ในทางคณิตศาสตร์การทำให้สมมาตรคือกระบวนการที่แปลงฟังก์ชัน ใดๆ ในตัวแปรให้เป็นฟังก์ชันสมมาตรในตัวแปร ในทำนองเดียวกันการทำให้ไม่สมมาตรคือกระบวนการที่แปลงฟังก์ชันใดๆ ในตัวแปรให้เป็นฟังก์ชัน ไม่สมมาตร${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ให้เป็นเซตและเป็นกลุ่มอาเบเลียนแบบบวกแผนที่เรียกว่า แผนที่${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$แผนที่สมมาตรถ้า เรียกว่า$${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$แผนที่แบบแอนติสมมาตรถ้าหากว่าแทนที่จะเป็นเช่นนั้น $${\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$

เดอะการทำให้ แผนที่สมมาตรคือแผนที่ เดียวกัน${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).}$การทำให้สมมาตรแบบตรงข้ามหรือการทำให้ แผนที่สมมาตรแบบเฉียงคือแผนที่นั้น${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).}$

ผลรวมของการทำให้สมมาตรและการทำให้ไม่สมมาตรของแผนที่คือ ดังนั้นเมื่ออยู่ห่างจาก 2หมายความว่าถ้า 2 สามารถผกผันได้เช่น สำหรับจำนวนจริงเราสามารถหารด้วย 2 และแสดงฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นผลรวมของฟังก์ชันสมมาตรและฟังก์ชันไม่สมมาตรได้ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 2\alpha .}$

การทำให้แผนที่สมมาตรเป็นสมมาตรคือค่าสองเท่าของแผนที่สมมาตรนั้น ในขณะที่การทำให้แผนที่สลับ เป็นสมมาตร คือศูนย์ ในทำนองเดียวกัน การทำให้แผนที่สมมาตรเป็นปฏิสมมาตรคือศูนย์ ในขณะที่การทำให้แผนที่ปฏิสมมาตรเป็นปฏิสมมาตรคือค่าสองเท่าของแผนที่ปฏิสมมาตรนั้น

การทำให้สมมาตรและการทำให้ไม่สมมาตรของแผนที่เชิงเส้นคู่เป็นแบบเชิงเส้นคู่ ดังนั้น นอกเหนือจาก 2 แล้ว รูปแบบเชิงเส้นคู่ทุกรูปแบบจะเป็นผลรวมของรูปแบบสมมาตรและรูปแบบสมมาตรเฉียง และไม่มีความแตกต่างระหว่างรูปแบบสมมาตรและรูปแบบกำลังสอง

ที่ข้อ 2 ไม่ใช่ทุกรูปแบบที่จะสามารถแยกออกเป็นรูปแบบสมมาตรและรูปแบบสมมาตรเฉียงได้ ตัวอย่างเช่น เหนือจำนวนเต็มรูปแบบสมมาตรที่เกี่ยวข้อง (เหนือจำนวนตรรกยะ ) อาจมีค่าเป็นครึ่งจำนวนเต็ม ในขณะที่เหนือฟังก์ชันจะเป็นสมมาตรเฉียงก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นสมมาตร (เช่น) ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle 1=-1}$

สิ่งนี้จึงนำไปสู่แนวคิดของรูปแบบกำลังสอง εและรูปแบบสมมาตร ε

ในแง่ของทฤษฎีการเป็นตัวแทน :

• การสลับตัวแปรทำให้ได้ตัวแทนของกลุ่มสมมาตรบนปริภูมิของฟังก์ชันในสองตัวแปร
• ฟังก์ชันสมมาตรและฟังก์ชันปฏิสมมาตรคือการแสดงย่อยที่สอดคล้องกับการแสดงแบบไม่สำคัญและการแสดงแบบเครื่องหมายและ
• การทำให้สมมาตรและการทำให้ไม่สมมาตรจะแปลงฟังก์ชันไปเป็นการแสดงแทนย่อยเหล่านี้ – หากหารด้วย 2 จะได้แผนที่การฉาย ภาพ

เนื่องจากกลุ่มสมมาตรอันดับสองเท่ากับกลุ่มวัฏจักรอันดับสอง ( ) จึงสอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องอันดับสอง ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดฟังก์ชันในตัวแปร เราสามารถทำให้สมมาตรได้โดยการหาผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของตัวแปร^{[ 1 ]}หรือทำให้ไม่สมมาตรได้โดยการหาผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนคู่ ทั้งหมด และลบผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนคี่ทั้งหมด (ยกเว้นกรณีที่การเรียงสับเปลี่ยนเดียวเป็นคู่) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!/2}$${\displaystyle n!/2}$${\displaystyle n\leq 1,}$

ในที่นี้ การทำให้ฟังก์ชันสมมาตรเป็นฟังก์ชันสมมาตรนั้น จะคูณด้วย– ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันนั้นสามารถผกผันได้ เช่น เมื่อทำงานกับฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะหรือสิ่งเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็นการฉายภาพเมื่อหารด้วย${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p>n,}$${\displaystyle n!.}$

ในแง่ของทฤษฎีการแทนค่า สิ่งเหล่านี้ให้ผลลัพธ์เป็นเพียงการแทนค่าย่อยที่สอดคล้องกับการแทนค่าแบบไม่สำคัญและการแทนค่าแบบมีเครื่องหมายเท่านั้น แต่ยังมีแบบอื่นๆ อีก – โปรดดูทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มสมมาตรและพหุนามสมมาตร ${\displaystyle n>2}$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันในตัวแปรหนึ่งๆ เราสามารถสร้างฟังก์ชันสมมาตรในตัวแปรอีกตัวหนึ่งได้โดยการหาผลรวมของเซตย่อยที่มีสมาชิก จำนวน n ตัวของตัวแปรเหล่านั้น ในทางสถิติ วิธีนี้เรียกว่าการบูตสแตรป (bootstrapping ) และสถิติที่เกี่ยวข้องเรียกว่าสถิติยู (U-statistics ) ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

• แผนที่เชิงเส้นสลับ  – แผนที่เชิงเส้นที่มีค่าเป็น 0 เมื่อใดก็ตามที่ตัวแปรมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกัน
• เทนเซอร์ปฏิสมมาตร  – เทนเซอร์ที่เท่ากับค่าลบของเทนเซอร์ที่อยู่ในรูปสลับแถวและคอลัมน์ใดๆ