ในทางคณิตศาสตร์ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุดในปริภูมิยุคลิดคือความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสอง สามารถคำนวณได้จากพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดังนั้นจึงบางครั้งเรียกว่าระยะทางพีทาโกรัส

ชื่อเหล่านี้มาจากนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก โบราณ อย่างยูคลิดและพีทาโกรัส ใน เรขาคณิตเชิงอนุมาน ของ กรีกซึ่งเป็นตัวอย่างจากหนังสือ Elements ของยูคลิด ระยะทางไม่ได้ถูกแทนด้วยตัวเลข แต่เป็นส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากัน ซึ่งถือว่า "เท่ากัน" แนวคิดเรื่องระยะทางนั้นมีอยู่ใน เครื่องมือ วงเวียนที่ใช้ลากวงกลมซึ่งจุดทุกจุดมีระยะทางเท่ากันจากจุดศูนย์กลาง ร่วมกัน การเชื่อมโยงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปสู่การคำนวณระยะทางนั้นเพิ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 18

ระยะห่างระหว่างวัตถุสองชิ้นที่ไม่ใช่จุด โดยทั่วไปแล้วจะถูกกำหนดให้เป็นระยะห่างที่น้อยที่สุดระหว่างคู่ของจุดจากวัตถุทั้งสองนั้น มีสูตรสำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างวัตถุประเภทต่างๆ เช่น ระยะห่างจากจุดไปยังเส้นตรงในคณิตศาสตร์ขั้นสูง แนวคิดเรื่องระยะห่างได้รับการขยายไปสู่ปริภูมิเมตริก นามธรรม และมีการศึกษาเกี่ยวกับระยะห่างอื่นๆ นอกเหนือจากระยะห่างแบบยุคลิด ในบางการประยุกต์ใช้ในสถิติและการหาค่าเหมาะสมที่สุดจะใช้กำลังสองของระยะห่างแบบยุคลิดแทนระยะห่างนั้นเอง

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างเชิงตัวเลขของพิกัดของจุดทั้งสอง ซึ่งก็คือผลต่างสัมบูรณ์ดังนั้น ถ้าและเป็นจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริง ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|pq|.}$$

สูตรที่ซับซ้อนกว่าซึ่งให้ค่าเดียวกันแต่สามารถสรุปได้ง่ายกว่าในมิติที่สูงกว่าคือ: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(pq)^{2}}}.}$$

ในสูตรนี้การยกกำลังสองแล้วถอดรากที่สองจะไม่ทำให้จำนวนบวกใดๆ เปลี่ยนแปลง แต่จะแทนที่จำนวนลบใดๆ ด้วยค่าสัมบูรณ์ของมัน^{[ 1 ]}

ในระนาบยุคลิดให้จุดมีพิกัดคาร์ทีเซียนและให้จุดมีพิกัดระยะห่างระหว่างและจะกำหนดโดย: ^{[ 2 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยการใช้ทฤษฎีบทพีทาโก รัส กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านแนวนอนและด้านแนวตั้ง โดยมีส่วนของเส้นตรงจากด้านหนึ่งไปยัง อีกด้านหนึ่ง เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตรกำลังสองสองสูตรภายในรากที่สองจะให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านแนวนอนและด้านแนวตั้ง และรากที่สองด้านนอกจะแปลงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากให้เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก^{[ 3 ]}ในแง่ของการดำเนินการบวกพีทาโกรัสซึ่งมีอยู่ในไลบรารีซอฟต์แวร์ หลายแห่ง ใน รูป แบบ สูตรเดียวกันนี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \oplus }$hypot

$${\displaystyle d(p,q)=(p_{1}-q_{1})\oplus (p_{2}-q_{2})={\mathsf {hypot}}(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2}).}$$

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณระยะทางสำหรับจุดที่กำหนดโดยพิกัดเชิงขั้วได้ หากพิกัดเชิงขั้วของคือและพิกัดเชิงขั้วของคือระยะทางของจุดทั้งสองคือ^{[ 2 ]}ซึ่งกำหนดโดยกฎของโคไซน์ : ${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

เมื่อและถูกแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อนสามารถใช้สูตรเดียวกันกับจุดหนึ่งมิติที่แสดงเป็นจำนวนจริงได้ แม้ว่าในที่นี้เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์จะบ่งบอกถึงบรรทัดฐานเชิงซ้อนก็ตาม : ^{[ 5 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|pq|.}$$

ในสามมิติ สำหรับจุดที่กำหนดโดยพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางคือ

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

โดยทั่วไป สำหรับจุดที่กำหนดโดยพิกัดคาร์ทีเซียนในปริภูมิยุคลิดมิติ ระยะทางคือ^{[ 6 ]}${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

