ในทางคณิตศาสตร์ผลคูณดอทเป็นการดำเนินการทางพีชคณิตที่รับลำดับตัวเลขสองลำดับที่มีความยาวเท่ากัน (โดยปกติคือเวกเตอร์พิกัด ) และส่งคืนตัวเลขเดียว ในเรขาคณิตแบบยุคลิดผลคูณสเกลาร์ [ ^{หมายเหตุ 1 ]}ของเวกเตอร์ สองตัว คือผลคูณดอทของพิกัดคาร์ทีเซียน ของเวกเตอร์ ทั้งสอง และไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คำว่า "ผลคูณดอท" และ "ผลคูณสเกลาร์" มักใช้แทนกันได้เมื่อระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถูกกำหนดไว้แล้วอย่างถาวร เนื่องจากผลคูณสเกลาร์เป็นผลคูณภายใน แบบเฉพาะ คำว่า "ผลคูณภายใน" จึงมักถูกใช้เช่นกัน

ในทางพีชคณิต ผลคูณดอทคือผลรวมของผลคูณของสมาชิกที่สอดคล้องกันของลำดับตัวเลขสองลำดับ ในทางเรขาคณิต ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือผลคูณของความยาว ของเวกเตอร์ทั้งสอง และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง นิยามเหล่านี้เทียบเท่ากันเมื่อใช้พิกัดคาร์ทีเซียน ในเรขาคณิตสมัยใหม่ปริภูมิยุคลิดมักถูกกำหนดโดยใช้ปริภูมิเวกเตอร์ในกรณีนี้ ผลคูณสเกลาร์ถูกใช้เพื่อกำหนดความยาว (ความยาวของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง) และมุม (โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวคือผลหารของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองกับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ทั้งสอง)

ชื่อ "ผลคูณจุด" มาจากตัวดำเนินการจุด "  ⋅  " ซึ่งมักใช้ในการกำหนดการดำเนินการนี้^{[ 1 ]}ชื่อทางเลือก "ผลคูณสเกลาร์" เน้นว่าผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ไม่ใช่เวกเตอร์ (เช่นเดียวกับผลคูณเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ)

ผลคูณดอทสามารถนิยามได้ทั้งในเชิงพีชคณิตหรือเชิงเรขาคณิต นิยามเชิงเรขาคณิตนั้นอิงอยู่กับแนวคิดเรื่องมุมและระยะทาง ( ขนาด ) ของเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันของนิยามทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับการมีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับปริภูมิยูคลิด

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด สมัยใหม่ จุดต่างๆ ในปริภูมิจะถูกกำหนดโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนและปริภูมิแบบยุคลิดเองก็มักถูกระบุว่าเป็นปริภูมิพิกัดจริง ในการนำเสนอแบบนี้ แนวคิดเรื่องความยาวและมุมจะถูกกำหนดโดยใช้ผลคูณดอท ความยาวของเวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของผลคูณดอทของเวกเตอร์นั้นเอง และโคไซน์ของมุม (ที่ไม่กำหนดทิศทาง) ระหว่างเวกเตอร์สองตัวที่มีความยาวหนึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลคูณดอทของเวกเตอร์ทั้งสอง ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของนิยามทั้งสองของผลคูณดอทจึงเป็นส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันของเรขาคณิตแบบยุคลิดคลาสสิกและแบบสมัยใหม่ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวและซึ่งระบุโดยสัมพันธ์กับฐานออร์โทนอร์มอลจะถูกนิยามในสัญกรณ์ผลรวมดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

โดยที่คือมิติของปริภูมิเวกเตอร์ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิสามมิติผลคูณดอทของเวกเตอร์และคือ: ${\displaystyle n}$${\displaystyle [1,3,-5]}$${\displaystyle [4,-2,-1]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกัน ผลคูณดอทของเวกเตอร์กับตัวมันเองคือ: ${\displaystyle [1,3,-5]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

ถ้าเวกเตอร์ถูกระบุด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ผลคูณดอทสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณเมทริกซ์ โดยที่หมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่ง ของ$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$${\displaystyle \mathbf {a} {^{\mathsf {T}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$

เมื่อแสดงตัวอย่างข้างต้นในลักษณะนี้ เมทริกซ์ขนาด 1 × 3 ( เวกเตอร์แถว ) จะถูกคูณด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 × 1 ( เวกเตอร์คอลัมน์ ) เพื่อให้ได้เมทริกซ์ขนาด 1 × 1 ที่ระบุด้วยค่าเฉพาะตัวของมัน: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

