโดยประมาณ การประมาณค่าด้วยวิธีจุดอานม้าใช้กับอินทิกรัลในระนาบเชิงซ้อน ในขณะที่วิธีการของลาปลาซใช้กับอินทิกรัลในจำนวนจริง

โดยทั่วไปแล้วปริพันธ์ที่ต้องการประมาณค่าจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \int _{C}f(z)e^{\แลมบ์ดา g(z)}\,dz,}$

โดยที่Cคือเส้นโค้ง และ λ มีค่ามาก วิธีการลดความชันแบบหนึ่งจะเปลี่ยนเส้นโค้งของการอินทิเกรตC ให้กลาย เป็นเส้นทางการอินทิเกรตใหม่C′โดยมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

1. C′ผ่านจุดศูนย์หนึ่งจุดหรือมากกว่าของอนุพันธ์g ′( z )
2. ส่วนจินตภาพของg ( z ) มีค่าคงที่บนC ′

วิธีการหาค่าความชันสูงสุด (steepest descent) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยDebye (1909)ซึ่งใช้มันในการประมาณค่าฟังก์ชัน Besselและชี้ให้เห็นว่ามันปรากฏอยู่ในบันทึกที่ไม่ได้รับการตีพิมพ์ของRiemann (1863)เกี่ยวกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกเส้นโค้งของความชันสูงสุดมีคุณสมบัติ minimax ดูFedoryuk (2001) Siegel (1932)ได้อธิบายบันทึกที่ไม่ได้รับการตีพิมพ์อื่นๆ ของ Riemann ซึ่งเขาใช้วิธีนี้ในการหาอนุพันธ์ของสูตร Riemann– Siegel

เมื่อนำไปใช้กับการกระจายผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากในทางสถิติ วิธีการลดความชันสูงสุดเรียกว่าวิธีการประมาณจุดอานม้าในฟิสิกส์เชิงสถิติการประมาณนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกเพื่อประเมินฟังก์ชันการแบ่งส่วนและพลังงานอิสระ [ ^{1 ] : 341-342}

วิธีการลดความชันสูงสุดเป็นวิธีการประมาณค่าอินทิกรัลเชิงซ้อนในรูปแบบสำหรับ ค่า n ขนาดใหญ่ โดยที่และเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของเนื่องจากตัวอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จึงสามารถเปลี่ยนเส้นโค้งให้เป็นเส้นโค้งใหม่ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนอินทิกรัล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะหาเส้นโค้งใหม่ที่ส่วนจินตนาการ ซึ่งแทนด้วยมีค่าคงที่ ( แทนส่วนจริง ) จากนั้นและอินทิกรัลที่เหลือสามารถประมาณค่าได้ด้วยวิธีอื่น เช่นวิธีของลาปลาส^{[ 2 ]}$${\displaystyle I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z}$$${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle \Im (\cdot )}$${\displaystyle g(z)=\Re [g(z)]+i\,\Im [g(z)]}$${\displaystyle \Re (\cdot )}$$${\displaystyle I(\lambda )=e^{i\lambda \Im \{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda \Re \{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,}$$

วิธีนี้เรียกว่าวิธีความชันลงสูงสุด (method of steepest descent ) เพราะสำหรับการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์เส้นชั้นความสูงที่มีเฟสคงที่เทียบเท่ากับเส้นชั้นความสูงที่มีความชันลงสูงสุด ${\displaystyle g(z)}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของมันจะสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ดังนั้นเส้นโค้งที่มีเฟสคงที่จึงเป็นเส้นโค้งที่มีความชันมากที่สุดด้วย ${\displaystyle g(z)=X(z)+iY(z)}$${\displaystyle z=x+iy}$$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,}$$

ให้f , S  : C ⁿ → CและC ⊂ C ⁿถ้า

${\displaystyle M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,}$

โดยที่แทนส่วนจริง และมีจำนวนจริงบวก λ ₀อยู่จริงซึ่งทำให้ ${\displaystyle \Re (\cdot )}$

