ในทางเรขาคณิต ออร์โธสคีม ของSchläfli เป็น ซิมเพล็กซ์ชนิดหนึ่งออร์โธสคีมเป็นการวางนัยทั่วไปของ รูป สามเหลี่ยมมุมฉากไปสู่รูปซิมเพล็กซ์ที่มีมิติใดๆ ออร์โธสคีมถูกกำหนดโดยลำดับของขอบที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันLudwig Schläfliเป็นผู้แนะนำออร์โธสคีม และ เรียกมันว่า ออร์โธสคีม พร้อมทั้งศึกษาปริมาตร ของมัน ใน เรขาคณิต แบบยุคลิด ไฮเปอร์โบลิกและทรง กลม ต่อมา HSM Coxeterได้ตั้งชื่อมันตาม Schläfli เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ ออ ร์โธ สคีมจึงเป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติnมิติ ดังที่Schoute ได้พัฒนาขึ้นและ เรียกมันว่าโพลีโกโนเมตรี^{[ 1 ]} J.-P. SydlerและBørge Jessenได้ศึกษาออร์โธสคีมอย่างกว้างขวางในส่วนที่เกี่ยวข้องกับ ปัญหาที่สาม ของ Hilbert${\displaystyle (v_{0}v_{1}),(v_{1}v_{2}),\dots ,(v_{d-1}v_{d})\,}$

ออร์โธสคีม หรือที่เรียกว่า ซิ มเพล็กซ์เส้นทางใน วรรณกรรม คณิตศาสตร์ ประยุกต์ เป็นกรณีพิเศษของซิ ^มเพล็กซ์ประเภททั่วไปที่ศึกษาโดยFiedler [ ^{2 ]}และต่อมาค้นพบใหม่โดยCoxeter ^{[ 3 ]} ซิมเพล็กซ์เหล่านี้เป็นเปลือกนูนของต้นไม้ ซึ่งขอบทั้งหมดตั้งฉากกัน ในออร์โธสคีม ต้นไม้ พื้นฐานคือเส้นทาง

ในสามมิติ ออร์โธสคีมยังเรียกว่าเตตระเฮดรอนแบบไบเรกตังกูลาร์ (เนื่องจากเส้นทางของมันสร้างมุมฉากสองมุมที่จุดยอดแต่ละจุดมีมุมฉากสองมุม) หรือเตตระเฮดรอนแบบควอดริเรกตังกูลาร์ (เนื่องจากมีมุมฉากสี่มุม) ^{[ 4 ]}

• สามเหลี่ยมด้านเท่าทุก รูป เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
• ทุกด้านของ ออร์โธสคีมมิติ dเป็นออร์โธสคีมมิติ ( d  − 1)
• มุมไดเฮดรัลที่ไม่ทับซ้อนกับขอบของเส้นทางจะมีมุมแหลม ส่วนมุมไดเฮดรัลที่เหลือ ทั้งหมดจะ เป็นมุมฉาก^{[ 3 ]}${\displaystyle d}$${\displaystyle {\tbinom {d}{2}}}$
• จุดกึ่งกลางของด้าน ที่ยาวที่สุด คือจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ
• กรณีที่เป็น รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานฮิลล์ แบบ ทั่วไป${\displaystyle |v_{0}v_{1}|=|v_{1}v_{2}|=\cdots =|v_{d-1}v_{d}|}$
• ไฮ เปอร์คิวบ์ทุกอันใน ปริภูมิ dมิติ สามารถแบ่งออกเป็น ออร์โธสกีมที่สมมาตรกันได้ d ! แบบ การแบ่งส่วนที่คล้ายกันนี้ออกเป็นออร์โธสกีมจำนวนเท่ากัน สามารถนำไปใช้กับ ไฮเปอร์เรคแทงเกิลทุกอันได้โดยทั่วไปแต่ในกรณีนี้ ออร์โธสกีมเหล่านั้นอาจไม่สมมาตรกัน
• โพลีโทปปกติทุกอันสามารถแบ่งตามรัศมีเป็น ออร์โธสคีมที่สอดคล้องกัน gอันซึ่งมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง โดยที่gคือลำดับของกลุ่มสมมาตรของโพลีโทปปกติ^{[ 5 ]}
• ออร์โธสคีมทุกอันสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนย่อยได้^{[ 1 ]}
• ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกและทรงกลม 3 มิติ ปริมาตรของออร์โธสคีมสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันโลบาเชฟสกีหรือในรูปของไดโลการิธึม^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2499 Hugo Hadwigerตั้งข้อสันนิษฐานว่าซิมเพล็กซ์ทุกอันสามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมจำนวนจำกัดได้^{[ 7 ]}ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปริภูมิที่มีมิติห้าหรือน้อยกว่า^{[ 8 ]}แต่ยังคงไม่สามารถหาคำตอบได้ในมิติที่สูงกว่า^{[ 9 ]}

