รูปหลายเหลี่ยมปกติ

ขอบและจุดยอด	${\displaystyle n}$
สัญลักษณ์ Schläfli	${\displaystyle \{n\}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	D n , ลำดับ 2 n
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตนเองสอง
พื้นที่ (โดยมีความยาวด้าน)${\displaystyle s}$	${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
มุมภายใน	${\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}$
ผลรวมมุมภายใน	${\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi }}$
เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมที่แนบใน	${\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ	${\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดรูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเท่ากัน (มุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน) และด้านทุกด้านมีความยาวเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติอาจเป็นรูปนูนหรือรูปดาวก็ได้ในทางลิมิตลำดับของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จะประมาณค่าเป็นวงกลมถ้าเส้นรอบวงหรือพื้นที่คงที่ หรือประมาณค่าเป็นเส้นตรง ปกติ (ซึ่งก็คือเส้นตรง นั่นเอง ) ถ้าความยาวของขอบคงที่

คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูป ไม่ว่าจะเป็นรูปนูนหรือรูปดาว :

• รูปหลายเหลี่ยม ปกติที่ มี nด้าน จะมีสมมาตรแบบหมุนลำดับที่n

• จุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมปกติจะอยู่บนวงกลมเดียวกัน ( วงกลมล้อมรอบ ) กล่าวคือ จุดยอดเหล่านั้นเป็นจุดร่วมวงกลม นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมวงกลม

• เมื่อรวมกับคุณสมบัติของด้านที่มีความยาวเท่ากันแล้ว สิ่งนี้หมายความว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูปจะมีวงกลมแนบในหรือวงกลมภายในที่สัมผัสกับทุกด้าน ณ จุดกึ่งกลาง ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมปกติจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมสัมผัส

• รูปหลายเหลี่ยม ด้านเท่าnด้าน สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะคี่ ของnเป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตก ต่างกัน

• สามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติn ด้านด้วย โอริกามิได้ก็ต่อเมื่อสำหรับบางค่าโดยที่แต่ละค่าที่แตกต่างกันเป็นจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์^{[ 1 ]}${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p_{i}}$

กลุ่มสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปกติn ด้าน คือ กลุ่มไดเฮดรัล D _n (อันดับ 2 n ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... ประกอบด้วยการหมุนใน C _nพร้อมกับสมมาตรการสะท้อนใน แกน nแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ถ้าnเป็นจำนวนคู่ ครึ่งหนึ่งของแกนเหล่านี้จะผ่านจุดยอดตรงข้ามสองจุด และอีกครึ่งหนึ่งผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ถ้าnเป็นจำนวนคี่ แกนทั้งหมดจะผ่านจุดยอดหนึ่งจุดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

รูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูป(รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกับตัวเอง ณ จุดใดเลย) ล้วนเป็นรูปนูน และรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากันก็คล้ายคลึงกันด้วย

รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ n ด้าน จะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์Schläfliสำหรับ n > n เราจะมี กรณี เสื่อมสภาพ สอง กรณี: ${\displaystyle \{n\}}$${\displaystyle n<3}$

โมโนกอน {1}; จุด

เสื่อมสภาพในปริภูมิปกติ (ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ไม่ถือว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเดียวเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่แท้จริง ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเหตุนี้ และอีกส่วนหนึ่งเป็นเพราะสูตรด้านล่างใช้ไม่ได้ผล และโครงสร้างของมันก็ไม่ใช่โครงสร้างของรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม ใดๆ )

Digon {2}; ส่วนของเส้นตรง

เสื่อมสภาพในพื้นที่ปกติ (บางแหล่งข้อมูลไม่ถือว่ารูปสองเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่แท้จริงเนื่องจากเหตุผลนี้)

ในบางบริบท รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่พิจารณาจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ในกรณีเช่นนี้ นิยมละคำว่า "ปกติ" ออกไป ตัวอย่างเช่น หน้าทุกหน้าของทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปจะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และจะอธิบายหน้าเหล่านั้นง่ายๆ ว่า สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติn ด้าน มุมภายในแต่ละ มุม จะมีขนาดดังนี้:

${\displaystyle {\frac {(n-2)180}{n}}}$องศา;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$เรเดียน หรือ

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}}$รอบเต็ม​

และแต่ละมุมภายนอก (กล่าวคือ มุม เสริมของมุมภายใน) จะมีขนาดเป็นองศา โดยผลรวมของมุมภายนอกเท่ากับ 360 องศา หรือ 2π เรเดียน หรือหนึ่งรอบเต็ม ${\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}$

เมื่อnเข้าใกล้ค่าอนันต์ มุมภายในจะเข้าใกล้ 180 องศา สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 10,000 ด้าน ( รูปหลายเหลี่ยมหลายด้าน ) มุมภายในจะมีค่าเท่ากับ 179.964° เมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้น มุมภายในจะเข้าใกล้ 180° มาก และรูปทรงของรูปหลายเหลี่ยมจะเข้าใกล้รูปทรงของวงกลม อย่างไรก็ตาม รูปหลายเหลี่ยมจะไม่สามารถกลายเป็นวงกลมได้ ค่าของมุมภายในไม่สามารถเท่ากับ 180° ได้อย่างแน่นอน เพราะเส้นรอบวงจะกลายเป็นเส้นตรง (ดูรูปหลายเหลี่ยมด้านไม่เท่า ) ด้วยเหตุนี้ วงกลมจึงไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านอนันต์

สำหรับรูปหลายเหลี่ยม จำนวนเส้นทแยงมุมคือ; กล่าวคือ 0, 2, 5, 9, ... สำหรับรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม ... เส้นทแยงมุมจะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็น 1, 4, 11, 24, ... ส่วน^{[ a ]}${\displaystyle n>2}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

สำหรับรูป หลายเหลี่ยมด้านเท่า nด้านที่อยู่ภายในวงกลม รัศมี n ผลคูณของระยะทางจากจุดยอดที่กำหนดไปยังจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมด (รวมถึงจุดยอดที่อยู่ติดกันและจุดยอดที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทแยงมุม ) จะเท่ากับn${\displaystyle 1}$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยม n ด้าน ปกติที่มีรัศมีวงกลมล้อมรอบRและระยะทางd _iจากจุดใดๆ ในระนาบไปยังจุดยอด เรามี^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.}$

สำหรับกำลังที่สูงกว่าของระยะทางจากจุดใดๆ บนระนาบไปยังจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน ถ้า ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

จากนั้น^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

และ

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

โดยที่m เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าn

ถ้าLคือระยะทางจากจุดใดๆ ในระนาบไปยังจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติnด้านที่มีรัศมีวงกลมล้อมรอบRแล้ว^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)}$,

ที่ไหน. ${\displaystyle m=1,2,\dots ,n-1}$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน ผลรวมของระยะตั้งฉากจากจุดภายในใดๆ ไปยังด้านทั้งnด้านจะเป็นnเท่าของระยะอะโพเทม^{[ 4 ] : หน้า 72} (โดยระยะอะโพเทมคือระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดๆ) นี่เป็นการขยายความทฤษฎีบทของ Vivianiสำหรับ กรณี n = 3 ^{[ 5 ] [ 6 ]}

รัศมีวงกลมล้อมรอบRจากจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งมีความสัมพันธ์กับความยาวด้านsหรือกับเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านaโดย

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้นั้นมีนิพจน์พีชคณิตสำหรับความสัมพันธ์เหล่านี้อยู่

ผลรวมของเส้นตั้งฉากจาก จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า n ด้าน ไปยังเส้นสัมผัสใดๆ ของวงกลมล้อมรอบเท่ากับnเท่าของรัศมีวงกลมล้อมรอบ^{[ 4 ] : หน้า 73}

ผลรวมของระยะทางกำลังสองจากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมด้าน เท่า nด้านไปยังจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบเท่ากับ 2 nR ²โดยที่Rคือรัศมีวงกลมล้อมรอบ^{[ 4 ] : หน้า 73}

ผลรวมของกำลังสองของระยะทางจากจุดกึ่งกลางของด้านต่างๆ ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน ไปยังจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบ คือ 2 nR ² − ⁠1/4ns ²โดยที่sคือความยาวด้านและ^Rคือรัศมีวงกลมล้อมรอบ^{[ 4} ] ^{: หน้า 73}

ถ้าคือระยะทางจากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบ แล้ว^{[ 3 ]}${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

ค็อกซ์เตอร์กล่าวว่าโซโนกอน ทุกรูป (รูป 2 ม . ที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและมีความยาวเท่ากัน) สามารถแบ่งออกเป็นหรือ⁠${\displaystyle {\tbinom {m}{2}}}$1/2m ( m − 1) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การ ปูพื้นเหล่านี้บรรจุเป็นเซตย่อยของจุดยอด ขอบ และหน้าในการฉายภาพตั้ง^ฉากmลูกบาศก์^[ 7 ^]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ ซึ่งในกรณีนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 4m+2 ด้านสามารถแบ่งออกได้ในลักษณะที่มีสมมาตรแบบรัศมี (2m+1) เท่า รายการOEIS :  A006245ให้จำนวนวิธีแก้ปัญหาสำหรับรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่า

ตัวอย่างการแบ่งส่วนสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านคู่บางรูป

ด้านข้าง	6	8	10	12	14	16
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	3	6	10	15	21	28

ด้านข้าง	18	20	24	30	40	50
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	36	45	66	105	190	300

พื้นที่Aของรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติnด้านที่มีด้านs รัศมีวงกลม ล้อมรอบRเส้นตั้งฉากaและเส้นรอบรูปpกำหนดโดย^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}}$$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านs = 1 รัศมีวงกลมล้อมรอบR = 1 หรือเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านa = 1 จะได้ตารางต่อไปนี้: ^{[ b ]} ( เนื่องจากเมื่อ${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$พื้นที่เมื่อมีแนวโน้มเข้า ใกล้ เมื่อ มีขนาดใหญ่ขึ้น) ${\displaystyle s=1}$${\displaystyle n^{2}/4\pi }$${\displaystyle n}$

จำนวนด้าน	พื้นที่เมื่อด้านs = 1		พื้นที่เมื่อรัศมีวงกลมล้อมรอบR = 1			พื้นที่เมื่อเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดศูนย์กลางมวลa = 1
	ที่แน่นอน	การประมาณค่า	ที่แน่นอน	การประมาณค่า	เมื่อเทียบกับพื้นที่วงกลมล้อมรอบ	ที่แน่นอน	การประมาณค่า	เมื่อเทียบกับพื้นที่วงกลม
n	${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle \scriptstyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$
3	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}}$	0.433012702	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$	1.299038105	0.4134966714	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 3{\sqrt {3}}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1.720477401	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.377641291	0.7568267288	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	0.8269933428	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4.828427125	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {2}}}$	2.828427125	0.9003163160	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7.694208843	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.938926262	0.9354892840	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$	17.64236291	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}$	3.050524822	0.9710122088	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$	3.188348426	1.014882824
16	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)}$	20.10935797	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	3.061467460	0.9744953584	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)}$	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$	31.56875757	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	3.090169944	0.9836316430	⁠ ⁠${\displaystyle \scriptstyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
104		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
106		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

ในบรรดารูปหลายเหลี่ยม n ด้าน ทั้งหมดที่มีเส้นรอบรูปที่กำหนด รูปที่มีพื้นที่มากที่สุดจะเป็นรูปปกติ^{[ 10 ]}

รูปหลายเหลี่ยมปกติบางรูปสร้างได้ง่ายด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดในขณะที่รูปหลายเหลี่ยมปกติบางรูปสร้างไม่ได้เลยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณรู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 3, 4 หรือ 5 ด้าน^{[ 11 ] : หน้า xi} และพวกเขารู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นสองเท่าของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่กำหนด^{[ 11 ] : หน้า 49–50} สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้าง รูปหลายเหลี่ยม ปกติn ด้าน ทั้งหมดด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด? ถ้าไม่เป็นไปได้ รูป หลายเหลี่ยม nด้านใดบ้างที่สร้างได้และรูปใดบ้างที่สร้างไม่ได้?