${\displaystyle \int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,}$

ดังนั้นการประมาณค่าต่อไปนี้จึงเป็นจริง: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}$

พิสูจน์การประมาณค่าอย่างง่าย:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}}$

ให้xเป็น เวกเตอร์เชิงซ้อน n มิติ และ

${\displaystyle S''{}_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,}$

ให้ แทนเมทริกซ์เฮสเซียนสำหรับฟังก์ชันS ( x )ถ้า

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ เมทริกซ์จาโคเบียน ของมัน จะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.}$

จุด อานม้า ที่ไม่เสื่อมสภาพz ⁰ ∈ C ⁿของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกS ( z )คือจุดวิกฤตของฟังก์ชัน (กล่าวคือ∇ S ( z ⁰ ) = 0 ) ซึ่งเมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชันมี ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์(กล่าวคือ) ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0}$

ต่อไปนี้คือเครื่องมือหลักสำหรับการสร้างอนุกรมวิเคราะห์ของปริพันธ์ในกรณีจุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพ:

บทพิสูจน์ของมอร์สสำหรับฟังก์ชันค่าจริงจะขยายความทั่วไปดังนี้^{[ 4 ]}สำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก : ใกล้จุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพz ⁰ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกS ( z )จะมีพิกัดที่S ( z ) − S ( z ⁰ )เป็นกำลังสองพอดี เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้Sเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีโดเมนW ⊂ C ⁿและให้z ⁰ในWเป็นจุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพของSนั่นคือ∇ S ( z ⁰ ) = 0และจากนั้นจะมีย่านใกล้เคียงU ⊂ Wของz ⁰และV ⊂ C ⁿของw = 0และฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกแบบหนึ่งต่อหนึ่งφ  : V → Uโดยที่φ (0) = z ⁰เช่นนั้น ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0}$

${\displaystyle \forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,}$

_{ใน ที่}นี้μjคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ${\displaystyle S''{}_{zz}(z^{0})}$

การพิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์สเชิงซ้อน

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นการสรุปทั่วไปโดยตรงของบทพิสูจน์ของMorse Lemma จริง ซึ่งสามารถพบได้ใน^{[ 5 ]}เราเริ่มต้นด้วยการแสดงให้เห็นว่า

ข้อความเสริมให้f  : C ⁿ → Cเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิด และf (0) = 0แล้วในบริเวณใกล้เคียงบางบริเวณ จะมีฟังก์ชันg _i  : C ⁿ → C อยู่ โดยที่แต่ละg _iเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและ$${\displaystyle f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$$$${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$$

จากอัตลักษณ์

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,}$

เราจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt}$

และ

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราแปลจุดกำเนิดไปที่z ⁰โดยที่z ⁰ = 0และS (0) = 0โดยใช้ข้อความช่วย เราจะได้

${\displaystyle S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).}$

เนื่องจากจุดกำเนิดเป็นจุดอานม้า

${\displaystyle \left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,}$

เราสามารถใช้คำสั่งเสริมกับฟังก์ชันg _i ( z ) ได้เช่นกัน และจะได้

${\displaystyle S(z)=\sum _{i,j=1}^{n}z_{i}z_{j}h_{ij}(z).}$

1

โปรดจำไว้ว่าเมทริกซ์A ใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของเมทริกซ์สมมาตรA ^{( s )}และเมทริกซ์ปฏิสมมาตร A ^{( a )}

${\displaystyle A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).}$

การหดตัวของเมทริกซ์สมมาตรใดๆBกับเมทริกซ์A ใดๆ คือ

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}=\sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}^{(s)},}$

2

กล่าวคือ ส่วนประกอบที่ไม่สมมาตรของAไม่ก่อให้เกิดผลใดๆ เนื่องจาก

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.}$

ดังนั้นh _ij ( z )ในสมการ (1) สามารถถือได้ว่าสมมาตรเมื่อเทียบกับการสลับดัชนีiและjโปรดทราบว่า

