รูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ
รูปสิบสองเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	12
สัญลักษณ์ Schläfli	{12}, t{6}, tt{3}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D 12 ), อันดับ 2×12
มุมภายใน ( องศา )	150°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

ในทางเรขาคณิตรูปสิบสองเหลี่ยมหรือรูป 12 เหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยม ใดๆ ที่ มีด้านทั้งหมดสิบสองด้าน

รูป สิบสองเหลี่ยม ปกติคือรูปที่มีด้านยาวเท่ากันและมุมภายในขนาดเท่ากัน มีเส้นสมมาตรสะท้อนสิบสองเส้นและสมมาตรการหมุนลำดับที่ 12 รูปสิบสองเหลี่ยมปกติแสดงด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {12} และสามารถสร้างได้เป็นรูปหกเหลี่ยมตัดยอด t{6} หรือรูปสามเหลี่ยม ตัดยอดสองครั้ง tt{3} มุมภายในที่แต่ละจุดยอดของรูปสิบสองเหลี่ยมปกติคือ 150°

พื้นที่ของรูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านaคำนวณได้จากสูตร :$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$$

และเมื่อพิจารณาจากระยะตั้งฉากจากจุดศูนย์กลาง ไปยังด้านใดด้าน หนึ่ง (ดูรูปที่จารึกไว้ ด้วย ) พื้นที่คือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$$

ในแง่ของรัศมีวงกลมล้อมรอบRพื้นที่คือ: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$$

ระยะคราดSของรูปสิบสองเหลี่ยม คือระยะห่างระหว่างด้านคู่ขนานสองด้าน และมีค่าเท่ากับสองเท่าของระยะตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้าน (apothem) สูตรอย่างง่ายสำหรับพื้นที่ (เมื่อกำหนดความยาวด้านและระยะคราด) คือ: สามารถตรวจสอบได้ด้วยความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ: $${\displaystyle A=3aS}$$$${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$$

เส้นรอบรูปของรูปสิบสองเหลี่ยมปกติในแง่ของรัศมีวงกลมล้อมรอบคือ: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$$

เส้นรอบรูปในแง่ของเส้นตั้งฉากคือ: สัมประสิทธิ์นี้เป็นสองเท่าของสัมประสิทธิ์ที่พบในสมการเส้นตั้งฉากสำหรับพื้นที่^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$$

เนื่องจาก 12 = 2 ² × 3 จึงสามารถสร้าง รูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยใช้การสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด :

การสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าที่วงกลมล้อมรอบ ที่กำหนด

การสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมด้าน เท่าที่มีความยาวด้านที่กำหนด: ภาพเคลื่อนไหว (วิธีการสร้างคล้ายกับการสร้างรูปแปดเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนด )

12 ลูกบาศก์	การผ่าตัดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 60 ครั้ง

Coxeterระบุว่าโซโนกอน ทุกอัน (รูป 2 mเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและมีความยาวเท่ากัน) สามารถแบ่งออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน m ( m -1)/2 รูป^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ ซึ่งในกรณีนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสำหรับรูปสิบสองเหลี่ยมปกติm =6 และสามารถแบ่งออกเป็น 15 รูป ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูป รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกว้าง 30° 6 รูป และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแคบ 15° 6 รูป การแบ่งส่วนนี้ขึ้นอยู่กับ การฉายภาพรูป หลายเหลี่ยมของ Petrieของลูกบาศก์ 6 ด้านโดยมี 15 ด้านจาก 240 ด้าน ลำดับ OEIS ลำดับA006245กำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหาเป็น 908 รวมถึงการหมุนสูงสุด 12 เท่าและรูปแบบไครัลในการสะท้อน

การผ่าตัดแยกออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 15 รูป

6 ลูกบาศก์

หนึ่งในวิธี การใช้ บล็อกรูปแบบการจัดการทางคณิตศาสตร์ คือการสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมที่แตกต่างกันหลายแบบ^{[ 5 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยการรวมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 60° 3 รูปเข้าเป็นรูปหกเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคางหมูครึ่งหกเหลี่ยม หรือแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 2 รูป

