ถ้าเป็นบรรทัดฐาน${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$กำหนดให้บนปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X,}$จากนั้นค่ามาตรฐานของเวกเตอร์${\displaystyle z\in X}$โดยปกติจะแสดงโดยการล้อมกรอบด้วยเส้นแนวตั้งสองเส้น:${\displaystyle \|z\|=p(z)}$ตามที่ สเตฟาน บานาคเสนอไว้ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1920 สัญลักษณ์ดังกล่าวบางครั้งก็ใช้เช่นกันหาก${\displaystyle p}$เป็นเพียงเซมินอร์มเท่านั้น สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในปริภูมิยุคลิด (ซึ่งเป็นตัวอย่างของนอร์ม ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ) จะใช้สัญลักษณ์${\displaystyle |x|}$การใช้เส้นแนวตั้งเดี่ยวก็พบเห็นได้ทั่วไปเช่นกัน

ค่าสัมบูรณ์​${\displaystyle |x|}$ ค่าสัมบูรณ์ของค่าสัมบูรณ์คือค่ามาตรฐานของปริมาณเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ที่เกิดจาก จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติเหนือตัวมันเอง และปริภูมิเวกเตอร์สองมิติเหนือจำนวนจริง และค่าสัมบูรณ์ของค่ามาตรฐานคือค่ามาตรฐานสำหรับโครงสร้างทั้งสองนี้ ตัวอย่างเช่น 1 เป็นฐานและจำนวนเชิงซ้อนเป็นสเกลาร์ ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติ ในขณะที่${\textstyle \{1,i\}}$โดยใช้ฐานและจำนวนจริงเป็นสเกลาร์ ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติ และค่าสัมบูรณ์${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle z=x+iy}$, ที่ไหน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$เป็นจำนวนจริงและก่อให้เกิดบรรทัดฐาน

บรรทัดฐานใดๆ${\displaystyle p}$บนปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติ${\displaystyle X}$เทียบเท่า (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) กับค่าสัมบูรณ์ของบรรทัดฐาน ซึ่งหมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึม ที่รักษาบรรทัดฐาน ของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {F} }$คืออย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {R} }$หรือ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$และการรักษาบรรทัดฐานหมายความว่า${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ได้มาจากการส่ง${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ไปยังเวกเตอร์ของบรรทัดฐาน${\displaystyle 1,}$ซึ่งมีอยู่จริง เนื่องจากเวกเตอร์ดังกล่าวได้มาจากการคูณเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ด้วยค่าผกผันของขนาดเวกเตอร์นั้น

บน${\displaystyle n}$ปริภูมิยูคลิดมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$แนวคิดเชิงสัญชาตญาณเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ถูกจับโดยสูตร^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

นี่คือบรรทัดฐานยุคลิดซึ่งให้ระยะทางปกติจากจุดกำเนิดไปยังจุดXซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสการดำเนินการนี้อาจเรียกว่า "SRSS" ซึ่งเป็นคำย่อของรากที่สองของผลรวมของกำลังสอง^{[ 10 ]}

นอร์มยุคลิดเป็นนอร์มที่ใช้กันมากที่สุดอย่างเห็นได้ชัด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$^{[ 9 ]}แต่ยังมีบรรทัดฐานอื่นๆ บนปริภูมิเวกเตอร์นี้ดังที่จะแสดงต่อไปนี้ อย่างไรก็ตาม บรรทัดฐานเหล่านี้ทั้งหมดเทียบเท่ากันในแง่ที่ว่าพวกมันทั้งหมดกำหนดโทโพโลยีเดียวกันบนปริภูมิมิติจำกัด

ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดคือผลคูณดอทของเวกเตอร์พิกัด ของเวกเตอร์ทั้งสอง บนฐานเชิงตั้งฉากปกติดังนั้น ค่ามาตรฐานแบบยุคลิดจึงสามารถเขียนใน รูปแบบ ที่ไม่ขึ้นกับพิกัดได้ดังนี้ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

นอร์มยุคลิดเรียกอีกอย่างว่านอร์มกำลังสอง${\displaystyle L^{2}}$บรรทัดฐาน [ ^{11 ]​}${\displaystyle \ell ^{2}}$นอร์ม , นอร์ม 2หรือนอร์มกำลังสอง ; ดู${\displaystyle L^{p}}$พื้นที่มันกำหนดฟังก์ชันระยะทางที่เรียกว่าความยาวแบบยุคลิด${\displaystyle L^{2}}$ระยะทางหรือ${\displaystyle \ell ^{2}}$ระยะทาง .

