ฟังก์ชันเบสเซลเป็นคลาสของฟังก์ชันพิเศษที่มักปรากฏในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของคลื่นการนำความร้อนและปรากฏการณ์ทางกายภาพอื่นๆ ที่มี สมมาตร แบบวงกลมหรือทรงกระบอก ฟังก์ชันเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมัน ฟรีดริช เบสเซลผู้ซึ่งศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้อย่างเป็นระบบในปี ค.ศ. 1824 ^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันเบสเซลเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ชนิดหนึ่ง โดย เฉพาะ โดยที่เป็นจำนวนที่กำหนดรูปร่างของคำตอบ จำนวนนี้เรียกว่าอันดับของฟังก์ชันเบสเซล และสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก็ได้ แม้ว่าสมการเดียวกันจะเกิดขึ้นสำหรับทั้งและแต่นักคณิตศาสตร์กำหนดฟังก์ชันเบสเซลแยกกันสำหรับแต่ละ เพื่อให้แน่ใจว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมที่ราบรื่นเมื่ออันดับเปลี่ยนไป $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0,}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\alpha }$

กรณีที่สำคัญที่สุดคือเมื่อเป็นจำนวนเต็มหรือครึ่งจำนวนเต็ม เมื่อเป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเบสเซลที่ได้มักเรียกว่าฟังก์ชันทรงกระบอกหรือฮาร์มอนิกทรงกระบอกเนื่องจากเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติเมื่อแก้ปัญหา (เช่น สมการลาปลาส) ในพิกัดทรงกระบอกเมื่อเป็นครึ่งจำนวนเต็ม คำตอบจะเรียกว่าฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมและใช้ในระบบทรงกลม เช่น ในการแก้สมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกลม ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

สมการของเบสเซลเกิดขึ้นเมื่อต้องการหาคำตอบที่แยกตัวแปรได้ของสมการลาปลาสและสมการเฮล์มโฮลทซ์ในระบบพิกัดทรงกระบอกหรือทรงกลม ฟังก์ชันเบสเซลจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับปัญหาการแพร่กระจายคลื่นและศักย์สถิตหลายๆ ปัญหา ในการแก้ปัญหาในระบบพิกัดทรงกระบอก จะได้ฟังก์ชันเบสเซลที่มีอันดับจำนวนเต็ม ( ); ในปัญหาในระบบพิกัดทรงกลม จะได้ฟังก์ชันเบสเซลที่มีอันดับครึ่งจำนวนเต็ม ( ) ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle \alpha =n}$${\displaystyle \alpha =n+1/2}$

• คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในท่อนำคลื่น ทรงกระบอก
• แอมพลิจูดความดันของการไหลแบบหมุนที่ไม่มีความหนืด
• การนำความร้อนในวัตถุทรงกระบอก
• รูปแบบการสั่นสะเทือนของ เยื่อเสียงรูปวงกลมหรือวงแหวนบางๆ(เช่นหนังกลองหรือเครื่องดนตรี ประเภทเครื่องสายอื่นๆ ) หรือแผ่นที่หนากว่า เช่นแผ่นโลหะ (ดูทฤษฎีแผ่นเสียงของ Kirchhoff–Love , ทฤษฎีแผ่นเสียงของ Mindlin–Reissner )
• ปัญหาการแพร่กระจายบนโครงตาข่าย
• คำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ในพิกัดทรงกลมและพิกัดทรงกระบอกสำหรับอนุภาคอิสระ
• การแสดงแทน ตัวแพร่กระจายของไฟน์แมนในปริภูมิตำแหน่งในทฤษฎีสนามควอนตัม
• การแก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปแบบของการแผ่รังสีเสียง
• แรงเสียดทานที่ขึ้นอยู่กับความถี่ในท่อทรงกลม
• พลศาสตร์ของวัตถุลอยน้ำ
• ความละเอียดเชิงมุม
• ผลึกศาสตร์รังสีเอกซ์ของโครงสร้างเกลียว รวมถึงDNAและอัลฟาเฮลิกซ์ของโปรตีน^{[ 2 ]}
• ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของผลคูณของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติสองตัว^{[ 3 ]}
• การวิเคราะห์คลื่นผิวดินที่เกิดจากการสั่นสะเทือนขนาดเล็ก ในทางธรณีฟิสิกส์และแผ่นดินไหววิทยา

