ไดโลการิทึมตามแกนจริง ค่าหลัก ของไดโลการิธึมที่แสดงในระนาบเชิงซ้อน ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันไดโลการิทึม (หรือฟังก์ชันของสเปนซ์ ) ซึ่งเขียนแทนด้วยLi 2 ( z ) เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันโพลีโลการิทึม ฟังก์ชันพิเศษ สองฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกันนี้เรียกว่าฟังก์ชันของสเปนซ์ ซึ่งก็คือฟังก์ชันไดโลการิทึมนั่นเอง:
หลี่ 2 ( z ) = − ∫ 0 z ln ( 1 − คุณ ) คุณ ง คุณ , z ∈ ซี {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} } และการสะท้อนของมัน สำหรับ| z อนุกรมอนันต์ ก็ใช้ได้เช่นกัน (นิยามของปริพันธ์ถือเป็นการขยายเชิงวิเคราะห์ไปยังระนาบเชิงซ้อน ):
หลี่ 2 ( z ) = ∑ เค = 1 ∞ z เค เค 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.} อีกทางเลือกหนึ่ง ฟังก์ชันไดโลการิธึมบางครั้งถูกนิยามว่า
∫ 1 วี ln ที 1 − ที ง ที = หลี่ 2 ( 1 − วี ) . {\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).} ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก สามารถใช้ไดโลการิธึมในการคำนวณปริมาตรของซิมเพล็กซ์ในอุดมคติ ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซิมเพล็กซ์ที่มีจุดยอดซึ่งมีอัตราส่วนไขว้เท่ากับ z จะมีปริมาตรไฮเปอร์โบลิก
ดี ( z ) = ฉัน หลี่ 2 ( z ) + อาร์ก ( 1 − z ) บันทึก | z | . {\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.} ฟังก์ชันD ( z )[ 1 ] ฟังก์ชัน Lobachevsky และฟังก์ชัน Clausen เป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด
วิลเลียม สเปนซ์ ซึ่ง เป็น [ 2 ] จอห์น กัลต์ [ 3 ]
โครงสร้างเชิงวิเคราะห์ จากนิยามข้างต้น ฟังก์ชันไดโลการิธึมเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกที่บนระนาบเชิงซ้อน ยกเว้นที่ซึ่งมีจุดแยกสาขาแบบลอการิทึม โดยทั่วไปแล้ว การเลือกเส้นตัดสาขาจะอยู่ตามแนวแกนจริงบวก อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุดแยกสาขาและมีค่าเท่ากับ z = 1 {\displaystyle z=1} ( 1 , ∞ ) {\displaystyle (1,\infty )} หลี่ 2 ( 1 ) = π 2 / 6 {\displaystyle \ตัวดำเนินการ {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}
อัตลักษณ์ หลี่ 2 ( z ) + หลี่ 2 ( − z ) = 1 2 หลี่ 2 ( z 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).} [ 4 ] หลี่ 2 ( 1 − z ) + หลี่ 2 ( 1 − 1 z ) = − ( ln z ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.} [ 5 ] หลี่ 2 ( z ) + หลี่ 2 ( 1 − z ) = π 2 6 − ln z ⋅ ln ( 1 − z ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z)} [ 4 ] สะท้อน หลี่ 2 ( − z ) − หลี่ 2 ( 1 − z ) + 1 2 หลี่ 2 ( 1 − z 2 ) = − π 2 12 − ln z ⋅ ln ( z + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1)} [ 5 ] หลี่ 2 ( z ) + หลี่ 2 ( 1 z ) = − π 2 6 − ( ln ( − z ) ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.} [ 4 ] แอล ( x ) + แอล ( y ) = แอล ( x y ) + แอล ( x ( 1 − y ) 1 − x y ) + แอล ( y ( 1 − x ) 1 − x y ) {\displaystyle \operatorname {L} (x)+\operatorname {L} (y)=\operatorname {L} (xy)+\operatorname {L} \left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)+\operatorname {L} \left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)} 6 ] [ 7 ] ฟังก์ชัน L ของ Rogers (ความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันนี้ยังเป็นไปตามไดโลการิธึมควอนตัม ด้วย แอล ( z ) = π 2 6 [ หลี่ 2 ( z ) + 1 2 ln ( z ) ln ( 1 − z ) ] {\displaystyle \operatorname {L} (z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}[\operatorname {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}
