ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันคลอเซนซึ่งคิดค้นโดยโทมัส คลอเซน  ( ค.ศ. 1832 ) เป็นฟังก์ชันอดิศัยพิเศษของตัวแปรเดียว สามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์จำกัดอนุกรมตรีโกณมิติและรูปแบบอื่นๆ อีกมากมาย ฟังก์ชันนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพหุโลการิทึมปริพันธ์แทนเจนต์ผกผันฟังก์ชันพหุแกมมา ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันเบตาของดิริชเลต์

ฟังก์ชันคลอเซนอันดับ 2 – ซึ่งมักเรียกกันว่าฟังก์ชันคลอเซน แม้จะเป็นเพียงหนึ่งในหลายๆ ฟังก์ชัน – กำหนดโดยปริพันธ์ดังนี้:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$$

โดยที่logหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติในช่วงดัง กล่าว ฟังก์ชันไซน์ภายใน เครื่องหมาย ค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้นจึงสามารถละเว้นเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ได้ ฟังก์ชันคลอเซนยังมี รูปแบบ อนุกรมฟูริเยร์ ด้วย : ${\displaystyle 0<\varphi <2\pi \,}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }$$

ฟังก์ชันคลอเซน (Clausen functions) เป็นกลุ่มฟังก์ชันที่มีบทบาทสำคัญอย่างมากในงานวิจัยทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่หลายสาขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประเมิน ค่า อินทิกรัลลอการิทึมและพหุลอการิทึมหลายประเภท ทั้งแบบจำกัดและไม่จำกัด นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้มากมายเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกผลรวมที่เกี่ยวข้องกับส่วนกลับของสัมประสิทธิ์ทวินามกลางผลรวมของฟังก์ชันพหุแกมมาและอนุกรม L ของดิริชเลต์ (Dirichlet L-series )

ฟังก์ชันคลอเซน (อันดับ 2) มีศูนย์แบบง่ายที่ทุกตัวคูณ ( จำนวนเต็ม ) ของเนื่องจากถ้าเป็นจำนวนเต็มแล้ว${\displaystyle \pi ,\,}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sin k\pi =0}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }$$

มีค่าสูงสุดที่${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }$$

และค่าต่ำสุดที่${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }$$

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นผลโดยตรงจากนิยามของอนุกรม:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$$

ดูLu & Perez (1992 )

ฟังก์ชันมาตรฐานของ Clausen

ฟังก์ชัน Glaisher–Clausen

โดยทั่วไปแล้ว เราจะกำหนดฟังก์ชันคลอเซนแบบทั่วไปสองฟังก์ชันดังนี้:

$${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$$

ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนzที่มี Re z >1 นิยามนี้สามารถขยายไปยัง ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ผ่านการต่อยอดเชิงวิเคราะห์

เมื่อแทนค่าz ด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ฟังก์ชัน Clausen มาตรฐานจะถูกกำหนดโดยอนุกรมฟูริเยร์ ดังต่อไปนี้ :

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$$

หมายเหตุฟังก์ชันคลอเซนชนิด SLมีสัญลักษณ์ทางเลือกและบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันเกลเชอร์-คลอเซน (ตั้งชื่อตามเจมส์ วิทเบรด ลี เกลเชอร์จึงเป็นที่มาของสัญลักษณ์ GL) ${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}$

ฟังก์ชันคลอเซนแบบ SLเป็นพหุนามในและมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพหุนามเบอร์นูลลีความเชื่อมโยงนี้เห็นได้ชัดจากการแสดงพหุนามเบอร์นูลลี ในรูปแบบอนุกรมฟูริเยร์ :${\displaystyle \,\theta \,}$

$${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.}$$$${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.}$$

เมื่อแทนค่าข้างต้นลงไป แล้วจัดเรียงพจน์ใหม่ จะได้นิพจน์ในรูปแบบปิด (พหุนาม) ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \,x=\theta /2\pi \,}$

$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$$

โดยที่พหุนามเบอร์นูลลี ถูกนิยามในรูปของจำนวนเบอร์นูลลีด้วยความสัมพันธ์ดังนี้: ${\displaystyle \,B_{n}(x)\,}$${\displaystyle \,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,}$

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.}$$

การประเมินผลที่ชัดเจนซึ่งได้มาจากข้อมูลข้างต้น ได้แก่:

$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},}$$$${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.}$$

สำหรับกรณีดังกล่าว สูตรการทำซ้ำสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากนิยามอนุกรมหรืออินทิกรัล (ดูเพิ่มเติมที่Lu & Perez (1992)สำหรับผลลัพธ์ – แม้ว่าจะไม่มีการพิสูจน์ก็ตาม) ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$$

เมื่อกำหนดให้ค่าคงที่ของคาตาลัน เป็น ผลที่ตามมาโดยตรง จากสูตรการทำซ้ำ ได้แก่ ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}}$$$${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}$$

สำหรับฟังก์ชันคลอเซนลำดับสูงกว่า สูตรการทำซ้ำสามารถหาได้จากสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น เพียงแค่แทนที่ด้วยตัวแปรดัมมี่และทำการอินทิเกรตในช่วงการใช้กระบวนการเดียวกันซ้ำๆ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle \,\theta \,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,[0,\theta ].\,}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}$$

และโดยทั่วไปแล้ว เมื่อพิจารณาตามหลักการอุปนัย${\displaystyle \,m,\;m\geq 1}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]}$$

การใช้สูตรการทำซ้ำแบบทั่วไปช่วยให้สามารถขยายผลลัพธ์สำหรับฟังก์ชันคลอเซนอันดับ 2 ซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของคาตาลันได้${\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$$

ฟังก์ชันเบต้าของ Dirichlet อยู่ที่ไหน${\displaystyle \,\beta (x)\,}$

จากนิยามของปริพันธ์

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$$

ใช้สูตรการทำซ้ำสำหรับฟังก์ชันไซน์เพื่อให้ได้ ${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}}$$

ใช้การแทนที่กับอินทิกรัลทั้งสอง: ${\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}}$$

ในอินทิกรัลสุดท้ายนั้น ให้กำหนดและใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเพื่อแสดงว่า: ${\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}$${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}$

ดังนั้น,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box }$

การหาอนุพันธ์โดยตรงของ การขยายอนุกรม ฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันคลอเซนจะได้:

$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$$

โดยอ้างอิงถึงทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกของแคลคูลัสเราจะได้ว่า:

$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$$

อินทิกรัลแทนเจนต์ผกผันถูกกำหนดบนช่วงโดย ${\displaystyle 0<z<1}$

$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}$$

มันมีรูปแบบปิดดังต่อไปนี้ในแง่ของฟังก์ชันคลอเซน:

$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$$

จากนิยามเชิงปริพันธ์ของปริพันธ์แทนเจนต์ผกผันเราจะได้ว่า

$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx}$$

ทำการอินทิเกรตโดยใช้ส่วนประกอบ

$${\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}$$$${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx}$$

ใช้การแทนที่เพื่อให้ได้ ${\displaystyle x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,}$

$${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}$$

สำหรับอินทิกรัลสุดท้าย ให้ใช้การแปลงเพื่อหาค่า $${\displaystyle y=x/2,\,dy=dx/2\,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

สุดท้ายนี้ เช่นเดียวกับการพิสูจน์สูตรการทำซ้ำ การแทนที่ทำให้ปริพันธ์สุดท้ายนั้นลดลงเหลือ ${\displaystyle x=(\pi -y)\,}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$$

ดังนั้น

$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }$$

ในความเป็นจริงฟังก์ชันคลอเซนอันดับสองสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันบาร์นส์ จีและฟังก์ชันแกมมา (ออยเลอร์) : ${\displaystyle 0<z<1}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$$

ดูAdamchik (2003 )

ฟังก์ชันคลอเซนแสดงถึงส่วนจริงและส่วนจินตนาการของพหุโลการิทึมบนวงกลมหน่วย :

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}$$

สิ่งนี้สามารถเห็นได้ง่ายๆ โดยการอ้างอิงถึงนิยามอนุกรมของพหุโลการิทึม

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}$$

ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

และโดยทฤษฎีบทของเดอ มัวฟวร์ ( สูตรของเดอ มัวฟวร์ )

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$$

เพราะฉะนั้น

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$$

ฟังก์ชันคลอเซนมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันโพลีแกมมาที่จริงแล้ว เราสามารถแสดงฟังก์ชันคลอเซนในรูปของการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโพลีแกมมาได้ ความสัมพันธ์หนึ่งดังกล่าวแสดงไว้ในที่นี้ และจะพิสูจน์ต่อไปนี้:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$$