ฟังก์ชันเบสเซลยังปรากฏในสาขาอื่นๆ เช่นการประมวลผลสัญญาณ (เช่นการสังเคราะห์เสียง FM , หน้าต่างไคเซอร์หรือตัวกรองเบสเซล ) นอกจากนี้ยังปรากฏในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ในฐานะส่วนหนึ่งของการขยายฟูริเยร์ของรูปแบบมาสส์

เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นจึงสามารถปรับขนาดคำตอบให้มีขนาดใดก็ได้ ขนาดที่เลือกใช้สำหรับฟังก์ชันนั้นมาจากงานวิจัยในยุคแรกๆ ที่ฟังก์ชันเหล่านี้ปรากฏเป็นคำตอบของอินทิกรัลจำกัด แทนที่จะเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์เป็นอันดับสอง จึงต้องมี คำตอบ ที่เป็นอิสระเชิงเส้น สอง คำตอบ คือ คำตอบแบบที่หนึ่งและคำตอบแบบที่สอง อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ การกำหนดรูปแบบต่างๆ ของคำตอบเหล่านี้ก็มีความสะดวก ตารางด้านล่างสรุปรูปแบบต่างๆ ไว้ และจะอธิบายในส่วนต่อไป โดยทั่วไปจะใช้ตัวห้อยnแทนเมื่อทราบว่า เป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สองและฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมชนิดที่สองบางครั้งจะถูกแทนด้วย^N n _และ n n _ตามลำดับ แทนที่จะเป็นY _nและy _n ^{[ 4 ] [ 5} ]

ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรก ซึ่งแสดงด้วยJ _α ( x )คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของเบสเซล สำหรับ  α ที่เป็นจำนวนเต็มหรือบวก ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกจะมีค่าจำกัดที่จุดกำเนิด ( x = 0 ) ในขณะที่สำหรับ αที่เป็นลบและไม่ใช่จำนวนเต็ม  ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อxเข้าใกล้ศูนย์ เป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชันโดยใช้ชุดอนุกรมแมคลาลิน คูณด้วย (โปรดทราบว่าαไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม และไม่อนุญาตให้ใช้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มในชุดอนุกรมเทย์เลอร์) ซึ่งสามารถหาได้โดยการใช้วิธี Frobeniusกับสมการของเบสเซล: ^{[ 6 ]} โดยที่Γ( z )คือฟังก์ชันแกมมาซึ่งเป็นการขยายทั่วไปของ ฟังก์ชันแฟ กทอเรียลไปยังค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ผู้เขียนบางคนก่อนหน้านี้กำหนดฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกแตกต่างกัน โดยพื้นฐานแล้วไม่มีการหารด้วยใน; ^{[ 7 ]}คำจำกัดความนี้ไม่ได้ใช้ในบทความนี้ ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ (entire function)ถ้าαเป็นจำนวนเต็ม มิฉะนั้นจะเป็นฟังก์ชันหลายค่า (multivalued function)ที่มีจุดเอกฐานที่ศูนย์ กราฟของฟังก์ชันเบสเซลจะมีลักษณะคล้ายกับ ฟังก์ชัน ไซน์หรือโคไซน์ที่แกว่งไปมาและลดลงตามสัดส่วนของ(ดูรูปแบบเชิงเส้นกำกับด้านล่างด้วย) แม้ว่ารากของฟังก์ชันโดยทั่วไปจะไม่เป็นคาบ ยกเว้นในเชิงเชิงเส้นกำกับสำหรับx ที่มีค่ามาก (อนุกรมนี้แสดงว่า− J ₁ ( x )คืออนุพันธ์ของJ ₀ ( x )เช่นเดียวกับ−sin xคืออนุพันธ์ของcos xโดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์ของJ _n ( x )สามารถแสดงในรูปของJ _{n ± 1} ( x ) ได้ ด้วยเอกลักษณ์ด้านล่าง ) ${\displaystyle x^{\alpha }}$$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle x/2}$${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

