ผลต่างสัมบูรณ์ ของ จำนวนจริง สอง จำนวน คือ และซึ่งก็คือค่าสัมบูรณ์ของผล ต่าง ของจำนวน ทั้งสอง มันอธิบายถึงระยะทางบนเส้นจำนวนจริงระหว่างจุดที่สอดคล้องกับและและเป็นกรณีพิเศษของระยะทางL ^pสำหรับทุกค่าการ ประยุกต์ใช้ในทางสถิติ ได้แก่ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์จากแนวโน้มศูนย์กลาง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle |xy|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$

ผลต่างสัมบูรณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• สำหรับ( ศูนย์คือองค์ประกอบเอกลักษณ์บนจำนวนที่ไม่เป็นลบ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle |x-0|=x}$
• สำหรับทั้งหมด( องค์ประกอบทุกตัวเป็นองค์ประกอบผกผัน ของตัวเอง ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle |xx|=0}$
• ${\displaystyle |xy|\geq 0}$(ไม่เป็นลบ) ^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle |xy|=0}$ถ้าและเฉพาะเมื่อ(ไม่เป็นศูนย์สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกัน) ^{[ 2 ]}${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle |xy|=|yx|}$( สมมาตรหรือการสลับที่ ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• ${\displaystyle |xz|\leq |xy|+|yz|}$( ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ); ^{[ 2 ] [ 3 ]}ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อหรือ.${\displaystyle x\leq y\leq z}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$

เนื่องจากเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ไม่เป็นศูนย์สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกัน สมมาตร และเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม จำนวนจริงจึงก่อตัวเป็นปริภูมิเมตริกที่มีผลต่างสัมบูรณ์เป็นระยะทาง ซึ่งเป็นการวัดระยะทางตามแนวเส้นตรงที่คุ้นเคย^{[ 4 ​​]}ได้รับการขนานนามว่า "ปริภูมิเมตริกที่เป็นธรรมชาติที่สุด" ^{[ 5 ]}และ "ปริภูมิเมตริกที่เป็นรูปธรรมที่สำคัญที่สุด" ^{[ 2 ]}ระยะทางนี้สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้หลายวิธี เช่น กรณีพิเศษของระยะทางL ^pสำหรับทุกค่ารวมถึง กรณี และ( เรขาคณิตแท็กซี่และระยะทางยุคลิดตามลำดับ) นอกจากนี้ยังเป็นกรณีพิเศษหนึ่งมิติของระยะทางไฮเปอร์โบลิกด้วย ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p=2}$

แทนที่จะใช้ค่าความแตกต่างสัมบูรณ์อาจแสดงได้เป็น เมื่อขยายแนวคิดนี้ไปยังค่ามากกว่าสองค่า ในเซตย่อยใดๆของจำนวนจริงที่มีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของค่าความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างจำนวนสองจำนวนใดๆ ในจะน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าความแตกต่างสัมบูรณ์ของค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ${\displaystyle |x-y|}$$${\displaystyle \max(x,y)-\min(x,y).}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ผลต่างสัมบูรณ์ทำให้จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเช่นกัน ในฐานะที่เป็นการดำเนินการทวิภาคที่สลับที่ได้แต่ไม่เชื่อมโยงกัน โดยมีองค์ประกอบเอกลักษณ์บนจำนวนที่ไม่เป็นลบ ผลต่างสัมบูรณ์ทำให้จำนวนที่ไม่เป็นลบ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเต็ม) มีโครงสร้างพีชคณิตของแมกมาที่สลับที่ได้พร้อมเอกลักษณ์^{[ 1 ]}

ความแตกต่างสัมบูรณ์ใช้เพื่อกำหนดความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์ซึ่งก็คือความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าที่กำหนดกับค่าอ้างอิง หารด้วยค่าอ้างอิงนั้นเอง^{[ 6 ]}

ในทฤษฎีการติดป้ายอย่างสง่างามในทฤษฎีกราฟจุดยอดจะถูกติดป้ายด้วยจำนวนธรรมชาติและขอบจะถูกติดป้ายด้วยผลต่างสัมบูรณ์ของจำนวนที่จุดยอดทั้งสอง การติดป้ายประเภทนี้จะสง่างามเมื่อป้ายขอบแตกต่างกันและต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนขอบ^{[ 7 ]}

นอกจากจะเป็นกรณีพิเศษของระยะทาง L ^pแล้ว ความแตกต่างสัมบูรณ์ยังสามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางเชบิเชฟ (L ^∞ ) ซึ่งระยะทางระหว่างจุดคือค่าสูงสุดหรือค่าสูงสุดของความแตกต่างสัมบูรณ์ของพิกัดของจุดเหล่านั้น^{[ 8 ]}

ในทางสถิติ ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของตัวเลขที่สุ่มมาจากค่าศูนย์กลางคือ ผลต่างสัมบูรณ์ของตัวเลขนั้นจากค่าศูนย์กลางค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยคือ ค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของกลุ่มตัวอย่าง และ ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด เป็นวิธีการทางสถิติที่แข็งแกร่งโดยอาศัยการลดค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยให้ เหลือน้อยที่สุด

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ความแตกต่างสัมบูรณ์" . แมทเวิลด์ .