ในทางคณิตศาสตร์พหุนามสมมาตรคือพหุนามP ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )ใน ตัวแปร nตัว โดยที่หากสลับตัวแปรใดๆ จะได้พหุนามเดิม กล่าวคือPเป็นพหุนามสมมาตร ก็ต่อ เมื่อสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนσ ใดๆ ของดัชนี1, 2, ..., nจะได้P ( X _σ(1) , X _σ(2) , ..., X σ _{( n )} ) =  P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )

พหุนามสมมาตรเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างรากของพหุนามตัวแปรเดียวและสัมประสิทธิ์ ของมัน เนื่องจากสัมประสิทธิ์สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์พหุนามในราก และรากทั้งหมดมีบทบาทที่คล้ายคลึงกันในบริบทนี้ จากมุมมองนี้พหุนามสมมาตรพื้นฐานจึงเป็นพหุนามสมมาตรที่สำคัญที่สุด อันที่จริง ทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตร กล่าวว่า พหุนามสมมาตรใดๆ ก็สามารถแสดงในรูปของพหุนามสมมาตรพื้นฐานได้ ซึ่งหมายความว่า นิพจน์พหุนามสมมาตร ทุกตัวในรากของพหุนาม เอกลักษณ์ สามารถแสดงได้อีกทางหนึ่งในรูปของนิพจน์พหุนามในสัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้น

พหุนามสมมาตรยังก่อให้เกิดโครงสร้างที่น่าสนใจด้วยตัวมันเอง โดยไม่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ใดๆ กับรากของพหุนาม ในบริบทนี้ กลุ่มพหุนามสมมาตรเฉพาะอื่นๆ เช่น พหุนาม เอกพันธุ์สมบูรณ์พหุ นาม ผลรวมกำลังและพหุนามชูร์มีบทบาทสำคัญควบคู่ไปกับพหุนามพื้นฐาน โครงสร้างที่เกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตรมีความสำคัญอย่างยิ่งใน คณิตศาสตร์ เชิง การจัดเรียงและทฤษฎีการแทน

พหุนามสองตัวแปรX ₁และX ₂ ต่อไปนี้ เป็นพหุนามสมมาตร:

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$

${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

เช่นเดียวกับพหุนามสามตัวแปรX ₁ , X ₂ , X ₃ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

มีหลายวิธีในการสร้างพหุนามสมมาตรเฉพาะในตัวแปรจำนวนใดๆ ก็ได้ (ดูประเภทต่างๆ ด้านล่าง) ตัวอย่างหนึ่งที่มีลักษณะแตกต่างออกไปเล็กน้อยคือ

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}}$

โดยขั้นแรกจะสร้างพหุนามที่เปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้การสลับตัวแปรทุกครั้ง และการยกกำลังสอง จะทำให้พหุนามนั้นสมมาตรอย่างสมบูรณ์ (หากตัวแปรแทนรากของพหุนามเอกลักษณ์ พหุนามนี้จะให้ ค่าดิสคริมิแนนต์ของมัน)

ในทางกลับกัน พหุนามในสองตัวแปร

${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$

ไม่สมมาตร เพราะถ้าสลับแล้วได้พหุนามที่แตกต่างกัน ในทำนองเดียวกันในสามตัวแปร ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{2}-X_{1}}$

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}}$

พหุนามนี้มีความสมมาตรเฉพาะภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของตัวแปรทั้งสาม ซึ่งไม่เพียงพอที่จะเป็นพหุนามสมมาตร อย่างไรก็ตาม พหุนามต่อไปนี้มีความสมมาตร:

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}}$

บริบทหนึ่งที่ฟังก์ชันพหุนามสมมาตรปรากฏขึ้นคือในการศึกษาพหุนามเอกนาม เอกลักษณ์ ดีกรีnที่มี ราก nรากในฟิลด์ ที่กำหนด รากทั้ง nนี้เป็นตัวกำหนดพหุนาม และเมื่อพิจารณาว่ารากเหล่านี้เป็นตัวแปรอิสระ สัมประสิทธิ์ของพหุนามจะเป็นฟังก์ชันพหุนามสมมาตรของรากเหล่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตรบ่งชี้ว่า ฟังก์ชันพหุนามfของ รากทั้ง nสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันพหุนาม (อีกฟังก์ชันหนึ่ง) ของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำหนดโดยรากเหล่านั้นก็ต่อเมื่อfเป็นพหุนามสมมาตร เท่านั้น