ในปริภูมิยุคลิดเวกเตอร์ยุคลิดเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์สามารถแสดงภาพได้เป็นลูกศร ขนาดของเวกเตอร์คือความยาว และทิศทางของเวกเตอร์คือทิศทางที่ลูกศรชี้ขนาดของเวกเตอร์แสดงด้วยผลคูณดอทของเวกเตอร์ยุคลิดสองตัวและถูกกำหนดโดย^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]} โดยที่คือมุมระหว่างและ. ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเวกเตอร์และตั้งฉากกัน (กล่าวคือ มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองคือหรือ) แล้วซึ่งหมายความว่า ในทางตรงกันข้าม ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกันมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะเป็นศูนย์ โดยที่และ ซึ่งหมายความว่า ผลคูณดอทของเวกเตอร์กับตัวมันเอง คือ ซึ่งให้ สูตรสำหรับความยาวแบบยุคลิดของเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$${\displaystyle \cos 0=1}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

การฉายภาพสเกลาร์ (หรือส่วนประกอบสเกลาร์) ของเวกเตอร์ยุคลิดใน ทิศทางของเวกเตอร์ยุคลิดกำหนดโดย โดย ที่คือมุมระหว่างและ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

ในแง่ของนิยามทางเรขาคณิตของผลคูณดอท สามารถเขียนใหม่ได้เป็น โดย ที่คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$${\displaystyle \mathbf {b} }$

ดังนั้น ผลคูณดอทจึงมีลักษณะทางเรขาคณิตโดย^{[ 5 ]} ผลคูณดอทที่กำหนดในลักษณะนี้มีความสม่ำเสมอภายใต้การปรับขนาดในแต่ละตัวแปร หมายความว่าสำหรับสเกลาร์ใดๆมัน ยังสอดคล้องกับกฎการกระจายหมายความว่า $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

คุณสมบัติเหล่านี้สามารถสรุปได้ว่า ผลคูณดอทเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น (bilinear form ) ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบทวิเชิงเส้นนี้เป็นบวกแน่นอน (positive definite ) ซึ่งหมายความว่าจะไม่เป็นลบ และจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ ศูนย์${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

ถ้าเป็นเวกเตอร์ฐานมาตรฐานในแล้วเราสามารถเขียนได้ว่า เวกเตอร์เหล่านี้เป็นฐานตั้งฉากปกติซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีความยาวหนึ่งหน่วยและตั้งฉากกัน เนื่องจากเวกเตอร์เหล่านี้มีความยาวหนึ่งหน่วย และเนื่องจากเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน ถ้าดังนั้น โดยทั่วไปแล้วเราสามารถกล่าวได้ว่า: โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$${\displaystyle i\neq j}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

นอกจากนี้ ตามนิยามทางเรขาคณิต สำหรับเวกเตอร์ใดๆและเวกเตอร์เราจะสังเกตได้ว่า โดยที่คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ในทิศทางของขั้นตอนสุดท้ายในความเท่าเทียมกันสามารถเห็นได้จากรูปภาพ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

เมื่อนำคุณสมบัติการกระจายตัวของผลคูณดอทในรูปแบบเรขาคณิตมาใช้ จะได้ ซึ่งก็คือคำจำกัดความเชิงพีชคณิตของผลคูณดอทนั่นเอง ดังนั้น ผลคูณดอทในรูปแบบเรขาคณิตจึงเท่ากับผลคูณดอทในรูปแบบพีชคณิต $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

ผลคูณดอทมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ถ้า, , และ เป็น เวกเตอร์จริงและ, , และเป็นสเกลาร์^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \delta }$

สลับที่ได้

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$ซึ่งเป็นผลมาจากคำจำกัดความ ( คือมุมระหว่างและ): ^{[ 6 ]}คุณสมบัติการสลับที่สามารถพิสูจน์ได้ง่ายด้วยคำจำกัดความทางพีชคณิต และในพื้นที่ทั่วไปมากขึ้น (ซึ่งแนวคิดของมุมอาจไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณทางเรขาคณิต แต่สามารถกำหนดผลคูณที่คล้ายคลึงกันได้) มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวสามารถกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

$${\displaystyle \theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right).}$$

เชิงเส้นคู่ (บวก กระจาย และคูณเชิงสเกลาร์ในทั้งสองอาร์กิวเมนต์)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )&\cdot (\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} )\\&=\alpha \gamma (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )+\alpha \delta (\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )+\beta \gamma (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )+\beta \delta (\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} ).\end{aligned}}}$$

ไม่สัมพันธ์กัน

เนื่องจากผลคูณดอทไม่ได้ถูกกำหนดระหว่างสเกลาร์และเวกเตอร์ความสัมพันธ์แบบสมาคมจึงไม่มีความหมาย^{[ 7 ]}อย่างไรก็ตาม ความเป็นเชิงเส้นคู่บ่งชี้ว่าคุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่า "กฎสมาคมสำหรับสเกลาร์และผลคูณดอท" ^{[ 8 ]}และอาจกล่าวได้ว่า "ผลคูณดอทเป็นสมาคมเมื่อเทียบกับการคูณสเกลาร์" ^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} ,}$$${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} ).}$$

ตั้งฉาก

เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวและจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

ไม่สามารถยกเลิกได้

ต่างจากการคูณจำนวนทั่วไป ที่ถ้าแล้วจะเท่ากับเสมอเว้นแต่ว่าเป็นศูนย์ ผลคูณดอทไม่เป็นไปตามกฎการตัดทอน :${\displaystyle ab=ac}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

ถ้าและแล้วเราสามารถเขียนได้ว่า: ตามกฎการกระจาย ; ผลลัพธ์ข้างต้นบอกว่านี่หมายความว่าตั้งฉากกับซึ่งยังคงอนุญาตให้และดังนั้นจึงอนุญาตให้${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

กฎของผลิตภัณฑ์

ถ้าและเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ที่สามารถหาอนุพันธ์ ได้ อนุพันธ์ ( แทนด้วยเครื่องหมายไพรม์ ) ของจะหาได้จากกฎต่อไปนี้${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle {}'}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

กำหนดให้เวกเตอร์สองตัวที่อยู่ห่างกันด้วยมุม(ดูภาพด้านบน) จะเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่สามเป็นมุม ให้, และแทนความยาวของ, , และตามลำดับ ผลคูณดอทของกับตัวมันเองคือ: ซึ่งเป็นกฎของโคไซน์ ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle \color {red}a}$${\displaystyle \color {blue}b}$${\displaystyle \color {orange}c}$${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

มีการดำเนินการเชิงเลขฐาน สามสองอย่าง ได้แก่ ผลคูณจุดและผล คูณไขว้

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สามตัวถูกกำหนดโดย สูตร ค่าของมันคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นพิกัดคาร์ทีเซียน ของเวกเตอร์ทั้งสาม มันคือ ปริมาตรที่มีเครื่องหมายของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งสาม และสมมาตรกับกรณีพิเศษสามมิติของผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สามตัว $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

ผลคูณเวกเตอร์สามตัวถูกกำหนดโดย^{[ 2 ] [ 3 ]} เอกลักษณ์นี้ หรือที่รู้จักกันในชื่อสูตรของลากรองจ์อาจจำได้ เป็น "ACB ลบ ABC" โดยคำนึงถึงเวก เตอร์ ที่นำมารวมกัน สูตรนี้มีการประยุกต์ใช้ในการลดความซับซ้อนของการคำนวณเวกเตอร์ในฟิสิกส์$${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

ในวิชาฟิสิกส์ผลคูณดอท (dot product) คือการนำเวกเตอร์สองตัวมาคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น ค่า สเกลาร์เรียกอีกอย่างว่า "ผลคูณสเกลาร์" ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวสามารถนิยามได้ว่า เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองกับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ เป็นผลคูณของการฉายภาพของเวกเตอร์ตัวแรกบนเวกเตอร์ตัวที่สองกับขนาดของเวกเตอร์ตัวที่สอง $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$

ตัวอย่างเช่น: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• งานเชิงกลคือผลคูณดอทของเวกเตอร์แรงและเวกเตอร์การกระจัด
• กำลังคือ ผลคูณดอทของแรงและความเร็ว

สำหรับเวกเตอร์ที่มี รายการ เชิงซ้อนการใช้คำจำกัดความของผลคูณดอทที่กำหนดจะนำไปสู่คุณสมบัติที่แตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น ผลคูณดอทของเวกเตอร์กับตัวมันเองอาจเป็นศูนย์ได้โดยที่เวกเตอร์นั้นไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ (เช่น สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับเวกเตอร์)ซึ่งจะมีผลกระทบต่อแนวคิดต่างๆ เช่น ความยาวและมุม คุณสมบัติเช่นบรรทัดฐานบวกแน่นอนสามารถกู้คืนได้โดยแลกกับการละทิ้งคุณสมบัติสมมาตรและเชิงเส้นคู่ของผลคูณดอท ผ่านคำจำกัดความทางเลือก^{[ 12 ] [ 2 ]} โดยที่คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของเมื่อเวกเตอร์ถูกแทนด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ผลคูณดอทสามารถแสดงเป็นผลคูณเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับทรานสโพสสัง ยุค ซึ่งแสดงด้วยตัวยก H: ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$${\displaystyle b_{i}}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

