ในทางคณิตศาสตร์นอร์มโดยทั่วไปคือฟังก์ชันจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังจำนวนที่ไม่เป็นลบ เมื่อปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยเมทริกซ์ นอร์มดังกล่าวจะเรียกว่านอร์มเมทริกซ์ นอร์มเมทริกซ์มีพฤติกรรมบางอย่างคล้ายกับระยะห่างจากเมทริกซ์ศูนย์พวกมันแตกต่างจากนอร์มโดยทั่วไป เพราะพวกมันยังมีปฏิสัมพันธ์กับการคูณเมทริกซ์ในบางแง่มุมด้วย

สามารถกำหนดบรรทัดฐานของเมทริกซ์เฉพาะได้หลายแบบ โดยส่วนใหญ่มาจากมุมมองสามประการต่อไปนี้ แม้ว่าบางครั้งมุมมองที่แตกต่างกันอาจให้บรรทัดฐานเดียวกันก็ตาม

• ลองพิจารณาเมทริกซ์เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นจากนั้นค่ามาตรฐานของเมทริกซ์อาจอธิบายได้ว่าตัวดำเนินการนั้นสามารถยืดเวกเตอร์ได้มากน้อยเพียงใด ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ที่เกิดจากค่ามาตรฐานของเวกเตอร์เหล่านี้เรียกว่าค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการ
• ลองพิจารณาเมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้าของตัวเลข จากนั้นค่ามาตรฐานของเมทริกซ์อาจถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของค่าต่างๆ ในเมทริกซ์ ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าค่ามาตรฐาน "รายค่า" (entry-wise norms )
• การแยก ส่วนค่าเอกลักษณ์ (Singular Value Decomposition)มีประโยชน์ในการวิเคราะห์เมทริกซ์ ค่ามาตรฐานของเวกเตอร์ของค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์สามารถนำมาใช้เป็นค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ได้ ค่ามาตรฐานดังกล่าวเรียกว่าค่ามาตรฐานของ Schatten (Schatten norms )

โดยทั่วไปแล้ว ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์มักแสดงด้วย เครื่องหมาย ขีดแนวตั้งคู่และอาจมีตัวห้อยกำกับ (เช่นหรือ) อย่างไรก็ตาม ความหมายของตัวห้อยอาจแตกต่างกันไป เนื่องจากค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ในมุมมองที่แตกต่างกันมีความสัมพันธ์กับค่ามาตรฐาน -normในรูปแบบที่แตกต่างกัน ${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle \|A\|_{2}}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

บรรทัดฐานของเมทริกซ์ในมุมมองที่แตกต่างกัน

มาตรฐานของผู้ปฏิบัติงาน	เกณฑ์ "การเข้า"	มาตรฐานของ Schatten	หรือรู้จักกันในชื่อ
เหนี่ยวนำจากนอร์ม${\displaystyle \ell ^{1}}$	ผลรวมคอลัมน์สูงสุด
		${\displaystyle \ell ^{1}}$-นอร์ม (ผลรวมของค่าเอกลักษณ์)	บรรทัดฐานนิวเคลียร์
	รากที่สองของผลรวมของกำลังสอง	${\displaystyle \ell ^{2}}$-บรรทัดฐานของค่าเอกลักษณ์	เกณฑ์มาตรฐานฟรอเบเนียส
เหนี่ยวนำจากนอร์ม${\displaystyle \ell ^{2}}$		${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-นอร์ม (ค่าเอกลักษณ์ที่ใหญ่ที่สุด)	บรรทัดฐานสเปกตรัม
เหนี่ยวนำจากนอร์ม${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	ผลรวมแถวสูงสุด

กำหนดให้ฟิลด์ ของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเซตย่อยที่สมบูรณ์ใดๆ ของจำนวนเหล่านั้น) ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ K ของเมทริกซ์ที่มีแถวและคอลัมน์ และมีสมาชิกอยู่ในฟิลด์นั้นนอร์มของเมทริกซ์คือนอร์มบน${\displaystyle \ K\ }$${\displaystyle \ K^{m\times n}\ }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ K~.}$${\displaystyle \ K^{m\times n}~.}$