สำหรับ αที่ไม่ใช่จำนวนเต็มฟังก์ชันJ _α ( x )และJ _{− α} ( x )เป็นอิสระเชิงเส้น และดังนั้นจึงเป็นสองคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ในทางกลับกัน สำหรับลำดับจำนวนเต็มnความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ได้ (ฟังก์ชันแกมมามีขั้วเดี่ยวที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกแต่ละตัว): ^{[ 8 ]}$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

นั่นหมายความว่าคำตอบทั้งสองไม่เป็นอิสระเชิงเส้นอีกต่อไป ในกรณีนี้ คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นตัวที่สองก็คือฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง ดังที่จะกล่าวถึงต่อไป

นิยามอื่นของฟังก์ชันเบสเซลสำหรับค่าจำนวนเต็มของnสามารถทำได้โดยใช้การแสดงอินทิกรัล: ^{[ 9 ]} ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าสูตร Hansen-Bessel ^{[ 10 ]}$${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

นี่คือแนวทางที่เบสเซลใช้^{[ 11 ]}และจากคำจำกัดความนี้ เขาได้อนุมานคุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชัน คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปยังลำดับที่ไม่ใช่จำนวนเต็มโดยใช้อินทิกรัลของ Schläfli ตัวใดตัวหนึ่ง สำหรับRe( x ) > 0 : ^{[ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

ฟังก์ชันเบสเซลสามารถแสดงได้ในรูปของอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปดังนี้^{[ 16 ]}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

นิพจน์นี้เกี่ยวข้องกับการพัฒนาฟังก์ชันเบสเซลในแง่ของฟังก์ชันเบสเซล-คลิฟฟอร์ด

ในแง่ของพหุนาม Laguerre L _kและพารามิเตอร์t ที่เลือกโดยพล การ ฟังก์ชัน Bessel สามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง ซึ่งแสดงด้วยY _α ( x )บางครั้งอาจแสดงด้วยN _α ( x ) แทน เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เบสเซลที่มีจุดเอกฐานที่จุดกำเนิด ( x = 0 ) และมีหลายค่าบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันเวเบอร์ ตามที่ HM Weber  ( 1873 ) แนะนำและเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันนอยมันน์ตามชื่อของCarl Neumann ^{[ 18 ]}

สำหรับαที่ไม่ใช่จำนวนเต็มY _α ( x )มีความสัมพันธ์กับJ _α ( x )โดย $${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

ในกรณีที่อันดับn เป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดยการหาลิมิตเมื่อα ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม เข้าใกล้n : $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เราจะมีอนุกรม^{[ 19 ]} โดยที่คือฟังก์ชันไดแกมมาซึ่งเป็นอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมา^{[ 5 ]}$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$${\displaystyle \psi (z)}$

นอกจากนี้ยังมีสูตรอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน (สำหรับRe( x ) > 0 ): ^{[ 20 ]}$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

ในกรณีที่n = 0 : (โดยที่ เป็นค่าคงที่ของออยเลอร์ )${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x )มีความจำเป็นในฐานะที่เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นลำดับที่สองของสมการเบสเซลเมื่อ αเป็นจำนวนเต็ม แต่ Y _α ( x )มีความหมายมากกว่านั้น มันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นคู่ "ตามธรรมชาติ" ของ J _α ( x )ดูเพิ่มเติมในหัวข้อย่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันแฮงเคลด้านล่าง

ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อαเป็นจำนวนเต็ม ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นเดียวกับกรณีของฟังก์ชันประเภทแรก: $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

ทั้งJ _α ( x )และY _α ( x )เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของxบนระนาบเชิงซ้อนที่ตัดตามแกนจริงลบ เมื่อαเป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเบสเซลJจะเป็นฟังก์ชันเอนไทร์ของxถ้าxถูกกำหนดให้มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ฟังก์ชันเบสเซลจะเป็นฟังก์ชันเอนไทร์ของ α

ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง เมื่อαเป็นจำนวนเต็ม เป็นตัวอย่างหนึ่งของคำตอบชนิดที่สองในทฤษฎีบทของฟุคส์

