ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาพีชคณิตที่เรียกว่าทฤษฎีวงแหวนเงื่อนไขOreเป็นเงื่อนไขที่Øystein Ore นำเสนอ โดยเกี่ยวข้องกับคำถามเกี่ยวกับการขยายการสร้างฟิลด์เศษส่วน ออกไปนอก วงแหวนสลับที่หรือโดยทั่วไปแล้วการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวนเงื่อนไข Ore ด้านขวาสำหรับเซตย่อยการคูณSของวงแหวนRคือ สำหรับa ∈ Rและs ∈ SการตัดกันaS ∩ sR ≠ ∅ โดเมน (ไม่สลับที่) ที่เซตขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เป็นไปตามเงื่อนไข Ore ด้านขวาเรียกว่าโดเมน Ore ด้านขวากรณีด้านซ้ายกำหนดในทำนองเดียวกัน^{[ 1 ]}

เป้าหมายคือการสร้างวงแหวนเศษส่วนที่ถูกต้องR [ S ⁻¹ ] โดยสัมพันธ์กับเซตย่อยการคูณSกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการทำงานกับองค์ประกอบในรูปแบบas ⁻¹และมีโครงสร้างวงแหวนบนเซตR [ S ⁻¹ ] ปัญหาคือไม่มีการตีความที่ชัดเจนของผลคูณ ( as ⁻¹ )( bt ⁻¹ ); อันที่จริง เราต้องการวิธีการ "ย้าย" s ⁻¹ผ่านbซึ่งหมายความว่าเราต้องสามารถเขียนs ⁻¹ b ใหม่ เป็นผลคูณb ₁ s ₁ ⁻¹ได้^{[ 2 ]} สมมติว่าs ⁻¹ b = b ₁ s ₁ ⁻¹จากนั้นคูณทางซ้ายด้วยsและทางขวาด้วยs ₁เราจะได้bs ₁ = sb ₁ดังนั้นเราจึงเห็นความจำเป็นสำหรับค่าaและs ที่ กำหนด ของการมีอยู่ของa ₁และs ₁โดยที่s ₁ ≠ 0และเป็นเช่นนั้นas ₁ = sa ₁

เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่าโดเมนจำนวนเต็ม แต่ละโดเมน เป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์เศษส่วน (ผ่านการฝังตัว) ในลักษณะที่สมาชิกทุกตัวอยู่ในรูปrs ⁻¹โดยที่sไม่เป็นศูนย์ จึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะถามว่าการสร้างแบบเดียวกันนี้สามารถใช้กับโดเมน ที่ไม่สลับที่กัน และเชื่อมโยงวงแหวนการหาร (ฟิลด์ที่ไม่สลับที่กัน) กับคุณสมบัติเดียวกันได้หรือไม่ ปรากฏว่าคำตอบบางครั้งคือ "ไม่ได้" กล่าวคือ มีโดเมนที่ไม่มี "วงแหวนการหารเศษส่วนทางขวา" ที่คล้ายคลึงกัน

สำหรับโดเมนR ทางขวาทุกโดเมน จะมี วงแหวนหาร D ที่ไม่ซ้ำกัน (โดยไม่นับรวมไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ ของ R ) ซึ่งบรรจุRเป็นวงแหวนย่อย โดยที่สมาชิกทุกตัวของDอยู่ในรูปrs ⁻¹สำหรับrในRและsไม่เป็นศูนย์ในRวงแหวนหารD ดังกล่าว เรียกว่าวงแหวนเศษส่วนทางขวาของRและRเรียกว่าอันดับทางขวาในDแนวคิดของวงแหวนเศษส่วนทางซ้ายและอันดับทางซ้าย ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน โดยที่ สมาชิก ของDอยู่ในรูปs ⁻¹ r

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ นิยามของRที่เป็นลำดับขวาในD นั้นรวมถึงเงื่อนไขที่ว่าDต้องประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่มีรูปแบบrs ⁻¹โดเมนใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไข Ore ข้อใดข้อหนึ่ง สามารถถือได้ว่าเป็นซับริงของดิวิชั่นริง อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าRเป็นลำดับซ้ายในD โดยอัตโนมัติ เนื่องจากเป็นไปได้ที่Dจะมีสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบs ⁻¹ r ดังนั้น Rจึงอาจเป็นโดเมน Ore ขวาแต่ไม่ใช่ซ้าย โดยสัญชาตญาณ เงื่อนไขที่ว่าสมาชิกทั้งหมดของDอยู่ในรูปแบบrs ⁻¹หมายความว่าR เป็น R- ซับโมดูล "ใหญ่" ของDอันที่จริง เงื่อนไขนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าR _Rเป็นซับโมดูลสำคัญของD _Rสุดท้ายนี้ ยังมีตัวอย่างของโดเมนในดิวิชั่นริงที่ไม่ ตรงตาม เงื่อนไข Ore ทั้งสองข้อ (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