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);}$

ดังนั้นdet( h _ij (0)) ≠ 0เนื่องจากจุดกำเนิดเป็นจุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพ

ให้เราแสดงโดยการอุปมานว่ามีพิกัดท้องถิ่นu = ( u ₁ , ... u _n ), z = ψ ( u ), 0 = ψ (0) , เช่นนั้น

${\displaystyle S({\boldsymbol {\psi }}(u))=\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}.}$

3

ขั้นแรก สมมติว่ามีพิกัดท้องถิ่นy = ( y ₁ , ... y _n ), z = φ ( y ), 0 = φ (0) อยู่ โดยที่

${\displaystyle S({\boldsymbol {\phi }}(y))=y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}H_{ij}(y),}$

4

โดยที่H _ijสมมาตรเนื่องจากสมการ (2) ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น( y _r , ... y _n )เราสามารถรับประกันได้ว่าH _rr (0) ≠ 0จากกฎลูกโซ่เราจะได้

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}}$

ดังนั้น:

${\displaystyle S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;}$

จากที่

${\displaystyle 0\neq \det S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).}$

เมทริกซ์( H _ij (0))สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบปกติของจอร์แดน ได้ ดังนี้: ( H _ij (0)) = LJL ⁻¹โดยที่Lให้การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เอกฐานที่ต้องการ และแนวทแยงของJ ประกอบด้วย ค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของ( H _ij (0))ถ้าH _ij (0) ≠ 0แล้วเนื่องจากความต่อเนื่องของH _ij ( y )มันจึงต้องไม่เป็นศูนย์ในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดด้วย เมื่อแนะนำแล้วเราจะเขียน ${\displaystyle {\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}}$

ด้วยแรงบันดาลใจจากนิพจน์สุดท้าย เราจึงแนะนำพิกัดใหม่z = η ( x ), 0 = η (0)

${\displaystyle x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.}$

การเปลี่ยนตัวแปรy ↔ xสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ในระดับท้องถิ่น เนื่องจากเมทริกซ์จาโคเบียน ที่เกี่ยวข้อง มีค่าไม่เป็นศูนย์

${\displaystyle \left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].}$

ดังนั้น,

${\displaystyle S({\boldsymbol {\eta }}(x))={x}_{1}^{2}+\cdots +{x}_{r}^{2}+\sum _{i,j=r+1}^{n}{x}_{i}{x}_{j}W_{ij}(x).}$

5

เมื่อเปรียบเทียบสมการ (4) และ (5) เราสรุปได้ว่าสมการ (3) ได้รับการตรวจสอบแล้ว โดยกำหนดให้ค่าลักษณะเฉพาะของเป็นμ _jสมการ (3) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ ${\displaystyle S''{}_{zz}(0)}$

${\displaystyle S({\boldsymbol {\varphi }}(w))={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2}.}$

6

ดังนั้น,

${\displaystyle S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))={\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0),}$

7

จากสมการ (6) จะได้ว่ารูปแบบปกติของ จอร์แดน คือ โดยที่J _zเป็นเมทริกซ์แนวทแยงบนที่มีค่าไอเกนและdet P ≠ 0ดังนั้นเราได้จากสมการ (7) ${\displaystyle \det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$${\displaystyle S''{}_{zz}(0)}$${\displaystyle S''{}_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}}$${\displaystyle \det S''{}_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$

${\displaystyle \det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''{}_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.}$

ถ้าเช่นนั้น การสลับตัวแปรสองตัวจะทำให้มั่นใจได้ว่า ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1}$${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1}$

สมมติ

1. f ( z )และ S ( z )เป็น ฟังก์ชัน โฮโลมอร์ฟิกใน_เซต^เปิดที่มีขอบเขตและ_{เชื่อม}ต่อกันอย่างง่ายΩx ⊂ Cnโดยที่ Ix = _Ωx ∩ ^Rnเชื่อมต่อกัน
2. ${\displaystyle \Re (S(z))}$มีค่าสูงสุดเพียงค่าเดียว: สำหรับจุดx ⁰ ∈ I _{x เพียงจุดเดียวเท่านั้น}${\displaystyle \max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))}$
3. x ⁰เป็นจุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพ (กล่าวคือ ∇ S ( x ⁰ ) = 0และ)${\displaystyle \det S''{}_{xx}(x^{0})\neq 0}$

