16 เซลล์(4 ออร์โธเพล็กซ์)
แผนภาพชเลเกล (จุดยอดและเส้นขอบ)
พิมพ์	โพลีโทปนูนปกติ 4 ออร์โธเพล็กซ์ 4 เดมิคิวบ์
สัญลักษณ์ Schläfli	{3,3,4}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เซลล์	16 {3,3}
ใบหน้า	32 {3}
ขอบ	24
จุดยอด	8
รูปจุดยอด	ทรงแปดเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	แปดเหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	B 4 , [3,3,4], ลำดับที่ 384 D 4 , ลำดับที่ 192
สองชั้น	เทสเซอแร็กต์
คุณสมบัติ	นูน , isogonal , isotoxal , isohedral , ปกติ , Hanner polytope
ดัชนีสม่ำเสมอ	12

ในทางเรขาคณิตเซลล์16 เซลล์คือโพลีโทปนูนปกติ 4 มิติ (อนาล็อกสี่มิติของทรงตันเพลโต) ที่มีสัญลักษณ์ Schläfli คือ {3,3,4} เป็นหนึ่งในโพลีโทปนูนปกติ 4 มิติหกแบบที่นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Ludwig Schläfliอธิบายไว้เป็นครั้งแรก^ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ^{[ 1 ]}เรียกอีกอย่างว่าC ₁₆ , hexadecachoron [ ^{2 ]}หรือhexdecahedroid [ sic ? ] ^{[ 3 ]}

มันคือสมาชิก 4 มิติของตระกูลโพลีโทปอนันต์ที่เรียกว่าครอสโพลีโทป ออร์โธเพล็กซ์หรือไฮเปอร์ออกตาเฮดรอนซึ่งคล้ายคลึงกับออกตาเฮดรอนในสามมิติ มันคือโพลีโทป ของค็อกซ์เตอร์ ^{[ 4 ]}โพลีโทปคู่คือเทสเซอแร็กต์ ( ลูกบาศก์ 4 มิติ ) ซึ่งสามารถนำมารวมกันเพื่อสร้างรูปทรงผสมได้ เซลล์ของเซลล์ 16 มิติเป็นคู่กันกับจุดยอด 16 จุดของเทสเซอแร็กต์ ${\displaystyle \beta _{4}}$

เซลล์ 16 เซลล์เป็นลำดับที่สองในลำดับของโพลีโทป 4 มิติแบบนูนปกติ 6 รูป (เรียงตามขนาดและความซับซ้อน) ^{[ a ]}

แต่ละโพลีโทปนูนปกติ 4 มิติที่สืบทอดต่อจากโพลีโทปทั้ง 4 นั้น สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เปลือกนูนของโพลีโทปประกอบที่ ประกอบด้วยเซลล์ 16 เซลล์หลายเซลล์: เทสเซอ แร็ก ต์ 16 จุดยอด เป็นการประกอบของเซลล์ 16 สอง เซลล์ เซลล์ 24 จุดยอด 24 เป็นการประกอบของเซลล์ 16 สาม เซลล์ เซลล์ 600จุดยอด 120 จุดยอดเป็นการประกอบของเซลล์ 16 สิบห้าเซลล์ และเซลล์ 120 จุดยอด 600 จุดยอด เป็นการประกอบของเซลล์ 16 เจ็ดสิบห้าเซลล์^{[ b ]}

โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติ
กลุ่มสมมาตร	เอ4	บี4		เอฟ4	เอช4
ชื่อ	5 เซลล์ ไฮเปอร์เททราเฮดรอน 5 จุด	16 เซลล์ ไฮเปอร์ออกตาเฮดรอน 8 จุด	8 เซลล์ ไฮเปอร์คิวบ์ 16 จุด	24 เซลล์ 24 จุด	600 เซลล์ ไฮเปอร์ไอโคซาเฮดรอน 120 จุด	120 เซลล์ ไฮเปอร์โดเดคาเฮดรอน 600 จุด
สัญลักษณ์ Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
กระจกค็อกซ์เตอร์
มุมไดเฮดรัลสะท้อน	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
กราฟ
จุดยอด	5 ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า	ทรงแปดเหลี่ยม 8	16 เตตระเฮดรัล	24 ลูกบาศก์เมตร	120 ไอโคซาเฮดรอล	เตตระเฮดรัล 600
ขอบ	10 สามเหลี่ยม	24 ตารางเมตร	32 สามเหลี่ยม	96 สามเหลี่ยม	720 รูปห้าเหลี่ยม	1200 สามเหลี่ยม
ใบหน้า	สามเหลี่ยม 10 รูป	สามเหลี่ยม 32 รูป	24 ช่องสี่เหลี่ยม	สามเหลี่ยม 96 รูป	1200 สามเหลี่ยม	รูปห้าเหลี่ยม 720 รูป
เซลล์	5 เตตระเฮดรา	16 เตตระเฮดรา	8 ลูกบาศก์	24 ทรงแปดเหลี่ยม	เตตระเฮดรา 600	120 ทรงสิบสองเหลี่ยม
โทริ	1 5-เตตระเฮดรอน	2 8-เตตระเฮดรอน	2 4-ลูกบาศก์	4 6-ออกตาเฮดรอน	20 30-เตตระเฮดรอน	12 10-dodecahedron
จารึก	120 ใน 120 เซลล์	675 ใน 120 เซลล์	2 16 เซลล์	3 8 เซลล์	25 24 เซลล์	10,600 เซลล์
รูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่		2 ช่องสี่เหลี่ยม x 3	สี่เหลี่ยมผืนผ้า 4 x 4	หกเหลี่ยม 4 อัน x 4 อัน	12 รูปสิบเหลี่ยม x 6	รูปหกเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ 100 ชิ้น x 4
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	1 รูปห้าเหลี่ยม x 2	1 แปดเหลี่ยม x 3	2 รูปแปดเหลี่ยม x 4	2 สิบสองเหลี่ยม x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
รัศมียาว	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
ความยาวขอบ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
รัศมีสั้น	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
พื้นที่	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
ปริมาณ	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-เนื้อหา	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