นอร์มเมทริกซ์เป็นฟังก์ชัน ที่ต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \ \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} ^{0+}\ }$

สำหรับค่าสเกลาร์ และเมทริกซ์ทั้งหมด${\displaystyle \ \alpha \in K\ }$${\displaystyle \ A,B\in K^{m\times n}\ ,}$

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0\ }$( ค่าบวก )
• ${\displaystyle \|A\|=0\iff A=0_{m,n}}$( แน่นอน )
• ${\displaystyle \left\|\alpha \ A\right\|=\left|\alpha \right|\ \left\|A\right\|\ }$( เป็นเนื้อเดียวกันโดยสมบูรณ์ )
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\ }$( คุณสมบัติย่อยบวกหรือคุณสมบัติที่สอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยม )

คุณสมบัติเดียวที่แยกเมทริกซ์ออกจากเวกเตอร์ที่จัดเรียงใหม่คือการคูณนอร์มของเมทริกซ์มีประโยชน์อย่างยิ่งหากเป็นแบบย่อยคูณ ด้วย : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

• ${\displaystyle \ \left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|\ }$^[ก]

ทุกบรรทัดฐานบนสามารถปรับขนาดใหม่ให้เป็นแบบย่อยคูณได้ ในหนังสือบางเล่ม คำศัพท์บรรทัดฐานเมทริกซ์สงวนไว้สำหรับบรรทัดฐานแบบย่อยคูณ^{[ 4 ]}${\displaystyle \ K^{n\times n}\ }$

นอร์มของเมทริกซ์เรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบเอกภาพ ถ้าสำหรับเมทริกซ์เอกภาพทั้งหมดและเมทริกซ์, . ${\displaystyle U,V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lVert UAV\rVert =\lVert A\rVert }$

ฟังก์ชันเกจสมมาตรคือค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์นอร์ม ซึ่ง สำหรับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ใดๆ นั่นคือ: ${\displaystyle \phi :\mathbb {C} ^{p}\to \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$${\displaystyle P}$

• คุณสมบัติไม่เป็นลบ: และก็ต่อเมื่อเท่านั้น${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$${\displaystyle \phi (x)=0}$${\displaystyle x=0}$
• ความเป็นเอกรูปเชิงบวก: สำหรับจำนวนจริงใดๆ${\displaystyle \phi (\alpha x)=|\alpha |\phi (x)}$${\displaystyle \alpha }$
• อสมการสามเหลี่ยม: .${\displaystyle \phi (x+y)\leq \phi (x)+\phi (y)}$
• สมมาตร: สำหรับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนใดๆ${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$${\displaystyle P}$

นอร์มจะเป็นนอร์มเมทริกซ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเอกภาพก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเกจสมมาตรบนเวกเตอร์ของค่าเอกฐาน^{[ 4 ]}

นอร์มเมทริกซ์บนเรียกว่าสอดคล้องกับนอร์มเวกเตอร์บนและนอร์มเวกเตอร์บนถ้า: สำหรับทุกและทุกในกรณีพิเศษที่m = nและยังเรียกว่าเข้ากันได้กับด้วย ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle x\in K^{n}}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$

โดยนิยามแล้ว นอร์มเมทริกซ์ทั้งหมดที่เกิดจากนอร์มเวกเตอร์นั้นสอดคล้องกัน นอกจากนี้ นอร์มเมทริกซ์ย่อยคูณบนจะเหนี่ยวนำให้เกิดนอร์มเวกเตอร์ที่เข้ากันได้บนโดยการกำหนด ${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$

ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์เรียกว่า ค่า มาตรฐานแบบโมโนโทนถ้ามันเป็นค่ามาตรฐานแบบโมโนโทนเมื่อเทียบกับลำดับของโลว์เนอร์ดังนั้น ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์จะเป็นค่ามาตรฐานแบบเพิ่มขึ้น ถ้า ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