จากนั้น แนวโน้มเชิงอะซิมโทติกต่อไปนี้จะเป็นจริง

${\displaystyle I(\lambda )\equiv \int _{I_{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right)\prod _{j=1}^{n}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}},\qquad \lambda \to \infty ,}$

8

โดยที่μ _jคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮสเซียน และถูกกำหนดด้วยอาร์กิวเมนต์ ${\displaystyle S''{}_{xx}(x^{0})}$${\displaystyle (-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|<{\tfrac {\pi }{4}}.}$

9

ข้อความนี้เป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ทั่วไปที่นำเสนอใน Fedoryuk (1987) ^{[ 6 ]}

การหาที่มาของสมการ (8)

ขั้นแรก เราเปลี่ยนรูปเส้นโค้งI _xให้เป็นเส้นโค้งใหม่ที่ผ่านจุดอานม้าx ⁰และมีขอบเขตร่วมกับI _xการเปลี่ยนรูปนี้ไม่เปลี่ยนแปลงค่าของปริพันธ์I ( λ )เราใช้ทฤษฎีบทมอร์สเชิงซ้อนเพื่อเปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรต ตามทฤษฎีบทนี้ ฟังก์ชันφ ( w )จะแมปย่านใกล้เคียงx ⁰ ∈ U ⊂ Ω _xไปยังย่านใกล้เคียงΩ _wที่มีจุดกำเนิด ปริพันธ์I ( λ )สามารถแยกออกเป็นสองส่วนได้ คือI ( λ ) = I ₀ ( λ ) + I ₁ ( λ )โดยที่I ₀ ( λ )คือปริพันธ์เหนือในขณะที่I ₁ ( λ )คือปริพันธ์เหนือ(นั่นคือ ส่วนที่เหลือของเส้นโค้งI′ _x ) เนื่องจากบริเวณหลังไม่มีจุดอานม้าx ⁰ค่าของI ₁ ( λ )จึงมีค่าน้อยกว่าI ₀ ( λ ) อย่างมาก เมื่อλ → ∞ ; ^{[ 7 ]}ดังนั้นI ₁ ( λ )จึงถูกละเลย การแนะนำเส้นโค้งI _wเช่นนั้นเราจะได้ ${\displaystyle I'_{x}\subset \Omega _{x}}$${\displaystyle U\cap I'_{x}}$${\displaystyle I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})}$${\displaystyle U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )=e^{\lambda S(x^{0})}\int _{I_{w}}f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)\left|\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(w)\right|dw.}$

10

เมื่อระลึกว่าx ⁰ = φ (0)เช่นเดียวกับเราจึงขยายฟังก์ชันก่อนเลขชี้กำลังเป็นอนุกรมเทย์เลอร์และเก็บเฉพาะพจน์ลำดับศูนย์นำหน้าเท่านั้น ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1}$${\displaystyle f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )\approx f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)dw=f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\prod _{j=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy.}$

11

ในที่นี้ เราได้แทนที่บริเวณการอินทิเกรตI _wด้วยR ⁿเนื่องจากทั้งสองมีจุดกำเนิดซึ่งเป็นจุดอานม้า ดังนั้นจึงเท่ากันจนถึงพจน์ที่มีค่าเลขชี้กำลังน้อยมาก^{[ 8 ]}อินทิกรัลทางด้านขวาของสมการ (11) สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left({\sqrt {-\mu _{j}}}y\right)^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left|{\sqrt {-\mu _{j}}}\right|^{2}y^{2}\exp \left(2i\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right)}dy.}$