16-cell คือ โพลีโทปไขว้ 4 มิติ (4-orthoplex) ซึ่งหมายความว่าจุดยอดของมันอยู่เป็นคู่ตรงข้ามกันบนแกนทั้ง 4 ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (w, x, y, z)

จุดยอดทั้งแปดจุดคือ (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) จุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยเส้นขอบ ยกเว้นคู่ตรงข้าม ความยาวของเส้นขอบคือ √2

พิกัดจุดยอดก่อให้เกิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งฉาก 6 รูปที่วางอยู่บนระนาบพิกัดทั้ง 6 ระนาบ สี่เหลี่ยมจัตุรัสใน ระนาบ ตรงข้ามที่ไม่ใช้แกนร่วมกัน (เช่น ใน ระนาบ xyและwz ) จะไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์ (ไม่ตัดกันที่จุดยอดใดๆ) ระนาบเหล่านี้ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์^{[ c ]}

เซลล์ 16 เซลล์ถือเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับการเลือกกรอบอ้างอิง 4 มิติ เนื่องจากจุดยอดของมันกำหนดแกนตั้งฉากทั้งสี่ได้อย่างแม่นยำ

สัญลักษณ์Schläfliของ 16 เซลล์คือ {3,3,4} ซึ่งแสดงว่าเซลล์ของมันคือทรงสี่หน้าปกติ {3,3} และรูปทรงของจุดยอดคือทรงแปดหน้าปกติ {3,4} มีทรงสี่หน้า 8 รูป สามเหลี่ยม 12 รูป และขอบ 6 เส้นที่มาบรรจบกันที่จุดยอดทุกจุดรูปทรงของขอบคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีทรงสี่หน้า 4 รูป และสามเหลี่ยม 4 รูปที่มาบรรจบกันที่ขอบทุกจุด

เซลล์ 16 เซลล์ถูกล้อมรอบ ด้วย เซลล์ 16 เซลล์ ซึ่งทั้งหมดเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ปกติ ^{[ e ]}มีหน้าสามเหลี่ยม 32 หน้า ขอบ 24 ขอบและจุดยอด 8 จุด ขอบทั้ง 24 ขอบล้อม รอบ สี่เหลี่ยมจัตุรัสกลางตั้งฉาก 6 รูปที่อยู่บนวงกลมใหญ่ในระนาบพิกัด 6 ระนาบ (สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่ตั้งฉากกันอย่างสมบูรณ์ 3 คู่) ที่จุดยอดแต่ละจุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ 3 รูปตัดกันในแนวตั้งฉาก ขอบทั้ง 6 ขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดในลักษณะเดียวกับที่ขอบทั้ง 6 ขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดของพีระมิดทรงแปด เหลี่ยมแบบแคนอนิ ก^{[ d ]}ระนาบกลางตั้งฉาก 6 ระนาบของเซลล์ 16 เซลล์สามารถแบ่งออกเป็นระนาบไฮเปอร์กลางตั้งฉาก 4 ระนาบ (3 มิติ) แต่ละระนาบก่อตัวเป็นทรงแปดเหลี่ยมที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ตั้งฉาก 3 รูป

ภาพฉายสามมิติของเซลล์ 16 เซลล์ที่กำลังหมุนอย่างง่าย

ภาพฉายสามมิติของเซลล์ 16 เซลล์ที่กำลังหมุนสองรอบ

การหมุนในปริภูมิยุคลิด 4 มิติสามารถมองได้ว่าเป็นการประกอบกันของการหมุน 2 มิติ 2 ครั้ง ในระนาบที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์^{[ 6 ]}เซลล์ 16 ช่อง เป็นกรอบที่เรียบง่ายในการสังเกตการหมุน 4 มิติ เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 6 ช่องของเซลล์ 16 ช่อง แต่ละช่องมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์อีกช่องหนึ่ง (มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ 3 คู่) ^{[ c ]}การหมุนลักษณะเฉพาะของเซลล์ 16 ช่อง ถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยมุมและทิศทางการหมุนในระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ระนาบหนึ่ง (เช่น ระนาบ xy ) และมุมและทิศทางการหมุนอีกมุมหนึ่งในระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ (เช่น ระนาบ wz ) ^{[ i ]}สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์มีจุดยอดที่ไม่ทับซ้อนกัน: 4 ใน 8 จุดยอดของเซลล์ 16 ช่อง หมุนในระนาบหนึ่ง และอีก 4 จุดหมุนอย่างอิสระในระนาบที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์^{[ f ]}

