ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ไฮเปอร์ ไซเคิ ลไฮเปอร์เซอร์เคิลหรือเส้นโค้งระยะห่างเท่ากันคือเส้นโค้ง ที่จุดต่างๆ บนเส้นโค้งเหล่านี้มี ระยะห่างตั้งฉากเท่ากันจากเส้นตรงที่กำหนด (แกนของเส้นโค้ง)

กำหนดให้เส้นตรงLและจุดPที่ไม่ได้อยู่บนLเราสามารถสร้างไฮเปอร์ไซเคิลได้โดยการเลือกจุดQ ทั้งหมด ที่อยู่ด้านเดียวกับ L ของP โดยมีระยะตั้งฉากกับLเท่ากับระยะตั้งฉากของPเส้นตรงLเรียกว่าแกนจุดศูนย์กลางหรือเส้นฐานของไฮเปอร์ไซเคิล เส้นตรงที่ตั้งฉากกับLและตั้งฉากกับไฮเปอร์ไซเคิลด้วย เรียกว่าเส้นตั้งฉากของไฮเปอร์ไซเคิล ส่วนของเส้นตั้งฉากระหว่างLกับไฮเปอร์ไซเคิลเรียกว่ารัศมีความยาวร่วมกันของเส้นเหล่านี้เรียกว่าระยะทางหรือรัศมีของไฮเปอร์ไซเคิล^{[ 1 ]}

ไฮเปอร์ไซเคิลที่ผ่านจุดใดจุดหนึ่งซึ่งมีเส้นสัมผัส ร่วม กันที่จุดนั้นจะลู่เข้าหากันเป็นโฮโรไซเคิลเมื่อระยะห่างระหว่างไฮเปอร์ไซเคิลเหล่านั้นเข้าใกล้ค่าอนันต์

ไฮเปอร์ไซเคิลมีคุณสมบัติบางอย่างคล้ายคลึงกับเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด :

• ในระนาบหนึ่ง เมื่อกำหนดแกน (เส้นตรง) และจุดที่ไม่ได้อยู่บนแกนนั้น จะมีเพียงไฮเปอร์ไซเคิลเดียวที่ผ่านจุดนั้นโดยมีแกนที่กำหนด (เปรียบเทียบกับสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด)
• ไม่มีจุดสามจุดใดของไฮเปอร์ไซเคิลที่อยู่บนวงกลมเดียวกัน
• ไฮเปอร์ไซเคิลจะสมมาตรกับเส้นตรงทุกเส้นที่ตั้งฉากกับมัน (การสะท้อนไฮเปอร์ไซเคิลบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับไฮเปอร์ไซเคิลจะได้ไฮเปอร์ไซเคิลเดิม)

ไฮเปอร์ไซเคิลในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีคุณสมบัติบางอย่างคล้ายคลึงกับวงกลมในเรขาคณิตยุคลิด :

• เส้นตรงที่ตั้งฉากกับคอร์ดของไฮเปอร์ไซเคิล ณ จุดกึ่งกลางของไฮเปอร์ไซเคิลนั้น เรียกว่า รัศมี และจะแบ่งครึ่งส่วนโค้งที่รองรับโดยคอร์ดนั้น

  ให้ABเป็นคอร์ด และMเป็นจุดกึ่งกลางของคอร์ด

  โดยสมมาตร เส้นตรงRที่ลากผ่าน จุด Mและตั้งฉากกับABจะต้องตั้งฉากกับแกนLด้วย

  ดังนั้นRจึงเป็นรัศมี

  นอกจากนี้ ด้วยสมมาตร เส้นRจะแบ่งครึ่งส่วนโค้งABด้วย

• แกนและระยะทางของไฮเปอร์ไซเคิลนั้นถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง

  สมมติว่าไฮเปอร์ไซเคิลCมีแกนที่แตกต่างกันสองแกนคือL ₁และL ₂

  เมื่อใช้คุณสมบัติก่อนหน้านี้สองครั้งกับคอร์ดที่ต่างกัน เราสามารถกำหนดรัศมีสองค่าที่แตกต่างกันได้ คือR 1 _และ R 2 _{จาก นั้น} R ₁และR ₂จะต้องตั้งฉากกับL ₁และL ₂ ทั้งสอง ทำให้ได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง เพราะรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปที่เป็นไปไม่ได้ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

• ไฮเปอร์ไซเคิลสองเส้นจะมีระยะทางเท่ากันก็ต่อเมื่อ ไฮเปอร์ไซเคิลทั้งสอง เส้นนั้นสมมาตร กันเท่านั้น

