7-ซิมเพล็กซ์

ออกตาเอ็กซอนปกติ(7-ซิมเพล็กซ์)
การฉายภาพเชิงตั้งฉากภายในรูปหลายเหลี่ยมเพทรี
พิมพ์	โพลีโทป 7แบบปกติ
ตระกูล	ซิมเพล็กซ์
สัญลักษณ์ Schläfli	{3,3,3,3,3,3}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
6 หน้า	8 6-ซิมเพล็กซ์
5 หน้า	28 5-ซิมเพล็กซ์
4 หน้า	56 5 เซลล์
เซลล์	70 เตตระเฮดรอน
ใบหน้า	56 สามเหลี่ยม
ขอบ	28
จุดยอด	8
รูปจุดยอด	6-ซิมเพล็กซ์
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	แปดเหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	A ₇ [3,3,3,3,3,3]
สองชั้น	ตนเองสองฝ่าย
คุณสมบัติ	นูน

ในเรขาคณิต 7 มิติ ซิมเพล็กซ์ 7 มิติคือโพลีโทป 7 มิติ ปกติแบบ คู่ตัวเอง มันมี 8 จุดยอด 28 ขอบ 56 หน้า สามเหลี่ยม 70 เซลล์ทรง สี่เหลี่ยมด้าน เท่า 56 หน้า 5-เซลล์ 5 หน้า 28 หน้า ซิมเพล็กซ์ 5หน้า 6 หน้า และ 8 หน้า ซิมเพล็กซ์ 6 หน้ามุมไดเฮดรัล ของมัน คือ cos ⁻¹ (1/7) หรือประมาณ 81.79°

ชื่ออื่น

นอกจากนี้ยังสามารถเรียกว่าoctaexonหรือocta-7-tope ได้อีกด้วย เนื่องจากเป็น โพลีโทป8 ด้านที่มี มิติ 7 มิติ ชื่อoctaexonมาจากคำว่า octa ซึ่งหมาย ถึงด้านแปดด้านในภาษากรีกและ-exซึ่งหมายถึงมีด้านหกมิติ และ-on Jonathan Bowers ให้ตัวย่อของ octaexon ว่าoca ^{[ 1 ]}

ในฐานะการกำหนดค่า

เมทริกซ์การกำหนดค่านี้แสดงถึงซิมเพล็กซ์ 7 ด้าน แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอด ขอบ หน้า เซลล์ หน้า 4 ด้าน หน้า 5 ด้าน และหน้า 6 ด้าน ตัวเลขแนวทแยงแสดงจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่ปรากฏในซิมเพล็กซ์ 7 ด้านทั้งหมด ตัวเลขที่ไม่ใช่แนวทแยงแสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ปรากฏในหรือที่องค์ประกอบของแถว เมทริกซ์ของซิมเพล็กซ์แบบคู่ตัวเองนี้เหมือนกับการหมุน 180 องศา^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

สมมาตร

7-ซิมเพล็กซ์ คือการเชื่อมต่อของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตั้งฉากสองรูปในโปรเจกต์ออร์โธกราฟิก 2 มิติแบบสมมาตร: 2⋅{3,3} หรือ {3,3}∨{3,3}, ขอบสีแดง 6 เส้น, ขอบสีน้ำเงิน 6 เส้น และขอบไขว้สีเหลือง 16 เส้น	ซิมเพล็กซ์ 7 ตัว คือการรวมกันของส่วนตั้งฉาก 4 ส่วน ฉายลงบนลูกบาศก์ 3 มิติ: 4⋅{ } = { }∨{ }∨{ }∨{ } ขอบทั้ง 28 ขอบแสดงเป็นขอบสีเหลือง 12 ขอบของลูกบาศก์ เส้นทแยงมุมหน้าลูกบาศก์ 12 เส้นสีเขียวอ่อน และเส้นทแยงมุมเต็ม 4 เส้นสีแดง การแบ่งส่วนนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเทตราดิสฟีนอยด์ หรือการรวมกันของดิ สฟีนอยด์ สองตัว

มีโครงสร้างสมมาตรต่ำกว่าหลายแบบสำหรับซิมเพล็กซ์ 7 ตัว

บางรูปแบบแสดงออกมาในรูปของการแบ่งส่วนแบบรวมของซิมเพล็กซ์ล่างสองอันขึ้นไป ลำดับสมมาตรของการรวมแต่ละครั้งเป็นผลคูณของลำดับสมมาตรขององค์ประกอบ และจะเพิ่มขึ้นอีกหากสามารถสลับองค์ประกอบที่เหมือนกันได้