บรรทัดฐาน Frobenius และบรรทัดฐานสเปกตรัมเป็นตัวอย่างของบรรทัดฐานโมโนโทน^{[ 5 ]}

สมมติว่ามีนอร์มเวกเตอร์ บนและนอร์มเวกเตอร์บนเมทริกซ์Aใดๆจะสร้างตัวดำเนินการเชิงเส้นจากไปยังโดยสัมพันธ์กับฐานมาตรฐาน และเรากำหนดนอร์มที่เหนี่ยวนำหรือนอร์มตัวดำเนินการหรือนอร์มย่อยที่สอดคล้องกันบนปริภูมิของเมทริกซ์ทั้งหมดดังนี้: โดยที่แทนค่าสูงสุดนอร์มนี้วัดว่าการแมปที่เหนี่ยวนำโดย สามารถยืดเวกเตอร์ได้มากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กับนอร์มเวกเตอร์ที่ใช้ อาจใช้สัญลักษณ์อื่นนอกเหนือจากสำหรับนอร์มตัวดำเนินการ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$

ถ้าใช้p -norm สำหรับเวกเตอร์ ( ) สำหรับทั้งสองพื้นที่ แล้วนอร์มตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันคือ: ^{[ 2 ]} นอร์มที่เหนี่ยวนำเหล่านี้แตกต่างจากp -norm แบบ "รายการต่อรายการ"และp -norm ของ Schattenสำหรับเมทริกซ์ที่กล่าวถึงด้านล่าง ซึ่งมักจะแสดงด้วย${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m},}$$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup\{\|Ax\|_{p}:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{p}\leq 1\}.}$$${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

ในทางเรขาคณิต เราสามารถจินตนาการถึงลูกบอลหน่วยp -norm ในจากนั้นใช้แผนที่เชิงเส้นกับลูกบอลนั้น มันจะกลายเป็นรูปทรงนูนบิดเบี้ยวและวัด "รัศมี" ที่ยาวที่สุดของรูปทรงนูนบิดเบี้ยวนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องนำลูกบอลหน่วยp -norm ในจากนั้นคูณมันด้วยอย่างน้อยเพื่อให้มันมีขนาดใหญ่พอที่จะบรรจุ ${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle V_{p,m}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle AV_{p,n}}$

เมื่อใดหรือเรามีสูตรที่ง่ายๆ ${\displaystyle \ p=1\ ,}$${\displaystyle \ p=\infty \ ,}$

$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\ ,}$$

ซึ่งก็คือผลรวมค่าสัมบูรณ์สูงสุดของคอลัมน์ในเมทริกซ์ และ ซึ่งก็คือผลรวมค่าสัมบูรณ์สูงสุดของแถวในเมทริกซ์ $${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\ ,}$$

ตัวอย่างเช่น เพราะ เรามีสิ่งนั้น $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\~~2&6&4\\~~0&2&8\\\end{bmatrix}}\ ,}$$$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max {\bigl \{}\ |{-3}|+2+0\ ,~5+6+2\ ,~7+4+8\ {\bigr \}}=\max {\bigl \{}\ 5\ ,~13\ ,~19\ {\bigr \}}=19\ ,}$$$${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max {\bigl \{}\ |{-3}|+5+7\ ,~2+6+4\ ,~0+2+8\ {\bigr \}}=\max {\bigl \{}\ 15\ ,~12\ ,~10\ {\bigr \}}=15~.}$$

เมื่อ( นอร์มยุคลิดหรือนอร์ม -สำหรับเวกเตอร์) นอร์มเมทริกซ์ที่เหนี่ยวนำคือนอร์มสเปกตรัมนอร์มสเปกตรัมไม่ควรสับสนกับรัศมีสเปกตรัมค่าทั้งสองไม่ตรงกันในมิติอนันต์ — ดูรัศมีสเปกตรัมสำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม นอร์มสเปกตรัมของเมทริกซ์ คือ ค่าเอกลักษณ์ที่ใหญ่ที่สุดของนั่นคือ รากที่สองของค่าลักษณะเฉพาะ ที่ใหญ่ที่สุด ของเมทริกซ์โดยที่แทนการสลับตำแหน่งแบบสังยุคของ: ^{[ 6 ]}โดยที่แทนค่าเอกลักษณ์ที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A,}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).}$$${\displaystyle \sigma _{\max }(A)}$${\displaystyle A.}$