  ถ้าพวกมันมีระยะห่างเท่ากัน เราก็แค่ต้องทำให้แกนของพวกมันมาบรรจบกันด้วยการเคลื่อนที่แบบแข็งตัว และรัศมีทั้งหมดก็จะมาบรรจบกันด้วย เนื่องจากระยะห่างเท่ากัน จุดของไฮเปอร์ไซเคิลทั้งสองก็จะมาบรรจบกันเช่นกัน

  ในทางกลับกัน ถ้าวัตถุทั้งสองเท่ากันทุกประการ ระยะทางก็ต้องเท่ากันด้วย ตามคุณสมบัติก่อนหน้านี้

• เส้นตรงจะตัดไฮเปอร์ไซเคิลได้มากที่สุดสองจุด

  ให้เส้นตรงKตัดไฮเปอร์ไซเคิลCที่สองจุดA และ Bเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราสามารถสร้างรัศมีRของCผ่านจุดกึ่งกลางMของABได้ โปรดสังเกตว่าKเป็นเส้นขนานพิเศษกับแกนLเนื่องจากมีเส้นตั้งฉากร่วมRนอกจากนี้ เส้นขนานพิเศษสองเส้นจะมีระยะห่างน้อยที่สุดที่เส้นตั้งฉากร่วม และ ระยะห่างจะเพิ่มขึ้น เรื่อยๆเมื่อเราห่างจากเส้นตั้งฉาก

  นั่นหมายความว่า จุดของKที่อยู่ภายในABจะมีระยะห่างจากLน้อยกว่าระยะห่างร่วมของAและBจากLในขณะที่จุดของKที่อยู่ภายนอกABจะมีระยะห่างมากกว่า สรุปได้ว่า ไม่มีจุดอื่นใดของKที่สามารถอยู่บนCได้

• ไฮเปอร์ไซเคิลสองเส้นจะตัดกันอย่างมากที่สุดสองจุด

  ให้C ₁ , C ₂เป็นไฮเปอร์ไซเคิลที่ตัดกันที่จุดสามจุดA, B, C

  ถ้าR ₁เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับAB และผ่านจุดกึ่งกลาง เราจะทราบว่า R 1 เป็นรัศมีของทั้งC ₁และC ₂

  ในทำนองเดียวกัน เราสร้างR ₂ ซึ่ง เป็นรัศมีที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของBC

  R ₁และR ₂ตั้งฉากพร้อมกันกับแกน L ₁และL ₂ของ C ₁และC ₂ตามลำดับ

  เราได้พิสูจน์แล้วว่าL ₁ , L ₂จะต้องทับกัน (มิฉะนั้นจะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

  ดังนั้นC ₁และC ₂จึงมีแกนเดียวกันและมีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุด ด้วยเหตุนี้ ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจึงเท่ากันและจุดทั้งสองจึงทับกัน

• ไม่มีจุดสามจุดใดในไฮเปอร์ไซเคิลที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

  ถ้าจุดA, B, Cของไฮเปอร์ไซเคิลอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว คอร์ดABและBCจะอยู่บนเส้นตรงK เดียวกัน ให้R ₁และR ₂เป็นรัศมีที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของABและBCเราทราบว่าแกนLของไฮเปอร์ไซเคิลเป็นเส้นตั้งฉากร่วมของR ₁และR ₂

  แต่Kคือเส้นตั้งฉาก ร่วม ดังนั้นระยะทางต้องเป็น 0 และไฮเปอร์ไซเคิลจะกลายเป็นเส้นตรง

• ความยาวของส่วนโค้งของไฮเปอร์ไซเคิลระหว่างสองจุดคือ
  • ยาวกว่าความยาวของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดนั้น
  • สั้นกว่าความยาวของส่วนโค้งของหนึ่งในสองโฮโรไซเคิลระหว่างสองจุดนั้น และ
  • สั้นกว่าส่วนโค้งของวงกลมใดๆ ระหว่างจุดสองจุดนั้น
• ไฮเปอร์ไซเคิลและโฮโรไซเคิลจะตัดกันได้มากที่สุดสองจุด
• ไฮเปอร์ไซเคิลรัศมีr ที่มีsinh²r = 1ทำให้เกิดสมมาตรเสมือนของระนาบไฮเปอร์โบลิกโดยการผกผัน (ไฮเปอร์ไซเคิลดังกล่าวตัดกับแกนของมันที่มุม π/4) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดPในระนาบครึ่งเปิดของแกนจะผกผันเป็นP'ซึ่งมุมขนานของ P' เป็นส่วนเติมเต็มของมุมขนานของP ' สมมาตรเสมือนนี้สามารถขยายไปสู่ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกที่มีมิติสูงกว่า ซึ่งช่วยอำนวยความสะดวกในการศึกษาแมนิโฟลด์ไฮ เปอร์โบลิกมันถูกใช้อย่างกว้างขวางในการจำแนกภาคตัดกรวยในระนาบไฮเปอร์โบลิก ซึ่งเรียกว่า การผกผันแบบแยกส่วน แม้ว่าจะเป็นแบบคอนฟอร์มอล แต่การผกผันแบบแยกส่วนไม่ใช่สมมาตรที่แท้จริง เนื่องจากมันสลับแกนกับขอบของระนาบ และแน่นอนว่าไม่ใช่ไอโซเมตรี