วิธีนี้ทำให้เกิดแนวทางในการแก้สมการพหุนามโดยการกลับแผนที่นี้ ซึ่งเป็นการ "ทำลาย" สมมาตร – เมื่อกำหนดสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ( พหุนามสมมาตรพื้นฐานในราก) แล้ว จะสามารถกู้คืนรากได้อย่างไร? สิ่งนี้จึงนำไปสู่การศึกษาการแก้สมการพหุนามโดยใช้กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของราก ซึ่งเดิมอยู่ในรูปของตัวผกผันของลากรางจ์และต่อมาได้รับการพัฒนาในทฤษฎีของกาลัว

พิจารณาพหุนามเอกลักษณ์ใน ตัวแปร tที่มีดีกรีn

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}}$

โดยมีสัมประสิทธิ์a _iในฟิลด์  K บางฟิลด์ มี ราก nรากx ₁ ,..., x _nของP อยู่ ในฟิลด์ที่อาจใหญ่กว่า (ตัวอย่างเช่น ถ้าKเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงรากจะอยู่ในฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ) รากบางรากอาจเท่ากัน แต่ข้อเท็จจริงที่ว่ามี ราก ทั้งหมด นั้น แสดงโดยความสัมพันธ์

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).}$

เมื่อเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ จะพบว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}}$

อันที่จริงแล้ว สิ่งเหล่านี้เป็นเพียงตัวอย่างของสูตรของเวียตาเท่านั้น สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามนั้นแสดงอยู่ในรูปของรากโดยนิพจน์พหุนาม สมมาตร ถึงแม้ว่าสำหรับพหุนามP ที่กำหนด อาจมีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างราก (เช่น อยู่ในฟิลด์ฐาน  Kหรือไม่ เป็น ราก เดี่ยวหรือรากหลายราก) แต่สิ่งเหล่านี้ไม่มีผลต่อลักษณะการปรากฏของรากในนิพจน์เหล่านี้

ตอนนี้เราอาจเปลี่ยนมุมมองได้ โดยพิจารณารากแทนสัมประสิทธิ์เป็นพารามิเตอร์พื้นฐานในการอธิบายPและพิจารณาว่าเป็นค่าที่ไม่แน่นอนแทนที่จะเป็นค่าคงที่ในฟิลด์ที่เหมาะสม สัมประสิทธิ์a _iจะกลายเป็นพหุนามสมมาตรเฉพาะที่กำหนดโดยสมการข้างต้น พหุนามเหล่านั้น โดยไม่มีเครื่องหมายเรียกว่าพหุนามสมมาตรพื้นฐานในx ₁ , ..., x _nข้อเท็จจริงพื้นฐานที่เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตรกล่าวว่า พหุนามสมมาตร ใดๆใน ตัวแปร nตัว สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์พหุนามในรูปของพหุนามสมมาตรพื้นฐานเหล่านี้ ดังนั้น นิพจน์พหุนามสมมาตรใดๆ ในรากของพหุนามเอกลักษณ์ สามารถแสดงได้เป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์ของพหุนาม และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของมันอยู่ในฟิลด์ฐานKที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านั้น ดังนั้น เมื่อทำงานกับนิพจน์พหุนามสมมาตรในรากเท่านั้น จึงไม่จำเป็นต้องรู้รายละเอียดใดๆ เกี่ยวกับรากเหล่านั้น หรือคำนวณในฟิลด์ที่ใหญ่กว่าKซึ่งรากเหล่านั้นอาจอยู่ อันที่จริง ค่าของรากเองกลับไม่สำคัญนัก และความสัมพันธ์ที่จำเป็นระหว่างสัมประสิทธิ์และนิพจน์พหุนามสมมาตรสามารถหาได้จากการคำนวณโดยใช้พหุนามสมมาตรเท่านั้น ตัวอย่างของความสัมพันธ์ดังกล่าวคือเอกลักษณ์ของนิวตันซึ่งแสดงผลรวมของกำลังคงที่ใดๆ ของรากในรูปของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ${\displaystyle (-1)^{ni}}$