อีกหนึ่งรูปแบบที่สำคัญของคำตอบเชิงเส้นสองคำตอบของสมการเบสเซลคือฟังก์ชันแฮงเคลชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง H⁽¹⁾ _α( x )และH⁽²⁾ _α( x )ถูกกำหนดเป็น^{[ 21 ]} โดยที่iคือหน่วยจินตนาการการรวมเชิงเส้นเหล่านี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สามซึ่งเป็นสองคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ของเบสเซล ตั้งชื่อตามเฮอร์มันน์ ฮันเคิล $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

รูปแบบการรวมเชิงเส้น เหล่านี้ มีคุณสมบัติที่ดูเรียบง่ายมากมาย เช่น สูตรเชิงอะซิมโทติกหรือการแสดงแทนเชิงอินทิกรัล ในที่นี้ "เรียบง่าย" หมายถึงการปรากฏของตัวประกอบในรูปแบบe ^{i f (x)}สำหรับค่าจริงโดยที่ และเป็นค่าจริง ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองคือส่วนจริงและส่วนจินตนาการตามลำดับของฟังก์ชันแฮงเคลชนิดแรก และส่วนจริงและส่วนจินตนาการลบของฟังก์ชันแฮงเคลชนิดที่สอง ดังนั้น สูตรข้างต้นจึงเป็นอนาล็อกของสูตรของออยเลอร์โดยแทนที่H${\displaystyle x>0}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾ _α( x ) , H⁽²⁾ _α( x )สำหรับและสำหรับ, , ดังที่แสดงไว้อย่างชัดเจนในการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติก ${\displaystyle e^{\pm ix}}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$

ฟังก์ชัน Hankel ใช้ในการแสดงคำตอบของสมการคลื่นทรงกระบอกที่แผ่ออกไปด้านนอกและด้านในตามลำดับ (หรือในทางกลับกัน ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายสำหรับความถี่ )

โดยใช้ความสัมพันธ์ก่อนหน้านี้ สามารถแสดงออกมาได้ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

ถ้าαเป็นจำนวนเต็ม จะต้องคำนวณลิมิต ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ได้ ไม่ว่าαจะเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ก็ตาม: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าα = m + ⁠1/2โดยที่ mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ความสัมพันธ์ข้างต้นแสดงให้เห็นโดยตรงว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

สิ่งเหล่านี้มีประโยชน์ในการพัฒนาฟังก์ชันเบสเซลทรงกลม (ดูด้านล่าง)

ฟังก์ชัน Hankel ยอมรับการแสดงอินทิกรัลต่อไปนี้สำหรับRe( x ) > 0 : ^{[ 23 ]} โดยที่ขอบเขตการอินทิเกรตบ่งชี้ถึงการอินทิเกรตตามเส้นโค้งที่สามารถเลือกได้ดังนี้: จาก−∞ถึง 0 ตามแกนจริงลบ จาก 0 ถึง± π iตามแกนจินตนาการ และจาก± π iถึง+∞ ± π iตามเส้นโค้งที่ขนานกับแกนจริง^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเบสเซลยังคงใช้ได้แม้กับอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนxและกรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีของอาร์กิวเมนต์จินตภาพล้วน ในกรณีนี้ คำตอบของสมการเบสเซลเรียกว่าฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลง (หรือบางครั้ง เรียกว่า ฟังก์ชันเบสเซลไฮเปอร์โบลิก ) ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองและกำหนดเป็น^{[ 24 ]} เมื่อαไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อαเป็นจำนวนเต็ม จะใช้ลิมิต ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกเลือกให้เป็นค่าจริงสำหรับอาร์กิวเมนต์จริงและบวกx ดังนั้น การขยายอนุกรมสำหรับI _α ( x )จึงคล้ายกับการขยายอนุกรมสำหรับJ _α ( x )แต่ไม่มีตัวประกอบ สลับ (−1) ^m$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน Hankel: $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

เมื่อใช้สูตรทั้งสองนี้ ผลลัพธ์ของ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า อินทิกรัลของนิโคลสัน หรือ สูตรของนิโคลสัน สามารถหาได้ดังนี้ ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}$$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

