ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์สัมผัสคือเวกเตอร์ที่สัมผัสกับเส้นโค้งหรือพื้นผิวณ จุดที่กำหนด เวกเตอร์สัมผัสถูกอธิบายในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้งในบริบทของเส้นโค้งในR ⁿโดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์สัมผัสเป็นองค์ประกอบของปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เวกเตอร์สัมผัสยังสามารถอธิบายได้ในแง่ของเจิร์ม ใน ทางรูปธรรม เวกเตอร์สัมผัส ณ จุดคืออนุพันธ์ เชิงเส้น ของพีชคณิตที่กำหนดโดยเซตของเจิร์ม ณ จุดนั้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ก่อนที่จะกล่าวถึงคำจำกัดความทั่วไปของเวกเตอร์สัมผัส เราจะมาพูดถึงการใช้งานในแคลคูลัสและคุณสมบัติของ เทนเซอร์ ของเวกเตอร์สัมผัสกันก่อน

ให้เป็นเส้นโค้งเรียบ พาราเมตริก เวกเตอร์สัมผัสกำหนดโดยก็ต่อเมื่อ มีอยู่ และ ก็ต่อเมื่อโดยที่เราใช้เครื่องหมายไพรม์แทนจุดตามปกติเพื่อระบุการอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์^{t [ 1 ]}เวกเตอร์^{สัมผัสหน่วย}กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r} '(t)}$${\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$$${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}$$

เมื่อกำหนดเส้นโค้ง ในเวกเตอร์สัมผัสหน่วยที่จะกำหนดโดย โดย ที่ส่วนประกอบของเวกเตอร์สัมผัสหาได้จากการหาอนุพันธ์ของแต่ละส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งเทียบกับ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$$${\displaystyle t}$

ถ้ากำหนดพารามิเตอร์ในระบบพิกัดn มิติ x ⁱ (ในที่นี้เราใช้ตัวยกเป็นดัชนีแทนตัวห้อยตามปกติ) โดยหรือ แล้วเวกเตอร์ฟิลด์สัมผัสจะกำหนดโดย ภายใต้การเปลี่ยนพิกัด เวกเตอร์สัมผัสใน ระบบพิกัด u ⁱจะกำหนดโดย โดย ที่เราใช้แบบแผนผลรวมของไอน์สไตน์ดังนั้น เวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้งเรียบจะแปลงเป็น เทนเซอร์ คอนทราเวเรียนต์อันดับหนึ่งภายใต้การเปลี่ยนพิกัด^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$$${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$$${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$$${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$$$${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$$${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$$${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$$

ให้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และให้เป็นเวกเตอร์ในเรากำหนดอนุพันธ์ทิศทางในทิศทาง ที่จุดโดย เวกเตอร์สัมผัสที่จุดอาจกำหนดได้ดังนี้ ^{[ 3 ]}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$$

ให้และ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ให้ และเป็นเวกเตอร์สัมผัสที่ที่และให้แล้ว ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ และให้เป็นพีชคณิตของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่มีค่าเป็นจำนวนจริงบนแล้วเวกเตอร์สัมผัสของที่จุดในแมนิโฟลด์ จะกำหนดโดยอนุพันธ์ซึ่งจะต้องเป็นเชิงเส้น — กล่าวคือ สำหรับและ ใดๆ เราจะได้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f,g\in A(M)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

โปรดทราบว่าโดยนิยามแล้ว การพิสูจน์จะมีคุณสมบัติของไลบ์นิซ

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

• เส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้ § เวกเตอร์สัมผัส
• พื้นผิวที่หาอนุพันธ์ได้ § ระนาบสัมผัสและเวกเตอร์ตั้งฉาก

• เกรย์, อัลเฟรด (1993), เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่ของเส้นโค้งและพื้นผิว , โบคา ราตัน: สำนักพิมพ์ซีอาร์ซี.
• สจ๊วต, เจมส์ (2001), แคลคูลัส: แนวคิดและบริบท , ออสเตรเลีย: ทอมสัน/บรูคส์/โคล.
• เคย์, เดวิด (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , นิวยอร์ก: McGraw-Hill.