เอกลักษณ์ค่าเฉพาะ Li 2 ( 1 3 ) − 1 6 Li 2 ( 1 9 ) = π 2 18 − ( ln 3 ) 2 6 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.} [ 5 ] Li 2 ( − 1 3 ) − 1 3 Li 2 ( 1 9 ) = − π 2 18 + ( ln 3 ) 2 6 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.} [ 5 ] Li 2 ( − 1 2 ) + 1 6 Li 2 ( 1 9 ) = − π 2 18 + ln 2 ⋅ ln 3 − ( ln 2 ) 2 2 − ( ln 3 ) 2 3 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.} [ 5 ] Li 2 ( 1 4 ) + 1 3 Li 2 ( 1 9 ) = π 2 18 + 2 ln 2 ⋅ ln 3 − 2 ( ln 2 ) 2 − 2 3 ( ln 3 ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.} [ 5 ] Li 2 ( − 1 8 ) + Li 2 ( 1 9 ) = − 1 2 ( ln 9 8 ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.} [ 5 ] 36 Li 2 ( 1 2 ) − 36 Li 2 ( 1 4 ) − 12 Li 2 ( 1 8 ) + 6 Li 2 ( 1 64 ) = π 2 . {\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}
คุณค่าพิเศษ Li 2 ( − 1 ) = − π 2 12 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.} Li 2 ( 0 ) = 0. {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.} Li 2 ( 1 2 ) = π 2 12 − ( ln 2 ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.} Li 2 ( 1 ) = ζ ( 2 ) = π 2 6 , {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},} ฟังก์ชันซีตาของรีมัน น์อยู่ที่ไหนζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} Li 2 ( 2 ) = π 2 4 − i π ln 2. {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.} Li 2 ( − 5 − 1 2 ) = − π 2 15 + 1 2 ( ln 5 + 1 2 ) 2 = − π 2 15 + 1 2 arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( − 5 + 1 2 ) = − π 2 10 − ln 2 5 + 1 2 = − π 2 10 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( 3 − 5 2 ) = π 2 15 − ln 2 5 + 1 2 = π 2 15 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( 5 − 1 2 ) = π 2 10 − ln 2 5 + 1 2 = π 2 10 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}
ในฟิสิกส์อนุภาค ฟังก์ชันของสเปนซ์ (Spence's Function) มักพบเห็นได้ทั่วไปในฟิสิกส์อนุภาค ขณะคำนวณการแก้ไขการแผ่รังสี ในบริบทนี้ ฟังก์ชันมักถูกกำหนดด้วยค่าสัมบูรณ์ ภายในลอการิทึม:
Φ ( x ) = − ∫ 0 x ln | 1 − u | u d u = { Li 2 ( x ) , x ≤ 1 ; π 2 3 − 1 2 ( ln x ) 2 − Li 2 ( 1 x ) , x > 1. {\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}
ดูเพิ่มเติม
หมายเหตุ ^ Zagier หน้า 10 ^ "วิลเลียม สเปนซ์ - ชีวประวัติ " ^ "ชีวประวัติ – GALT, JOHN – เล่มที่ VII (1836-1850) – พจนานุกรมชีวประวัติชาวแคนาดา " ^ a b c Zagier ↑ a b c d e f g ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ไดโลการิทึม " แมทเวิลด์ . ^ Weisstein, Eric W. "Rogers L-Function" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ 2024-08-01 . ^ Rogers, LJ (1907). "เกี่ยวกับการแสดงอนุกรมเชิงเส้นกำกับบางอย่างในรูปเศษส่วนต่อเนื่องที่ลู่เข้า" . Proceedings of the London Mathematical Society . s2-4 (1): 72– 89. doi : 10.1112/plms/s2-4.1.72 .
อ่านเพิ่มเติม Bloch, Spencer J. (2000). ตัวควบคุมระดับสูง ทฤษฎี K เชิงพีชคณิต และฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งวงรี ชุดเอกสารทางวิชาการ CRM เล่มที่ 11 พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์: สมาคม คณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN0-8218-2114-8 . Zbl 0958.19001 .
ลิงก์ภายนอก 
![{\displaystyle \ตัวดำเนินการ {L} (z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}[\ชื่อตัวดำเนินการ {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc3bfc44d20d30ad606b35078a8c720aac97729)
