ลิงก์ในคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลเป็นการขยายแนวคิดของบริเวณใกล้เคียง จุดยอดในกราฟ ลิงก์ของจุดยอดนั้นเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างเฉพาะ ที่ของคอมเพล็กซ์ ณ จุดยอดนั้น

กำหนดให้ คอมเพล็กซ์เชิงซิ ม พลิเชียลนามธรรมXและจุดยอดในลิงก์ของมันคือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งและเป็นหน้าของX${\textstyle v}$${\textstyle V(X)}$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (v,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle v\not \in \tau }$${\textstyle \tau \cup \{v\}}$

• ในกรณีพิเศษที่Xเป็นคอมเพล็กซ์ 1 มิติ (นั่นคือกราฟ ) จะประกอบด้วยจุดยอดทั้งหมดที่เป็นขอบในกราฟ กล่าวคือระบบเพื่อนบ้านของในกราฟ${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (v,X)}$${\textstyle u\neq v}$${\textstyle \{u,v\}}$${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$${\textstyle v}$

กำหนดให้คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลเชิงเรขาคณิตXและลิงก์ของมันคือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งและมีซิมเพล็กซ์ในที่มีเป็นจุดยอดและเป็นหน้า^{[ 1 ] : 3} หรือเทียบเท่ากับการเชื่อมต่อคือหน้าใน[ ^{2 ] : 20} ${\textstyle v\in V(X)}$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (v,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle v\not \in \tau }$${\textstyle X}$${\textstyle v}$${\textstyle \tau }$${\textstyle v\star \tau }$${\textstyle X}$

• ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่า v เป็นจุดยอดด้านบนของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทางด้านซ้าย แล้วเส้นเชื่อมของvก็คือรูปสามเหลี่ยมที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากสำหรับแต่ละขอบของรูปสามเหลี่ยมนั้น เส้นเชื่อมของ v กับขอบนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยม (หนึ่งในสามรูปสามเหลี่ยมที่ด้านข้างของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า) และเส้นเชื่อมของvกับรูปสามเหลี่ยมนั้นเองก็คือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด

  

นิยามทางเลือกอีกอย่างหนึ่งคือ: ลิงก์ของจุดยอดคือกราฟLk( v , X )ที่สร้างขึ้นดังนี้ จุดยอดของLk( v , X )คือ ขอบของXที่เชื่อมต่อกับvขอบสองขอบดังกล่าวจะอยู่ติดกันในLk( v , X ) ก็ต่อ เมื่อ ขอบทั้งสอง เชื่อมต่อกับเซลล์ 2 เซลล์ร่วมกันที่ v${\textstyle v\in V(X)}$

• กราฟLk( v , X )มักจะถูกกำหนดโทโพโลยีเป็นทรงกลมรัศมีเล็ก ๆ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่vซึ่งเป็นอนาล็อกของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด^{[ 3 ]}

นิยามของลิงก์สามารถขยายจากจุดยอดเดียวไปยังหน้าใดๆ ก็ได้

กำหนดให้คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมXและหน้าใดๆของX ลิงก์ของมันคือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งไม่ทับซ้อนกันและเป็นหน้าของX : . ${\textstyle \sigma }$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \sigma ,\tau }$${\textstyle \tau \ถ้วย \sigma }$${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$

กำหนดให้คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลเชิงเรขาคณิตXและหน้าใดๆลิงก์ของมันคือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งไม่ทับซ้อนกัน และมีซิมเพล็กซ์ในซึ่งมีทั้งและเป็นหน้า^{[ 1 ] : 3} ${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \sigma ,\tau }$${\textstyle X}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \tau }$