การผ่าตัดทั่วไปอื่นๆ

การปูกระเบื้องโซโคลาร์

บล็อกลวดลาย

รูปสิบสองเหลี่ยมปกติมี สมมาตรไดเฮดรัล ₁₂ลำดับที่ 24 มีสมมาตรไดเฮดรัลและสมมาตรแบบวงกลมที่แตกต่างกัน 15 กลุ่มย่อย แต่ละกลุ่มย่อยมีสมมาตรที่อนุญาตให้มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับหรือมากกว่าสำหรับรูปทรงที่ไม่ปกติ มีเพียง กลุ่มย่อย g12 เท่านั้น ที่ไม่มีระดับความเป็นอิสระ แต่สามารถมองได้ว่าเป็นขอบที่มีทิศทาง

ตัวอย่างรูปสิบสองเหลี่ยมโดยสมมาตร
ร24
d12	จี12	หน้า 12		ไอ8
d6	จี6	หน้า 6		d4	จี4	หน้า 4
จี3				d2	จี2	หน้า 2
เอ1

รูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าสามารถเติมจุดยอดบนระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าอื่นๆ ได้ 4 วิธี:

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการปูพื้นระนาบแบบเป็นคาบ 3 แบบ ที่ใช้รูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งกำหนดโดยการจัดเรียงจุดยอด :

1-เครื่องแบบ		2-เครื่องแบบ
3.12.12	4.6.12	3.12.12; 3.4.3.12

รูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงคือรูปหลายเหลี่ยมเฉียงที่มีจุดยอดและขอบ 12 จุด แต่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ภายในของรูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงดังกล่าวไม่มีนิยามที่ชัดเจน ส่วนรูปสิบสองเหลี่ยมซิกแซกเฉียงนั้นมีจุดยอดสลับกันอยู่บนระนาบขนานสองระนาบ

รูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงปกติเป็นรูปทรงที่จุดยอดสมมาตรกันและมีความยาวขอบเท่ากัน ใน 3 มิติ มันจะเป็นรูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงแบบซิกแซก และสามารถมองเห็นได้ที่จุดยอดและขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยม ที่มีสมมาตร D _5d , [2 ⁺ ,10] ลำดับ 20 เดียวกันปริซึมรูปสิบสองเหลี่ยม s{2,24/5} และปริซึมรูปสิบสองเหลี่ยมไขว้ s{2,24/7} ก็มีรูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงปกติเช่นกัน

รูปสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมเพทรีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมมิติสูงหลายรูป ซึ่งมองเห็นได้เป็นภาพฉายเชิงตั้งฉากในระนาบค็อกซ์เตอร์ตัวอย่างใน 4 มิติ ได้แก่24-เซลล์ , 24-เซลล์แบบเฉียง , ปริซึม คู่ 6-6 , พีระมิดคู่ 6-6ใน 6 มิติ ได้แก่ลูกบาศก์ 6 , ออร์โธเพล็กซ์6 , 2 ₂₁ , 1 ₂₂ นอกจากนี้ยังเป็นรูปหลายเหลี่ยมเพทรีสำหรับ เซลล์ขนาดใหญ่ 120-เซลล์และเซลล์ขนาดใหญ่แบบดาว 120-เซลล์อีก ด้วย

รูปสิบสองเหลี่ยมเฉียงปกติในมิติที่สูงกว่า
อี6		เอฟ4		2G 2 (4D)
2 21	1 22	24 เซลล์	สนับ 24 เซลล์	ดูโอพีระมิด 6-6	{6}×{6}
เอ11	ดี7		บี6		4A 2
11-ซิมเพล็กซ์	(4 11 )	1 41	6-ออร์โธเพล็กซ์	6 ลูกบาศก์	{3}×{3}×{3}×{3}

รูป สิบสองเหลี่ยม (dodecagram)เป็นรูปหลายเหลี่ยมดาว 12 ด้าน แทนด้วยสัญลักษณ์ {12/n} มีรูปหลายเหลี่ยมดาว ปกติหนึ่ง รูป คือ {12/5} โดยใช้จุดยอดเดียวกัน แต่เชื่อมต่อทุกๆ จุดที่ห้า นอกจากนี้ยังมีรูปประกอบอีกสามรูป คือ {12/2} ลดรูปเป็น 2{6} ในรูปหกเหลี่ยม สองรูป และ {12/3} ลดรูปเป็น 3{4} ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามรูป {12/4} ลดรูปเป็น 4{3} ในรูปสามเหลี่ยมสี่รูป และ {12/6} ลดรูปเป็น 6{2} ในรูปไดโกน เสื่อมสภาพหก รูป