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ อีก:

• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sup\{x^{*}Ay:x\in K^{m},y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}.}$พิสูจน์โดยอสมการโคชี-ชวาร์ซ
• ${\textstyle \|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}}$พิสูจน์โดยการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (SVD) บน${\displaystyle A}$
• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sigma _{\mathrm {max} }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i}\sigma _{i}(A)^{2}}}}$โดยที่คือค่ามาตรฐานฟรอเบนิอุสความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์อันดับหนึ่งหรือเมทริกซ์ศูนย์ เท่านั้น${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}}$${\displaystyle A}$
• ในทางกลับกัน.${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}\leq \min(m,n)^{1/2}\|A\|_{2}}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}\leq {\sqrt {\|A^{*}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}$.

เราสามารถขยายความหมายของคำนิยามข้างต้นได้ สมมติว่าเรามีนอร์มเวกเตอร์และสำหรับปริภูมิและตามลำดับ นอร์มตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษของ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$

ในกรณีพิเศษของและค่ามาตรฐานของเมทริกซ์เหนี่ยวนำสามารถคำนวณได้โดย โดยที่คือแถวที่ i ของเมทริกซ์ ${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \beta =\infty }$$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{i:}}$${\displaystyle A}$

ในกรณีพิเศษของและค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ที่เหนี่ยวนำสามารถคำนวณได้โดย โดยที่คือคอลัมน์ที่ j ของเมทริกซ์ ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =2}$$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{:j}}$${\displaystyle A}$

ดังนั้นและคือค่าสูงสุดของนอร์ม 2 ของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ตามลำดับ ${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$

บรรทัดฐานของตัวดำเนินการใดๆ จะสอดคล้อง กับบรรทัดฐานของเวกเตอร์ที่เหนี่ยวนำให้เกิดบรรทัดฐานนั้น ทำให้ได้ $${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

สมมติว่า; ; และเป็นบรรทัดฐานตัวดำเนินการที่เกิดจากบรรทัดฐานเวกเตอร์คู่; ; และตามลำดับ จากนั้น ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

สิ่งนี้สืบเนื่องมาจาก และ $${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$$${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

สมมติว่าเป็นนอร์มตัวดำเนินการบนปริภูมิของเมทริกซ์จัตุรัส ที่เกิดจากนอร์มเวกเตอร์และแล้ว นอร์มตัวดำเนินการนี้จะเป็นนอร์มเมทริกซ์แบบย่อยคูณ: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$$${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

ยิ่งไปกว่านั้น บรรทัดฐานดังกล่าวยังสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันอีกด้วย

$${\displaystyle (\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)}$$

1

สำหรับจำนวนเต็มบวกr ทั้งหมด โดยที่ρ ( A )คือรัศมีสเปกตรัมของAสำหรับเมทริกซ์สมมาตรหรือเฮอร์มิเชียนAเราจะได้ความเท่าเทียมกันใน ( 1 ) สำหรับนอร์ม 2 เนื่องจากในกรณีนี้นอร์ม 2 คือรัศมีสเปกตรัมของA อย่างแม่นยำ สำหรับเมทริกซ์ใดๆ เราอาจไม่มีความเท่าเทียมกันสำหรับนอร์มใดๆ ตัวอย่างค้านคือ ซึ่งมีรัศมีสเปกตรัมเป็นศูนย์ ไม่ว่าในกรณีใด สำหรับนอร์มเมทริกซ์ใดๆ เราจะมีสูตรรัศมีสเปกตรัม : $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

ถ้า กำหนดนอร์มของเวกเตอร์และ ในรูปของ นอร์มพลังงานโดยอิงจากเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนและตามลำดับ นอร์มตัวดำเนินการที่ได้จะกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\sup\{\|Ax\|_{Q}:\|x\|_{P}\leq 1\}.}$$

โดยใช้ รากที่สองของเมทริกซ์สมมาตรของและตามลำดับ ค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการสามารถแสดงได้ในรูปของค่าบรรทัดฐานเชิงสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่ดัดแปลงแล้ว: ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\|Q^{1/2}AP^{-1/2}\|_{2}.}$$