ใน 2 หรือ 3 มิติ การหมุนจะถูกกำหนดโดยระนาบการหมุนเพียงระนาบเดียว การหมุนแบบนี้ที่เกิดขึ้นในปริภูมิ 4 มิติ เรียกว่าการหมุนแบบง่ายซึ่งมีเพียงระนาบเดียวจากสองระนาบที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์เท่านั้นที่หมุน (มุมการหมุนในระนาบอีกระนาบหนึ่งเป็น 0) ในเซลล์ 16 เซลล์ การหมุนแบบง่ายในระนาบตั้งฉากหนึ่งใน 6 ระนาบ จะทำให้จุดยอดเพียง 4 จุดจาก 8 จุดเคลื่อนที่ จุดยอดอีก 4 จุดยังคงอยู่กับที่ (ในภาพเคลื่อนไหวการหมุนแบบง่ายด้านบน จุดยอดทั้ง 8 จุดเคลื่อนที่ เนื่องจากระนาบการหมุนไม่ใช่หนึ่งใน 6 ระนาบฐานตั้งฉาก)

ในการหมุนสองรอบจุดยอดทั้ง 4 ชุดจะเคลื่อนที่ แต่เคลื่อนที่อย่างอิสระ: มุมการหมุนอาจแตกต่างกันในระนาบตั้งฉากสมบูรณ์ 2 ระนาบ หากมุมทั้งสองเท่ากัน จะเกิดการหมุนแบบไอโซคลินิก ที่มีสมมาตรสูงสุด ^{[ k ]}ในเซลล์ 16 เซลล์ การหมุนแบบไอโซคลินิก 90 องศาของระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งฉากสมบูรณ์คู่ใด ๆ จะทำให้ระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละระนาบไปเป็นระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งฉากสมบูรณ์ในลักษณะการบิด จุดยอดทั้งหมดจะเคลื่อนที่พร้อมกันบนเส้นโค้งจีโอเดสิกวงกลมที่แยกจากกัน โดยเคลื่อนที่ 90° ใน 8 ทิศทางตั้งฉาก และเซลล์ 16 เซลล์ที่แข็งเกร็งจะวางตัวในแนวใหม่ในปริภูมิ 4 มิติ หลังจากการหมุน 360° จุดยอดแต่ละจุดจะไปถึงตำแหน่งตรงข้าม ในระหว่างการหมุนแบบไอโซคลินิก 720° จุดยอดแต่ละจุดจะออกจากตำแหน่งจุดยอดทั้ง 8 ตำแหน่งเพียงครั้งเดียวและกลับไปยังตำแหน่งเดิม และเซลล์ 16 เซลล์จะกลับคืนสู่การวางตัวเดิม

ทรงแปดเหลี่ยม${\displaystyle \beta _{3}}$	16 เซลล์${\displaystyle \beta _{4}}$
การฉายภาพเชิงตั้งฉากไปยังระนาบหกเหลี่ยมเฉียง

โครงสร้างที่ง่ายที่สุดของ 16-เซลล์คือบนโพลีโทปกากบาท 3 มิติ คือทรงแปดเหลี่ยมทรงแปดเหลี่ยมมีแกนตั้งฉาก 3 แกนและจุดยอด 6 จุดใน 3 คู่ตรงข้าม ( รูปหลายเหลี่ยมเพทรี ของมัน คือรูปหกเหลี่ยม ) เพิ่มจุดยอดอีกคู่หนึ่งบนแกนที่สี่ซึ่งตั้งฉากกับแกนอีก 3 แกน เชื่อมต่อจุดยอดใหม่แต่ละจุดกับจุดยอดเดิมทั้ง 6 จุด เพิ่มขอบใหม่ 12 ขอบ ซึ่งจะสร้างพีระมิดทรงแปดเหลี่ยม สองอัน บนฐานทรงแปดเหลี่ยมร่วมกันที่อยู่ในระนาบกลางของ 16-เซลล์^{[ 9 ]}

รูปทรงแปดเหลี่ยมที่เริ่มต้นการสร้างนั้นมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูปที่ตัดกันในแนวตั้งฉาก (ซึ่งปรากฏเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าในภาพฉายหกเหลี่ยม) สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปตัดกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสอื่นๆ ที่จุดยอดตรงข้ามสองจุด โดยมี สี่เหลี่ยมจัตุรัส สองรูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด จากนั้นจะเพิ่มจุดอีกสองจุดในมิติที่สี่ (เหนือและใต้ระนาบสามมิติ) จุดยอดใหม่เหล่านี้เชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงแปดเหลี่ยม ทำให้เกิดขอบใหม่ 12 ขอบและสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกสามรูป (ซึ่งปรากฏเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 เส้นของหกเหลี่ยมในภาพฉาย) และรูปทรงแปดเหลี่ยมอีกสามรูป^{[ g ]}