เซตของเวกเตอร์ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ซึ่งค่าบรรทัดฐานยุคลิดเป็นค่าคงที่บวกที่กำหนดจะก่อให้เกิด${\displaystyle n}$- ทรงกลม

มีพีชคณิตฮูร์วิตซ์แบบยุคลิด อยู่สี่แบบ บนจำนวนจริง พอดี ซึ่งก็คือจำนวนจริงเหล่านั้น${\displaystyle \mathbb {R} ,}$จำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} ,}$และสุดท้ายคืออ็อกโทเนียน${\displaystyle \mathbb {O} ,}$โดยที่มิติของปริภูมิเหล่านี้เหนือจำนวนจริงคือ${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$ตามลำดับ บรรทัดฐานมาตรฐานเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ตามที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

บรรทัดฐานตามหลักการเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {H} }$ของควอเทอร์เนียนถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ สำหรับควอเทอร์เนียนทุกตัว${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ใน${\displaystyle \mathbb {H} .}$นี่เหมือนกับบรรทัดฐานแบบยุคลิดบน${\displaystyle \mathbb {H} }$ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ในทำนองเดียวกัน บรรทัดฐานมาตรฐานบนอ็อกโทเนียนก็คือบรรทัดฐานแบบยุคลิดบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

บน${\displaystyle n}$พื้นที่เชิงซ้อนหลายมิติ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$บรรทัดฐานที่พบได้บ่อยที่สุดคือ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

ในกรณีนี้ ค่ามาตรฐานสามารถแสดงได้เป็นรากที่สองของผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์กับตัวมันเอง: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$แสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$และ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$หมายถึงการสลับตำแหน่งและผันแปรของ รูปสังยุค

สูตรนี้ใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายใน ใดๆ รวมถึงปริภูมิยุคลิดและปริภูมิเชิงซ้อน สำหรับปริภูมิเชิงซ้อน ผลคูณภายในจะเทียบเท่ากับผลคูณดอทเชิงซ้อนดังนั้นในกรณีนี้ สูตรจึงสามารถเขียนได้โดยใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$ ชื่อนี้เกี่ยวข้องกับระยะทางที่รถแท็กซี่ต้องขับในผังถนน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (เช่นเดียวกับ เขต แมนฮัตตันใน นิวยอร์ก ) เพื่อไปยังจุดหมายปลายทาง${\displaystyle x.}$

เซตของเวกเตอร์ที่มีนอร์ม 1 เป็นค่าคงที่ที่กำหนดให้ จะก่อให้เกิดพื้นผิวของโพลีโทปกากบาทซึ่งมีมิติเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ลบ 1 นอร์มแท็กซี่แคบเรียกอีกอย่างว่า${\displaystyle \ell ^{1}}$นอร์มระยะทางที่ได้จากนอร์มนี้เรียกว่าระยะทางแมนฮัตตันหรือ${\displaystyle \ell ^{1}}$ระยะทาง .

ค่า 1-นอร์ม คือผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของคอลัมน์ต่างๆ

ในทางตรงกันข้าม $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$ ไม่ใช่เรื่องปกติ เพราะอาจส่งผลเสียได้

อนุญาต${\displaystyle p\geq 1}$เป็นจำนวนจริง${\displaystyle p}$-นอร์ม (เรียกอีกอย่างว่า)${\displaystyle \ell ^{p}}$-นอร์ม) ของเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$คือ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$ สำหรับ${\displaystyle p=1,}$เราจึงได้มาตรฐานรถแท็กซี่มา${\displaystyle p=2}$เราจะได้ค่าบรรทัดฐานยุคลิดและเนื่องจาก${\displaystyle p}$แนวทาง${\displaystyle \infty }$ที่${\displaystyle p}$-ค่านอร์มเข้าใกล้ค่านอร์มอนันต์หรือค่านอร์มสูงสุด : $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ เดอะ${\displaystyle p}$-norm เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยทั่วไปหรือค่าเฉลี่ยกำลัง