ระยะทางแบบยุคลิดอาจแสดงได้อย่างกระชับยิ่งขึ้นในแง่ของบรรทัดฐานแบบยุคลิดของ ผลต่าง เวกเตอร์แบบยุคลิด : ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle d(p,q)=\|pq\|.}$$

สำหรับวัตถุสองชิ้นที่ไม่ใช่จุดทั้งคู่ ระยะทางสามารถกำหนดได้ง่ายที่สุดโดยเป็นระยะทางที่น้อยที่สุดระหว่างจุดสองจุดใดๆ จากวัตถุทั้งสองชิ้น แม้ว่าจะมีการใช้การวางนัยทั่วไปที่ซับซ้อนกว่าจากจุดไปยังเซต เช่นระยะทาง Hausdorffอยู่ทั่วไปก็ตาม^{[ 8 ]}สูตรสำหรับการคำนวณระยะทางระหว่างวัตถุประเภทต่างๆ ได้แก่:

• ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในระนาบยูคลิด^{[ 9 ]}
• ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบในปริภูมิยูคลิดสามมิติ^{[ 9 ]}
• ระยะห่างระหว่างเส้นสองเส้นในปริภูมิยูคลิดสามมิติ^{[ 10 ]}

ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังเส้นโค้งสามารถใช้เพื่อกำหนดเส้นโค้งคู่ขนาน ซึ่ง เป็นเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งที่จุดทั้งหมดของเส้นโค้งนั้นมีระยะห่างเท่ากันจากเส้นโค้งที่กำหนด^{[ 11 ]}

ระยะทางแบบยุคลิดเป็นตัวอย่างต้นแบบของระยะทางในปริภูมิเมตริก [ ^{12 ]}และเป็นไปตามคุณสมบัติที่กำหนดทั้งหมดของปริภูมิเมตริก^{: [ 13 ]}

• มันสมมาตรหมายความว่าสำหรับทุกจุดและนั่นคือ (ต่างจากระยะทางบนถนนที่มีทางเดียว) ระยะทางระหว่างสองจุดไม่ขึ้นอยู่กับว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นและจุดใดเป็นจุดปลายทาง^{[ 13 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• เป็นค่าบวกหมายความว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกันทุกจุดเป็นจำนวนบวกในขณะที่ระยะห่างจากจุดใดๆ ไปยังตัวมันเองเป็นศูนย์^{[ 13 ]}
• มันเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม : สำหรับจุดสามจุดทุกจุด, , และ, . โดยสัญชาตญาณ การเดินทางจากไปผ่านไม่สามารถสั้นกว่าการเดินทางโดยตรงจากไปได้^{[ 13 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

อสมการของปโตเลมีเป็นอีกหนึ่งคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสี่จุด, , , และโดยระบุว่า ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

สำหรับจุดในระนาบ สามารถกล่าวใหม่ได้ว่า สำหรับรูปสี่เหลี่ยม ทุก รูป ผลคูณของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมจะรวมกันได้อย่างน้อยเท่ากับผลคูณของเส้นทแยงมุม อย่างไรก็ตาม อสมการของปโตเลมีใช้ได้ทั่วไปกับจุดในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าจุดเหล่านั้นจะเรียงตัวกันอย่างไรก็ตาม^{[ 14 ]}สำหรับจุดในปริภูมิเมตริกที่ไม่ใช่ปริภูมิยุคลิด อสมการนี้อาจไม่เป็นจริงเรขาคณิตระยะทาง ยุคลิด ศึกษาคุณสมบัติของระยะทางยุคลิด เช่น อสมการของปโตเลมี และการประยุกต์ใช้ในการทดสอบว่าชุดระยะทางที่กำหนดมาจากจุดในปริภูมิยุคลิดหรือไม่^{[ 15 ]}

ตามทฤษฎีบทของ Beckman–Quarlesการแปลงใดๆ ของระนาบยุคลิดหรือของปริภูมิยุคลิดมิติสูงกว่าที่รักษาระยะทางหน่วยจะต้องเป็นไอโซเมตรีซึ่งรักษาระยะทางทั้งหมด^{[ 16 ]}