สิ่งที่ไม่เคยมีมาก่อนได้ถูกสร้างขึ้นเช่นกัน สังเกตว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปไม่ได้ตัดกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสอื่นๆทุก รูปอีกต่อไปแล้ว: มันตัดกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (โดยที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสสาม รูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด) แต่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกรูป หนึ่งที่มันไม่มีจุดยอดร่วมกัน: มันไม่ได้เชื่อมต่อโดยตรงกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเลย สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่แยกจากกันและตั้งฉากกัน (มีสามคู่) เปรียบเสมือนขอบตรงข้ามของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว : ตั้งฉากกัน แต่ไม่ตัดกัน พวกมันอยู่ตรงข้ามกัน (ขนานกันในบางแง่) และพวกมันไม่สัมผัสกัน แต่พวกมันก็ผ่านกันไปมาเหมือนข้อต่อตั้งฉากสองข้อในโซ่ (แต่ต่างจากข้อต่อในโซ่ตรงที่พวกมันมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน) พวกมันเป็นตัวอย่างของ เส้นขนานคลิฟฟอร์ด และรูปทรง 16 เซลล์เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดที่พบเส้นขนานคลิฟฟอร์ด นี้ ความขนานของคลิฟฟอร์ด^{[ j ]}ของวัตถุที่มีมากกว่าหนึ่งมิติ (มากกว่าแค่เส้น โค้ง ) ปรากฏขึ้นที่นี่และเกิดขึ้นในโพลีโทปปกติ 4 มิติที่ตามมาทั้งหมด ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดระหว่างโพลีโทปปกติ 4 มิติแบบศูนย์กลางที่ไม่ทับซ้อนกันและส่วนที่สอดคล้องกัน มันสามารถเกิดขึ้นระหว่างโพลีโทปที่เหมือนกัน (คล้ายกัน) ของ 2 มิติขึ้นไป^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นโพลีโทปปกติ 4 มิติแบบนูนที่ตามมาทั้งหมดเป็นส่วนประกอบของเซลล์ 16 เซลล์หลายเซลล์ เซลล์ 16 เซลล์เหล่านั้นเป็นโพลีโทปขนานของคลิฟฟอร์ด

โครงสร้าง 16 เซลล์ประกอบด้วยโครงสร้าง Wythoff สองแบบที่สร้าง จากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ ได้แก่ รูปแบบปกติและรูปแบบสลับสี ซึ่งแสดงไว้ในภาพเป็นโครงข่าย โดยรูป แบบที่สองแสดงด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีสองสีสลับกัน รูปแบบสลับสีเป็นโครงสร้างที่มีสมมาตรต่ำกว่าของโครงสร้าง 16 เซลล์ เรียกว่าเดมิเทสเซอแร็กต์

โครงสร้างของ Wythoff จำลองเซลล์5 เซลล์ลักษณะเฉพาะ ของ 16 เซลล์ ใน กระจกเงาแบบ คาไลโดสโคป โพลีโทป 4 มิติปกติทุกอันมีโครงร่างออร์โธสคีม 4 มิติลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นเซลล์ 5 เซลล์ที่ไม่ปกติ [ ^{l ] มี}โพลีโทป 4 มิติปกติสามแบบที่มีเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ได้แก่เซลล์ 5 เซลล์เซลล์ 16 เซลล์ และเซลล์ 600 เซลล์แม้ว่าทั้งหมดจะถูกล้อมรอบด้วย เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติแต่เซลล์ 5 เซลล์ลักษณะเฉพาะ (โครงร่างออร์โธสคีม 4 มิติ) ของพวกมันเป็นพีระมิดทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่าที่แตกต่างกัน โดยทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ที่ไม่ปกติลักษณะเฉพาะเดียวกันพวกมัน มี ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะ เฉพาะเดียวกัน (โครงร่างออร์โธสคีม 3 มิติ) และสามเหลี่ยมมุมฉากลักษณะเฉพาะ เดียวกัน (โครงร่างออร์โธสคีม 2 มิติ) เพราะพวกมันมีเซลล์ชนิดเดียวกัน^{[ m ]}

ลักษณะเฉพาะของเซลล์ 16 เซลล์[ 12 ]
	ขอบ[ 13 ]	อาร์ค		ไดเฮดรัล[ 14 ]
𝒍	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	120°	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$
0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816}$	60 นิ้ว	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [ n ]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	45 นิ้ว	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$	30 นิ้ว	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$

แผนภาพค็อกเซเตอร์-ไดน์กินแสดงเซลล์ 5 เซลล์ที่เป็นลักษณะเฉพาะของเซลล์ 16 เซลล์ปกติซึ่งสามารถอ่านได้ว่าเป็นรายการของมุมไดเฮดรัลระหว่างด้านสะท้อนของมัน มันคือพีระมิดทรงสี่หน้า ไม่สม่ำเสมอ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากทรงสี่หน้าลักษณะเฉพาะของทรงสี่หน้าปกติเซลล์ 16 ช่องปกติถูกแบ่งย่อยโดยระนาบสมมาตรของมันออกเป็น 384 ตัวอย่างของเซลล์ 5 ช่องลักษณะเฉพาะ ซึ่งทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง

เซลล์ลักษณะเฉพาะ 5 เซลล์ (4-orthoscheme) มีขอบมากกว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะฐาน (3-orthoscheme) สี่ขอบ โดยเชื่อมจุดยอดทั้งสี่ของฐานเข้ากับจุดยอด (จุดยอดที่ห้าของ 4-orthoscheme ซึ่งอยู่ตรงกลางของเซลล์ปกติ 16 เซลล์) ^{[ o ]}ถ้าเซลล์ปกติ 16 เซลล์มีรัศมีขอบหนึ่งหน่วยและความยาวขอบ 𝒍 = , ขอบสิบขอบของเซลล์ลักษณะเฉพาะ 5 เซลล์จะมีระยะความยาว, , รอบหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากภายนอก (ขอบตรงข้ามมุมลักษณะเฉพาะ 𝟀, 𝝉, 𝟁) ^{[ n ]}บวก, , (ขอบอีกสามขอบของหน้า 3-orthoscheme ภายนอกที่ล้อมรอบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ) บวก, , , (ขอบซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของเซลล์ปกติ 16 เซลล์) เส้นทาง 4 ขอบตามขอบตั้งฉากของออร์โธสคีมคือ, , , , เริ่มจากจุดยอด 16 เซลล์ไปยังจุดศูนย์กลางขอบ 16 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางหน้า 16 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 16 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลาง 16 เซลล์ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$