มีพหุนามสมมาตรอยู่ไม่กี่ประเภทในตัวแปรX ₁ , X ₂ , ..., X _nซึ่งถือเป็นพื้นฐาน

สำหรับจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ k แต่ละตัว พหุนามสมมาตรพื้นฐานe _k ( X ₁ , ..., X _n ) คือผลรวมของผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมดของ ตัวแปรที่แตกต่างกัน k ตัว (บางผู้เขียนใช้สัญลักษณ์ σ _kแทน) สำหรับk  = 0 จะมีเพียงผลคูณว่างดังนั้นe ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) = 1 ในขณะที่สำหรับk  >  nจะไม่สามารถสร้างผลคูณใดๆ ได้เลย ดังนั้นe _k ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) = 0 ในกรณีเหล่านี้ พหุนามสมมาตรพื้นฐานที่เหลืออีกnตัวเป็นส่วนประกอบพื้นฐานสำหรับพหุนามสมมาตรทั้งหมดในตัวแปรเหล่านี้ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น พหุนามสมมาตรใดๆ ในตัวแปรที่พิจารณาสามารถหาได้จากพหุนามสมมาตรพื้นฐานเหล่านี้โดยใช้การคูณและการบวกเท่านั้น ในความเป็นจริงแล้ว มีข้อเท็จจริงโดยละเอียดเพิ่มเติมดังต่อไปนี้:

• พหุนามสมมาตรใดๆPในX ₁ , ..., X _nสามารถเขียนได้เป็นนิพจน์พหุนามในพหุนามe _k ( X ₁ , ..., X _n ) โดย ที่1 ≤  k  ≤  n
• นิพจน์นี้มีความเป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นในกรณีที่นิพจน์พหุนามมีความเท่าเทียมกัน
• ถ้าPมี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็มแสดงว่านิพจน์พหุนามนั้นก็มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับn = 2 พหุนามสมมาตรพื้นฐานที่เกี่ยวข้องคือe ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂และe ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ X ₂พหุนามตัวแรกในรายการตัวอย่างข้างต้นสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7}$

(สำหรับหลักฐานที่แสดงว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ โปรดดูทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตร )

กำลังและผลคูณของพหุนามสมมาตรพื้นฐานนั้นได้ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างซับซ้อน หากต้องการหาองค์ประกอบพื้นฐานสำหรับการบวกของพหุนามสมมาตร ทางเลือกที่เป็นธรรมชาติมากกว่าคือการเลือกพหุนามสมมาตรที่มีเอกนามเพียงประเภทเดียวโดยมีเฉพาะสำเนาที่จำเป็นเพื่อให้ได้สมมาตรเท่านั้น เอกนามใดๆ ในX ₁ , ..., X _nสามารถเขียนได้เป็นX ₁ ^{α ₁} ... X _n ^{α _n}โดยที่เลขชี้กำลัง α _iเป็นจำนวนธรรมชาติ (อาจเป็นศูนย์) เขียน α = (α ₁ ,...,α _n ) ซึ่งสามารถย่อได้เป็นX ^αพหุนามสมมาตรเอกนามm _α ( X ₁ , ..., X _n ) ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของเอกนามทั้งหมดx ^βโดยที่ β ครอบคลุม การเรียงสับเปลี่ยนที่ แตกต่างกัน ทั้งหมด ของ (α ₁ ,...,α _n ) ตัวอย่างเช่น เรามี

${\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}$,

${\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}$

เห็นได้ชัดว่าm _α  =  m _βเมื่อ β เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ α ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วเราจะพิจารณาเฉพาะm _αที่ α ₁  ≥ α ₂  ≥ ... ≥ α _n เท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ α เป็นการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มพหุนามสมมาตรเอกนามเหล่านี้ก่อให้เกิดฐาน ของปริภูมิเวกเตอร์ : พหุนามสมมาตรP ทุกตัว สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของพหุนามสมมาตรเอกนาม ในการทำเช่นนี้ เพียงแค่แยกประเภทของเอกนามที่ปรากฏในP ออกก็เพียงพอแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าPมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ผลรวมเชิงเส้นก็จะเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