สำหรับ${\displaystyle p=2,}$ที่${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$-นอร์มยังเกิดขึ้นจากผลคูณภายใน แบบแคนอนิกด้วย${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$หมายความว่า${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด${\displaystyle \mathbf {x} .}$ผลคูณภายในนี้สามารถแสดงในรูปของค่ามาตรฐานได้โดยใช้เอกลักษณ์การโพลาไรเซชันบน${\displaystyle \ell ^{2},}$ผลคูณภายในนี้คือผลคูณภายในแบบยุคลิดที่กำหนดโดย $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ ในขณะที่สำหรับพื้นที่นั้น${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$เกี่ยวข้องกับปริภูมิการวัด${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ผลคูณภายในนี้คือ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

คำจำกัดความนี้ยังคงมีความน่าสนใจอยู่บ้างสำหรับ${\displaystyle 0<p<1,}$แต่ฟังก์ชันที่ได้นั้นไม่ได้กำหนดบรรทัดฐาน^{[ 12 ]}เนื่องจากละเมิดอสมการสามเหลี่ยมอะไรเป็นจริงสำหรับกรณีนี้ของ${\displaystyle 0<p<1,}$แม้แต่ในรูปแบบที่วัดได้ ก็คือสิ่งที่สอดคล้องกัน${\displaystyle L^{p}}$คลาสเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และเป็นความจริงเช่นกันว่าฟังก์ชัน $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ (ปราศจาก${\displaystyle p}$รากที่ th) กำหนดระยะทางที่ทำให้${\displaystyle L^{p}(X)}$ไปสู่ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเมตริกที่สมบูรณ์ปริภูมิเหล่านี้มีความน่าสนใจอย่างมากในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกอย่างไรก็ตาม นอกเหนือจากกรณีที่ไม่สำคัญแล้ว ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีนี้ไม่เป็นนูนเฉพาะที่ และไม่มีรูปแบบเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์อย่างต่อเนื่อง ดังนั้นปริภูมิคู่เชิงทอพอโลยีจึงมีเพียงฟังก์ชันศูนย์เท่านั้น

อนุพันธ์ย่อยของ${\displaystyle p}$-นอร์มกำหนดโดย $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

อนุพันธ์เทียบกับ${\displaystyle x,}$ดังนั้น จึงเป็น $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$ ที่ไหน${\displaystyle \circ }$หมายถึงผลคูณของ Hadamardและ${\displaystyle |\cdot |}$ใช้สำหรับหาค่าสัมบูรณ์ของแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์

สำหรับกรณีพิเศษของ${\displaystyle p=2,}$สิ่งนี้กลายเป็น $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ หรือ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

ถ้า${\displaystyle \mathbf {x} }$เป็นเวกเตอร์บางตัวซึ่งมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$แล้ว: $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

เซตของเวกเตอร์ที่มีค่านอร์มอนันต์เป็นค่าคงที่ที่กำหนดให้${\displaystyle c,}$ก่อให้เกิดพื้นผิวของไฮเปอร์คิวบ์ที่มีความยาวด้าน${\displaystyle 2c.}$

บรรทัดฐานพลังงาน^{[ 13 ]}ของเวกเตอร์${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ถูกกำหนดโดยใช้เมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$เช่น

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

เป็นที่ชัดเจนว่าหาก${\displaystyle A}$คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ค่าบรรทัดฐานนี้สอดคล้องกับค่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดถ้า${\displaystyle A}$ถ้าเป็นแนวทแยง นอร์มนี้เรียกอีกอย่างว่านอร์มถ่วงน้ำหนักนอร์มพลังงานเกิดจากผลคูณภายในที่กำหนดโดย${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$สำหรับ${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

โดยทั่วไป ค่าของบรรทัดฐานจะขึ้นอยู่กับสเปกตรัมของ${\displaystyle A}$: สำหรับเวกเตอร์${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ด้วยค่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดเท่ากับหนึ่ง ค่าของ${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$ถูกจำกัดจากด้านล่างและด้านบนโดยค่าไอเกน สัมบูรณ์ที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด ของ${\displaystyle A}$ตามลำดับ โดยที่ขอบเขตจะบรรลุได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน) ที่สอดคล้องกัน โดยอิงจากรากที่สองของเมทริกซ์ สมมาตร${\displaystyle A^{1/2}}$ค่ามาตรฐานพลังงานของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ในรูปของค่ามาตรฐานยุคลิดมาตรฐานดังนี้