เข้าร่วม	เครื่องหมาย	สมมาตร	คำสั่ง	เวกเตอร์ fแบบขยาย(การแยกตัวประกอบ)
ซิมเพล็กซ์ 7 ปกติ	{3,3,3,3,3,3}	[3,3,3,3,3,3]	8! = 40320	( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 )
การเชื่อมต่อ แบบซิมเพล็กซ์ 6 จุด (พีระมิด)	{3,3,3,3,3}∨( )	[3,3,3,3,3,1]	7!×1! = 5040	( 1 ,7,21,35,35,21,7, 1 )*( 1 , 1 )
การเชื่อมต่อ เซกเมนต์ แบบซิมเพล็กซ์ 5 ตัว	{3,3,3,3}∨{ }	[3,3,3,3,2,1]	6!×2! = 1440	( 1 ,6,15,20,15,6, 1 )*( 1 ,2, 1 )
การเชื่อมต่อสามเหลี่ยม5 เซลล์	{3,3,3}∨{3}	[3,3,3,2,3,1]	5!×3! = 720	( 1 ,5,10,10,5, 1 )*( 1 ,3,3, 1 )
การเชื่อมต่อสามเหลี่ยม-สามเหลี่ยม-ส่วน	{3}∨{3}∨{ }	[[3,2,3],2,1,1]	((3!) ² ×2!)×2! = 144	( 1 ,3,3, 1 ) ² *( 1 ,2, 1 )
เตตระเฮดรอน - การเชื่อมต่อเตตระเฮดรอน	2⋅{3,3} = {3,3}∨{3,3}	[[3,3,2,3,3],1]	(4!) ² ×2! = 1052	( 1 ,4,6,4, 1 ) ²
การเชื่อมต่อ 4 ส่วน	4⋅{ } = { }∨{ }∨{ }∨{ }	[4[2,2,2],1,1,1]	(2!) ⁴ ×4! = 384	( 1 ,2, 1 ) ⁴
การเชื่อมต่อ 8 จุด	8⋅( )	[8[1,1,1,1,1,1]]	(1!) ⁸ ×8! = 40320	( 1 , 1 ) ⁸

พิกัด

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของอ็อกตาเอ็กซอนปกติที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางและมีความยาวด้าน 2 คือ:

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

กล่าวโดยง่าย จุดยอดของซิมเพล็กซ์ 7 มิติสามารถวางตำแหน่งในปริภูมิ 8 มิติได้โดยใช้การเรียงสับเปลี่ยนของ (0,0,0,0,0,0,0,1) การสร้างนี้อาศัยพื้นฐานจากหน้าตัดของออร์โธเพล็กซ์ 8มิติ

รูปภาพ

7-ซิมเพล็กซ์ใน 3 มิติ
แบบจำลองลูกบอลและแท่งในซองทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่าไตรอาคิส	7-ซิมเพล็กซ์ในฐานะพื้นผิว แอมพลิทูเฮดรอน	จากภาพ 7 ซิมเพล็กซ์เป็นภาพ 3 มิติ พร้อมมุมมองกล้องที่แสดงให้เห็นถึงเค้าโครงของการฉายภาพเพทรีแบบ 2 มิติ

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก
เครื่องบินค็ อกซ์เตอร์ _เค.	เอ₇	เอ₆	เอ₅
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[8]	[7]	[6]
เครื่องบิน ค็ อกซ์เตอร์ _เค.	เอ₄	เอ₃	เอ₂
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[5]	[4]	[3]

โพลีโทปที่เกี่ยวข้อง

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นด้านหนึ่งของพื้นผิวที่สม่ำเสมอ3 ₃₁พร้อมแผนภาพ Coxeter-Dynkin :

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นหนึ่งใน 71 รูปทรงหลายเหลี่ยม 7 มิติที่สม่ำเสมอ ซึ่งมี สมมาตร A ₇