ในระนาบไฮเปอร์โบลิกที่มีความโค้ง คงที่ −1 ความยาวของส่วนโค้งของไฮเปอร์ไซเคิลสามารถคำนวณได้จากรัศมีrและระยะห่างระหว่างจุดที่เส้นตั้งฉากตัดกับแกน^dโดยใช้สูตรl = d cosh r [ ^{2 ]}

ในแบบจำลองจานปวงกาเรของระนาบไฮเปอร์โบลิก ไฮเปอร์ไซเคิลจะถูกแทนด้วยเส้นตรงและส่วนโค้งของวงกลมที่ตัดกับวงกลมขอบเขตในมุมที่ไม่เป็นมุมฉาก ส่วนการแสดงแกนนั้นจะตัดกับวงกลมขอบเขตในจุดเดียวกัน แต่เป็นมุมฉาก

ในแบบจำลองระนาบครึ่งวงกลมของปวงกาเรสำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิก ไฮเปอร์ไซเคิลจะถูกแทนด้วยเส้นตรงและส่วนโค้งของวงกลมที่ตัดกับเส้นขอบในมุมที่ไม่เป็นมุมฉาก ส่วนการแสดงแกนนั้นจะตัดกับเส้นขอบในจุดเดียวกัน แต่เป็นมุมฉาก

ชั้นความสอดคล้องของพาราโบลาสไตเนอร์ในระนาบไฮเปอร์โบลิกมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับไฮเปอร์ไซเคิลในระนาบครึ่งH ที่กำหนด ของแกนที่กำหนด ในเรขาคณิตเชิงตกกระทบกรวยสไตเนอร์ที่จุดP ที่เกิดจากเส้นตรงTคือตำแหน่งของจุดตัดL ∩ T ( L )สำหรับเส้นตรงL ทั้งหมด ที่ผ่านPนี่คือสิ่งที่เทียบเคียงได้กับนิยามของกรวยสไตเนอร์ในระนาบเชิงฉายเหนือฟิลด์ชั้นความสอดคล้อง ของ กรวยสไตเนอร์ในระนาบไฮเปอร์โบลิกถูกกำหนดโดยระยะทาง sระหว่างPและT ( P )และมุมการหมุนφที่เกิดจากTรอบT ( P )พาราโบลาสไตเนอร์แต่ละอันคือตำแหน่งของจุดที่มีระยะห่างจากจุดโฟกัส Fเท่ากับระยะห่างไปยังไดเรกทริกซ์ของไฮเปอร์ไซเคิลที่ไม่ใช่เส้นตรง สมมติว่าไฮเปอร์ไซเคิลมีแกนร่วมกัน ตำแหน่งของ Fจะถูกกำหนดโดยφดังต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้sinh s = 1คลาสของพาราโบลาจะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับφ ∈ (0, π/2)ในแบบจำลองดิสก์คอนฟอร์มอล แต่ละจุดPเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มี| P | < 1ให้แกนร่วมเป็นเส้นจำนวนจริงและสมมติว่าไฮเปอร์ไซเคิลอยู่ในระนาบครึ่งHโดยที่Im P > 0จากนั้นจุดยอดของแต่ละพาราโบลาจะอยู่ในHและพาราโบลาจะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นที่ลากผ่านจุดยอดตั้งฉากกับแกน ถ้าไฮเปอร์ไซเคิลอยู่ห่างจากแกน เป็นระยะ d โดยที่ โดย เฉพาะอย่างยิ่งF = 0เมื่อφ = π/4ในกรณีนี้ จุดโฟกัสจะอยู่บนแกน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง การผกผันในไฮเปอร์ไซเคิลที่สอดคล้องกันจะ ทำให้ Hไม่เปลี่ยนแปลง นี่คือ กรณี ฮาร์มอนิกนั่นคือ การแสดงพาราโบลาในแบบจำลองผกผันใดๆ ของระนาบไฮเปอร์โบลิกเป็นเส้นโค้ง ฮาร์มอนิก ที่มีจีนัส 1${\displaystyle \tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},}$$${\displaystyle F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.}$$