ฟังก์ชันเบสเซลที่ไม่สมบูรณ์

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเบสเซลไม่สมบูรณ์เป็นฟังก์ชันชนิดพิเศษ ที่ ทำ หน้าที่เป็นส่วนขยายของ ฟังก์ชันเบสเซลสมบูรณ์

ฟังก์ชันเบสเซลที่ไม่สมบูรณ์นั้น ถูกนิยามโดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลาเดียวกัน กับ ฟังก์ชันเบสเซลแบบสมบูรณ์:

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)-J_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}J_{v}(z,w)}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)-Y_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{v-1}(z,w)+I_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)+K_{v+1}(z,w)=-2{\dfrac {\partial }{\partial z}}K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)}(z,w)-H_{v+1}^{(1)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)-H_{v+1}^{(2)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

และรูปแบบส่วนขยายที่เหมาะสมต่อไปนี้ของสมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลาจากฟังก์ชันเบสเซล แบบสมบูรณ์ :

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)+J_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}J_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}J_{v}(z,w)}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)+Y_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}Y_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{v-1}(z,w)-I_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}I_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)-K_{v+1}(z,w)=-{\dfrac {2v}{z}}K_{v}(z,w)+{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)}(z,w)+H_{v+1}^{(1)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(1)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)+H_{v+1}^{(2)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(2)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

โดยที่พารามิเตอร์ใหม่จะกำหนดขอบเขตอินทิกรัลของรูปแบบไม่สมบูรณ์บนและรูปแบบไม่สมบูรณ์ล่างของฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงชนิดที่สอง : ^{[ 1 ]}${\displaystyle w}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)=\int _{w}^{\infty }e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

${\displaystyle J_{v}(z,w)=\int _{0}^{w}e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

${\displaystyle J_{v}(z,w)=J_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)-e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{i\pi }}}$

${\displaystyle Y_{v}(z,w)=Y_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)+e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{\pi }}}$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)=I_{v}(z,w)}$สำหรับจำนวนเต็ม${\displaystyle v}$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)=I_{-v}(z)-I_{v}(z)-{\dfrac {2\sin v\pi }{\pi }}J(z,v,w)}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=I_{v}(z)+{\dfrac {J(-z,v,w)-e^{-v\pi i}J(z,v,w)}{i\pi }}}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J_{v}(iz,w)}$

${\displaystyle K_{-v}(z,w)=K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)={\dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$สำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)=J_{v}(z,w)+iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)=J_{v}(z,w)-iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{-v}^{(1)}(z,w)=e^{v\pi i}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{-v}^{(2)}(z,w)=e^{-v\pi i}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)={\dfrac {J_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}J_{v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$สำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)={\dfrac {e^{v\pi i}J_{v}(z,w)-J_{-v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$สำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม${\displaystyle v}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)}$สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เบสเซล แบบไม่เอกพันธุ์

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\dfrac {dy}{dz}}-(x^{2}+v^{2})y=(v\sinh vw+z\cosh vw\sinh w)e^{-z\cosh w}}$

ทั้ง, , และ ต่าง ก็สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle J_{v}(z,w)}$${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)}$${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)}$

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}+(z^{2}-v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

ทั้งสองตัวสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle I_{v}(z,w)}$${\displaystyle K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}-(z^{2}+v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

จากนิยามเบื้องต้นข้างต้น เราสามารถอนุมานรูปแบบปริพันธ์ต่อไปนี้ของ, ได้โดยตรง : ${\displaystyle J_{v}(z,w)}$${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{v}(z,w)&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt-\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.-\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(-2i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{v}(z,w)&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt+\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.+\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt+i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}}$

ด้วยนิพจน์อินทิกรัล Mehler–Sonine ของและที่กล่าวถึงในห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทาง^{คณิตศาสตร์} [ ^{2 ]}${\displaystyle J_{v}(z)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$${\displaystyle Y_{v}(z)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$

เราสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีกเป็นและแต่ปัญหาก็ไม่ค่อยดีนัก เนื่องจากช่วงการบรรจบกันจะลดลงอย่างมากเหลือเพียง ${\displaystyle J_{v}(z,w)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$${\displaystyle Y_{v}(z,w)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$${\displaystyle |v|<1}$

• Agrest, Matest M.; Maksimov, Michail S. (1971). ทฤษฎีของฟังก์ชันทรงกระบอกไม่สมบูรณ์และการประยุกต์ใช้ . เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-65023-9.
• Cicchetti, R.; Faraone, A. (ธันวาคม 2004). "ฟังก์ชัน Hankel ที่ไม่สมบูรณ์และฟังก์ชัน Bessel ที่ดัดแปลง: ฟังก์ชันพิเศษประเภทหนึ่งสำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า" IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 52 (12): 3373– 3389. Bibcode : 2004ITAP...52.3373C . doi : 10.1109/TAP.2004.835269 . S2CID  25089438 .
• Jones, DS (ตุลาคม 2007). "ฟังก์ชันเบสเซลไม่สมบูรณ์ II. การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่" . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 50 (3): 711– 723. doi : 10.1017/S0013091505000908 .