มาตรฐานเหล่านี้ถือว่าเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ขนาดและใช้มาตรฐานเวกเตอร์ที่คุ้นเคยอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น การใช้ มาตรฐาน pสำหรับเวกเตอร์p ≥ 1เราจะได้: ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle m\cdot n}$

${\displaystyle \|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}$

นี่เป็นบรรทัดฐานที่แตกต่างจากp -norm ที่เหนี่ยวนำ (ดูด้านบน) และ p -norm ของ Schatten (ดูด้านล่าง) แต่สัญลักษณ์ที่ใช้เหมือนกัน

กรณีพิเศษp = 2 คือค่ามาตรฐาน Frobenius และp = ∞ จะได้ค่ามาตรฐานสูงสุด

ให้ เป็น เมทริกซ์ที่มีมิติm คอลัมน์ จากนิยามเดิม เมทริกซ์นี้แสดง จุดข้อมูล nจุดในพื้นที่mมิติ ค่ามาตรฐาน^{[ 7 ]}คือผลรวมของค่ามาตรฐานยุคลิดของคอลัมน์ของเมทริกซ์: ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L_{2,1}}$

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$

ค่า มาตรฐาน ( norm) ในฐานะฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนนั้นมีความเสถียรกว่า เนื่องจากความคลาดเคลื่อนสำหรับแต่ละจุดข้อมูล (คอลัมน์) ไม่ได้ถูกยกกำลังสอง จึงนิยมใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลที่มีความเสถียรและการเข้ารหัสแบบสปาร์ส (sparse coding ) ${\displaystyle L_{2,1}}$

สำหรับp , q ≥ 1สามารถขยายบรรทัดฐานไปเป็นบรรทัดฐานได้ดังนี้: ${\displaystyle L_{2,1}}$${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

เมื่อp = q = 2สำหรับนอร์ม จะเรียกว่านอร์มโฟรเบนิอุสหรือนอร์มฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ แม้ว่าคำหลังจะถูกใช้บ่อยกว่าในบริบทของตัวดำเนินการบน ปริภูมิฮิลเบิร์ต (ซึ่งอาจมีมิติอนันต์) นอร์มนี้สามารถกำหนดได้หลายวิธี: ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

โดยที่ร่องรอยคือผลรวมของค่าในแนวทแยง และคือค่าเอกฐานของความเท่าเทียมกันข้อที่สองได้รับการพิสูจน์โดยการคำนวณอย่างชัดเจนของความเท่าเทียมกันข้อที่สามได้รับการพิสูจน์โดยการแยกส่วนค่าเอกฐานของและข้อเท็จจริงที่ว่าร่องรอยไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนแบบวงกลม ${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$${\displaystyle A}$

นอร์มฟรอเบนิอุส (Frobenius norm) เป็นส่วนขยายของนอร์มยุคลิด (Euclidean norm) และได้มาจากผลคูณภายในฟรอเบนิอุส (Frobenius inner product)บนปริภูมิของเมทริกซ์ทั้งหมด ${\displaystyle K^{n\times n}}$

นอร์มฟรอเบนิอุสเป็นแบบย่อยทวีคูณและมีประโยชน์มากสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขการพิสูจน์ว่านอร์มฟรอเบนิอุสเป็นแบบย่อยทวีคูณนั้นสามารถทำได้โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซในความเป็นจริงแล้ว มันเป็นมากกว่าแบบย่อยทวีคูณ เพราะนอร์มตัวดำเนินการคือ $${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{op}\|B\|_{F}}$$${\displaystyle \|\cdot \|_{op}\leq \|\cdot \|_{F}}$

โดยทั่วไปแล้ว นอร์ม Frobenius คำนวณได้ง่ายกว่านอร์มที่เหนี่ยวนำ และมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์คือไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน (และ การดำเนินการ แบบเอกภาพโดยทั่วไป) นั่นคือสำหรับเมทริกซ์เอกภาพใดๆคุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากลักษณะวัฏจักรของร่องรอย ( ): ${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}$

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

และในทำนองเดียวกัน:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

โดยที่เราได้ใช้ลักษณะที่เป็นเอกภาพของ(นั่นคือ) ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$

นอกจากนี้ยังตอบสนองความต้องการได้อีกด้วย

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

และ

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

โดยที่ ผลคูณภายในของฟรอเบนิอุสคืออะไรและ Re คือส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน (ไม่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จริง) ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$

ค่าบรรทัดฐานสูงสุดคือค่าบรรทัดฐานของแต่ละองค์ประกอบในลิมิตเมื่อp = qเข้าสู่ค่าอนันต์:

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}$

บรรทัดฐานนี้ไม่ใช่แบบย่อยทวีคูณแต่การปรับเปลี่ยนด้านขวาจะทำให้มันเป็นแบบย่อยทวีคูณได้ ${\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }$

โปรดทราบว่าในเอกสารบางฉบับ (เช่นCommunication complexity ) นิยามทางเลือกของค่าสูงสุด (max-norm) หรือที่เรียกว่าค่า β-norm นั้น หมายถึงค่ามาตรฐานการแยกตัวประกอบ (factorization norm): ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

นอร์ม pของ Schatten เกิดขึ้นเมื่อใช้ นอร์ม pกับเวกเตอร์ของค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์^{[ 2 ]}ถ้าค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์แสดงด้วยσ _iแล้ว นอร์ม p ของ Schatten จะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{1/p}.}$

บรรทัดฐานเหล่านี้ใช้สัญลักษณ์เดียวกันกับ บรรทัดฐาน p ที่เหนี่ยวนำและบรรทัดฐาน p ตามแต่ละรายการ แต่มีความแตกต่างกัน

นอร์ม Schatten ทั้งหมดเป็นแบบย่อยคูณ นอกจากนี้ยังไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบเอกภาพ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ เมทริกซ์ทั้งหมดและเมทริกซ์เอกภาพ ทั้งหมด และ${\displaystyle \|A\|=\|UAV\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

กรณีที่คุ้นเคยมากที่สุดคือp = 1, 2, ∞ กรณีp = 2 จะให้ค่า Frobenius norm ซึ่งได้แนะนำไว้ก่อนหน้านี้ กรณีp = ∞ จะให้ค่า spectral norm ซึ่งเป็นค่า operator norm ที่เกิดจาก vector 2-norm (ดูด้านบน) สุดท้าย กรณีp = 1 จะให้ค่าnuclear norm (เรียกอีกอย่างว่าtrace normหรือKy Fan 'n'-norm ^{[ 8 ]} ) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle \|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),}$

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด (positive semidefinite matrix) ที่มีคุณสมบัติว่า. กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจากเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด ดังนั้นรากที่สองของมันจึง สามารถหาค่าได้ นอร์มแบบนิวเคลียร์ (nuclear norm) เป็นซองนูน (convex envelope)ของฟังก์ชันอันดับ (rank function) ดังนั้นจึงมักใช้ใน การหา ค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์เพื่อค้นหาเมทริกซ์ที่มีอันดับต่ำ ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle BB=A^{*}A}$${\displaystyle A^{*}A}$${\displaystyle \|A\|_{*}}$${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$

การรวมอสมการร่องรอยของฟอน นอยมันน์เข้ากับอสมการของโฮลเดอร์สำหรับปริภูมิยุคลิด จะได้อสมการของโฮลเดอร์เวอร์ชันสำหรับบรรทัดฐานแชทเทน ดังนี้: ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

${\displaystyle \left|\operatorname {trace} (A^{*}B)\right|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายถึงความไม่เท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน Schatten

${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.}$

แรงบันดาลใจอีกประการหนึ่งสำหรับบรรทัดฐานของเมทริกซ์เกิดขึ้นจากการพิจารณาเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ประชิดของกราฟแบบมีทิศทางและมีน้ำหนัก [ 9 ^{]บรรทัดฐานที่} เรียกว่า "บรรทัดฐานตัด" วัดว่ากราฟที่เกี่ยวข้องใกล้เคียงกับการเป็นกราฟสองส่วนมากแค่ไหนโดยที่ A ∈ K m × ^{n [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]คำจำกัดความ} ที่เทียบเท่ากัน (จนถึงปัจจัยคงที่) กำหนดเงื่อนไข2| S | > nและ 2| T | > ​​m ; S = T ; หรือS ∩ T = ∅ ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}}$$