โดยที่เงื่อนไขRe( x ) > 0เป็นไปตามที่กำหนด นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่า เฉพาะเมื่อ| Re( α ) | < ⁠$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$1/2และ Re ( x ) ≥ 0แต่ไม่ใช่เมื่อ x = 0 ^{[ 25 ]}

เราสามารถแสดงฟังก์ชันเบสเซลอันดับแรกและอันดับสองในรูปของฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงแล้วได้ (ซึ่งใช้ได้ก็ต่อเมื่อ− π < arg z ≤ ⁠)π/2) : ^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x )และ K _α ( x )เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นสองคำตอบของสมการเบสเซลที่แก้ไขแล้ว : ^{[ 27 ]}$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

_{แตกต่างจากฟังก์ชันเบสเซลทั่วไป ซึ่งเป็น ฟังก์ชัน}ที่แกว่งไปมาตามจำนวนจริง ฟังก์ชัน_Iαและ Kα เป็นฟังก์ชัน_ที่เพิ่มขึ้นและลดลง แบบเอกซ์ponential ตามลำดับ เช่นเดียวกับฟังก์ชันเบสเซลทั่วไปJαฟังก์ชัน_Iαจะมีค่าเป็นศูนย์ที่x = 0สำหรับα > 0และมีค่าจำกัดที่x = 0สำหรับα = 0ในทำนองเดียวกันKα จะ มีค่าลู่เข้าสู่ _ค่าอนันต์ที่x = 0โดยมีจุดเอกฐานเป็นแบบลอการิทึมสำหรับKα _{> 0}และ⁠1/2⁠ Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |}มิฉะนั้น ^{[ 28 ]}

สูตรอินทิกรัลสองสูตรสำหรับฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงคือ (สำหรับRe( x ) > 0 ): ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเบสเซลสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการแปลงฟูริเยร์ของกำลังของฟังก์ชันกำลังสอง ตัวอย่างเช่น (สำหรับRe(ω) > 0 ): $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงความเท่ากับนิยามอินทิกรัลข้างต้นสำหรับK ₀ซึ่งทำได้โดยการอินทิเกรตเส้นโค้งปิดในควอดแรนต์แรกของระนาบเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงชนิดที่สองอาจแสดงด้วยอินทิกรัลของ Bassett ^{[ 30 ]}$${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}$$

ฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงK _1/3และK _2/3สามารถแสดงได้ในรูปของอินทิกรัลที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเบสเซลที่ปรับปรุงแล้วมีประโยชน์ในการแสดงการแจกแจงลาปลาซเป็นส่วนผสมของการแจกแจงปกติในระดับเลขชี้กำลัง ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

ฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สองยังถูกเรียกด้วยชื่ออื่นๆ ดังต่อไปนี้ (ซึ่งปัจจุบันไม่ค่อยใช้แล้ว):

• บาสเซ็ต ตั้งชื่อตามอัลเฟรด บาร์นาร์ด บาสเซ็ต
• ฟังก์ชันเบสเซลดัดแปลงชนิดที่สาม
• ฟังก์ชัน Hankel ที่แก้ไขแล้ว^{[ 32 ]}
• แมคโดนัลด์ ตั้งชื่อตามเฮคเตอร์ มันโร แมคโดนัลด์

เมื่อแก้สมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกลมโดยใช้วิธีการแยกตัวแปร สมการเชิงรัศมีจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

คำตอบสองคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้เรียกว่าฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมj _nและy _nและมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเบสเซลธรรมดาJ _nและY _nโดย^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _nยังถูกแทนด้วยn _nหรือη _n ; ผู้เขียนบางคนเรียกฟังก์ชันเหล่านี้ว่าฟังก์ชัน นอยมันน์ทรงกลม

จากความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเบสเซลทั่วไป จะเห็นได้โดยตรงว่า: $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า (สูตรของเรย์ลีย์ ) ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมลำดับที่ศูนย์j ₀ ( x )เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน sinc (ที่ไม่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน) ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมแรกๆ ได้แก่: ^{[ 35 ]} และ^{[ 36 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

รากที่ไม่เป็นศูนย์กลุ่มแรกๆ ของฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมกลุ่มแรกๆ มีดังนี้:

รากที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันเบสเซลทรงกลม (ชนิดที่หนึ่ง)

คำสั่ง	รากที่ 1	รากที่ 2	รากที่ 3	รูท 4	รากที่ 5
${\displaystyle j_{0}}$	3.141593	6.283185	9.424778	12.566371	15.707963
${\displaystyle j_{1}}$	4.493409	7.725252	10.904122	14.066194	17.220755
${\displaystyle j_{2}}$	5.763459	9.095011	12.322941	15.514603	18.689036
${\displaystyle j_{3}}$	6.987932	10.417119	13.698023	16.923621	20.121806
${\displaystyle j_{4}}$	8.182561	11.704907	15.039665	18.301256	21.525418

รากที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันเบสเซลทรงกลม (ชนิดที่สอง)

คำสั่ง	รากที่ 1	รากที่ 2	รากที่ 3	รูท 4	รากที่ 5
${\displaystyle y_{0}}$	1.570796	4.712389	7.853982	10.995574	14.137167
${\displaystyle y_{1}}$	2.798386	6.121250	9.317866	12.486454	15.644128
${\displaystyle y_{2}}$	3.959528	7.451610	10.715647	13.921686	17.103359
${\displaystyle y_{3}}$	5.088498	8.733710	12.067544	15.315390	18.525210
${\displaystyle y_{4}}$	6.197831	9.982466	13.385287	16.676625	19.916796

ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมมีฟังก์ชันก่อกำเนิด^{[ 37 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันเบสเซลจำนวนเต็มทั้งหมดJ _n ( x ), Y _n ( x )ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมj _n ( x ), y _n ( x )มีการแสดงออกเป็นอนุกรมจำกัด: ^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

ต่อไปนี้f _nคือj _n , y _n , h ใดๆ ก็ได้⁽¹⁾ _น, ชม⁽²⁾ _นสำหรับn = 0, ±1, ±2, ... ^{[ 39 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันแฮงเคล ในรูปแบบทรงกลมอีกด้วย : $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

มีสูตรสำเร็จรูปง่ายๆ สำหรับฟังก์ชันเบสเซล อันดับ ครึ่งจำนวนเต็มในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาตรฐาน และด้วยเหตุนี้จึงใช้ได้กับฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn : และh$${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$⁽²⁾ _นคือค่าสังยุคเชิงซ้อนของสิ่งนี้ (สำหรับx ที่เป็นจำนวนจริง ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าj ₀ ( x ) = ⁠ไซน์x/xและ y 0 ₍ x ) = − ⁠cos x/xและอื่นๆ

ฟังก์ชันแฮงเคลทรงกลมปรากฏในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ การแพร่กระจาย คลื่นทรงกลมตัวอย่างเช่น ในการขยายแบบมัลติโพลของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

ฟังก์ชัน Riccati -Bessel แตกต่างจากฟังก์ชัน Bessel ทรงกลมเพียงเล็กน้อย: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

พวกมันสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้ปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัมขณะแก้ส่วนประกอบรัศมีของสมการชโรดิงเกอร์ด้วยกำแพงศักย์อนันต์ทรงกระบอกสมมุติ^{[ 40 ]}สมการเชิงอนุพันธ์นี้และคำตอบของ Riccati–Bessel ยังเกิดขึ้นในปัญหาการกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทรงกลม ซึ่งรู้จักกันในชื่อการกระเจิงของ Mieตามคำตอบที่ตีพิมพ์ครั้งแรกโดย Mie (1908) ดูเช่น Du (2004) ^{[ 41 ]}สำหรับการพัฒนาล่าสุดและเอกสารอ้างอิง

ตามแนวคิดของDebye (1909) บางครั้งจะ ใช้ สัญลักษณ์ψ _n , χ _nแทนS _n , C _n

ฟังก์ชันเบสเซลมี รูปแบบ เชิงเส้นกำกับ ดังต่อไปนี้ สำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดเล็กจะได้เมื่อไม่ใช่จำนวนเต็มลบ: ^{[ 6 ]}${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

เมื่อαเป็นจำนวนเต็มลบ เราจะได้ว่า $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

สำหรับฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง เรามีสามกรณี โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี (0.5772...) สำหรับกรณีที่สอง (โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก) เทอมหนึ่งจะเด่นกว่าอีกเทอมหนึ่ง เว้นแต่ว่า จะเป็นจำนวนจินตนาการ $${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

สำหรับอาร์กิวเมนต์จริงขนาดใหญ่z ≫ | α ² − ⁠1/4⁠ |เราไม่สามารถเขียนรูปแบบเชิงเส้นกำกับที่แท้จริงสำหรับฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองได้ (เว้นแต่αจะเป็นจำนวนเต็มครึ่ง) เนื่องจากมีศูนย์ไปจนถึงอนันต์ ซึ่งจะต้องตรงกับการขยายเชิงเส้นกำกับใดๆ อย่างแม่นยำ อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าarg z ที่กำหนด เราสามารถเขียนสมการที่มีพจน์อันดับ| z | ^{−1 ได้} : ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(สำหรับα = ⁠1/2(พจน์สุดท้ายในสูตรเหล่านี้จะหายไปโดยสิ้นเชิง ดูได้จากฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมด้านบน)

รูปแบบเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชัน Hankel มีดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

สามารถขยายแนวคิดเหล่านี้ไปยังค่าarg z อื่นๆ ได้ โดยใช้สมการที่เชื่อมโยงH⁽¹⁾ _α( ze ^{im π} )และH⁽²⁾ _α( ze ^{im π} )ถึงH⁽¹⁾ _α( z )และH⁽²⁾ _α( z ) . ^{[ 43 ]}

เป็นที่น่าสนใจว่าถึงแม้ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกจะเป็นค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันแฮงเคลสองฟังก์ชัน แต่J _α ( z )ไม่ได้เป็นค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของค่าเฉลี่ยของรูปแบบเชิงเส้นกำกับทั้งสองนี้เมื่อzเป็นค่าลบ (เพราะค่าใดค่าหนึ่งจะไม่ถูกต้อง ขึ้นอยู่กับค่า arg zที่ใช้) แต่รูปแบบเชิงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันแฮงเคลทำให้เราสามารถเขียนรูปแบบเชิงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกและชนิดที่สองสำหรับz ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน (ไม่ใช่จำนวนจริง) ตราบใดที่| z |เข้าสู่ค่าอนันต์ที่มุมเฟสคงที่arg z (โดยใช้รากที่สองที่มีส่วนจริงเป็นบวก): $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงHankelได้พัฒนาการขยายอนุกรมอสิมโทติกด้วยเช่นกัน: ^{[ 44 ] [ 45 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ยังมีรูปแบบเชิงอะซิมโทติก (สำหรับจำนวนจริงขนาดใหญ่) ^{[ 46 ]}${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

เมื่อα = ⁠1/2เงื่อนไขทั้งหมด ยกเว้นเงื่อนไขแรก จะหายไป และเราจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับข้อโต้แย้งเล็กๆ น้อยๆเรามี ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันเบสเซลใดๆ ที่มีอันดับไม่เป็นจำนวนเต็มลบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 47 ]}${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}$

หรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}$

สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับซึ่งมีรูปแบบทั่วไปมากกว่าที่ระบุไว้ด้านล่าง^{[ 47 ]}${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$

สำหรับลำดับจำนวนเต็มα = nนั้นJ _nมักถูกกำหนดโดยใช้ชุดอนุกรมลอเรนต์สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดซึ่ง เป็นแนวทางที่ PA Hansen ใช้ในปี 1843 (สามารถขยายไปสู่ลำดับที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้โดยใช้การอินทิเกรตตามเส้นโค้งหรือวิธีการอื่น ๆ) $${\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

อนุกรมอนันต์ของฟังก์ชันเบสเซลในรูปแบบที่เกิดขึ้นในระบบทางกายภาพหลายระบบและถูกกำหนดในรูปแบบปิดโดยอนุกรมซุง^{[ 48 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อ N = 3: โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมซุงและอนุกรมซุงสลับจะเขียนได้ดังนี้: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$$\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$