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

ในความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ค่าบรรทัดฐานศูนย์เหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเมตริกที่สมบูรณ์สำหรับปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้และสำหรับปริภูมิ Fของลำดับที่มีค่าบรรทัดฐาน F${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$^{[ 14 ]} ในที่นี้เราหมายถึงฟังก์ชันค่าจริงบางอย่างF-norm${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$บนช่องว่าง F ที่มีระยะห่าง${\displaystyle d,}$โดยที่${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$นอร์มFที่กล่าวถึงข้างต้นไม่ใช่นอร์มในความหมายปกติ เนื่องจากขาดคุณสมบัติความเป็นเอกรูปที่จำเป็น

การสรุปบรรทัดฐานข้างต้นไปยังส่วนประกอบจำนวนอนันต์นำไปสู่${\displaystyle \ell ^{p}}$และ${\displaystyle L^{p}}$พื้นที่สำหรับ${\displaystyle p\geq 1\,,}$ด้วยบรรทัดฐาน

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

สำหรับลำดับและฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนบน${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ตามลำดับ ซึ่งสามารถขยายความให้ครอบคลุมมากขึ้นได้ (ดูการวัดแบบฮาร์ ) บรรทัดฐานเหล่านี้ยังใช้ได้ในขีดจำกัดเมื่อ${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$โดยให้บรรทัดฐานสูงสุดและเรียกว่า${\displaystyle \ell ^{\infty }}$และ${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

ผลิตภัณฑ์ภายในใดๆ ก็ตามจะกระตุ้นให้เกิดสภาวะปกติโดยธรรมชาติ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

ตัวอย่างอื่นๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานที่มีมิติอนันต์ สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิบานาค

โดยทั่วไปแล้ว มาตรฐานเหล่านี้ไม่ได้ให้โทโพโลยีที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น มิติอนันต์${\displaystyle \ell ^{p}}$ปริภูมิให้โทโพโลยีที่ละเอียดกว่าปริภูมิอนันต์ อย่างชัดเจน${\displaystyle \ell ^{q}}$พื้นที่เมื่อ${\displaystyle p<q\,.}$

บรรทัดฐานอื่นๆ เกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$สามารถสร้างได้โดยการรวมสิ่งต่างๆ ข้างต้นเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ เป็นเรื่องปกติบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

สำหรับบรรทัดฐานใดๆ และการแปลงเชิงเส้นแบบหนึ่ง ต่อหนึ่งใดๆ${\displaystyle A}$เราสามารถกำหนดบรรทัดฐานใหม่ของ${\displaystyle x,}$เท่ากับ $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ ในรูปแบบ 2 มิติ ด้วย${\displaystyle A}$การหมุน 45° และการปรับขนาดที่เหมาะสม จะเปลี่ยนค่ามาตรฐานของรถแท็กซี่ให้เป็นค่ามาตรฐานสูงสุด แต่ละคัน${\displaystyle A}$เมื่อนำไปใช้กับมาตรฐานรถแท็กซี่ โดยคำนึงถึงการกลับด้านและการสลับแกน จะได้ทรงกลมหน่วยที่แตกต่างออกไป นั่นคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีรูปร่าง ขนาด และทิศทางเฉพาะ

ในแบบ 3 มิติ หลักการนี้คล้ายคลึงกัน แต่แตกต่างกันสำหรับค่ามาตรฐาน 1 ( ทรงแปดเหลี่ยม ) และค่ามาตรฐานสูงสุด ( ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

มีตัวอย่างของบรรทัดฐานที่ไม่ได้กำหนดโดยสูตร "แบบทีละรายการ" ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันมินคอฟสกีของทรงนูนสมมาตรศูนย์กลางใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์) กำหนดบรรทัดฐานบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(ดูหัวข้อ §  การจำแนกประเภทของเซมินอร์ม: เซตดูดซับนูนสัมบูรณ์ด้านล่าง)

สูตรทั้งหมดข้างต้นยังให้ค่ามาตรฐานเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$โดยไม่มีการแก้ไขใดๆ

นอกจากนี้ยังมีบรรทัดฐานสำหรับปริภูมิของเมทริกซ์ (ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ซึ่งเรียกว่าบรรทัดฐานของเมทริกซ์

