การคูณควอเทอร์เนียนระนาบ

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle -\varepsilon j}$
${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle -\varepsilon k}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

ควอเทอร์เนียนระนาบ ประกอบขึ้นเป็น พีชคณิตสี่มิติเหนือจำนวนจริง [ ^{1 ] [ 2 ] การ}ประยุกต์ใช้หลักคือการแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งในปริภูมิ 2 มิติในบทความนี้ จะมีการกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ พีชคณิตค วอเทอร์เนียนคู่ในเรขาคณิต 2 มิติ ในขณะนี้ บทความนี้มุ่งเน้นไปที่พีชคณิตย่อยสี่มิติของควอเทอร์เนียนคู่ ซึ่งต่อมาจะเรียกว่าควอเทอร์เนียนระนาบ

การคูณควอเทอร์เนียนระนาบนั้นไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ ซึ่งแตกต่างจากการคูณจำนวนคู่หรือจำนวนเชิงซ้อน

ในบทความนี้ เซตของควอเทอร์เนียนระนาบจะถูกแทนด้วย โดยที่สมาชิกทั่วไปของมีรูปแบบเป็นโดยที่, , และเป็นจำนวนจริง; เป็นจำนวนคู่ที่ยกกำลังสองแล้วได้ศูนย์; และ, , และเป็นองค์ประกอบฐานมาตรฐานของควอเทอร์เนียน ${\displaystyle \mathbb {DC} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {DC} }$${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

การคูณทำในลักษณะเดียวกับควอเทอร์เนียน แต่มีกฎเพิ่มเติมคือเป็นจำนวนนิลโพเทนต์ที่มีดัชนี นั่น คือซึ่งในบางกรณีทำให้เทียบได้กับ จำนวน อนันต์เล็ก ๆดังนั้น ตัวผกผันการคูณของควอเทอร์เนียนระนาบจึงกำหนดโดย ${\textstyle \varepsilon }$${\displaystyle 2}$${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$${\textstyle \varepsilon }$$${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon jD\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

เซตนี้เป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนระนาบ โดยที่ค่าสเกลาร์เป็นจำนวนจริง ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$

ขนาดของควอเทอร์เนียนระนาบถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle q}$$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

สำหรับการใช้งานในด้านกราฟิกคอมพิวเตอร์ ตัวเลขดังกล่าวโดยทั่วไปจะถูกแสดงในรูปแบบทูเพิล 4 ตัว ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$${\displaystyle (A,B,C,D)}$

ควอเทอร์เนียนระนาบมีรูปแบบการแสดงเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 2x2 ดังนี้: ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์จำนวนคู่ 2×2: เมทริกซ์ทั้งสองรูปแบบข้างต้นมีความสัมพันธ์กับการแปลงโมเบียสและการแปลงลากูร์ตามลำดับ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$

พีชคณิตที่กล่าวถึงในบทความนี้บางครั้งเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนคู่ (dual complex numbers ) ซึ่งชื่อนี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้ เพราะมันบ่งชี้ว่าพีชคณิตควรมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้:

1. ตัวเลขคู่ แต่มีรายการเป็นจำนวนเชิงซ้อน
2. จำนวนเชิงซ้อน แต่มีตัวเลขคู่เป็นค่าป้อนเข้า

พีชคณิตที่ตรงกับคำอธิบายใดคำอธิบายหนึ่งนั้นมีอยู่จริง และคำอธิบายทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน (เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต นั้น สลับที่ได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ) พีชคณิตนี้สามารถแสดงได้โดยใช้การหารวงแหวนพีชคณิตที่ได้นั้นมีผลคูณสลับที่ได้และจะไม่กล่าวถึงเพิ่มเติมอีกต่อไป ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

ให้เป็นควอเทอร์เนียนระนาบที่มีความยาวหนึ่งหน่วย กล่าวคือ เราต้องมีเงื่อนไขว่า$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

ระนาบยุคลิดสามารถแทนได้ด้วยเซต ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$