คำถามตามธรรมชาติอีกข้อหนึ่งคือ "เมื่อใดที่ซับริงของดิวิชั่นริงจะเป็นไรท์โอเร?" ลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งคือ ซับริงRของดิวิชั่นริงDจะเป็นโดเมนไรท์โอเรก็ต่อเมื่อDเป็น โมดูล Rซ้ายแบบแบนราบ ( Lam 2007 , ตัวอย่าง 10.20)

โดยปกติแล้ว เงื่อนไขของ Ore ในรูปแบบที่แตกต่างและเข้มงวดกว่า จะถูกนำมาใช้ในกรณีที่Rไม่ใช่โดเมน กล่าวคือ จะต้องมีตัวคูณร่วม

c = au = bv

โดยที่uและvไม่ใช่ตัวหารศูนย์ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของ Oreรับประกันการมีอยู่ของวงแหวนส่วนเกินที่ เรียกว่า วงแหวนผลหารแบบคลาสสิก ( ขวาหรือซ้าย)

โดเมนแบบสลับที่ได้จะเป็นโดเมน Ore โดยอัตโนมัติ เนื่องจากสำหรับค่าaและbที่ ไม่เป็นศูนย์ ค่า abก็จะไม่เป็นศูนย์ในaR ∩ bR โดเมน Noetherianทางขวาเช่นโดเมนไอเดียลหลักทาง ขวา ก็เป็นที่ทราบกันว่าเป็นโดเมน Ore ทางขวาเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้นอัลเฟรด โกลดี ได้พิสูจน์ว่าโดเมนRเป็น Ore ทางขวา ก็ต่อเมื่อR ∩ _Rมีมิติสม่ำเสมอ จำกัด และก็เป็นความจริงเช่นกันว่าโดเมน Bézout ทางขวา เป็น Ore ทางขวา

โดเมนย่อยของวงแหวนการหารที่ไม่ใช่ด้านขวาหรือด้านซ้าย Ore: ถ้าFเป็นฟิลด์ใดๆ และเป็นโมโนอิดอิสระบนสัญลักษณ์สองตัวxและyแล้ววงแหวนโมโนอิดจะไม่ตรงตามเงื่อนไข Ore ใดๆ แต่เป็นวงแหวนอุดมคติอิสระและด้วยเหตุนี้จึงเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนการหารอย่างแท้จริง โดย ( Cohn 1995 , Cor 4.5.9) โปรดทราบว่า Cohn ใช้คำว่า "ฟิลด์" ในความหมายว่าฟิลด์เฉียง ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$${\displaystyle F[G]\,}$

เงื่อนไขของ Ore สามารถขยายไปสู่เซตย่อยแบบคูณ อื่นๆ ได้ และนำเสนอในรูปแบบตำราเรียนใน ( Lam 1999 , §10) และ ( Lam 2007 , §10) เซตย่อยSของริงRเรียกว่าเซตตัวส่วนขวาถ้ามันตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้สำหรับทุกa , bในRและs , tในS :

1. stในS ; (เซตSเป็นเซตปิดเชิงการคูณ )
2. aS ∩ sRไม่ว่างเปล่า (เซตSเป็นเซตที่สลับตำแหน่งทางขวาได้ )
3. ถ้าsa = 0แล้วจะมีu บางตัว ในSที่au = 0 (เซตSสามารถกลับทิศทางได้ทางขวา )

ถ้าSเป็นเซตตัวส่วนขวา เราสามารถสร้างวงแหวนเศษส่วนขวาRS ⁻¹ได้ในทำนองเดียวกันกับกรณีสลับที่ได้ ถ้าSถูกกำหนดให้เป็นเซตของสมาชิกปกติ (สมาชิกaในRซึ่งถ้าbในRไม่เป็นศูนย์ แล้วabและbaไม่เป็นศูนย์) เงื่อนไข Ore ขวาคือข้อกำหนดที่ว่าSต้องเป็นเซตตัวส่วนขวา

คุณสมบัติหลายประการของการกำหนดตำแหน่งแบบสลับที่ได้ยังคงใช้ได้ในบริบททั่วไปนี้ ถ้าSเป็นเซตตัวส่วนขวาสำหรับริงRแล้วโมดูล ซ้าย R RS ⁻¹จะแบนราบยิ่งไปกว่านั้น ถ้าMเป็นโมดูลขวาRแล้ว ทอร์ชั่น S , tor _S ( M ) = { mในM  : ms = 0 สำหรับบางsในS }จะเป็น โมดูลย่อย Rที่สม isomorphic กับTor ₁ ( M , RS ⁻¹ )และโมดูลM ⊗ _R RS ⁻¹นั้นสม isomorphic กับโมดูลMS ⁻¹ที่ประกอบด้วย "เศษส่วน" ตามธรรมชาติเช่นเดียวกับในกรณีการสลับที่ได้

• สถานะแร่ที่PlanetMath
• ทฤษฎีบทของ Oreที่PlanetMath
• วงแหวนผลหารแบบคลาสสิกที่PlanetMath