12

จากการแสดงนี้ เราสรุปได้ว่าเงื่อนไข (9) จะต้องเป็นไปตามนั้นเพื่อให้ด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (12) ตรงกัน ตามสมมติฐาน 2 เป็นรูปแบบกำลังสองที่กำหนดเป็นลบ (นั่นคือ) ซึ่งหมายถึงการมีอยู่ของปริพันธ์ซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย ${\displaystyle \Re \left(S''{}_{xx}(x^{0})\right)}$${\displaystyle \Re (\mu _{j})<0}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

สมการ (8) สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

${\displaystyle I(\lambda )=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(\det(-S''{}_{xx}(x^{0}))\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right),}$

13

ที่สาขาของ

${\displaystyle {\sqrt {\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)}}}$

เลือกดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

พิจารณากรณีพิเศษที่สำคัญ:

• ถ้าS ( x )เป็นค่าจริงสำหรับx จริง และx ⁰ในR ⁿ (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีลาปลาสแบบหลายมิติ ) แล้ว^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)=0.}$$
• ถ้าS ( x ) เป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ สำหรับ xจริง(กล่าวคือ สำหรับ xทั้งหมดในRn ) และx ⁰ในRn ⁽หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีเฟสคงที่แบบหลายมิติ^{) [10] แล้ว [} 11 ^{]โดยที่}แสดง^{ถึงลายเซ็น}ของเมทริกซ์ซึ่งเท่ากับจำนวนค่าไอเกนลบลบด้วยจำนวนค่าไอเกนบวก เป็นที่น่าสังเกตว่าในการประยุกต์ใช้วิธีเฟสคงที่กับการประมาณ WKB แบบหลายมิติในกลศาสตร์ควอนตัม (รวมถึงในทัศนศาสตร์) Ind เกี่ยวข้องกับดัชนี Maslovดูเช่นChaichian & Demichev (2001)และSchulman (2005)${\displaystyle \Re (S(x))=0}$$${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0}),}$$${\displaystyle {\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0})}$${\displaystyle S''{}_{xx}(x_{0})}$

ถ้าฟังก์ชันS ( x )มีจุดอานม้าที่ไม่เสื่อมสภาพแยกเดี่ยวหลายจุด กล่าวคือ

${\displaystyle \nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}}$

ถ้า Ω _xเป็นการครอบคลุมแบบเปิดการคำนวณเชิงอะซิมโทติกของอินทิกรัลจะลดลงเหลือเพียงกรณีของจุดอานม้าจุดเดียวโดยใช้การแบ่งส่วนของเอกภาพ การ แบ่งส่วนของเอกภาพช่วยให้เราสร้างเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องρ _k ( x ) : Ω _x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ Kได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle \int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.}$

ดังนั้นเมื่อλ → ∞เราจะได้ว่า:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),}$

โดยสมการ (13) ถูกนำมาใช้ในขั้นตอนสุดท้าย และฟังก์ชันก่อนเลขชี้กำลังf ( x )อย่างน้อยต้องต่อเนื่อง

เมื่อ∇ S ( z ⁰ ) = 0และจุดz ⁰ ∈ C ⁿเรียกว่าจุด อานม้าเสื่อมสภาพของฟังก์ชันS ( z )${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})=0}$

การคำนวณค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของ

${\displaystyle \int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,}$

เมื่อλ → ∞, f ( x )ต่อเนื่อง และS ( z )มีจุดอานม้าเสื่อมสภาพ ถือเป็นปัญหาที่ซับซ้อนมาก ซึ่งการแก้ปัญหานั้นอาศัยทฤษฎีหายนะ เป็นอย่างมาก ในที่นี้ ทฤษฎีหายนะจะเข้ามาแทนที่เลมมาของมอร์สซึ่งใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ เพื่อแปลงฟังก์ชันS ( z )ให้เป็นหนึ่งในรูปแบบมาตรฐานจำนวนมาก สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูPoston & Stewart (1978)และFedoryuk (1987)เป็นต้น