ข้อสันนิษฐานของ Hadwiger บ่งชี้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้

Coxeter ระบุออร์โธสคีมต่างๆ ว่าเป็นซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะของโพลีโทปที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อน^{[ 10 ]}ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะเป็นหน่วยพื้นฐานของโพลีโทป สามารถทำซ้ำได้โดยการสะท้อนหรือการหมุนเพื่อสร้างโพลีโทป เช่นเดียวกับที่โพลีโทปสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มได้ ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะเป็นแบบไครัล (มีรูปแบบภาพสะท้อนสองแบบที่แตกต่างกัน) และโพลีโทปจะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเท่าๆ กันของตัวอย่างด้านซ้ายและด้านขวา มีความยาวขอบและหน้าไม่เหมือนกัน แทนที่จะเป็นหน้าสามเหลี่ยมด้านเท่าของซิมเพล็กซ์ปกติ เมื่อโพลีโทปเป็นแบบปกติ ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะของมันจะเป็นออร์โธสคีม ซึ่งเป็นซิมเพล็กซ์ที่มีเฉพาะหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

โพลีโทปปกติทุกอันมีออร์โธสคีมเฉพาะตัวซึ่งเป็นบริเวณพื้นฐานซิมเพล็กซ์ไม่ปกติซึ่งมี ลักษณะ สมมาตรเหมือนกับโพลีโทปปกติทุกประการ แต่ครอบคลุมลักษณะสมมาตรทั้งหมดโดยไม่มีการซ้ำซ้อน^{[ 11 ]}สำหรับk-โพลี โทปปกติ แผนภาพ Coxeter-Dynkinของออ ร์โธสคีม k- เฉพาะตัว คือ แผนภาพของ k-โพลีโทปโดยไม่มีวงแหวนจุดกำเนิดk- โพลีโทป ปกติถูกแบ่งย่อยโดยองค์ประกอบสมมาตร ( k -1) ออกเป็นgตัวอย่างของ ออร์โธสคีม k- เฉพาะตัว ที่ล้อมรอบศูนย์กลาง โดยที่gคือลำดับของกลุ่มสมมาตรของk- โพลีโทป นี่คือการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก

เราจะอธิบาย "การแบ่งย่อยแบบซิมพลิเชียล" ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ โดยเริ่มจากกรณีหนึ่งมิติ ส่วนของเส้นตรง 𝚷 ₁ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยจุดศูนย์กลาง 𝚶 ₁รูปหลายเหลี่ยม 𝚷 ₂ = { p } ถูกแบ่งโดยเส้นสมมาตรออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 p รูปซึ่งเชื่อมจุดศูนย์กลาง 𝚶 ₂กับด้านที่ถูกแบ่งย่อยแบบซิมพลิเชียล รูปทรงหลายเหลี่ยม 𝚷 ₃ = { p, q } ถูกแบ่งโดยระนาบสมมาตรออกเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าgรูป (ดู 5.43) ซึ่งเชื่อมจุดศูนย์กลาง 𝚶 ₃กับหน้าที่ถูกแบ่งย่อยแบบซิมพลิเชียล ในทำนองเดียวกัน โพลีโทปปกติทั่วไป 𝚷 _nจะถูกแบ่งออกเป็นซิมเพล็กซ์ที่สอดคล้องกันจำนวนหนึ่ง ([ออร์โธสคีม]) ซึ่งเชื่อมศูนย์กลาง 𝚶 _nกับเซลล์ที่แบ่งย่อยแบบซิมเพล็กซ์^{[ 5 ]}

• 3-ออร์โธสคีม ( ทรงสี่เหลี่ยมหน้าตัดรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก)
• 4-orthoscheme ( 5-cellที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)
• เตตระเฮดรอนกูร์ซาต์
• โพลีโทปสั่งซื้อ