องค์ประกอบบนแสดงถึงจุดบนระนาบยุคลิดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle q}$สามารถทำให้กระทำการได้โดยการใช้แผนที่ไปยังจุดอื่นบน ${\displaystyle v}$$${\displaystyle qvq^{-1},}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Pi }$

เรามี รูปแบบเชิงขั้ว (หลายรูปแบบ) ดังต่อไปนี้สำหรับ: ${\displaystyle q}$

1. เมื่อองค์ประกอบสามารถเขียนได้เป็นซึ่งหมายถึงการหมุนเป็นมุมรอบจุด${\displaystyle B\neq 0}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (x,y)}$
2. เมื่อองค์ประกอบสามารถเขียนได้เป็นซึ่งหมายถึงการแปลโดยใช้เวกเตอร์${\displaystyle B=0}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i\left({\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon k\right)\\={}&1-{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon k,\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}}.}$

การสร้างควอเทอร์เนียนระนาบอย่างมีหลักการ สามารถทำได้โดยการสังเกตก่อนว่าควอเทอร์เนียนระนาบเป็นส่วนย่อยของค วอเทอร์เนียนคู่

มีการตีความทางเรขาคณิตสองแบบสำหรับควอเทอร์เนียนคู่ซึ่งทั้งสองแบบสามารถนำมาใช้เพื่อหาการกระทำของควอเทอร์เนียนระนาบต่อระนาบได้:

• เพื่อเป็นการแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งในพื้นที่ 3 มิติ ควอเทอร์เนียนระนาบจึงสามารถมองได้ว่าเป็นการแสดงถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งส่วนย่อย ซึ่งต้องอาศัยความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการทำงานของควอเทอร์เนียนคู่ในพื้นที่ยูคลิด เราจะไม่กล่าวถึงวิธีการนี้ในที่นี้ เนื่องจากมีการอธิบายไว้อย่างเพียงพอในที่อื่นแล้ว
• ควอเทอร์เนียนคู่สามารถเข้าใจได้ว่าเป็น "การเพิ่มความหนาเล็กน้อย" ของควอเทอร์เนียน^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}โปรดจำไว้ว่าควอเทอร์เนียนสามารถใช้เพื่อแสดงการหมุนเชิงพื้นที่ 3 มิติในขณะที่จำนวนคู่สามารถใช้เพื่อแสดง " ค่าเล็กน้อย " การรวมคุณสมบัติเหล่านี้เข้าด้วยกันทำให้สามารถเปลี่ยนแปลงการหมุนได้อย่างเล็กน้อย ให้ แทนระนาบเล็กน้อยที่อยู่บนทรงกลมหน่วย เท่ากับสังเกตว่าเป็นเซตย่อยของทรงกลม แม้ว่าจะแบนราบ (นี่เป็นผลมาจากพฤติกรรมของค่าเล็กน้อยของจำนวนคู่)${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \Pi }$
  สังเกตว่า ในฐานะที่เป็นเซตย่อยของควอเทอร์เนียนคู่ ควอเทอร์เนียนระนาบจะหมุนระนาบกลับมาที่ตัวมันเอง ผลกระทบที่เกิดขึ้นนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของใน: ${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle v\in \Pi }$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$${\displaystyle qvq^{-1}}$
  1. เมื่อแกนหมุนจะชี้ไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนทำให้จุดต่างๆ บนเกิดการหมุนรอบจุดนั้น${\displaystyle B\neq 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle p}$
  2. เมื่อแกนการหมุนจะชี้ออกไปจากระนาบ โดยมุมการหมุนมีขนาดเล็กมาก ในกรณีนี้ จุดต่างๆ บนระนาบจะเกิดการเลื่อน${\displaystyle B=0}$${\displaystyle \Pi }$

• การศึกษาของเอ็ดเวิร์ด
• ควอเทอร์เนียน
• หมายเลขคู่
• ควอเทอร์เนียนคู่
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ด
• ไอโซเมตรีระนาบยูคลิด
• การแปลงเชิงเส้น
• ระนาบเชิงฉาย
• พิกัดเอกพันธุ์
• สเลิร์ป
• พีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล