ในพีชคณิตเชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการหาโลคัลไลเซชันเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการในการแนะนำ "ตัวส่วน" ให้กับริงหรือโมดูล ที่กำหนด นั่นคือ มันเป็นการแนะนำริง/โมดูลใหม่จากริง/โมดูลR ที่มีอยู่แล้ว โดยที่ริง/โมดูลใหม่นั้นประกอบด้วยเศษส่วน ซึ่งตัวส่วนs เป็นสมาชิกของเซตย่อย Sที่กำหนดของRถ้าSคือเซตของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของโดเมนจำนวนเต็มการหาโลคัลไลเซชันนั้นก็คือฟิลด์ของเศษส่วนซึ่ง กรณีนี้เป็นการขยายการสร้างฟิลด์ของจำนวนตรรกยะจากริงของจำนวนเต็ม${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

เทคนิคนี้กลายเป็นสิ่งสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากเป็นการเชื่อมโยงอย่างเป็นธรรมชาติกับทฤษฎีชีฟ อันที่จริง คำว่า " การหาตำแหน่งเฉพาะที่" (localization ) มีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิต กล่าว คือ ถ้าRเป็นวงแหวนของฟังก์ชันที่กำหนดบนวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง (วาไรตี้เชิงพีชคณิต ) Vและเราต้องการศึกษาวาไรตี้นี้ "เฉพาะที่" ใกล้จุดpเราจะพิจารณาเซตSของฟังก์ชันทั้งหมดที่ไม่เป็นศูนย์ที่pและหาตำแหน่งเฉพาะที่ของRเทียบกับSวงแหวนที่ได้จะมีข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของVใกล้pและไม่รวมข้อมูลที่ไม่ใช่ "เฉพาะที่" เช่นศูนย์ของฟังก์ชันที่อยู่นอกV (ดูตัวอย่างที่ให้ไว้ในวงแหวนเฉพาะที่ ) ${\displaystyle S^{-1}R}$

การหาโลคัลไลเซ ชัน ของริงสลับที่RโดยเซตปิดเชิงการคูณSคือริงใหม่ที่มีสมาชิกเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษอยู่ในRและตัวส่วนอยู่ในS${\displaystyle S^{-1}R}$

ถ้าวงแหวนเป็นโดเมนจำนวนเต็มการสร้างจะขยายความและเป็นไปตามรูปแบบของฟิลด์เศษส่วนโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิลด์จำนวนตรรกยะซึ่งเป็นฟิลด์เศษส่วนของจำนวนเต็ม สำหรับวงแหวนที่มีตัวหารเป็นศูนย์การสร้างจะคล้ายกัน แต่ต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้น

โดยทั่วไป การหาตำแหน่งจะทำโดยสัมพันธ์กับเซตปิดการคูณS (เรียกอีกอย่างว่าเซตการคูณหรือระบบการคูณ ) ของสมาชิกในริงRซึ่งเป็นเซตย่อยของRที่ปิดภายใต้การคูณ และมี1 อยู่ ภายใน

ข้อกำหนดที่ว่าSต้องเป็นเซตแบบคูณได้นั้นเป็นเรื่องธรรมชาติ เนื่องจากหมายความว่าตัวส่วนทั้งหมดที่กำหนดโดยการกำหนดตำแหน่งนั้นเป็นของSการกำหนดตำแหน่งโดยเซตUที่ไม่ใช่เซตแบบคูณได้ปิดก็สามารถกำหนดได้เช่นกัน โดยการเลือกผลคูณทั้งหมดของสมาชิกในU เป็นตัวส่วนที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม การกำหนดตำแหน่งแบบเดียวกันนี้ได้มาจากการใช้เซตแบบคูณได้ปิดSซึ่งประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดของสมาชิกในUเนื่องจากวิธีนี้มักทำให้การให้เหตุผลและสัญลักษณ์ง่ายขึ้น จึงเป็นวิธีปฏิบัติมาตรฐานที่จะพิจารณาเฉพาะการกำหนดตำแหน่งโดยเซตแบบคูณได้เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น การหาตำแหน่งโดยใช้ตัวประกอบเดี่ยวsจะทำให้เกิดเศษส่วนในรูปแบบแต่ยังรวมถึงผลคูณของเศษส่วนดังกล่าวด้วย เช่น ดังนั้น ตัวส่วนจะอยู่ในเซตการคูณของกำลังของsด้วยเหตุนี้ โดยทั่วไปจึงมักพูดถึง "การหาตำแหน่งโดยใช้กำลังของตัวประกอบ" มากกว่า "การหาตำแหน่งโดยใช้ตัวประกอบ" ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดขอบเขตของริงRด้วยเซตการคูณSจะใช้สัญลักษณ์แต่ในบางกรณีพิเศษก็มักใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น ถ้าประกอบด้วยกำลังของสมาชิกตัวเดียวมักจะใช้สัญลักษณ์ถ้าเป็นส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะจะใช้สัญลักษณ์${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{t};}$${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ จะพิจารณาเฉพาะการกำหนดตำแหน่งโดยใช้เซตแบบคูณเท่านั้น

เมื่อวงแหวนRเป็นโดเมนเชิงจำนวนเต็มและSไม่ประกอบด้วย0วงแหวนนั้นจะเป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์เศษส่วนของRดังนั้น การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของโดเมนจึงเป็นโดเมน ${\displaystyle S^{-1}R}$

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น มันคือวงแหวนย่อยของฟิลด์เศษส่วนของRซึ่งประกอบด้วยเศษส่วนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี่คือวงแหวนย่อยเนื่องจากผลรวมและผลคูณของสององค์ประกอบของอยู่ในซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการนิยามของเซตการคูณ ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้Rเป็นวงแหวนย่อยของจะแสดงให้เห็นต่อไปว่าโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อSมี ตัว หาร เป็นศูนย์${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

ตัวอย่างเช่นเศษส่วนทศนิยมเป็นการกำหนดขอบเขตของวงแหวนของจำนวนเต็มโดยใช้เซตการคูณของกำลังของสิบ ในกรณีนี้ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนได้เป็น โดยที่nเป็นจำนวนเต็ม และkเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

โดยทั่วไป ปัญหาจะเกิดขึ้นกับตัวหารศูนย์ให้Sเป็นเซตการคูณในริงสลับที่Rสมมติว่าและเป็นตัวหารศูนย์ที่มีดังนั้นจะเป็นภาพของ ในและจะได้ว่า ดังนั้น สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์บางตัวของRจะต้องเป็นศูนย์ในการสร้างต่อไปนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนึงถึงเรื่องนี้ ${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\neq a\in R}$${\displaystyle as=0.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

เมื่อกำหนดRและSดังที่กล่าวมาข้างต้น เราจะพิจารณาความสัมพันธ์สมมูลบนซึ่งกำหนดโดยถ้ามีอยู่จริงที่ทำให้${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

การกำหนดตำแหน่งจะถูกนิยามว่าเป็นเซตของชั้นสมมูลสำหรับความสัมพันธ์นี้ ชั้นของ( r , s )จะถูกแทนด้วยหรือดังนั้น จะมีก็ต่อเมื่อมี ที่ทำให้เหตุผลสำหรับคือ เพื่อจัดการกับกรณีต่างๆ เช่นข้างต้นที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่าเศษส่วนควรจะถือว่าเท่ากันก็ตาม ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$${\displaystyle r/s,}$${\displaystyle s^{-1}r.}$${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

โลคัลไลเซชันเป็นวงแหวนสลับที่ที่มีการบวก ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

การคูณ

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

เอกลักษณ์การบวก และเอกลักษณ์การคูณ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

ฟังก์ชัน​

${\displaystyle j:r\mapsto {\frac {r}{1}},}$

แผนที่ ระบุตำแหน่งแบบแคนอนิก (canonical localization map ) กำหนด โฮโมมอร์ฟิซึม ของวงแหวน จาก ไปยังซึ่งจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อSไม่มีตัวหารศูนย์ใดๆ ${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

ถ้าเช่นนั้นวงแหวนศูนย์คือ วงแหวน ที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวคือ 0${\displaystyle 0\in S,}$${\displaystyle S^{-1}R}$

ถ้าSคือเซตของสมาชิกปกติ ทั้งหมด ของR (กล่าวคือ สมาชิก ที่ ไม่ใช่ตัวหารศูนย์) จะเรียกว่าวงแหวนเศษส่วนทั้งหมดของR${\displaystyle S^{-1}R}$

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (ที่นิยามไว้ข้างต้น) เป็นไปตามคุณสมบัติสากลที่อธิบายไว้ด้านล่าง คุณสมบัตินี้บ่งบอกถึงไอโซมอร์ฟิซึมดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดของการหาตำแหน่งเฉพาะที่สามารถอนุมานได้จากคุณสมบัติสากล โดยไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการสร้าง นอกจากนี้ คุณสมบัติที่สำคัญหลายประการของการหาตำแหน่งเฉพาะที่สามารถอนุมานได้ง่ายจากคุณสมบัติทั่วไปของคุณสมบัติสากล ในขณะที่การพิสูจน์โดยตรงอาจมีความซับซ้อนทางเทคนิคมากกว่า ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

คุณสมบัติสากลที่สอดคล้องกับคือ ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$

ถ้า เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่แมปทุกองค์ประกอบของSไปยังหน่วย (องค์ประกอบที่ผกผันได้) ในTจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้${\displaystyle f\colon R\to T}$${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$${\displaystyle f=g\circ j.}$

โดยใช้ทฤษฎีหมวดหมู่ เราสามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยกล่าวว่า การหาตำแหน่งเฉพาะที่ (localization) เป็นฟังก์ชันผันแปรทางซ้าย (left adjoint)ของฟังก์ชันลืม (forgetful functor)กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้และเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นคู่ของวงแหวนสลับที่ (commutative ring) และซับโมโนอิด (submonoid)ของโมโนอิดคูณ (multiplicative monoid)หรือกลุ่มหน่วยของวงแหวน (group of units of the ring) ตามลำดับ มอร์ฟิซึมของหมวดหมู่เหล่านี้คือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (ring homomorphisms) ที่แมปซับโมโนอิดของวัตถุแรกไปยังซับโมโนอิดของวัตถุที่สอง สุดท้าย ให้เป็นฟังก์ชันลืมที่ลืมว่าองค์ประกอบขององค์ประกอบที่สองของคู่ นั้นสามารถผกผันได้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

จากนั้นการแยกตัวประกอบของสมบัติสากลจะกำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

วิธีนี้อาจดูเหมือนเป็นวิธีที่ซับซ้อนในการแสดงคุณสมบัติสากล แต่ก็มีประโยชน์สำหรับการแสดงคุณสมบัติหลายอย่างได้อย่างง่ายดาย โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการประกอบกันของฟังก์ชันผกผัน ซ้ายสองตัว ก็คือฟังก์ชันผกผันซ้ายนั่นเอง

• ถ้าเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มและแล้วเป็นฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ถ้าRเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลและคือฟิลด์ของเศษส่วนของRตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษของกรณีนี้${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$
• ถ้าRเป็นริงสลับที่และถ้าSเป็นเซตย่อยของสมาชิกที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์แล้วคือริงเศษส่วนทั้งหมดของRในกรณีนี้Sคือเซตการคูณที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้โฮโมมอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษของกรณีนี้${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• ถ้าเป็นองค์ประกอบของวงแหวนสลับที่Rและแล้วสามารถระบุได้ (เป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงแคนอนิกกับ) (การพิสูจน์ประกอบด้วยการแสดงว่าวงแหวนนี้เป็นไปตามคุณสมบัติสากลข้างต้น) โดยทั่วไปวงแหวนจะถูกแทนด้วย[ ^{1 ] การ} กำหนดตำแหน่งแบบนี้มีบทบาทพื้นฐานในการกำหนดโครงร่างแอฟฟิน${\displaystyle x}$${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{x}}$
• ถ้าเป็นไอเดียลเฉพาะของวงแหวนสลับที่Rเซตส่วนเติมเต็มของในRจะเป็นเซตทวีคูณ (ตามนิยามของไอเดียลเฉพาะ) วงแหวนเป็นวงแหวนเฉพาะที่ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์และเรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่ของRที่การกำหนดตำแหน่งแบบนี้เป็นพื้นฐานในพีชคณิตสลับที่เพราะคุณสมบัติหลายอย่างของวงแหวนสลับที่สามารถอ่านได้จากวงแหวนเฉพาะที่ของมัน คุณสมบัติดังกล่าว มักเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะที่ตัวอย่างเช่น วงแหวน เป็นวงแหวนปกติก็ต่อเมื่อวงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดของมันเป็นวงแหวนปกติ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

การหาโลคัลไลเซชันเป็นโครงสร้างที่มีคุณสมบัติมากมายและมีประโยชน์ ในส่วนนี้จะพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับริงและการหาโลคัลไลเซชันเดี่ยวเท่านั้น คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับไอเดียลโมดูลหรือเซตการคูณหลายเซตจะกล่าวถึงในส่วนอื่น ๆ

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ก็ต่อเมื่อ มีข้อมูลนั้นอยู่${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$
• ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของริง จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อไม่มีตัวหารศูนย์อยู่ภายใน${\displaystyle R\to S^{-1}R}$${\displaystyle S}$
• โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเป็นเอพิโมร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของวงแหวน ซึ่ง โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ฟังก์ชัน ทั่วถึง${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• วงแหวนนี้เป็นโมดูลRแบบแบน (ดู รายละเอียดในหัวข้อ § การกำหนดตำแหน่งของโมดูล )${\displaystyle S^{-1}R}$
• อุดมคติของคือส่วนขยายของอุดมคติของโดย; กล่าวคือ สำหรับอุดมคติของจะเป็นอุดมคติของและ มักจะใช้สัญลักษณ์หรือ(สัญลักษณ์นี้มาจากการพิจารณาอุดมคตินี้ในทำนองเดียวกันว่าเป็นโลคัลไลเซชันของในฐานะโมดูล โดยดูด้านล่าง ) อุดมคติ เป็นอุดมคติแท้ ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle j:R\to S^{-1}R}$${\displaystyle r\mapsto r/1}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle j(I)(S^{-1}R)=\{r/s\in S^{-1}R:r\in I\}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle I(S^{-1}R)}$${\displaystyle S^{-1}I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I\cap S=\emptyset }$
• ถ้าเป็นส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะของแล้ว จะ ใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยจะเป็นวงแหวนเฉพาะที่กล่าวคือ มีอุดมคติสูงสุด เพียงหนึ่งเดียว คือ(นั่นคือ ส่วนขยายของโดยนิยามข้างต้น ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย) และคือฟิลด์เศษเหลือของRที่${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle j:R\to S^{-1}R\ (=R_{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• การกำหนดตำแหน่งจะสลับกับการก่อตัวของผลรวม ผลคูณ จุดตัด และรากที่จำกัด^{[ 2 ]}เช่น ถ้าแทนรากของอุดมคติในแล้ว${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง จะลดลงก็ต่อเมื่อวงแหวนเศษส่วนทั้งหมดลดลง^{[ 3 ]}${\displaystyle R}$

• การหาโลคัลไลเซชันสามารถสลับที่กับการหาร ได้กล่าวคือ ถ้าIเป็นไอเดียลของRแล้ว โดยที่คือภาพของSใน${\displaystyle S^{-1}R/S^{-1}I\cong {\overline {S}}^{-1}(R/I)}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle R/I}$
• ให้เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลที่มีฟิลด์ของเศษส่วนแล้วการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของโดเมนนี้ณ อุดมคติเฉพาะสามารถมองได้ว่าเป็นวงแหวนย่อยของนอกจากนี้${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

โดยที่จุดตัดแรกอยู่เหนืออุดมคติเฉพาะทั้งหมด และจุดตัดที่สองอยู่เหนืออุดมคติสูงสุด^{[ 4 ]}

• มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของไอเดียลเฉพาะของและเซตของไอเดียลเฉพาะของที่ ไม่มี ส่วนร่วมกับการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนี้เกิดขึ้นจากฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมที่กำหนดให้${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R\to S^{-1}R}$

ให้เป็นเซตแบบทวีคูณความอิ่มตัวของคือเซต ${\displaystyle S\subseteq R}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

เซตการคูณSจะอิ่มตัวก็ต่อ เมื่อ มี ค่าเท่ากับความอิ่มตัวของมัน กล่าวคือ ถ้าหรือเทียบเท่ากับ ถ้า หมายความว่าrและsอยู่ในS${\displaystyle {\hat {S}}=S}$${\displaystyle rs\in S}$

ถ้าSไม่อิ่มตัว และเป็นตัวผกผันการคูณของภาพของrในดังนั้น ภาพขององค์ประกอบของทั้งหมดสามารถผกผันได้ในและคุณสมบัติสากลบ่งชี้ว่าและเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงแคนอนิกนั่นคือ มีไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันระหว่างทั้งสองที่ตรึงภาพขององค์ประกอบของRไว้ ${\displaystyle rs\in S,}$${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

ถ้าSและTเป็นเซตการคูณสองเซต แล้วและจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ต่อเมื่อมีค่าความอิ่มตัวเท่ากัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าsอยู่ในเซตการคูณเซตหนึ่งแล้ว จะมี อยู่จริงที่stอยู่ในอีกเซตหนึ่ง ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle T^{-1}R}$${\displaystyle t\in R}$

เซตการคูณอิ่มตัวไม่ได้ถูกนำมาใช้โดยตรงอย่างแพร่หลาย เนื่องจากในการตรวจสอบว่าเซตนั้นอิ่มตัวหรือไม่ จำเป็นต้องทราบหน่วยทั้งหมด ของริง

คำว่า"การหาตำแหน่งเฉพาะที่" (localization)มีที่มาจากแนวโน้มทั่วไปของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในการศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตและ ทางทอ พอโลยีในระดับท้องถิ่นกล่าวคือ ในแง่ของพฤติกรรมของวัตถุเหล่านั้นใกล้กับแต่ละจุด ตัวอย่างของแนวโน้มนี้ได้แก่ แนวคิดพื้นฐานของแมนิโฟลด์เจิร์มและชีฟในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเซตพีชคณิตเชิงเส้นสามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนผลหารของวงแหวนพหุนามในลักษณะที่จุดของเซตพีชคณิตสอดคล้องกับอุดมคติสูงสุดของวงแหวน (นี่คือทฤษฎีบทนัลส์เทลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ต ) ความสอดคล้องกันนี้ได้รับการขยายความเพื่อทำให้เซตของอุดมคติเฉพาะของวงแหวนสลับที่กลายเป็นปริภูมิทางทอพอโลยีที่มาพร้อมกับทอพอโลยีซาริสกี ปริภูมิ ทางทอพอโล ยี นี้เรียกว่าสเปกตรัมของวงแหวน

ในบริบทนี้การกำหนดขอบเขตโดยเซตตัวคูณอาจถูกมองว่าเป็นการจำกัดสเปกตรัมของริงให้อยู่ในปริภูมิย่อยของอุดมคติเฉพาะ (ซึ่งมองว่าเป็นจุด ) ที่ไม่ตัดกับเซตตัวคูณ

โดยทั่วไปแล้ว การแปลภาษาจะแบ่งออกเป็นสองประเภทหลักๆ ดังนี้:

• เซตการคูณคือส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะ ของริงRในกรณีนี้ เราจะเรียกว่า "การกำหนดตำแหน่งที่" หรือ "การกำหนดตำแหน่งที่จุด" ริงที่ได้นั้นเรียกว่าริงเฉพาะที่และเป็นอนาล็อกทางพีชคณิตของ ริ งเจิร์ม${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• เซตการคูณประกอบด้วยกำลังทั้งหมดของสมาชิกtในริงR ริง ที่ได้มักจะใช้สัญลักษณ์และสเปกตรัมของมันคือเซตเปิด ซาริสกี ของอุดมคติเฉพาะที่ไม่มีtดังนั้น การกำหนดตำแหน่งจึงเป็นอนาล็อกของการจำกัดพื้นที่ทางทอพอโลยีไปยังบริเวณใกล้เคียงของจุด (อุดมคติเฉพาะทุกตัวมีฐานบริเวณใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตเปิดซาริสกีในรูปแบบนี้)${\displaystyle R_{t},}$

ในทฤษฎีจำนวนและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตเมื่อทำงานกับริงของจำนวนเต็มเราจะอ้างถึงคุณสมบัติที่สัมพันธ์กับจำนวนเต็มnว่าเป็นคุณสมบัติที่เป็นจริงที่nหรือเป็น จริง ห่างจากnขึ้นอยู่กับการกำหนดตำแหน่งที่พิจารณา " ห่างจากn " หมายความว่าคุณสมบัตินั้นถูกพิจารณาหลังจากกำหนดตำแหน่งด้วยกำลังของnและถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ "ที่p " หมายความว่าคุณสมบัตินั้นถูกพิจารณาหลังจากกำหนดตำแหน่งที่อุดมคติเฉพาะคำศัพท์นี้สามารถอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ อุดมคติเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของการกำหนดตำแหน่งของ p จะเป็นเซตเอกฐาน{ p }หรือส่วนเติมเต็มของเซตเอกฐานในเซตของจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ให้Sเป็นเซตการคูณในริงสลับที่Rและ j เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแบบแคนอนิก กำหนดให้ไอเดียลIในRให้ S เป็นเซตของเศษส่วนที่มีตัวเศษอยู่ในIนี่คือไอเดียลของS ซึ่งสร้างขึ้นโดยj ( I )และเรียกว่าการหาโลคัลไลเซชัน ของIโดยS${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}I}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

ความอิ่มตัวของIโดยSคือไอเดียลของRซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตขององค์ประกอบต่างๆที่มีอยู่ด้วย${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle sr\in I.}$

คุณสมบัติหลายประการของไอเดียลนั้นได้รับการรักษาไว้โดยการอิ่มตัวและการกำหนดตำแหน่ง หรือสามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติที่เรียบง่ายกว่าของการกำหนดตำแหน่งและการอิ่มตัว ในส่วนต่อไปนี้SคือเซตตัวคูณในริงRและIกับJคือไอเดียลของRการอิ่มตัวของไอเดียลIโดยเซตตัวคูณS จะถูก แทนด้วยหรือ เมื่อเซตตัวคูณSชัดเจนจากบริบท${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$(ข้อนี้อาจไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับเงื่อนไขการรวมที่เข้มงวด )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• ถ้าเป็นอุดมคติเฉพาะที่ทำให้แล้วเป็นอุดมคติเฉพาะและ; ถ้าส่วนร่วมไม่ว่างเปล่า แล้วและ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

ให้เป็นวงแหวนสลับที่ , เป็นเซตการคูณใน, และเป็นโมดูล - การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของโมดูลโดยที่เขียนแทนด้วยเป็นโมดูล - ที่สร้างขึ้นเหมือนกับการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของ ทุกประการ ยกเว้นว่าตัวเศษของเศษส่วนอยู่ในนั่นคือ ในฐานะเซต มันประกอบด้วยชั้นสมมูลที่เขียนแทนด้วยของคู่โดยที่ และและคู่ และ สองคู่จะสมมูลกันถ้ามีสมาชิกในเช่นนั้น ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}M}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$${\displaystyle (m,s)}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle (m,s)}$${\displaystyle (n,t)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์นั้นกำหนดไว้เช่นเดียวกับเศษส่วนทั่วไป (ในสูตรต่อไปนี้) : ${\displaystyle r\in R,}$${\displaystyle s,t\in S,}$${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

นอกจากนี้ยังเป็นโมดูลที่มีการคูณด้วยสเกลาร์ อีกด้วย${\displaystyle S^{-1}M}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าการดำเนินการเหล่านี้มีความชัดเจน กล่าวคือ ให้ผลลัพธ์เดียวกันไม่ว่าจะเลือกตัวแทนของเศษส่วนแบบใดก็ตาม

การกำหนดตำแหน่งของโมดูลสามารถนิยามได้เทียบเท่าโดยใช้ผลคูณเทนเซอร์ :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

การพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (โดยพิจารณาจากไอโซมอร์ฟิซึมเชิงแคนอน ) สามารถทำได้โดยการแสดงให้เห็นว่านิยามทั้งสองนั้นมีคุณสมบัติสากลเดียวกัน

ถ้าMเป็นซับโมดูลของN ซึ่งเป็น R-โมดูลและSเป็นเซตการคูณในRจะได้ว่า ซึ่งหมายความว่า ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง แล้ว ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

นอกจากนี้ยังเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วย

เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์เป็นฟังก์ชันที่แม่นยำทางขวานั่นหมายความว่าการหาตำแหน่งโดยSจะแมปซีเควนซ์ที่แม่นยำของR-โมดูลไปยังซีเควนซ์ที่แม่นยำของ -โมดูล กล่าว อีกนัยหนึ่ง การหาตำแหน่งเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำและเป็นR-โมดูลแบบราบ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

ความเรียบแบนนี้และข้อเท็จจริงที่ว่าการหาตำแหน่งช่วยแก้ปัญหาคุณสมบัติสากลทำให้การหาตำแหน่งรักษาคุณสมบัติหลายอย่างของโมดูลและริงไว้ได้ และเข้ากันได้กับวิธีแก้ปัญหาคุณสมบัติสากลอื่นๆ ตัวอย่างเช่นแผนที่ธรรมชาติ

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

เป็นการสมสัณฐาน ถ้าเป็นโมดูลที่นำเสนอแบบจำกัดแผนที่ธรรมชาติ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

ยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึมอีกด้วย^{[ 5 ]}

ถ้าโมดูลMเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนRจะได้ว่า

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

โดยที่หมายถึงตัวทำลายล้างนั่นคืออุดมคติขององค์ประกอบของวงแหวนที่แมปองค์ประกอบทั้งหมดของโมดูลไปยังศูนย์^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

นั่นคือ ถ้าสำหรับบาง^{[ 7 ]}${\displaystyle tM=0}$${\displaystyle t\in S.}$

นิยามของอุดมคติเฉพาะตัวบ่งบอกโดยทันทีว่าส่วนเติมเต็ม ของอุดมคติเฉพาะตัวในวงแหวนสลับที่Rคือเซตการคูณ ในกรณีนี้ การกำหนดตำแหน่งมักใช้สัญลักษณ์วงแหวนนี้เป็นวงแหวนเฉพาะที่ซึ่งเรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่ของRที่หมายความว่า คือ อุดมคติสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของวงแหวนในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดการกำหนดตำแหน่งของโมดูลMที่อุดมคติเฉพาะตัวของRได้เช่นกัน การกำหนดตำแหน่งมักใช้ สัญลักษณ์ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}M}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$

การกำหนดขอบเขตเฉพาะที่เช่นนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อพีชคณิตเชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ประการหนึ่งคือวงแหวนเฉพาะที่มักศึกษาได้ง่ายกว่าวงแหวนเชิงสลับที่ทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากทฤษฎีบทของนาคายามะอย่างไรก็ตาม เหตุผลหลักคือคุณสมบัติหลายอย่างจะเป็นจริงสำหรับวงแหวนก็ต่อเมื่อเป็นจริงสำหรับวงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดของวงแหวนนั้น ตัวอย่างเช่น วงแหวนเป็นวงแหวนปกติก็ต่อเมื่อวงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดของวงแหวนนั้นเป็นวงแหวนเฉพาะที่ปกติ