สามารถสร้างเซลล์ 16 เซลล์ได้ (สามวิธีที่แตกต่างกัน) จากเกลียว Boerdijk–Coxeter สองเกลียว ที่ประกอบด้วยเตตระเฮดราแปดอันเรียงต่อกัน โดยแต่ละอันโค้งงอในมิติที่สี่เป็นวงแหวน^{[ 15 ] [ 16 ]}เกลียววงกลมสองอันจะพันรอบกัน ซ้อนกัน และผ่านกันไปมา ก่อให้เกิดการเชื่อมโยง Hopfสามารถมองเห็นหน้าสามเหลี่ยม 16 หน้าได้ในโครงข่าย 2 มิติภายในการปูพื้นแบบสามเหลี่ยมโดยมีสามเหลี่ยม 6 รูปอยู่รอบจุดยอดแต่ละจุด ขอบสีม่วงแสดงถึงรูปหลายเหลี่ยม Petrieของเซลล์ 16 เซลล์ วงแหวนเตตระเฮดราแปดเซลล์ประกอบด้วยรูปแปดเหลี่ยม สามรูป ที่มีสีต่างกัน ซึ่งเป็นเส้นทางวงกลมแปดขอบที่พันรอบเซลล์ 16 เซลล์สองครั้งที่จุดยอดที่สามของรูปแปดเหลี่ยม ขอบสีส้มและสีเหลืองเป็นครึ่งรูปแปดเหลี่ยมสองรูปที่มีสี่ขอบ ซึ่งเชื่อมปลายเข้าด้วยกันเพื่อสร้างแถบโมเบียส

ดังนั้น เซลล์ 16 เซลล์จึงสามารถแยกออกเป็นโซ่วงกลมสองโซ่ที่ไม่ทับซ้อนกัน โดยแต่ละโซ่ประกอบด้วยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป แต่ละโซ่ยาวสี่ขอบ โซ่หนึ่งหมุนวนไปทางขวา (ตามเข็มนาฬิกา) และอีกโซ่หนึ่งหมุนวนไปทางซ้าย (ทวนเข็มนาฬิกา) วงแหวนเซลล์แบบมือซ้ายและมือขวาจะประกบเข้าด้วยกัน ซ้อนกัน และเติมเต็มเซลล์ 16 เซลล์ทั้งหมด แม้ว่าจะมีไครัลลิตี้ที่ตรงข้ามกันก็ตาม การแยกส่วนนี้สามารถมองเห็นได้ใน โครงสร้าง ดูโอแอนติปริซึม 4-4 ของเซลล์ 16 เซลล์:หรือ, สัญลักษณ์ชลาฟลี {2}⨂{2} หรือ s{2}s{2}, สมมาตร [4,2 ⁺ ,4] ลำดับ 64

เส้นทางแปดขอบสามเส้น (ที่มีสีต่างกัน) หมุนวนไปตามวงแหวนแปดเซลล์แต่ละวง ทำให้เกิดมุม 90° ที่จุดยอดแต่ละจุด (ในเกลียว Boerdijk–Coxeter ก่อนที่จะถูกดัดเป็นวงแหวน มุมในเส้นทางต่างๆ จะแตกต่างกัน แต่ไม่ใช่ 90°) เส้นทางสามเส้น (ที่มีสามสีและมุมที่ปรากฏต่างกัน) ผ่านจุดยอดแต่ละจุด เมื่อเกลียวถูกดัดเป็นวงแหวน ส่วนของเส้นทางแปดขอบแต่ละเส้น (ที่มีความยาวต่างกัน) จะเชื่อมปลายเข้าด้วยกัน ก่อให้เกิดแถบโมเบียสที่มีความยาวแปดขอบตามเส้นรอบวงด้านเดียวขนาด 4π และกว้างหนึ่งขอบ^{[ q ]}ครึ่งสี่ขอบหกส่วนของเส้นทางแปดขอบสามเส้นแต่ละส่วนทำให้เกิดมุม 90° สี่มุม แต่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่หกรูปที่ตั้งฉากกัน: พวกมันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสปลายเปิด เกลียว 360° สี่ขอบที่มีปลายเปิดเป็นจุดยอดตรงข้ามขอบทั้งสี่มาจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่แตกต่างกันสี่อัน และตั้งฉากซึ่งกันและกัน เมื่อนำเส้นทางสี่ขอบทั้งหก มาต่อกันเป็นคู่ๆ ที่มี ไครัลลิตี้ เดียวกัน จะสร้างวงโมเบียสแปดขอบสามวง ซึ่ง ^เป็น รูปแปดเหลี่ยม เกลียวแต่ละรูปแปดเหลี่ยมเป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมเพทรี ของเซลล์ 16 เซลล์ และเป็นเส้นทางเกลียวที่จุดยอดทั้งแปดหมุนไปพร้อมกัน ใน การหมุนไอโซคลินิกที่แตกต่างกันของเซลล์ 16 เซลล์^{[ r} ]