อนุญาต${\displaystyle E}$เป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์${\displaystyle k}$ในระดับที่แยกจากกันไม่ได้${\displaystyle p^{\mu },}$และปล่อยให้${\displaystyle k}$มีการปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle K.}$ หากการฝังตัว ที่แตกต่างกัน ของ${\displaystyle E}$เป็น${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$จากนั้นบรรทัดฐานตามทฤษฎีกาโลอิสขององค์ประกอบ${\displaystyle \alpha \in E}$คือค่า${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ เนื่องจากฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่มีดีกรี${\displaystyle [E:k]}$บรรทัดฐานเชิงทฤษฎีของกาลัวไม่ใช่บรรทัดฐานในความหมายของบทความนี้ อย่างไรก็ตาม${\displaystyle [E:k]}$รากที่ - ของบรรทัดฐาน (โดยสมมติว่าแนวคิดนั้นสมเหตุสมผล) ถือเป็นบรรทัดฐาน^{[ 15 ]}

แนวคิดของวงกลมหน่วย (เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีนอร์มเท่ากับ 1) นั้นแตกต่างกันไปตามนอร์มต่างๆ: สำหรับนอร์ม 1 วงกลมหน่วยจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่วางตัวเป็นรูปเพชร สำหรับนอร์ม 2 (นอร์มยุคลิด) มันคือ วงกลมหน่วยที่เรารู้จักกันดีในขณะที่สำหรับนอร์มอนันต์ มันคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวตามแกน สำหรับใดๆ${\displaystyle p}$-นอร์ม วงกลมหน่วยจะเป็นซูเปอร์เอลลิปส์ที่มีแกนเท่ากันทุกประการ (ดูภาพประกอบ) เนื่องจากนิยามของนอร์ม วงกลมหน่วยจะต้องเป็นวงกลมนูนและสมมาตรแบบจุดศูนย์กลาง (ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ลูกบอลหน่วยอาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ไม่สามารถเป็นสามเหลี่ยมได้ และ${\displaystyle p\geq 1}$สำหรับ${\displaystyle p}$-นอร์ม)

ในแง่ของปริภูมิเวกเตอร์ เซมินอร์มกำหนดโทโพโลยีบนปริภูมิ และนี่คือ โทโพโลยี เฮาส์ดอร์ฟอย่างแม่นยำเมื่อเซมินอร์มสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ต่างๆ ได้ ซึ่งเทียบเท่ากับการที่เซมินอร์มเป็นนอร์ม โทโพโลยีที่กำหนดขึ้น (โดยนอร์มหรือเซมินอร์ม) สามารถเข้าใจได้ทั้งในแง่ของลำดับหรือเซตเปิด ลำดับของเวกเตอร์${\displaystyle \{v_{n}\}}$กล่าวกันว่าลู่เข้าสู่ค่ามาตรฐาน${\displaystyle v,}$ถ้า${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$เช่น${\displaystyle n\to \infty .}$ในทำนองเดียวกัน โทโพโลยีประกอบด้วยเซตทั้งหมดที่สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมกันของทรงกลม เปิด ถ้า${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$เป็นพื้นที่บรรทัดฐานแล้ว^{[ 18 ]}${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

สองบรรทัดฐาน${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$และ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$บนปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$เรียกว่าเทียบเท่ากันหากเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเดียวกัน ^{[ 19 ]}ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริงบวกเท่านั้น${\displaystyle C}$และ${\displaystyle D}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle p>r\geq 1}$บน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$จากนั้น^{[ 20 ]}$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ นั่นคือ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$ ถ้าปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณเวกเตอร์จริงหรือปริมาณเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด ค่ามาตรฐานทั้งหมดจะเท่ากัน ในทางกลับกัน ในกรณีของปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ ค่ามาตรฐานทั้งหมดจะไม่เท่ากัน

บรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันกำหนดแนวคิดเดียวกันของความต่อเนื่องและการบรรจบกัน และในหลายกรณีไม่จำเป็นต้องแยกแยะความแตกต่าง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น โครงสร้างเอกรูปที่กำหนดโดยบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันบนปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกเอกรูป ความเทียบเท่าในรูปแบบนี้ไม่ควรเข้าใจผิดว่าบรรทัดฐานสามารถใช้แทนกันได้เสมอ ตัวอย่างเช่น ในบริบทของการปรับแบบจำลอง บรรทัดฐานที่แตกต่างกันอาจนำไปสู่ผลลัพธ์การปรับที่แตกต่างกันและประสิทธิภาพของอัลกอริทึมที่แตกต่างกัน