กรวยคือกราฟแสดงระยะทางแบบยุคลิดจากจุดกำเนิดในระนาบ

พาราโบโลอิดคือ กราฟแสดงระยะทางยูคลิดกำลังสองจากจุดกำเนิด

ในการใช้งานหลายๆ ครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเปรียบเทียบระยะทาง อาจสะดวกกว่าที่จะละเว้นรากที่สองสุดท้ายในการคำนวณระยะทางแบบยุคลิด เนื่องจากรากที่สองไม่เปลี่ยนแปลงลำดับ ( ก็ต่อเมื่อ) ค่าที่ได้จากการละเว้นนี้คือค่ากำลังสองของระยะทางแบบยุคลิด และเรียกว่าระยะทางแบบยุคลิดยกกำลังสอง [ ^{17 ] ตัวอย่าง}เช่นต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำแบบยุคลิดสามารถกำหนดได้โดยใช้เพียงลำดับระหว่างระยะทาง ไม่ใช่ค่าตัวเลข การเปรียบเทียบระยะทางยกกำลังสองให้ผลลัพธ์เดียวกัน แต่หลีกเลี่ยงการคำนวณรากที่สองที่ไม่จำเป็นและหลีกเลี่ยงปัญหาความแม่นยำเชิงตัวเลข^{[ 18 ]}ในรูปสมการ ระยะทางยกกำลังสองสามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองได้ : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้ในการเปรียบเทียบระยะทางแล้ว ระยะทางแบบยุคลิดยกกำลังสองยังมีความสำคัญอย่างยิ่งในทางสถิติโดยใช้ในวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดซึ่งเป็นวิธีการมาตรฐานในการปรับค่าประมาณทางสถิติให้เข้ากับข้อมูลโดยการลดค่าเฉลี่ยของระยะทางยกกำลังสองระหว่างค่าที่สังเกตได้และค่าประมาณ^{[ 19 ]}และเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของความแตกต่างเพื่อเปรียบเทียบการแจกแจงความน่าจะเป็น [ ^{20 ] การ}บวกระยะทางยกกำลังสองเข้าด้วยกัน ดังที่ทำในการปรับค่ากำลังสองน้อยที่สุด สอดคล้องกับการดำเนินการกับระยะทาง (ที่ไม่ยกกำลังสอง) ที่เรียกว่าการบวกแบบพีทาโกเรียน [ ^{21 ] ใน}การวิเคราะห์คลัสเตอร์ระยะทางยกกำลังสองสามารถใช้เพื่อเสริมผลกระทบของระยะทางที่ยาวขึ้นได้^{[ 17 ]}

ระยะทางยูคลิดยกกำลังสองไม่ก่อให้เกิดปริภูมิเมตริก เนื่องจากไม่เป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม^{[ 22 ]}อย่างไรก็ตาม มันเป็นฟังก์ชันเรียบและนูน อย่างเคร่งครัด ของจุดสองจุด ซึ่งแตกต่างจากระยะทางซึ่งไม่เรียบ (ใกล้คู่ของจุดที่เท่ากัน) และนูนแต่ไม่นูนอย่างเคร่งครัด ดังนั้นระยะทางยกกำลังสองจึงเป็นที่นิยมในทฤษฎีการหาค่าเหมาะสม ที่สุด เนื่องจากช่วยให้สามารถใช้การวิเคราะห์แบบนูน ได้ เนื่องจากกำลังสองเป็น ฟังก์ชันโมโนโทนิกของค่าที่ไม่เป็นลบ การลดระยะทางยกกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุดจึงเทียบเท่ากับการลดระยะทางยูคลิดให้เหลือน้อยที่สุด ดังนั้นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดจึงเทียบเท่ากันในแง่ของทั้งสองแบบ แต่แก้ได้ง่ายกว่าโดยใช้ระยะทางยกกำลังสอง^{[ 23 ]}

การรวบรวมระยะทางกำลังสองทั้งหมดระหว่างจุดคู่หนึ่งจากเซตจำกัดอาจถูกจัดเก็บไว้ในเมทริกซ์ระยะทางแบบยุคลิดและใช้ในรูปแบบนี้ในเรขาคณิตระยะทาง^{[ 24 ]}

ในสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง เมื่อพิจารณาปริภูมิยุคลิดเป็นปริภูมิเวกเตอร์ระยะทางของปริภูมินี้จะสัมพันธ์กับนอร์มที่เรียกว่านอร์มยุคลิดซึ่งกำหนดเป็นระยะทางของแต่ละเวกเตอร์จากจุดกำเนิดคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของนอร์มนี้ เมื่อเทียบกับนอร์มอื่นๆ คือ นอร์มนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนปริภูมิรอบจุดกำเนิด โดยพลการ ^{[ 25 ]}ตามทฤษฎีบทของ Dvoretzky ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีนอร์มในมิติจำกัดทุกปริภูมิจะมีปริภูมิย่อยในมิติสูงซึ่งนอร์มมีลักษณะใกล้เคียงกับยุคลิด นอร์มยุคลิดเป็นนอร์มเดียวที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 26 ]}มันสามารถขยายไปยังปริภูมิเวกเตอร์ในมิติอนันต์ได้ในรูปของนอร์มL ²หรือระยะทางL ^{2 [ 27 ]}ระยะทางยุคลิดทำให้ปริภูมิยุคลิดมีโครงสร้างของปริภูมิเชิงทอพอ โล ยีทอพอโลยียุคลิดโดยมีลูกบอลเปิด (เซตย่อยของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดน้อยกว่าระยะทางที่กำหนด) เป็นบริเวณใกล้เคียง^{[ 28 ]}