ดาวฤกษ์และสารประกอบ
n	1	2	3	4	5	6
รูปร่าง	รูปหลายเหลี่ยม	สารประกอบ			รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ
ภาพ	{12/1} = {12}	{12/2} หรือ 2{6}	{12/3} หรือ 3{4}	{12/4} หรือ 4{3}	{12/5}	{12/6} หรือ 6{2}

การตัดที่ลึกกว่าของรูปสิบสองเหลี่ยมปกติและรูปสิบสองเหลี่ยมสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมดาวกลางแบบไอโซโกนัล ( จุดยอดที่สลับตำแหน่ง ) ที่มีจุดยอดเว้นระยะห่างเท่ากันและมีความยาวขอบสองค่า รูปหกเหลี่ยมที่ถูกตัดเป็นรูปสิบสองเหลี่ยม t{6}={12} รูปหกเหลี่ยมกึ่งถูกตัด ซึ่งกลับด้านเป็น {6/5} เป็นรูปสิบสองเหลี่ยม: t{6/5}={12/5} ^{[ 7 ]}

การตัดรูปหกเหลี่ยมแบบ Vertex-transitive
กึ่งปกติ	ไอโซโกนัล		กึ่งปกติ
t{6}={12}			t{6/5}={12/5}

ตัวอักษรE , HและX (และIใน แบบอักษร เซริฟหนา ) ที่เขียนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ทั้งหมดจะมีรูปทรงสิบสองเหลี่ยมกากบาทก็ มีรูป ทรงสิบสองเหลี่ยมเช่นกัน เช่นเดียวกับโลโก้ของแผนกผลิตรถยนต์ เชฟโรเลต

รูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติปรากฏให้เห็นอย่างเด่นชัดในอาคารหลายแห่งหอคอยทองคำ (Torre del Oro)เป็นหอสังเกตการณ์ ทางทหารรูปทรงสิบสองเหลี่ยม ในเมืองเซบียาทางตอนใต้ของสเปนสร้างโดยราชวงศ์อัลโมฮัดโบสถ์เวราครูซ (Vera Cruz) ในเมืองเซโกเวียประเทศสเปน สร้างขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 13 ก็มีรูปทรงสิบสองเหลี่ยมเช่นกัน อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ประตูวีนัส (Porta di Venere) ในเมืองสเปลโลประเทศอิตาลีสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช มีหอคอยรูปทรงสิบสองเหลี่ยมสองแห่ง เรียกว่า "หอคอยของโพรเพอร์ติอุส" (Propertius' Towers)

เหรียญรูปทรงสิบสองเหลี่ยมทั่วไปได้แก่:

• เหรียญสามเพนนีของอังกฤษตั้งแต่ปี 1937 ถึงปี 1971 ซึ่งเป็นปีที่เหรียญนี้หมดสถานะเป็นเงินที่ใช้ชำระหนี้ได้ตามกฎหมาย
• เหรียญหนึ่งปอนด์ของอังกฤษซึ่งเริ่มใช้ในปี 2017
• เหรียญ 50 เซนต์ของออสเตรเลีย
• 50 เซนต์ฟิจิ
• ชาวตองกา 50 คนตั้งแต่ปี 1974
• หมู่เกาะโซโลมอน 50 เซนต์
• 25 คูน่าโครเอเชีย
• โรมาเนีย 5,000 ลิว , 2544–2548
• เหรียญเพนนีแคนาดาปี 1982–1996
• เวียดนามใต้ 20 đồng , 1968–1975
• แซมเบีย 50 งวี , 1969–1992
• มาลาวี 50 ตัมบาลา , 1986–1995
• เม็กซิกัน 20 เซ็นตาโว , 1992-2009
• 5 เชเกลอิสราเอลใหม่

• จำนวนสิบสองเหลี่ยม
• ทรงสิบสองเหลี่ยม – รูปทรงหลายเหลี่ยม ใดๆ ที่มี 12 หน้า
• โดเดคาแกรม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "รูปสิบสองเหลี่ยม" . แมธเวิลด์ .
• กระเบื้องและทฤษฎีบทของเคอร์ชัค
• คำจำกัดความและคุณสมบัติของรูปสิบสองเหลี่ยมพร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบ
• รูปสิบสองเหลี่ยมปกติในห้องเรียนโดยใช้บล็อกรูปทรงเรขาคณิต