การลงแบบราบอย่างซื่อสัตย์หรือการลงแบบราบเป็นเทคนิคจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งช่วยให้สามารถสรุปเกี่ยวกับวัตถุบนเป้าหมายของมอร์ฟิซึมแบบราบอย่างซื่อสัตย์ได้มอร์ฟิซึมดังกล่าว ซึ่งเป็นแบบราบและทั่วถึงนั้นพบได้ทั่วไป ตัวอย่างหนึ่งมาจาก การคลุม แบบ เปิด

ในทางปฏิบัติ จากมุมมองเชิงความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง เทคนิคนี้ช่วยให้สามารถพิสูจน์ข้อความบางอย่างเกี่ยวกับวงแหวนหรือโครงร่างได้หลังจากการเปลี่ยนฐานแบบราบเรียบอย่างซื่อสัตย์

ในภาษาของสแต็ก การลงแบบราบ (flat descent) คือข้อความที่ระบุว่า พรีสแต็กของชีฟกึ่งสอดคล้อง (quasi-coherent sheaves) เป็นสแต็กที่สัมพันธ์กับโทโพโลยีแบบเอทาล (étale topology) (หรือ fpqc)

โดยทั่วไปแล้ว "การลดระดับอย่างราบเรียบโดยแท้จริง" ตามแบบฉบับดั้งเดิมนั้นเป็นเท็จ ในทางกลับกัน การลดระดับอย่างราบเรียบโดยแท้จริงนั้นใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขความจำกัดบางประการ (เช่น กึ่งกะทัดรัด หรือการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่น)

การลงแบบราบเรียบที่ซื่อสัตย์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทเอกนาดิซิตี้ของเบ็ค^{[ 1 ]}

เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่ราบเรียบอย่างซื่อสัตย์แล้ว การสืบทอดที่ราบเรียบอย่างซื่อสัตย์นั้นโดยคร่าวๆ คือข้อความที่ว่า การให้โมดูลหรือพีชคณิตเหนือAก็คือการให้โมดูลหรือพีชคณิตเหนือ A พร้อมกับข้อมูลการสืบทอดที่เรียกว่าข้อมูล (หรือข้อมูล) กล่าวคือ เราสามารถสืบทอดวัตถุ (หรือแม้แต่ข้อความ) ไปยัง A ได้ หากมีข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดองค์ประกอบบางอย่างที่สร้างอุดมคติหน่วยของAแล้วจะแบนราบอย่างซื่อสัตย์เหนือ ในทางเรขาคณิตเป็นการปกคลุมแบบเปิดของและดังนั้นการลดโมดูลจากไปยัง จะหมายถึงการติดโมดูลบนเพื่อให้ได้โมดูลบนA ; ข้อมูลการลดในกรณีนี้เท่ากับข้อมูลการติด กล่าวคือ วิธีการระบุ บนส่วนที่ทับซ้อนกัน ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$${\displaystyle B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle M_{i},M_{j}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])}$

ให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่แบนอย่างซื่อสัตย์เมื่อกำหนด-โมดูลเราจะได้-โมดูลและเนื่องจากเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่แบนอย่างซื่อสัตย์ เราจึงมีการรวมยิ่งไปกว่านั้น เรายังมีไอโซมอร์ฟิซึมของ-โมดูล ที่เหนี่ยวนำโดยไอโซมอร์ฟิซึมและที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโคไซเคิล: ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

โดยกำหนดให้เป็นดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}$

โดยที่. โปรดทราบว่าไอโซมอร์ฟิซึมถูกกำหนดโดยเท่านั้นและไม่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M.}$

ตอนนี้ รูปแบบพื้นฐานที่สุดของการสืบทอดแบบราบเรียบอย่างแท้จริงกล่าวว่า การสร้างข้างต้นสามารถย้อนกลับได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดโมดูล - และไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูล - ที่ทำให้เป็นโมดูลย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลง: ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

