ในทางคณิตศาสตร์สูตรการสะท้อนหรือความสัมพันธ์การสะท้อนสำหรับฟังก์ชันfคือความสัมพันธ์ระหว่างf ( a − x )และf ( x )มันเป็นกรณีพิเศษของสมการเชิงฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติในเอกสารทางคณิตศาสตร์ที่จะใช้คำว่า "สมการเชิงฟังก์ชัน" สำหรับสิ่งที่เฉพาะเจาะจงว่าเป็นสูตรการสะท้อน

สูตรการสะท้อนมีประโยชน์สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขของฟังก์ชันพิเศษในทางปฏิบัติ สามารถใช้การประมาณค่าที่มีความแม่นยำสูงกว่า หรือลู่เข้าเฉพาะด้านใดด้านหนึ่งของจุดสะท้อน (โดยทั่วไปอยู่ในครึ่งบวกของระนาบเชิงซ้อน ) สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดได้

ฟังก์ชัน คู่และฟังก์ชันคี่เป็นไปตามความสัมพันธ์การสะท้อนอย่างง่ายรอบa = 0 ตามคำนิยาม สำหรับฟังก์ชันคู่ทั้งหมด

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

และสำหรับฟังก์ชันคี่ทั้งหมด

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

ความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียงอย่างหนึ่งคือสูตรการสะท้อนของออยเลอร์

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

สำหรับฟังก์ชันแกมมา ซึ่งเป็นผลงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ${\textstyle \Gamma (z)}$

นอกจากนี้ยังมีสูตรการสะท้อนสำหรับฟังก์ชันพหุแกมมาลำดับ ที่ n ทั่วไป ψ ^{( n )} ( z )ด้วย

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

ซึ่งเกิดขึ้นอย่างง่ายดายจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันโพลีแกมมาถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของและด้วยเหตุนี้จึงสืบทอดสูตรการสะท้อน ${\textstyle \ln \Gamma }$

ไดโลการิธึมยังสอดคล้องกับสูตรการสะท้อนอีกด้วย^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {Li} _{2}(z)+\ชื่อตัวดำเนินการ {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ ( z )สอดคล้องกับ

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

และฟังก์ชัน Riemann Xi ξ ( z )เป็นไปตามเงื่อนไข

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z)}$$