ห้าวิธีในการมอง รูปแปดเหลี่ยมเฉียง เดียวกัน[ s ]
เส้นทางขอบ	รูปหลายเหลี่ยมเพทรี[ 17 ]	16 เซลล์	การเกิดเส้นใยแบบแยกส่วน	คอร์ดเส้นผ่านศูนย์กลาง
ออกตาแกรม{8/3} [ 18 ]	เลขแปด{8/1}	เครื่องบิน Coxeter B 4	ออกตาแกรม{8/2}=2{4}	ออกตาแกรม{8/4}=4{2}
เส้นคอร์ด√ 2ทั้งแปดของขอบเส้นทางของเส้นไอโซคลายน์[ t ]	รูปแปดเหลี่ยมเฉียง ที่มีขอบยาว √2จำนวน 8 ด้านเซลล์ 16 เซลล์นี้มีวงจร 8 จุดยอดแบบนี้อยู่ 6 วงจร	ขอบทั้งหมด 24 √ 2 และ แกนตั้งฉาก 4 √ 4	รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่สองรูปที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ (ไม่ทับซ้อนกัน) โดยแต่ละรูปมีขอบยาว √2 [ f ]	เส้นไอโซคลายน์ ทั้งสี่เส้น มีความยาว √4จุดยอดไอโซคลายน์ที่สี่ทุกจุดจะเชื่อมต่อกับจุดยอดตรงข้ามด้วยแกน 16 เซลล์[ t ]

เกลียวแปดขอบแต่ละอันเป็นรูปแปดเหลี่ยมเฉียง {8/3} ที่ พัน รอบเซลล์ 16 เซลล์สามครั้ง และเยี่ยมชมทุกจุดยอดก่อนที่จะปิดเป็นวง ขอบ √2 ทั้งแปดของมันเป็นคอร์ดของไอโซคลายน์ซึ่งเป็นส่วนโค้งเกลียวที่จุดยอดทั้ง 8 จุดหมุนวนรอบในระหว่างการหมุนแบบไอโซคลายน์^{[ q ]} จุดยอดทั้ง แปดของเซลล์ 16 เซลล์อยู่ ห่างกัน √2ยกเว้นจุดยอดตรงข้าม (แอนติโพดัล) ซึ่งอยู่ห่างกัน √4จุดยอดที่เคลื่อนที่บนไอโซคลายน์จะเยี่ยมชมจุดยอดอื่นอีกสามจุดที่อยู่ ห่าง กัน √2ก่อนที่จะถึงจุดยอดที่สี่ซึ่งอยู่ห่างกัน √4 ^{[ p ]}

วงแหวนแปดเซลล์มีลักษณะไครัลคือ มีรูปแบบมือขวาซึ่งหมุนตามเข็มนาฬิกา และรูปแบบมือซ้ายซึ่งหมุนทวนเข็มนาฬิกา วงแหวน 16 เซลล์ประกอบด้วยรูปแบบมือขวาและมือซ้ายอย่างละหนึ่งอัน ดังนั้นจึงมีไอโซคลายน์ซ้ายและขวาด้วย ไอโซคลายน์คือแกนวงกลมที่วงแหวนแปดเซลล์บิดตัวรอบ ไอโซคลายน์แต่ละอันจะผ่านจุดยอดทั้งแปดของวงแหวน 16 เซลล์^{[ v ]}วงแหวนแปดเซลล์แต่ละวงประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของวงแหวน 16 เซลล์ แต่มีจุดยอดทั้ง 8 จุด วงแหวนทั้งสองวงใช้จุดยอดร่วมกัน เนื่องจากซ้อนกันและเข้ากันได้พอดี นอกจากนี้ยังใช้ขอบร่วมกัน 24 ขอบ แม้ว่าเกลียวแปดเหลี่ยมซ้ายและขวาจะเป็นเส้นทางแปดขอบที่แตกต่างกัน^{[ w ]}

เนื่องจากมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์สามคู่^{[ c ]}จึงมีสามวิธีที่สอดคล้องกันในการประกอบเซลล์ 16 เซลล์จากวงแหวนแปดเซลล์สองวง เซลล์ 16 เซลล์ประกอบด้วยวงแหวนแปดเซลล์สามคู่ซ้ายขวาในทิศทางที่แตกต่างกัน โดยแต่ละวงแหวนเซลล์มีเส้นไอโซคลายน์แกนของตัวเอง^{[ r ]}เส้นไอโซคลายน์แต่ละคู่ซ้ายขวาเป็นเส้นทางของการหมุนไอโซคลายน์ที่แตกต่างกันคู่ซ้ายขวา: การหมุนในระนาบการหมุนที่ไม่เปลี่ยนแปลงที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์หนึ่งคู่^{[ f ]}ที่แต่ละจุดยอด มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่สามรูปและเส้นไอโซคลายน์รูปแปดเหลี่ยมหกรูปที่ตัดกันที่จุดยอดและใช้คอร์ดแกนเซลล์ 16 เซลล์ร่วมกัน

เมทริกซ์การกำหนดค่านี้แสดงถึงเซลล์ 16 เซลล์ แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอด ขอบ หน้า และเซลล์ ตัวเลขในแนวทแยงแสดงจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่ปรากฏในเซลล์ 16 เซลล์ทั้งหมด ตัวเลขที่ไม่ใช่แนวทแยงแสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ปรากฏในหรือที่องค์ประกอบของแถวนั้น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