${\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

เป็นเช่นนั้น^{[ 3 ]}${\displaystyle M\otimes B=N}$

ต่อไปนี้คือคำจำกัดความที่แม่นยำของข้อมูลการสืบเชื้อสาย เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของริงเราเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}$

สำหรับแผนที่ที่กำหนดโดยการแทรกในตำแหน่งที่iกล่าวคือ กำหนดเป็น, เป็น, เป็นต้น เรายังเขียนสำหรับการเทนเซอร์เหนือเมื่อกำหนดโครงสร้างโมดูลโดย ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{1}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle B^{\otimes n}}$${\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{i}}$

ทีนี้ เมื่อกำหนดโมดูลที่มีข้อมูลการสืบเชื้อสายมา ให้แล้ว ให้กำหนดให้ เป็นเคอร์เนลของ ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$.

พิจารณาแผนที่ธรรมชาติ

${\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}$.

ประเด็นสำคัญคือแผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมหากแบนอย่างซื่อสัตย์^{[ 5 ]}สิ่งนี้เห็นได้จากการพิจารณาสิ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}$

โดยที่แถวบนสุดเป็นเซตที่แน่นอนเนื่องจากความเรียบของBเหนือAและแถวล่างสุดคือคอมเพล็กซ์ Amitsurซึ่งเป็นเซตที่แน่นอนตามทฤษฎีบทของ Grothendieck เงื่อนไขโคไซเคิลรับประกันว่าแผนภาพข้างต้นเป็น แผนภาพสลับที่ได้ เนื่องจากแผนที่แนวตั้งที่สองและที่สามเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นแผนที่แนวตั้งแรกก็เป็นไอโซมอร์ฟิ ซึมเช่น กัน

สามารถสรุปสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นได้อย่างง่าย ๆ ดังนี้:

การลงแบบซาริสกี (Zariski descent)หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถสร้างชีฟกึ่งสอดคล้องกันได้โดยการติดชีฟเหล่านั้นบนฝาครอบแบบเปิด (ซาริสกี) มันเป็นกรณีพิเศษของการลงแบบราบอย่างซื่อสัตย์ (faithfully flat descent) แต่ถูกนำมาใช้บ่อยครั้งเพื่อลดปัญหาการลงให้เหลือกรณีเชิงเส้นตรง (affine case)

โดยละเอียด ให้แทนหมวดหมู่ของชีฟกึ่งโคฮีเรนต์บนแผนผังXจากนั้น Zariski descent ระบุว่า เมื่อกำหนดชีฟกึ่งโคฮีเรนต์บนเซตย่อยเปิดที่มีและไอโซมอร์ฟิซึมที่ (1) และ (2) บนแล้วจะมีชีฟกึ่งโคฮีเรนต์ที่ไม่ซ้ำกันบนXในลักษณะที่เข้ากันได้ (กล่าวคือจำกัดไว้ที่) ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$${\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}$${\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}$${\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$

ในภาษาที่หรูหรา การสืบทอดแบบซาริสกิระบุว่า เมื่อพิจารณาจากโทโพโลยีแบบซาริสกิแล้วคือสแต็ก กล่าว คือ หมวดหมู่ที่มีฟังก์ชัน คือหมวดหมู่ของสกีม (สัมพัทธ์) ที่มีทฤษฎีการสืบทอด ที่มีประสิทธิภาพ ในที่นี้ ให้แทนหมวดหมู่ที่ประกอบด้วยคู่ที่ประกอบด้วยเซตย่อยเปิด (ซาริสกิ) Uและชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนเซตย่อยนั้นและ ฟังก์ชันลืม${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle (U,F)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$

มีข้อความสรุปสั้นๆ สำหรับผลลัพธ์สำคัญในสาขานี้: (การเรียงลำดับชีฟกึ่งสอดคล้องกันล่วงหน้าเหนือแผนผังSหมายความว่า สำหรับแผนผังS ใดๆ Xแต่ละ จุด Xของการเรียงลำดับชีฟล่วงหน้าจะเป็นชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนX )

การพิสูจน์ใช้การลดระดับแบบ Zariskiและการลดระดับแบบราบอย่างซื่อสัตย์ในกรณีเชิงเส้นตรง

ที่นี่ "กึ่งกะทัดรัด" ไม่สามารถกำจัดได้^{[ 8 ]}

ให้Fเป็นส่วนขยายฟิลด์กาโลอิสจำกัดของ ฟิลด์ k แล้วสำหรับปริภูมิเวกเตอร์V ใดๆ บนF

${\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}$

โดยที่ผลิตภัณฑ์นั้นครอบคลุมองค์ประกอบต่างๆ ในกลุ่มกาลัว ของ${\displaystyle F/k}$

การลงจากที่สูงแบบ étale เป็นผลมาจากการลงจากที่สูงอย่างซื่อสัตย์

ให้เป็นมอร์ฟิซึมของสกีมและแทนการผลักดันไปข้างหน้าและการดึงกลับสำหรับชีฟกึ่งสอดคล้องกัน (ในที่นี้ เพื่อความเรียบง่าย ให้ถือว่าถูกกำหนดไว้อย่างดี^{[ 9 ]} ) เนื่องจากเป็นตัวผกผันซ้ายของการประกอบร่วมกับหน่วยร่วมและการคูณร่วมที่เหนี่ยวนำโดยการเชื่อมโยง เป็นโคโมนาดจากนั้นทฤษฎีบทโมนาดิซิตี้ของเบ็คหากใช้ได้ จะกล่าวว่าฟังก์ชันเตอร์ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*},f^{*}}$${\displaystyle f_{*}:{\textrm {QCoh}}(X)\to {\textrm {QCoh}}(Y)}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle T=f^{*}f_{*}}$

${\displaystyle f^{*}:{\textrm {QCoh}}(Y)\to T-{\textrm {Coalg}}}$

เป็นความสมมูล โดยที่คือหมวดหมู่ Eilenberg–Mooreของ-coalgebras กล่าวคือ โดยคร่าวๆ แล้ว หมวดหมู่นี้ประกอบด้วยวัตถุในที่มี-coactions (ถึงแม้ชื่อจะเป็นเช่นนั้น แต่จริงๆ แล้วมันคล้ายกับ comodules มากกว่า coalgebras) ดังนั้นประเด็นสำคัญคือ-action เทียบเท่ากับข้อมูลการลง (descent data) และดังนั้นจึงสามารถระบุได้ว่าเป็นหมวดหมู่ของ sheaves กึ่งสอดคล้อง (quasi-coherent sheaves) บนพร้อมกับข้อมูลการลง ด้วยเหตุนี้ ข้อความข้างต้นจึงระบุถึงการลงแบบราบ (flat descent) ได้อย่างแม่นยำ ${\displaystyle T-{\textrm {Coalg}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\textrm {QCoh}}(X)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a:F\to T(F)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T-{\textrm {Alg}}}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างเช่น^{[ 10 ]}ถ้าเป็นมอร์ฟิซึมแบบแบนที่ซื่อสัตย์ระหว่างแผนผังแอฟฟิน ทฤษฎีบทโมนาดิซิตี้จะถูกนำมาใช้ และข้างต้นจะกู้คืนการลดระดับแบบแบนในกรณีแอฟฟิน โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทจะถูกนำมาใช้ถ้าเป็นแบบแบนที่ซื่อสัตย์และมีคุณสมบัติจำกัดบางอย่าง เช่น มอร์ฟิ ซึม fpqc${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• อามิตสุระ คอมเพล็กซ์
• แผนการของฮิลเบิร์ต
• โครงการโควต้า

• https://mathoverflow.net/questions/444034/using-comonadicity-to-prove-faithfully-flat-descent