ในทางเรขาคณิตรูปทรงจุดยอดโดยทั่วไปหมายถึงรูปทรงที่ปรากฏขึ้นเมื่อตัด มุมหนึ่งของรูป หลายเหลี่ยมnมิติ โดยทั่วไปออกไป

เลือกมุมหรือจุดยอด ใดจุดหนึ่ง ของทรงหลายเหลี่ยมทำเครื่องหมายจุดหนึ่งจุดตามแนวขอบที่เชื่อมต่อกันแต่ละด้าน ลากเส้นข้ามหน้าตัดที่เชื่อมต่อกัน โดยเชื่อมจุดที่อยู่ติดกันรอบหน้าตัดนั้น เมื่อทำเสร็จแล้ว เส้นเหล่านี้จะประกอบกันเป็นวงจรที่สมบูรณ์ นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยม รอบจุดยอด รูปหลายเหลี่ยมนี้คือรูปจุดยอด

นิยามที่เป็นทางการที่แม่นยำยิ่งขึ้นอาจแตกต่างกันไปอย่างมาก ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตัวอย่างเช่นค็อกซ์เตอร์ (เช่น 1948, 1954) ปรับเปลี่ยนนิยามของเขาตามความสะดวกสำหรับหัวข้อที่กำลังอภิปรายอยู่ นิยามส่วนใหญ่ของรูปทรงจุดยอดต่อไปนี้ใช้ได้ดีกับลวดลายปู พื้นแบบอนันต์ หรือขยายความไปถึงการปูพื้นแบบเต็มพื้นที่ด้วยเซลล์รูปทรงหลายเหลี่ยม และ รูปทรงหลายเหลี่ยมมิติสูงอื่นๆด้วย

ทำการตัดผ่านมุมของทรงหลายเหลี่ยม โดยตัดผ่านขอบทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับจุดยอด พื้นผิวที่ถูกตัดคือรูปจุดยอด ( รูประนาบ ) นี่อาจเป็นวิธีการที่พบได้บ่อยที่สุดและเข้าใจง่ายที่สุด ผู้เขียนแต่ละคนทำการตัดในตำแหน่งที่แตกต่างกัน Wenninger (2003) ตัดขอบแต่ละด้านที่ระยะห่างหนึ่งหน่วยจากจุดยอด เช่นเดียวกับ Coxeter (1948) สำหรับทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอการสร้างของ Dorman Lukeจะตัดขอบที่เชื่อมต่อกันแต่ละด้านที่จุดกึ่งกลาง ผู้เขียนคนอื่นๆ ทำการตัดผ่านจุดยอดที่ปลายอีกด้านของแต่ละขอบ^{[ 1 ] [ 2 ]}

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ การตัดขอบทั้งหมดที่ติดกับจุดยอดที่กำหนดโดยเว้นระยะห่างเท่ากันจากจุดยอด อาจทำให้ได้รูปทรงที่ไม่วางอยู่บนระนาบ วิธีการที่ทั่วไปกว่า ซึ่งใช้ได้กับทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนใดๆ คือการตัดตามระนาบใดๆ ที่แยกจุดยอดที่กำหนดออกจากจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมด แต่เป็นระนาบใดๆ ก็ได้ การสร้างแบบนี้จะกำหนดโครงสร้างเชิงการจัดเรียงของรูปทรงจุดยอด คล้ายกับเซตของจุดยอดที่เชื่อมต่อกัน (ดูด้านล่าง) แต่ไม่ใช่เรขาคณิตที่แม่นยำ อาจขยายไปสู่ทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนในมิติใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตาม สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน อาจไม่มีระนาบอยู่ใกล้จุดยอดที่ตัดหน้าทั้งหมดที่ติดกับจุดยอดนั้น

ครอมเวลล์ (1999) สร้างรูปทรงจุดยอดโดยการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมกับทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด โดยทรงกลมนั้นมีขนาดเล็กพอที่จะตัดเฉพาะขอบและหน้าตัดที่อยู่ติดกับจุดยอดเท่านั้น สามารถมองเห็นภาพได้เหมือนกับการตัดหรือตักทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด พื้นผิวที่ถูกตัดหรือรูปทรงจุดยอดจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกลมที่ปรากฏอยู่บนทรงกลมนี้ ข้อดีอย่างหนึ่งของวิธีนี้คือ รูปทรงของรูปทรงจุดยอดจะคงที่ (ขึ้นอยู่กับขนาดของทรงกลม) ในขณะที่วิธีการตัดกับระนาบอาจสร้างรูปทรงที่แตกต่างกันได้ขึ้นอยู่กับมุมของระนาบ นอกจากนี้ วิธีนี้ยังใช้ได้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนด้วย