ระยะทางทั่วไปอื่นๆ ในพื้นที่พิกัดจริงและพื้นที่ฟังก์ชัน : ^{[ 29 ]}

• ระยะทางเชบิเชฟ ( ระยะทาง L ^∞ ) ซึ่งวัดระยะทางโดยหาค่าสูงสุดของระยะทางในแต่ละพิกัด
• ระยะทางแท็กซี่ ( ระยะ ^ทางL1 ) หรือที่เรียกว่าระยะทางแมนฮัตตัน คือระยะทางที่วัดจากผลรวมของระยะทางในแต่ละพิกัด
• ระยะทางมินคอฟสกี ( ระยะทาง L ^p ) เป็นการขยายความที่รวมระยะทางแบบยุคลิด ระยะทางแบบแท็กซี่แค็บ และระยะทางแบบเชบิเชฟเข้าด้วยกัน

สำหรับจุดบนพื้นผิวสามมิติ ระยะทางแบบยุคลิดควรแยกออกจาก ระยะทาง แบบจีโอเดสิกซึ่งเป็นความยาวของเส้นโค้งที่สั้นที่สุดที่อยู่ในพื้นผิว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับการวัดระยะทางวงกลมใหญ่บนโลกหรือพื้นผิวทรงกลมหรือใกล้เคียงทรงกลมอื่นๆ ระยะทางที่ใช้ ได้แก่ระยะทางฮาเวอร์ไซน์ซึ่งให้ระยะทางวงกลมใหญ่ระหว่างสองจุดบนทรงกลมจากลองจิจูดและละติจูด และสูตรของวินเซนตีหรือที่รู้จักกันในชื่อ "ระยะทางวินเซนต์" สำหรับระยะทางบนทรงรี^{[ 30 ]}

ระยะทางแบบยุคลิดคือระยะทางในปริภูมิยุคลิดแนวคิดทั้งสองนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณอย่างยูคลิด ซึ่ง ตำรา Elementsของเขาได้กลายเป็นตำรามาตรฐานในวิชาเรขาคณิตมาหลายศตวรรษ^{[ 31 ]}แนวคิดเรื่องความยาวและระยะทางแพร่หลายในหลายวัฒนธรรม สามารถย้อนรอยไปถึงเอกสารราชการ "ก่อนการถอดเสียง" ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่จากสุเมเรียนในสหัสวรรษที่สี่ก่อนคริสต์ศักราช (ก่อนยุคของยูคลิดมาก) ^{[ 32 ]}และมีการตั้งสมมติฐานว่าแนวคิดนี้พัฒนาในเด็กเร็วกว่าแนวคิดเรื่องความเร็วและเวลาที่เกี่ยวข้อง^{[ 33 ]}แต่แนวคิดเรื่องระยะทางในฐานะตัวเลขที่กำหนดจากสองจุดนั้นไม่ได้ปรากฏอยู่ในตำรา Elements ของยูคลิด ยูคลิดกลับใช้แนวคิดนี้โดยปริยาย ผ่านความสอดคล้องกัน ของส่วนของเส้นตรง ผ่านการเปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรง และผ่าน แนวคิดเรื่องสัดส่วน^{[ 34 ]}

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็มีมาแต่โบราณเช่นกัน แต่เพิ่งจะมีบทบาทสำคัญในการวัดระยะทางหลังจากที่เรเน่ เดส์การ์ตส์คิดค้นพิกัดคาร์ทีเซียนขึ้นในปี ค.ศ. 1637 สูตรระยะทางนั้นได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1731 โดยอเล็กซิส แคลโรต์ [ ^{35 ] ด้วย}สูตรนี้ ระยะทางแบบยุคลิดจึงบางครั้งเรียกว่าระยะทางแบบพีทาโกรัส^{[ 36 ]}แม้ว่าการวัดระยะทางไกลบนพื้นผิวโลกอย่างแม่นยำ ซึ่งไม่ใช่แบบยุคลิด จะได้รับการศึกษาในหลายวัฒนธรรมมาตั้งแต่สมัยโบราณ (ดูประวัติศาสตร์ของภูมิศาสตร์ ) แต่แนวคิดที่ว่าระยะทางแบบยุคลิดอาจไม่ใช่เพียงวิธีเดียวในการวัดระยะทางระหว่างจุดในพื้นที่ทางคณิตศาสตร์นั้นเกิดขึ้นในภายหลัง ด้วยการกำหนดเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดใน ศตวรรษที่ 19 ^{[ 37 ]}นิยามของบรรทัดฐานแบบยุคลิดและระยะทางแบบยุคลิดสำหรับเรขาคณิตที่มีมากกว่าสามมิติก็ปรากฏขึ้นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 ในงานของออกัสติน-หลุยส์ โคชี^{[ 38 ]}