โพลีโทป A7
t ₀	ที₁	ที₂	ที₃	t _0,1	t _0,2	t _1,2	t _0,3
t _1,3	t _2,3	t _0,4	t _1,4	t _2,4	t _0.5	t _1,5	t _0,6
t _0,1,2	t _0,1,3	t _0,2,3	t _1,2,3	t _0,1,4	t _0,2,4	t _1,2,4	t _0,3,4
t _1,3,4	t _2,3,4	t _0,1,5	t _0,2,5	t _1,2,5	t _0,3,5	t _1,3,5	t _0,4,5
t _0,1,6	t _0,2,6	t _0,3,6	t _0,1,2,3	t _0,1,2,4	t _0,1,3,4	t _0,2,3,4	t _1,2,3,4
t _0,1,2,5	t _0,1,3,5	t _0,2,3,5	t _1,2,3,5	t _0,1,4,5	t _0,2,4,5	t _1,2,4,5	t _0,3,4,5
t _0,1,2,6	t _0,1,3,6	t _0,2,3,6	t _0,1,4,6	t _0,2,4,6	t _0,1,5,6	t _0,1,2,3,4	t _0,1,2,3,5
t _0,1,2,4,5	t _0,1,3,4,5	t _0,2,3,4,5	t _1,2,3,4,5	t _0,1,2,3,6	t _0,1,2,4,6	t _0,1,3,4,6	t _0,2,3,4,6
t _0,1,2,5,6	t _0,1,3,5,6	t _0,1,2,3,4,5	t _0,1,2,3,4,6	t _0,1,2,3,5,6	t _0,1,2,4,5,6	t _{0,1,2,3,4,5,6}

หมายเหตุ

^ Klitzing, Richard. "7D uniform polytopes (polyexa) x3o3o3o3o3o3o - oca" .
^ Coxeter, HSM (1973). "§1.8 Configurations". Regular Polytopes (ฉบับที่ 3). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
^ Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 117. ISBN 9780521394901.

ลิงก์ภายนอก

คำศัพท์เฉพาะสำหรับไฮเปอร์สเปซโดย จอร์จ โอลเชฟสกี
โพลีโทปที่มีมิติต่างๆ
พจนานุกรมหลายมิติ

วี ที อี โพลีโทปนูน ปกติและสม่ำเสมอพื้นฐานในมิติ 2–10
ตระกูล	$หนึ่ง $	$บี เอ็น$	$I 2 (p)$ / $D n$	$อี 6$ / $อี 7$ / $อี 8$ / $เอฟ 4$ / $จี 2$	$เอช เอ็น$
รูปหลายเหลี่ยมปกติ	สามเหลี่ยม	สี่เหลี่ยม	พี-กอน	หกเหลี่ยม	เพนตากอน
ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ	จัตุรมุข	ทรงแปดเหลี่ยม • ทรงลูกบาศก์	เดมิคิวบ์		ทรงสิบสองเหลี่ยม • ทรงยี่สิบเหลี่ยม
โพลีโครอนแบบสม่ำเสมอ	เพนทาโครอน	เทสเซอแร็กต์ 16 เซลล์	เดมิเทสเซอแร็กต์	24 เซลล์	120 เซลล์ • 600 เซลล์
โพลีโทป 5 เหลี่ยมสม่ำเสมอ	5-ซิมเพล็กซ์	5-ออร์โธเพล็กซ์ • 5-คิวบ์	5-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 6 รูปทรงสม่ำเสมอ	6-ซิมเพล็กซ์	6-ออร์โธเพล็กซ์ • 6-คิวบ์	6-เดมิคิวบ์	1 ₂₂ • 2 ₂₁
โพลีโทป 7 แบบสม่ำเสมอ	7-ซิมเพล็กซ์	7-ออร์โธเพล็กซ์ • 7-คิวบ์	7-เดมิคิวบ์	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
โพลีโทป 8 รูปทรงสม่ำเสมอ	8-ซิมเพล็กซ์	8-ออร์โธเพล็กซ์ • 8-คิวบ์	8-เดมิคิวบ์	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
โพลีโทป 9 รูปทรงสม่ำเสมอ	9-ซิมเพล็กซ์	9-ออร์โธเพล็กซ์ • 9-คิวบ์	9-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 10 รูปทรงสม่ำเสมอ	10-ซิมเพล็กซ์	10-ออร์โธเพล็กซ์ • 10-คิวบ์	10 เดมิคิวบ์
โพลีโทปnสม่ำเสมอ	n - ซิมเพล็กซ์	n - ออร์โธเพล็กซ์ • n - คิวบ์	n - เดมิคิวบ์	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - โพลีโทปห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ตระกูลของรูปทรงหลายเหลี่ยม • รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ • รายชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ • การดำเนินการกับรูปทรงหลายเหลี่ยม

[1] Klitzing, Richard. "7D uniform polytopes (polyexa) x3o3o3o3o3o3o - oca" .

[2] Coxeter, HSM (1973). "§1.8 Configurations". Regular Polytopes (ฉบับที่ 3). Dover. ISBN 0-486-61480-8.

[3] Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 117. ISBN 9780521394901.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]