คุณสมบัติของริงที่สามารถระบุลักษณะเฉพาะบนริงเฉพาะที่ของมันเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะที่และมักจะเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ทางพีชคณิตที่เทียบเคียงได้กับคุณสมบัติเฉพาะที่ทาง เรขาคณิต ของวาไรตีทางพีชคณิตซึ่งเป็นคุณสมบัติที่สามารถศึกษาได้โดยการจำกัดให้อยู่ในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ของแต่ละจุดในวาไรตี (มีแนวคิดอีกอย่างหนึ่งของคุณสมบัติเฉพาะที่ซึ่งหมายถึงการกำหนดตำแหน่งไปยังเซตเปิดของซาริสกี ดู§ การกำหนดตำแหน่งไปยังเซตเปิดของซาริสกีด้านล่าง)

คุณสมบัติในท้องถิ่นหลายอย่างเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าโมดูลนั้น

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

เป็นโมดูลที่แบนราบอย่างแท้จริงเมื่อทำการบวกโดยตรงเหนืออุดมคติเฉพาะทั้งหมด (หรือเหนืออุดมคติสูงสุด ทั้งหมด ของR ) ดูเพิ่มเติมที่ การลดลงที่แบน ราบ อย่างแท้จริง

คุณสมบัติPของโมดูลR Mเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะที่ (local property ) ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

• Pใช้ได้กับM
• Pเป็นจริงสำหรับทุกกรณีที่เป็นอุดมคติเฉพาะของR${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Pเป็นจริงสำหรับทุกกรณีที่เป็นอุดมคติสูงสุดของR${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

ต่อไปนี้เป็นข้อมูลเกี่ยวกับอสังหาริมทรัพย์ในพื้นที่:

• Mมีค่าเป็นศูนย์
• Mเป็นเมทริกซ์ที่ปราศจากแรงบิด (ในกรณีที่Rเป็นโดเมนสลับที่ได้ )
• Mเป็นโมดูลแบบแบน
• Mเป็นโมดูลที่ผกผันได้ (ในกรณีที่Rเป็นโดเมนสลับที่ และMเป็นโมดูลย่อยของฟิลด์เศษส่วนของR )
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือฟังก์ชันทั่วถึง) โดยที่Nเป็นโมดูลR อีกตัวหนึ่ง

ในทางกลับกัน คุณสมบัติบางอย่างไม่ใช่คุณสมบัติเฉพาะที่ ตัวอย่างเช่นผลคูณโดยตรง อนันต์ ของฟิลด์ไม่ใช่โดเมนเชิงปริพันธ์หรือวงแหวนโนเธอร์เรียนในขณะที่วงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดของมันเป็นฟิลด์ และดังนั้นจึงเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์โนเธอร์เรียน

การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวนที่ไม่สลับที่กันนั้นยากกว่า แม้ว่าการหาตำแหน่งเฉพาะที่นั้นจะมีอยู่สำหรับทุกเซตSของหน่วยที่คาดหวัง แต่ก็อาจมีรูปแบบที่แตกต่างจากที่อธิบายไว้ข้างต้น เงื่อนไขหนึ่งที่รับประกันว่าการหาตำแหน่งเฉพาะที่นั้นมีพฤติกรรมที่ดีคือเงื่อนไข Ore

กรณีหนึ่งของวงแหวนที่ไม่สลับที่ซึ่งการหาตำแหน่งเฉพาะที่มีความสำคัญอย่างชัดเจนคือวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างเช่น มีการตีความว่าเป็นการเพิ่มตัวผกผันเชิงรูปธรรมD ⁻¹ให้กับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Dซึ่งทำในหลายบริบทในวิธีการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ปัจจุบันมีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เกี่ยวกับเรื่องนี้ เรียกว่าไมโครโลคาไลเซชันซึ่งเชื่อมโยงกับสาขาอื่นๆ อีกมากมาย คำว่า "ไมโคร"เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงกับทฤษฎีฟูริเยร์โดยเฉพาะ

• การวิเคราะห์ในระดับท้องถิ่น
• การกำหนดตำแหน่งของหมวดหมู่
• การกำหนดตำแหน่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

• แปลจากMathWorld​