พหุนามสมมาตรพื้นฐานเป็นกรณีพิเศษของพหุนามสมมาตรเอกนาม: สำหรับ 0 ≤  k  ≤  nจะได้ว่า

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})}$โดยที่ α คือการแบ่งkออกเป็นkส่วน 1 (ตามด้วย ศูนย์ n  −  kตัว)

สำหรับจำนวนเต็มk  ≥ 1 แต่ละตัว พหุนามสมมาตรเอกนามm _{( k ,0,...,0)} ( X ₁ , ..., X _n ) เป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ มันคือพหุนามสมมาตรผลรวมกำลัง ซึ่งนิยามว่า

${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.}$

พหุนามสมมาตรทั้งหมดสามารถได้มาจาก การบวกและการคูณพหุนามสมมาตรผลรวมกำลัง n ตัวแรก โดยอาจมีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนตรรกยะ กล่าวโดยละเอียดคือ

พหุนามสมมาตรใดๆ ในX ₁ , ..., X _nสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะในพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังp ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., p _n ( X ₁ , ..., X _n )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามผลรวมกำลังที่เหลือp _k ( X ₁ , ..., X _n ) สำหรับk  >  nสามารถแสดงได้ในรูป พหุนามผลรวมกำลัง n ตัวแรก ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}$

ตรงกันข้ามกับกรณีของพหุนามเอกพันธุ์พื้นฐานและสมบูรณ์ พหุนามสมมาตรในตัวแปรn ตัวที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลัง ตัวอย่างเช่น สำหรับn  = 2 พหุนามสมมาตร

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}}$

มีการแสดงออก

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}$

การใช้ตัวแปรสามตัวทำให้ได้นิพจน์ที่แตกต่างออกไป

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}}$

นิพจน์ที่สอดคล้องกันนั้นใช้ได้กับตัวแปรสองตัวเช่นกัน (เพียงแค่กำหนดให้X³เป็นศูนย์) แต่เนื่องจากเกี่ยวข้องกับ_p³จึงไม่สามารถใช้เพื่ออธิบายข้อความสำหรับn = 2 _ได้  ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่านิพจน์สำหรับพหุนามสมมาตรเอกนามที่กำหนดในรูปของพหุ นามผลรวมกำลัง n ตัวแรก นั้นเกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ตรรกยะหรือไม่นั้นอาจขึ้นอยู่กับnแต่สัมประสิทธิ์ตรรกยะ จำเป็น เสมอในการแสดงพหุนามสมมาตรพื้นฐาน (ยกเว้นพหุนามคงที่ และe¹ซึ่งตรงกับผลรวมกำลังตัวแรก) ในรูปของพหุนามผลรวมกำลังเอกลักษณ์ของนิวตัน ให้วิธีการที่ชัดเจนในการทำเช่นนี้ ซึ่งเกี่ยวข้อง _กับการหารด้วยจำนวนเต็มจนถึงnซึ่งอธิบายถึงสัมประสิทธิ์ตรรกยะ เนื่องจากการหารเหล่านี้ ข้อความที่กล่าวถึงจึงใช้ไม่ได้โดยทั่วไปเมื่อสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ ที่มี ลักษณะเฉพาะจำกัดอย่างไรก็ตาม ข้อความนั้นใช้ได้กับสัมประสิทธิ์ในริง ใด ๆ ที่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ใดๆ พหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์h _k ( X ₁ , ..., X _n ) คือผลรวมของ เอก นาม ที่แตกต่างกันทั้งหมด ที่ มี ดีกรีkในตัวแปรX ₁ , ..., X _nตัวอย่างเช่น

${\displaystyle h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.}$

พหุนามh _k ( X ₁ , ..., X _n ) ยังเป็นผลรวมของพหุนามเอกนามสมมาตรที่แตกต่างกันทั้งหมดที่มีดีกรีkในX ₁ , ..., X _nด้วย ตัวอย่างเช่นสำหรับตัวอย่างที่กำหนด