ผลที่ตามมาโดยตรงคือสูตรที่เทียบเท่ากันนี้ในรูปของฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\zeta \left(2m,{\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\zeta \left(2m,{\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$$

อิน ทิกรัล ล็อกไซน์ทั่วไปนิยามโดย:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$$

ในสัญลักษณ์ทั่วไปนี้ ฟังก์ชันคลอเซนสามารถแสดงได้ในรูปแบบ:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}$$

เอิร์นส์ คัมเมอร์และโรเจอร์สให้ความสัมพันธ์ดังกล่าว

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$$

ใช้ได้กับ. ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

ฟังก์ชันLobachevsky Λ หรือ Л นั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็นฟังก์ชันเดียวกัน เพียงแต่เปลี่ยนตัวแปรเท่านั้น:

$${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}$$

แม้ว่าชื่อ "ฟังก์ชันโลบาเชฟสกี" จะไม่ถูกต้องตามประวัติศาสตร์นัก เนื่องจากสูตรของโลบาเชฟสกีสำหรับปริมาตรไฮเปอร์โบลิกใช้ฟังก์ชันที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย

$${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.}$$

สำหรับค่าตรรกยะของ(นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มpและq บางค่า ) ฟังก์ชันนี้สามารถเข้าใจได้ว่าแสดงถึงวงโคจรคาบขององค์ประกอบในกลุ่มวัฏจักรและด้วยเหตุนี้จึงสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์ ซึ่งช่วยให้ สามารถคำนวณ ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ บางฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย${\displaystyle \theta /\pi }$${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$${\displaystyle \sin(n\theta )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$

อัตราเร่งอนุกรมสำหรับฟังก์ชันคลอเซนกำหนดโดย

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$$

ซึ่งใช้ได้กับโดยที่คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์รูปแบบที่ลู่เข้าได้เร็วกว่านั้นกำหนดโดย ${\displaystyle |\theta |<2\pi }$${\displaystyle \zeta (s)}$

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$$

การลู่เข้าได้รับการสนับสนุนจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเข้าใกล้ศูนย์อย่างรวดเร็วสำหรับค่าn ที่มาก ทั้งสองรูปแบบสามารถหาได้จากเทคนิคการรวมใหม่ประเภทต่างๆ ที่ใช้ในการสร้างอนุกรมซีตาเชิงตรรกะ ( Borwein et al. 2000 ) ${\displaystyle \zeta (n)-1}$

โปรดระลึกถึงฟังก์ชัน G ของ Barnes , ค่าคงที่ K ของ Catalan และค่า คงที่ V ของ Giesekingนอกจากนี้ยังมีค่าพิเศษบางค่า ได้แก่

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$$

โดยทั่วไป จาก สูตร การ สะท้อนของฟังก์ชัน G ของบาร์นส์

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โดยใช้ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันแกมมา

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}$$

ค่าพิเศษบางค่าสำหรับฟังก์ชันคลอเซนลำดับสูง ได้แก่

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$$

โดยที่คือฟังก์ชันเบตาของ Dirichlet , คือฟังก์ชันอีตาของ Dirichlet (หรือเรียกว่าฟังก์ชันซีตาแบบสลับ) และคือ ฟังก์ชันซีตา ของ Riemann${\displaystyle \beta (x)}$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle \zeta (x)}$

อินทิกรัลต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ จากการแสดงอนุกรมของฟังก์ชันคลอเซน:

$${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )}$$

วิธีการวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถใช้เพื่อค้นหาโมเมนต์แรกของกำลังสองของฟังก์ชันในช่วงเวลา: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$${\displaystyle [0,\pi ]}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].}$$

ในที่นี้หมายถึง ฟังก์ชันซี ตา หลายตัว${\displaystyle \zeta }$

อิน ทิกรัลตรีโกณมิติและอินทิกรัลลอการิทึมตรีโกณมิติจำนวนมากสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันคลอเซน และค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ทั่วไปต่างๆ เช่น( ค่าคงที่ของคาตาลัน ) และกรณีพิเศษของฟังก์ชันซีตาและ${\displaystyle \,K\,}$${\displaystyle \,\log 2\,}$${\displaystyle \,\zeta (2)\,}$${\displaystyle \,\zeta (3)\,}$