เส้นเชื่อมของจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยจุดยอดทั้งสามของเส้นเชื่อมจะสอดคล้องกับขอบทั้งสามที่ติดกับจุดยอด และขอบทั้งสามของเส้นเชื่อมจะสอดคล้องกับหน้าที่ติดกับจุดยอด ในตัวอย่างนี้ สามารถมองเห็นเส้นเชื่อมได้โดยการตัดจุดยอดออกด้วยระนาบ กล่าวคือ การตัดทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วด้วยระนาบใกล้กับจุดยอด ผลลัพธ์ที่ได้คือหน้าตัดของเส้นเชื่อม

ตัวอย่างเพิ่มเติมแสดงไว้ด้านล่าง นี่คือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลสองมิติ ทางด้านซ้าย จุดยอดถูกทำเครื่องหมายด้วยสีเหลือง ทางด้านขวา ลิงก์ของจุดยอดนั้นถูกทำเครื่องหมายด้วยสีเขียว

• 
  จุดยอดและเส้นเชื่อม ของจุด ยอด นั้น

• สำหรับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลX ใดๆ ทุกลิงก์ จะปิดลงด้านล่าง ดังนั้นมันจึงเป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลด้วยเช่น กันมันเป็นซับคอมเพล็กซ์ของX${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (\sigma ,X)}$
• เนื่องจากXเป็นซิมพลิเชียล จึงมีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างเซตกับเซตโดยที่ทุก ๆจะสอดคล้องกับซึ่งอยู่ในเซต${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Lk} (\sigma ,X)}$${\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ such that }}\sigma \subseteq \rho \}}$${\textstyle \tau \in \ตัวดำเนินการ {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \ถ้วย \sigma }$${\displaystyle X_{\sigma }}$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลิงก์นี้คือ ดาว

กำหนดให้คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมXและหน้าใดๆ, , สตาร์ ของมัน คือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งเป็นหน้าของXในกรณีพิเศษที่Xเป็นคอมเพล็กซ์ 1 มิติ (นั่นคือกราฟ ) , , จะประกอบด้วยขอบทั้งหมดสำหรับจุดยอดทั้งหมดที่เป็นเพื่อนบ้านของนั่นคือ มันเป็นสตาร์เชิงกราฟ ที่มีจุดศูนย์กลาง อยู่ ที่${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle V(X)}$${\textstyle \ตัวดำเนินการ {St} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \tau \ถ้วย \sigma }$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {St} (v,X)}$${\textstyle \{u,v\}}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle u}$

กำหนดให้คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลเชิงเรขาคณิตXและหน้าใดๆ ก็ตามสตาร์ของมันคือเซตที่ประกอบด้วยทุกหน้าซึ่งมีซิมเพล็กซ์ในที่มีทั้งและเป็นหน้า: กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันคือการปิดของเซต— เซตของซิมเพล็กซ์ที่มีเป็นหน้า ${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle \ตัวดำเนินการ {St} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle X}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \tau }$${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ are faces of }}\rho \}}$${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ เป็นหน้าของ }}\rho \}}$${\textstyle \sigma }$

ดังนั้นลิงก์จึงเป็นเซตย่อยของดาว ดาวและลิงก์มีความสัมพันธ์กันดังนี้:

• สำหรับใดๆ, . ^{[ 1 ] : 3} ${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
• สำหรับ, , นั่นคือ ดาวของคือกรวยของลิงก์ที่[ ^{2 ] : 20} ${\textstyle v\in V(X)}$${\textstyle \ตัวดำเนินการ {St} (v,X)=v\star \ตัวดำเนินการ {Lk} (v,X)}$${\textstyle v}$${\textstyle v}$

ตัวอย่างแสดงไว้ด้านล่าง นี่คือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลสองมิติ ทางด้านซ้าย จุดยอดถูกทำเครื่องหมายด้วยสีเหลือง ทางด้านขวา เครื่องหมายดาวของจุดยอดนั้นถูกทำเครื่องหมายด้วยสีเขียว

• 
  จุดยอดและดาว ของ มัน

• รูปทรงจุดยอด - แนวคิดทางเรขาคณิตที่คล้ายกับเส้นเชื่อมเชิงซิมพลิเชียล