บรรทัดฐานการตัดเทียบเท่ากับบรรทัดฐานตัวดำเนินการเหนี่ยวนำ‖·‖ _∞→1ซึ่งเทียบเท่ากับบรรทัดฐานอื่นที่เรียกว่าบรรทัดฐานGrothendieck ^{[ 11 ]}

เพื่อกำหนดนอร์ม Grothendieck ก่อนอื่นให้สังเกตว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นK ¹ → K ¹เป็นเพียงสเกลาร์ และขยายไปยังตัวดำเนินการเชิงเส้นบนK ^k → K ^k ใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อกำหนดฐานสำหรับK ⁿและK ^m ใด ๆ ตัวดำเนินการเชิงเส้นK ⁿ → K ^m ใดๆ จะขยายไปยังตัวดำเนินการเชิงเส้น( K ^k ) ⁿ → ( K ^k ) ^mโดยให้แต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์บนองค์ประกอบของK ^kผ่านการคูณสเกลาร์นอร์ม Grothendieck คือนอร์มของตัวดำเนินการที่ขยายแล้วนั้น ในสัญลักษณ์: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],\ell \in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{\ell ,j}}}}$$

ค่ามาตรฐาน Grothendieck ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน (โดยปกติจะใช้ฐานมาตรฐาน ) และค่า k

สำหรับค่ามาตรฐานเมทริกซ์สองค่าใดๆและเราจะได้ว่า: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$

${\displaystyle r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }}$

สำหรับจำนวนบวกrและs บางจำนวน สำหรับเมทริกซ์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ นอร์มทั้งหมดบน นั้นเทียบเท่า กันพวก มันเหนี่ยวนำให้เกิด โทโพโลยีเดียวกันบนนี่เป็นความจริงเพราะปริภูมิเวกเตอร์ มี มิติจำกัด${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$

นอกจากนี้ สำหรับทุกค่ามาตรฐานเมทริกซ์บนจะมีจำนวนจริงบวกที่ไม่ซ้ำกันเพียงจำนวนเดียวซึ่งทำให้ เป็นค่ามาตรฐานเมทริกซ์แบบย่อยคูณสำหรับทุก; กล่าวคือ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell \|\cdot \|}$${\displaystyle \ell \geq k}$

${\displaystyle k=\sup\{\Vert AB\Vert \,:\,\Vert A\Vert \leq 1,\Vert B\Vert \leq 1\}.}$

กล่าวได้ว่าค่ามาตรฐานเมทริกซ์แบบย่อยทวีคูณนั้นมีค่าต่ำสุดหากไม่มีค่ามาตรฐานเมทริกซ์แบบย่อยทวีคูณอื่นใดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ดัง กล่าว ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }}$

ขอให้เราอ้างอิงถึงบรรทัดฐานที่เกิดจากเวกเตอร์p-นอร์มอีกครั้ง (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นในส่วนบรรทัดฐานที่เหนี่ยวนำ) ${\displaystyle \|A\|_{p}}$

สำหรับเมทริกซ์ที่มีอันดับความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle r}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$

• บรรทัดฐานคู่
• บรรทัดฐานลอการิทึม

• James W. Demmel , Applied Numerical Linear Algebra, ส่วนที่ 1.7, จัดพิมพ์โดย SIAM, 1997
• Carl D. Meyer, การวิเคราะห์เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นประยุกต์ จัดพิมพ์โดย SIAM, 2000 [1]
• จอห์น วอทรอส , ทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม, 2.3 บรรทัดฐานของตัวดำเนินการ , บันทึกการบรรยาย, มหาวิทยาลัยวอเตอร์ลู, 2011
• เคนดัลล์ แอตกินสัน , บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงตัวเลข, จัดพิมพ์โดย John Wiley & Sons, Inc. ปี 1989