อินทิกรัลที่มีจุดอานม้าเสื่อมสภาพนั้นพบได้ทั่วไปในหลายๆ การใช้งาน รวมถึงเส้นโค้งแสงเชิงแสงและการประมาณค่า WKB แบบหลายมิติ ในกลศาสตร์ควอนตัม

กรณีอื่นๆ เช่น เมื่อf ( x )และ/หรือS ( x )ไม่ต่อเนื่อง หรือเมื่อค่าสุดขั้วของS ( x )อยู่ที่ขอบเขตของบริเวณการอินทิเกรต ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ (ดูตัวอย่างเช่นFedoryuk (1987)และWong (1989) )

วิธีการลดความชันที่เร็วที่สุด (steepest descent method) เป็นส่วนขยายของวิธีการดังกล่าว โดย ในวิธีการ นี้ แทนที่จะใช้ปริพันธ์ เราจำเป็นต้องประเมินค่าเชิงอะซิมโทติกของคำตอบของปัญหาการ แยกตัวประกอบ รีมันน์-ฮิลเบิร์ต (Riemann–Hilbert factorization problems)

กำหนดให้เส้นโค้งCในทรงกลมเชิงซ้อนฟังก์ชันfที่นิยามบนเส้นโค้งนั้น และจุดพิเศษ เช่น จุดอนันต์ เราต้องการหาฟังก์ชันMที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกเมื่อออกจากเส้นโค้งCโดยมีการกระโดดข้ามC ตามที่กำหนด และมีการทำให้เป็นมาตรฐานที่จุดอนันต์ตามที่กำหนด หากfและMเป็นเมทริกซ์แทนที่จะเป็นสเกลาร์ ปัญหานี้โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีคำตอบที่ชัดเจน

จากนั้นจึงสามารถประเมินค่าเชิงอะซิมโทติกได้ตามแนวทางของวิธีการเฟสคงที่เชิงเส้น/การลดลงที่ชันที่สุด แนวคิดคือการลดรูปเชิงอะซิมโทติกของคำตอบของปัญหา Riemann–Hilbert ที่กำหนดให้ไปเป็นปัญหา Riemann–Hilbert ที่ง่ายกว่าและสามารถหาคำตอบได้อย่างชัดเจน ทฤษฎีบทของโคชีถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงรูปทรงของเส้นโค้งการกระโดด

เฟสคงที่แบบไม่เชิงเส้นถูกนำเสนอโดย Deift และ Zhou ในปี 1993 โดยอิงจากงานก่อนหน้าของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Alexander Its ส่วนวิธีการลดความชันแบบไม่เป็นเชิงเส้น (อย่างถูกต้อง) ถูกนำเสนอโดย Kamvissis, K. McLaughlin และ P. Miller ในปี 2003 โดยอิงจากงานก่อนหน้าของ Lax, Levermore, Deift, Venakides และ Zhou เช่นเดียวกับในกรณีเชิงเส้น เส้นโค้งลดความชันจะแก้ปัญหาค่าต่ำสุด-สูงสุด ในกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้น เส้นโค้งเหล่านี้จะกลายเป็น "เส้นโค้งรูปตัว S" (ซึ่งนิยามไว้ในบริบทที่แตกต่างกันในช่วงทศวรรษ 1980 โดย Stahl, Gonchar และ Rakhmanov)

วิธีการเฟสคงที่แบบไม่เชิงเส้น/การลดลงที่ชันที่สุด มีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎี สมการ โซลิตอนและแบบจำลองที่สามารถหาปริพันธ์ได้เมทริกซ์สุ่มและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง

ส่วนขยายอีกอย่างหนึ่งคือวิธีของเชสเตอร์-ฟรีดแมน-เออร์เซลล์สำหรับการรวมจุดอานม้าและการขยายเชิงเส้นกำกับแบบสม่ำเสมอ

• อินทิกรัลเพียร์ซีย์
• การประมาณเฟสคงที่
• วิธีของลาปลาซ
• ปัญหารีมันน์-ฮิลเบิร์ต