เราสามารถปูพื้นที่ยูคลิด 4 มิติด้วยเซลล์ 16 เซลล์ปกติได้ ซึ่งเรียกว่ารังผึ้ง 16 เซลล์และมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {3,3,4,3} ดังนั้น เซลล์ 16 เซลล์จึงมีมุมไดเฮดรัล 120° ^{[ 19 ]}แต่ละเซลล์ 16 เซลล์จะมีเพื่อนบ้าน 16 เซลล์ที่ใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าร่วมกัน เพื่อนบ้าน 24 เซลล์ที่ใช้ขอบร่วมกันเท่านั้น และเพื่อนบ้าน 72 เซลล์ที่ใช้จุดร่วมกันเพียงจุดเดียว เซลล์ 16 เซลล์จำนวน 24 เซลล์จะมาบรรจบกันที่จุดยอดใดๆ ในการปูพื้นแบบนี้

การเรียงตัวแบบคู่ (dual tessellation) ซึ่ง เป็น รังผึ้ง 24 เซลล์ {3,4,3,3} นั้นประกอบด้วยเซลล์ปกติ 24 เซลล์เมื่อรวมกับรังผึ้งแบบเทสเซอแร็กติก (tesseractic honeycomb) {4,3,3,4} แล้ว สิ่งเหล่านี้ถือเป็นการ เรียงตัวแบบปกติเพียงสาม แบบ ของR ⁴เท่านั้น

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก

เครื่องบินค็อกซ์เตอร์	บี4	บี3 / ดี4 / เอ2	บี2 / ดี3
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[8]	[6]	[4]
เครื่องบินค็อกซ์เตอร์	เอฟ4	เอ3
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[12/3]	[4]

การฉายภาพแบบขนานโดยเริ่มจากเซลล์ก่อนของ 16 เซลล์ลงในพื้นที่ 3 มิติ มีรูป ทรงเป็นทรง ลูกบาศก์เซลล์ที่อยู่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุดจะถูกฉายไปยังรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ภายในลูกบาศก์ ซึ่งสอดคล้องกับสองวิธีที่เป็นไปได้ในการบรรจุรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติลงในลูกบาศก์ ล้อมรอบรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละรูปด้วยปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าอีก 4 รูปทรง (ที่ไม่ใช่รูปทรงปกติ) ซึ่งเป็นภาพของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 4 เซลล์ที่อยู่รอบๆ โดยเติมเต็มช่องว่างระหว่างรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ภายในกับลูกบาศก์ เซลล์ที่เหลืออีก 6 เซลล์จะถูกฉายลงบนหน้าสี่เหลี่ยมของลูกบาศก์ ในการฉายภาพ 16 เซลล์นี้ ขอบทั้งหมดของเซลล์จะอยู่บนหน้าของรูปทรงลูกบาศก์

การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟโดยเริ่มจากเซลล์ก่อนของโครงสร้าง 16 เซลล์ลงในพื้นที่ 3 มิติ มี โครงสร้างรูปทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบไตรอาคิสการจัดเรียงเซลล์ภายในโครงสร้างนี้คล้ายคลึงกับการฉายภาพแบบขนานโดยเริ่มจากเซลล์ก่อน

การฉายภาพขนานแบบจุดยอดนำหน้าของเซลล์ 16 เซลล์ลงในพื้นที่ 3 มิติ มีโครงสร้างรูปทรงแปดเหลี่ยม รูป ทรงแปดเหลี่ยมนี้สามารถแบ่งออกเป็นปริมาตรรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 ปริมาตร โดยการตัดตามระนาบพิกัด ปริมาตรแต่ละปริมาตรนี้เป็นภาพของเซลล์คู่หนึ่งในเซลล์ 16 เซลล์ จุดยอดที่ใกล้ที่สุดของเซลล์ 16 เซลล์กับผู้ดูจะฉายภาพลงบนจุดศูนย์กลางของรูปทรงแปดเหลี่ยม

สุดท้ายแล้ว การฉายภาพขนานโดยเริ่มจากขอบจะมีรูปทรงแปดเหลี่ยมที่สั้นลง และการฉายภาพขนานโดยเริ่มจากหน้าจะมีรูปทรง พีระมิดคู่หกเหลี่ยม

การฉายภาพสามมิติของเซลล์ 16 เซลล์และทรงกลมที่ตัดกัน 4 ลูก ( แผนภาพเวนน์ของ 4 เซต) นั้นเทียบเท่ากัน ในเชิงโทโพโลยี

เซลล์ทั้ง 16 เซลล์เรียงลำดับตามจำนวนทรงกลมที่ตัดกัน (จาก 0 ถึง 4)     (ดู เซลล์ทั้งหมดและหน้าk )

แผนภาพเวนน์ทรงกลม 4 ลูกและการฉายภาพ 16 เซลล์ในทิศทางเดียวกัน

กลุ่มสมมาตรของเซลล์ 16 เซลล์จะถูกกำหนดโดยสัญลักษณ์ B ₄

มีรูปแบบสมมาตรที่ต่ำกว่าของเซลล์ 16 เซลล์เรียกว่าเดมิเทสเซอแร็กต์หรือเดมิคิวบ์ 4 ตัวซึ่งเป็นสมาชิกของ ตระกูล เดมิไฮเปอร์คิวบ์และแสดงด้วย h{4,3,3} และแผนภาพค็อกเซเตอร์หรือสามารถวาดเป็นสองสีโดยสลับเซลล์ ทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่าได้

นอกจากนี้ยังสามารถมองเห็นได้ในรูปแบบสมมาตรที่ต่ำกว่าในรูปของปริซึมแอนติเททราเฮดรัลซึ่งสร้างขึ้นจาก เทท ราเฮดรัล ขนาน 2 อัน ในรูปแบบคู่ขนาน โดยเชื่อมต่อกันด้วยเททราเฮดรัล 8 อัน (อาจยืดออก) โดยแสดงด้วย s{2,4,3} และแผนภาพ Coxeter:.

