ในทางคณิตศาสตร์ไดโลการิธึมควอนตัมเป็นฟังก์ชันพิเศษที่นิยามโดยสูตร

${\displaystyle \phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1}$

มันเหมือนกับฟังก์ชันq -exponentialนั่นเอง ${\displaystyle e_{q}(x)}$

ให้เป็น " ตัวแปรสลับที่แบบ q " ซึ่งก็คือองค์ประกอบของพีชคณิตไม่สลับที่ที่เหมาะสมซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของ Weyl แล้ว ไดโลการิธึมควอนตัมจะสอดคล้องกับเอกลักษณ์ของ Schützenberger ${\displaystyle u,v}$${\displaystyle uv=qvu}$

${\displaystyle \phi (u)\phi (v)=\phi (u+v),}$

ตัวตนของฟัดเดเยฟ-โวลคอฟ

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu),}$

และตัวตนของฟัดเดเยฟ-คาชาเยฟ

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v).}$

ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าเอกลักษณ์ไดโลการิธึมห้าพจน์ของโรเจอร์สเป็นการสรุปเชิงควอนตัม

ไดโลการิธึมควอนตัมของ Faddeev ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้: ${\displaystyle \Phi _{b}(w)}$

${\displaystyle \Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\right),}$

โดยเส้นโค้งของการอินทิเกรตจะทอดไปตามแกนจริงนอกบริเวณเล็กๆ รอบจุดกำเนิด และเบี่ยงเบนเข้าไปในระนาบครึ่งบนใกล้จุดกำเนิด ฟังก์ชันเดียวกันนี้สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรอินทิกรัลของวอโรโนวิช: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\right).}$

ลุดวิก ฟัดเดเยฟค้นพบเอกลักษณ์รูปห้าเหลี่ยมควอนตัม:

${\displaystyle \Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}),}$

โดยที่และเป็นตัวดำเนินการโมเมนตัมและตำแหน่งทางกลศาสตร์ควอนตัมแบบ สมมาตรในตัวเอง (แบบนอร์มาไลซ์) ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของไฮเซนเบิร์ก${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {q}}}$

${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}}}$

และความสัมพันธ์ผกผัน

${\displaystyle \Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.}$

ไดโลการิธึมควอนตัมมีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์โทโพโลยีควอนตัมและทฤษฎี พีชคณิตคลัสเตอร์

ความสัมพันธ์ที่แม่นยำระหว่างq -exponential และถูกแสดงโดยความเท่าเทียมกัน ${\displaystyle \Phi _{b}}$

${\displaystyle \Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},}$

ใช้ได้กับ. ${\displaystyle \operatorname {Im} b^{2}>0}$

• ไดโลการิธึมควอนตัมที่ห้องปฏิบัติการn