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์พิสูจน์ความสามารถในการสร้างรูป17 เหลี่ยม ด้านเท่าได้ ในปี 1796 ห้าปีต่อมา เขาได้พัฒนาทฤษฎีคาบเกาส์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ของเขา ทฤษฎีนี้ทำให้เขาสามารถกำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าได้:

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด ถ้าnเป็นผลคูณของกำลังของ 2 และจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ ที่แตกต่างกันจำนวนใดๆ (รวมถึงไม่มีเลย)

(จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์คือจำนวนเฉพาะที่มีรูปแบบ) เกาส์กล่าวโดยไม่มีการพิสูจน์ว่าเงื่อนไขนี้เป็นสิ่งจำเป็น เช่นกัน แต่ไม่เคยตีพิมพ์การพิสูจน์ของเขา การพิสูจน์เงื่อนไขนี้อย่างสมบูรณ์นั้นได้มาจากปิแอร์ วอนเซลในปี 1837 ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทเกาส์-วอนเซล ${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

ในทำนองเดียวกัน รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน จะสร้างได้ก็ต่อเมื่อค่าโคไซน์ของมุมร่วมเป็นจำนวนที่สร้างได้กล่าวคือ สามารถเขียนได้ในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่อย่างและการถอดรากที่สอง

ลูกบาศก์นี้ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมด้าน เท่าแบบเฉียง ซึ่งปรากฏเป็นขอบสีแดง 6 เส้นที่คดเคี้ยวไปมาระหว่างระนาบสองระนาบที่ตั้งฉากกับแกนทแยงของลูกบาศก์

ขอบด้านข้างที่คดเคี้ยวของแอนติปริซึมnด้านแสดงถึงรูป 2n ด้านเฉียงปกติดังแสดงในแอนติปริซึม 17 ด้านนี้

รูปหลายเหลี่ยมเฉียงปกติในปริภูมิ 3 มิติ สามารถมองได้ว่าเป็นเส้นทางที่ไม่เป็นระนาบซึ่งคดเคี้ยวไปมาระหว่างระนาบขนานสองระนาบ ซึ่งกำหนดโดยขอบด้านข้างของปริซึมแอนติเพอร์ ซึมสม่ำเสมอ โดยที่ขอบและมุมภายในทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ( ทรงสี่หน้า ทรงลูกบาศก์ทรงแปดหน้า ทรงสิบสองหน้าและทรงยี่สิบหน้า ) มีรูปหลายเหลี่ยมเพทรี ซึ่งแสดงด้วยสีแดง ในภาพนี้ โดยมีด้านยาว 4, 6, 6, 10 และ 10 ตามลำดับ

โดยทั่วไปแล้วรูปหลายเหลี่ยมเฉียงปกติสามารถกำหนดได้ใน ปริภูมิ nมิติ ตัวอย่างเช่นรูปหลายเหลี่ยมเพทรีซึ่งเป็นเส้นทางรูปหลายเหลี่ยมของขอบที่แบ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน และมองเห็นเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติในการฉายภาพแบบตั้งฉาก

ในขีดจำกัดอนันต์ รูปหลายเหลี่ยมปกติแบบเฉียงจะกลายเป็นรูปหลายเหลี่ยมเฉียงแบบอะพีโรกอน

รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ

2 < 2q < p, gcd (p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
สัญลักษณ์ Schläfli	{p/q}
จุดยอดและขอบ	พี
ความหนาแน่น	q
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D p )
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตนเองสอง
มุมภายใน ( องศา )	${\displaystyle 180-{\frac {360q}{p}}}$[ 12 ]

รูปหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูน คือรูปหลายเหลี่ยมดาว ปกติ ตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดคือรูปห้าเหลี่ยม ดาวห้าแฉก ซึ่งมีจุดยอดเหมือนกับรูปห้าเหลี่ยมทั่วไปแต่เชื่อมต่อจุดยอดสลับกัน

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมดาวn ด้าน สัญลักษณ์ Schläfliจะถูกดัดแปลงเพื่อระบุความหนาแน่นหรือ "ความเป็นดาว" mของรูปหลายเหลี่ยมนั้น โดยใช้รูปแบบ { n / m } ตัวอย่างเช่น ถ้าmเท่ากับ 2 แสดงว่าจุดที่สองทุกๆ จุดจะถูกเชื่อมต่อ ถ้าmเท่ากับ 3 แสดงว่าจุดที่สามทุกๆ จุดจะถูกเชื่อมต่อ ขอบของรูปหลายเหลี่ยมจะวนรอบจุดศูนย์กลางmครั้ง

ดาวฤกษ์ปกติ (ที่ไม่เสื่อมสภาพ) ที่มีด้านไม่เกิน 12 ด้าน ได้แก่:

• เพนทาแกรม – {5/2}
• เฮปตาแกรม – {7/2} และ {7/3}
• เลขแปด – {8/3}
• เอนเนียแกรม – {9/2} และ {9/4}
• เดคาแกรม – {10/3}
• เฮนเดคาแกรม – {11/2}, {11/3}, {11/4} และ {11/5}
• โดเดคาแกรม – {12/5}

mและnต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์มิฉะนั้นรูปทรงจะผิดเพี้ยนไป

ดาวฤกษ์ปกติที่เสื่อมสภาพซึ่งมีด้านมากถึง 12 ด้าน ได้แก่:

• เตตระกอน – {4/2}
• รูปหกเหลี่ยม – {6/2}, {6/3}
• รูปแปดเหลี่ยม – {8/2}, {8/4}
• เอนเนกอน – {9/3}
• รูปสิบเหลี่ยม – {10/2}, {10/4} และ {10/5}
• รูปสิบสองเหลี่ยม – {12/2}, {12/3}, {12/4} และ {12/6}

สองการตีความของ {6/2}

Grünbaum {6/2} หรือ 2{3} [ 13 ]	Coxeter 2 {3} หรือ {6}[2{3}]{6}
หกเหลี่ยมพันสองชั้น	รูปหกเหลี่ยมที่เกิดจากการรวมกันของรูปสามเหลี่ยมสองรูป

ขึ้นอยู่กับที่มาที่แน่นอนของสัญลักษณ์ Schläfli ความคิดเห็นเกี่ยวกับลักษณะของรูปทรงที่เสื่อมสภาพจึงแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น {6/2} อาจได้รับการพิจารณาในสองวิธี:

• ตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 (ดูตัวอย่างเช่นCoxeter (1948) ) เรามักใช้ /2 เพื่อระบุการเชื่อมจุดยอดแต่ละจุดของรูปนูน {6} กับจุดยอดใกล้เคียงที่อยู่ห่างออกไปสองขั้น เพื่อให้ได้ รูปสามเหลี่ยม ประกอบ ปกติ สองรูป หรือรูปหกเหลี่ยม
  Coxeter ชี้แจงสารประกอบปกติด้วยสัญลักษณ์ { kp }[ k { p }]{ kp } สำหรับสารประกอบ { p / k } ดังนั้นเฮกซาแกรมจึงแสดงเป็น {6}[2{3}]{6} ^{[ 14 ]} Coxeter ยังเขียน 2{ n /2} ในรูปแบบที่กระชับกว่า เช่น 2{3} สำหรับเฮกซาแกรมเป็นสารประกอบที่สลับกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านคู่ โดยใช้ตัวเอียงที่ตัวประกอบนำหน้าเพื่อแยกความแตกต่างจากการตีความที่ตรงกัน^{[ 15 ]}
• นักเรขาคณิตสมัยใหม่หลายคน เช่น Grünbaum (2003) ^{[ 13 ]}ถือว่าสิ่งนี้ไม่ถูกต้อง พวกเขาใช้ /2 เพื่อระบุการเคลื่อนที่สองตำแหน่งรอบ {6} ในแต่ละขั้นตอน ทำให้ได้สามเหลี่ยม "พันสองชั้น" ที่มีจุดยอดสองจุดซ้อนทับกันที่จุดมุมแต่ละจุด และมีขอบสองขอบตามส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น ไม่เพียงแต่จะสอดคล้องกับทฤษฎีสมัยใหม่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม ได้ดีกว่าเท่านั้น แต่ยังเลียนแบบวิธีการที่ Poinsot (1809) สร้างรูปหลายเหลี่ยมดาวของเขาได้ใกล้เคียงกว่าด้วย โดยการใช้ลวดเส้นเดียวและดัดงอที่จุดต่อเนื่องกันผ่านมุมเดียวกันจนกระทั่งรูปปิด

รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเป็นคู่สมในตัวเองกับความเท่ากัน ทุกประการ และสำหรับn ที่เป็นเลขคี่ รูปหลาย เหลี่ยมปกติจะเป็นคู่สมในตัวเองกับเอกลักษณ์

นอกจากนี้ รูปทรงดาวปกติ (รูปทรงประกอบ) ซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ ยังเป็นรูปทรงทวิภาวะในตัวเองอีกด้วย

ทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปมีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ โดยที่สำหรับจุดยอดสองจุดใดๆ ก็ตาม จะมี การแปลง แบบไอโซเมตรีที่แปลงจุดหนึ่งไปเป็นอีกจุดหนึ่ง (เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ)

ทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติคือ ทรงหลายเหลี่ยมที่มีพื้นผิวสม่ำเสมอ โดยมีพื้นผิวเพียงสองชนิดสลับกันรอบจุดยอดแต่ละจุด

ทรงหลายเหลี่ยมปกติคือ ทรงหลายเหลี่ยมที่มีพื้นผิวสม่ำเสมอและมีหน้าเพียงแบบเดียว

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่เหลืออยู่ (ที่ไม่สม่ำเสมอ) ซึ่งมีหน้าปกติ เรียกว่าทรงตันจอห์นสัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เรียกว่าเดลตาเฮดรอน

• วงเวียนคาร์ไลล์
• รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
• การปูพื้นแบบยุคลิดด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบนูน
• รายชื่อโพลีโทปปกติและสารประกอบ
• ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต

• ลี ฮวา ยัง; "ตัวเลขที่สร้างได้จากกระดาษพับ"
• Coxeter, HSM (1948). โพลีโทปปกติ Methuen and Co.
• Grünbaum, B.; รูปทรงหลายเหลี่ยมของคุณเหมือนกับรูปทรงหลายเหลี่ยมของฉันหรือไม่?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift , Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
• พอยน์โซต์, แอล. ; Memoire sur les polygones และ polyèdres J. de l'École Polytechnique 9 (1810), หน้า 16–48

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "รูปหลายเหลี่ยมปกติ" . MathWorld .
• คำอธิบายรูปหลายเหลี่ยมปกติพร้อมแอนิเมชันแบบโต้ตอบ
• วงกลมแนบในของรูปหลายเหลี่ยมปกติพร้อมแอนิเมชันแบบโต้ตอบ
• พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสูตรคำนวณสามแบบ พร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบ
• ภาพผลงานการสร้างสรรค์ของศิลปินยุคเรเนสซองส์ด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติเก็บถาวรเมื่อวันที่ 12 กุมภาพันธ์ 2549 ที่Wayback MachineณConvergence เก็บถาวร เมื่อวันที่ 12 กุมภาพันธ์ 2549 ที่Wayback Machine