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

พหุนามสมมาตรทั้งหมดในตัวแปรเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้จากพหุนามเอกพันธุ์สมบูรณ์: พหุนามสมมาตรใดๆ ในX ₁ , ..., X _nสามารถหาได้จากพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์h ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., h _n ( X ₁ , ..., X _n ) ผ่านการคูณและการบวก กล่าวโดยละเอียดคือ:

พหุนามสมมาตรใดๆPในX ₁ , ..., X _nสามารถเขียนได้เป็นนิพจน์พหุนามในพหุนามh _k ( X ₁ , ..., X _n ) โดย ที่1 ≤  k  ≤  n

ถ้าPมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่านิพจน์พหุนามนั้นก็มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับn = 2 พหุนามเอกพันธุ์สมมาตรสมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องคือh ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂และh ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ² + X ₁ X ₂ + X ₂ ²พหุนามตัวแรกในรายการตัวอย่างข้างต้นสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.}$

เช่นเดียวกับกรณีของผลรวมกำลัง ข้อความดังกล่าวใช้ได้โดยเฉพาะกับพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์ที่เกินกว่าh _n ( X ₁ , ..., X _n ) ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงพหุนามเหล่านั้นได้ในรูปของพหุนามที่มีตัวแปรไม่เกินจุดนั้น อย่างไรก็ตาม เอกลักษณ์ที่ได้จะใช้ไม่ได้เมื่อจำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้น

ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์คือความสัมพันธ์กับพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปเอกลักษณ์

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0}$สำหรับทุกk  > 0 และจำนวนตัวแปร  n ใด ๆ

เนื่องจากe ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) และh ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) ต่างก็เท่ากับ 1 เราจึงสามารถแยกพจน์แรกหรือพจน์สุดท้ายของผลรวมเหล่านี้ได้ โดยพจน์แรกจะให้ชุดสมการที่ช่วยให้เราสามารถแสดงพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์ที่ต่อเนื่องกันในรูปของพหุนามสมมาตรพื้นฐานได้แบบเวียนซ้ำ และพจน์หลังจะให้ชุดสมการที่ช่วยให้สามารถทำการผกผันได้ สิ่งนี้แสดงให้เห็นโดยปริยายว่าพหุนามสมมาตรใดๆ ก็สามารถแสดงในรูปของh _k ( X ₁ , ..., X _n ) โดยที่ 1 ≤  k  ≤  nได้ กล่าวคือ ขั้นแรกให้แสดงพหุนามสมมาตรในรูปของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน จากนั้นจึงแสดงพหุนามเหล่านั้นในรูปของพหุนามเอกพันธุ์สมบูรณ์ที่กล่าวถึงข้างต้น

พหุนามสมมาตรอีกประเภทหนึ่งคือพหุนามชูร์ ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้พหุนามสมมาตรในทฤษฎีการแทนค่าอย่างไรก็ตาม พหุนามชูร์นั้นอธิบายได้ยากกว่าพหุนามสมมาตรชนิดพิเศษอื่นๆ โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความหลัก

พหุนามสมมาตรมีความสำคัญต่อพีชคณิตเชิงเส้นทฤษฎีการแทนและทฤษฎีกาลัวส์นอกจากนี้ยังมีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงซึ่งส่วนใหญ่ศึกษาผ่านวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตรซึ่งช่วยหลีกเลี่ยงการต้องพกพาตัวแปรจำนวนคงที่ตลอดเวลา

พหุนามสลับเครื่องหมายนั้นคล้ายคลึงกับพหุนาม สมมาตร ซึ่งเป็นพหุนามที่แทนที่จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่งของตัวแปร กลับเปลี่ยนแปลงไปตามเครื่องหมายของการสลับตำแหน่งนั้น

ทั้งหมดนี้เป็นผลคูณของพหุนามแวนเดอร์มอนด์และพหุนามสมมาตร และก่อให้เกิดส่วนขยายกำลังสองของวงแหวนพหุนามสมมาตร โดยพหุนามแวนเดอร์มอนด์เป็นรากที่สองของดิสคริมิแนนต์

• ฟังก์ชันสมมาตร
• เอกลักษณ์ของนิวตัน
• ฟังก์ชันสมมาตรของสแตนลีย์
• ความไม่เท่าเทียมกันของมิวร์เฮด