นอกจากนี้ยังสามารถมองได้ว่าเป็นออร์โธโทปแบบ snub 4 ซึ่งแสดงด้วย s{2 ^1,1,1 } และแผนภาพ Coxeter:หรือ.

เมื่อเทสเซอแร็กต์ ถูกสร้างขึ้นเป็น ดูโอปริซึม 4-4 แล้วเซลล์ 16 เซลล์จึงสามารถมองได้ว่าเป็นคู่ของมัน ซึ่งก็คือดูโอพีระมิด 4-4

ชื่อ	แผนภาพค็อกซ์เตอร์	สัญลักษณ์ Schläfli	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	รูปจุดยอด
แบตเตอรี่ขนาด 16 เซลล์แบบปกติ		{3,3,4}	[3,3,4]	384
เดมิเทสเซอแร็กต์ควาซิเรกูลา ร์ 16 เซลล์	==	h{4,3,3} {3,3 1,1 }	[3 1,1,1 ] = [1 + ,4,3,3]	192
ปริซึมคู่สลับ 4-4		2s{4,2,4}	[[4,2 + ,4]]	64
ปริซึมแอนติปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า		s{2,4,3}	[2 + ,4,3]	48
ปริซึมสี่เหลี่ยมสลับ ปริซึม		sr{2,2,4}	[(2,2) + ,4]	16
Snub 4- orthotope	=	s{2 1,1,1 }	[2,2,2] + = [2 1,1,1 ] +	8
4- ฟิวซิล
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} หรือ 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2 + ,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{ }+{ }+{ }+{ } หรือ 4{ }	[2,2,2]	16

รูปหลายเหลี่ยมโมเบียส-แคนเตอร์เป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ₃ {3} ₃ ,โดยมีจุดยอดร่วมกันกับเซลล์ 16 เซลล์ มีจุดยอด 8 จุด และขอบ 3 เส้นจำนวน 8 เส้น^{[ 20 ] [ 21 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ₂ {4} ₄ ,โดยมีการแสดงจริงเป็นเซลล์ 16 เซลล์ในปริภูมิ 4 มิติที่มีจุดยอด 8 จุด ขอบ 2 เส้นจำนวน 16 เส้น ซึ่งเป็นเพียงครึ่งหนึ่งของขอบของเซลล์ 16 เซลล์ สมมาตรของมันคือ₄ [4] ₂อันดับ 32 ^{[ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของรูปหลายเหลี่ยม ₂ {4} ₄

ในระนาบ Coxeter B 4 , 2 {4} 4มีจุดยอด 8 จุดและขอบ 2 เส้น 16 เส้น แสดงไว้ที่นี่ด้วยชุดสี 4 ชุด

จุดยอดทั้ง 8 จุดถูกจัดกลุ่มเป็น 2 ชุด (แสดงด้วยสีแดงและสีน้ำเงิน) โดยแต่ละชุดเชื่อมต่อกันด้วยขอบไปยังจุดยอดในอีกชุดหนึ่งเท่านั้น ทำให้รูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นกราฟสองส่วนสมบูรณ์ K 4,4 [ 23 ]

เซลล์ 16 เซลล์ปกติและเทสเซอแร็กต์เป็นสมาชิกปกติของเซตของโพลีโทป 4 มิติแบบเอกรูป 15 แบบที่มีสมมาตร_B4 เหมือนกัน เซลล์ 16 เซลล์ยังเป็นหนึ่งในโพลีโทปแบบเอกรูปที่มีสมมาตร_D4 อีก ด้วย

โครงสร้าง 16 เซลล์นี้ยังมีความเกี่ยวข้องกับโครงสร้างรังผึ้งทรงลูกบาศก์โครงสร้างรังผึ้งทรงสิบสองเหลี่ยมลำดับที่ 4และโครงสร้างรังผึ้งแบบปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4ซึ่งทั้งหมดมีรูปทรงจุดยอดเป็นทรงแปดเหลี่ยม

เป็นส่วนหนึ่งของลำดับของ 4-โพลีโทป {3,3,p}ซึ่งมีเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ลำดับนี้ประกอบด้วย 4- โพลีโทปปกติ สามแบบ ของปริภูมิยูคลิด 4 มิติ ได้แก่5-เซลล์ {3,3,3}, 16-เซลล์ {3,3,4} และ600-เซลล์ {3,3,5} และรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลำดับที่ 6 {3,3,6} ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก

เป็นอันดับแรกในลำดับของโพลีโทปและรังผึ้งกึ่งปกติ h{4,p,q} และลำดับสมมาตรครึ่งหนึ่งสำหรับรูปแบบปกติ {p,3,4}

• 24 เซลล์
• 4-โพลีโทป
• โพลีโทป D4

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับเซลล์ 16 เซลล์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "16-เซลล์" . MathWorld .
• Der 16-Zeller (16 เซลล์)โพลีโทปปกติของ Marco Möller ใน R ⁴ (ภาษาเยอรมัน)
• คำอธิบายและแผนภาพของการฉายภาพ 16 เซลล์ เก็บถาวรเมื่อ 2020-11-07 ที่Wayback Machine
• Klitzing, Richard. "รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ 4 มิติ (polychora) x3o3o4o – hex" .