แนวทางเชิงการจัดเรียงและการคำนวณหลายวิธี (เช่น Skilling, 1975) ถือว่ารูปทรงจุดยอดเป็นเซตของจุดที่เรียงลำดับ (หรือเรียงลำดับบางส่วน) ของจุดยอดข้างเคียงทั้งหมด (ที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบ) กับจุดยอดที่กำหนด

ในทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมรูปทรงของจุดยอดที่จุดยอดV ที่กำหนด นั้นประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับจุดยอดนั้น ได้แก่ ขอบ หน้า ฯลฯ กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นก็คือ ส่วนตัด ( n −1) F _n / Vโดยที่F _nคือหน้าที่ใหญ่ที่สุด

กลุ่มองค์ประกอบนี้ในที่อื่นเรียกว่า " ดาวจุดยอด " รูปทรงเรขาคณิตจุดยอดและดาวจุดยอดอาจเข้าใจได้ว่าเป็นรูปแบบ ที่แตกต่างกัน ของส่วนตัดนามธรรมเดียวกัน

รูปจุดยอดของ โพลีโทป nจุด คือ โพลีโทป ( n − 1) จุด ตัวอย่างเช่น รูปจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมและรูปจุดยอดของโพลีโทป 4 จุดคือทรงหลายเหลี่ยม

โดยทั่วไปแล้ว รูปทรงที่มีจุดยอดไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงระนาบเสมอไป

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน รูปทรงของจุดยอดอาจไม่นูนด้วยเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมออาจมีรูปหลายเหลี่ยมรูปดาวสำหรับหน้าและ/หรือสำหรับรูปทรงของจุดยอด

รูปทรงจุดยอดมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับรูปทรงเอกรูปและ รูปทรง หลายเหลี่ยมไอโซโกนัลอื่นๆ (รูปทรงที่จุดยอดสลับกันได้) เนื่องจากรูปทรงจุดยอดเพียงรูปเดียวสามารถกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดได้

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าปกติ รูปทรงของจุดยอดสามารถแสดงได้ด้วย สัญกรณ์ การจัดเรียงจุดยอดโดยการเรียงลำดับหน้าต่างๆ รอบจุดยอด ตัวอย่างเช่น 3.4.4.4 เป็นจุดยอดที่มีรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูป และกำหนดรูปทรงรอมบิคิวบอกตาเฮดรอนแบบ สม่ำเสมอ

ถ้าโพลีโทปเป็นแบบไอโซโกนัล รูปทรงของจุดยอดจะปรากฏอยู่ใน ระนาบ ไฮเปอร์ เพลน ของ ปริภูมิ nมิติ

โดยการพิจารณาการเชื่อมต่อของจุดยอดที่อยู่ติดกันเหล่านี้ เราสามารถสร้างรูปทรงจุดยอดสำหรับแต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้:

• จุดยอดแต่ละ จุด ของรูปทรงจุดยอดจะตรงกับจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม
• ขอบแต่ละ ด้าน ของรูปทรงจุดยอดจะอยู่บนหรือภายในหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม โดยเชื่อมต่อจุดยอดสลับสองจุดจากหน้าดั้งเดิม
• แต่ละหน้าของรูปทรงจุดยอดจะอยู่บนหรือภายในเซลล์ของรูป ทรงหลายเหลี่ยม nมิติเดิม (สำหรับn > 3)
• ...และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงองค์ประกอบลำดับสูงกว่าในรูปทรงหลายเหลี่ยมลำดับสูงกว่า

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมเอกรูป สามารถหาหน้าของทรงหลายเหลี่ยมคู่ ได้จากรูปทรงจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิมโดยใช้การสร้างแบบ " ดอร์แมน-ลุค "

ถ้าโพลีโทปเป็นโพลีโทปปกติ ก็สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ Schläfli ได้ และทั้งเซลล์และรูปทรงของจุดยอดก็สามารถแยกออกมาจากสัญลักษณ์นี้ได้อย่างง่ายดาย

โดยทั่วไปแล้ว รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีสัญลักษณ์ Schläfli คือ { a , b , c ,..., y , z } จะมีเซลล์เป็น { a , b , c ,..., y } และรูปทรงจุดยอดเป็น { b , c ,..., y , z }

1. สำหรับทรงหลายเหลี่ยมปกติ { p , q } รูปทรงของจุดยอดคือ { q } ซึ่งเป็น รูปหลายเหลี่ยม qด้าน
   • ตัวอย่างเช่น รูปจุดยอดของลูกบาศก์ {4,3} คือสามเหลี่ยม {3}
2. สำหรับ รูป ทรงหลายเหลี่ยม 4 ด้านปกติหรือการปูพื้นที่แบบเติมเต็มพื้นที่ { p , q , r } รูปทรงจุดยอดคือ { q , r }
   • ตัวอย่างเช่น รูปทรงจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ {4,3,3} คือรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ {3,3}
   • นอกจากนี้ รูปทรงจุดยอดสำหรับรังผึ้งทรงลูกบาศก์ {4,3,4} รูปทรงจุดยอดคือทรงแปดเหลี่ยมปกติ {3,4}

เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติก็เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเช่นกัน และแสดงด้วยดัชนีสัญลักษณ์ Schläfli ที่กลับด้าน จึงเห็นได้ง่ายว่ารูปทรงคู่ของรูปทรงจุดยอดคือเซลล์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ สำหรับทรงหลายเหลี่ยมปกติ นี่เป็นกรณีพิเศษของการสร้างแบบ Dorman Luke

รูปทรงยอดของรังผึ้งทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดยอดคือพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ไม่สม่ำเสมอ ทรงแปดเหลี่ยมหนึ่งรูปและลูกบาศก์ที่ถูกตัดยอดสี่ลูกมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ก่อให้เกิดการปู พื้นที่ เต็ม พื้นที่

รูปทรงยอด : พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม ไม่สม่ำเสมอ	แผนภาพชเลเกล	ทัศนคติ
สร้างขึ้นโดยใช้ ฐาน สี่เหลี่ยมจากทรงแปดเหลี่ยม	(3.3.3.3)
และ ด้าน สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ทั้งสี่ด้าน จากลูกบาศก์ที่ถูกตัดยอด	(3.8.8)

รูปขอบที่เกี่ยวข้องกับรูปจุดยอดคือรูปจุดยอดของรูปจุดยอด [ ^{3 ] รูป}ขอบมีประโยชน์สำหรับการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบภายในโพลีโทปปกติและสม่ำเสมอ

รูปขอบจะเป็นโพลีโทป ( n -2) ซึ่งแสดงถึงการจัดเรียงของเหลี่ยมรอบขอบที่กำหนด โพลีโทปแบบสม่ำเสมอ ในแผนภาพค็อกซ์เตอร์ แบบปกติและแบบวงแหวนเดี่ยว จะมีขอบเพียงประเภทเดียว โดยทั่วไป โพลีโทปแบบสม่ำเสมอสามารถมีขอบได้หลายประเภทเท่ากับกระจกเงาที่ใช้งานอยู่ในการสร้าง เนื่องจากกระจกเงาที่ใช้งานอยู่แต่ละอันจะสร้างขอบหนึ่งขอบในโดเมนพื้นฐาน

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (และรูปทรงรังผึ้ง) มีรูปทรงขอบ เพียงรูปเดียว ซึ่งเป็นรูปทรงปกติเช่นกัน สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ { p , q , r , s ,..., z } รูปทรงขอบคือ { r , s ,..., z }

ในสี่มิติ รูปทรงขอบของโพลีโทป 4 มิติหรือรังผึ้ง 3 มิติคือรูปหลายเหลี่ยมที่แสดงถึงการจัดเรียงของชุดหน้าตัดรอบขอบ ตัวอย่างเช่นรูปทรงขอบของรังผึ้งลูกบาศก์ ปกติ {4,3,4} คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสำหรับโพลีโทป 4 มิติปกติ { p , q , r } คือรูปหลายเหลี่ยม { r }

ในทางที่ซับซ้อนกว่านั้นรังผึ้งลูกบาศก์ตัดยอด t _0,1 {4,3,4} มีรูปทรงยอดเป็นพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยมีเซลล์ เป็นลูกบาศก์ตัดยอดและ ทรง แปดเหลี่ยมในที่นี้มีรูปทรงขอบ สองประเภท ประเภท หนึ่งเป็นรูปทรงขอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยอดของพีระมิด ซึ่งแสดงถึงลูกบาศก์ตัดยอด สี่ลูก ที่อยู่รอบขอบด้านหนึ่ง ส่วนรูปทรงขอบอีกสี่รูปเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่จุดยอดฐานของพีระมิด ซึ่งแสดงถึงการจัดเรียงลูกบาศก์ตัดยอดสองลูกและทรงแปดเหลี่ยมหนึ่งลูกรอบขอบด้านอื่นๆ

• ลิงก์ซิมพลิเชียล - แนวคิดเชิงนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงจุดยอด
• รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมปกติ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปภาพ Vertex

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "หุ่นเวอร์เท็กซ์" . แมทเวิลด์ .
• โอลเชฟสกี, จอร์จ. "รูปทรงจุดยอด" . อภิธานศัพท์สำหรับไฮเปอร์สเปซ . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 4 กุมภาพันธ์ 2550.
• รูปทรงจุดยอด
• คำอธิบายจุดยอดที่สอดคล้องกัน