In the case of vectors with real components, this definition is the same as in the real case. The dot product of any vector with itself is a non-negative real number, and it is nonzero except for the zero vector. However, the complex dot product is sesquilinear rather than bilinear, as it is conjugate linear and not linear in ${\displaystyle \mathbf {a} }$. The dot product is not symmetric, since $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ The angle between two complex vectors is then given by $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

The complex dot product leads to the notions of Hermitian forms and general inner product spaces, which are widely used in mathematics and physics.

The self dot product of a complex vector ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$, involving the conjugate transpose of a row vector, is also known as the norm squared, ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$, after the Euclidean norm; it is a vector generalization of the absolute square of a complex scalar (see also: Squared Euclidean distance).

The inner product generalizes the dot product to abstract vector spaces over a field of scalars, being either the field of real numbers${\displaystyle \mathbb {R} }$ or the field of complex numbers${\displaystyle \mathbb {C} }$. It is usually denoted using angular brackets by ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$.

The inner product of two vectors over the field of complex numbers is, in general, a complex number, and is sesquilinear instead of bilinear. An inner product space is a normed vector space, and the inner product of a vector with itself is real and positive-definite.

The dot product is defined for vectors that have a finite number of entries. Thus these vectors can be regarded as discrete functions: a length-${\displaystyle n}$ vector ${\displaystyle u}$ is, then, a function with domain${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$, and ${\displaystyle u_{i}}$ is a notation for the image of ${\displaystyle i}$ by the function/vector ${\displaystyle u}$.

This notion can be generalized to square-integrable functions: just as the inner product on vectors uses a sum over corresponding components, the inner product on functions is defined as an integral over some measure space${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$:^[2]$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

For example, if ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are continuous functions over a compact subset${\displaystyle K}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with the standard Lebesgue measure, the above definition becomes: $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

Generalized further to complex continuous functions${\displaystyle \psi }$ and ${\displaystyle \chi }$, by analogy with the complex inner product above, gives: $${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

ผลคูณภายในสามารถมีฟังก์ชันน้ำหนักได้ (กล่าวคือ ฟังก์ชันที่ให้น้ำหนักแต่ละพจน์ของผลคูณภายในด้วยค่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณภายในของฟังก์ชันและที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันน้ำหนักคือ ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle r(x)>0}$$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

ผลคูณดอทคู่สำหรับเมทริกซ์คือผลคูณภายในแบบฟรอเบนิอุสซึ่งคล้ายคลึงกับผลคูณดอทบนเวกเตอร์ โดยนิยามว่าคือผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน: และสำหรับเมทริกซ์จริง ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

เมื่อเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบไดอะดิกเราสามารถกำหนดผลคูณแบบจุดคู่ที่แตกต่างกันได้ (ดูไดอะดิก § ผลคูณของไดอะดิกและไดอะดิก ) อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ผลคูณภายใน

ผลคูณดอท (เดี่ยว) ระหว่างเทนเซอร์อันดับกับเทนเซอร์อันดับจะได้เทนเซอร์อันดับ(โดยทั่วไปแล้ว ดอทแต่ละตัวจะลดอันดับลง 2) ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ การหดตัวของเทนเซอร์${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n+m-2}$

อัลกอริทึมแบบตรงไปตรงมาสำหรับการคำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์แบบจุดลอยตัวอาจประสบปัญหาการหักล้างกันอย่างรุนแรง เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ จึงมีการใช้ วิธีการต่างๆ เช่นอัลกอริทึมการหาผลรวมของคาฮาน

ฟังก์ชันผลคูณดอทมีอยู่ใน:

• BLASระดับ 1 จริงSDOT, DDOT; ซับซ้อนCDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC,ZDOTC = X^H * Y
• ฟอร์ทdot_product(A,B)รานหรือsum(conjg(A) * B)
• Juliaเป็น   A' * Bไลบรารีมาตรฐานหรือ LinearAlgebra ก็ได้dot(A, B)
• ภาษาโปรแกรม Rใช้sum(A * B)สำหรับเวกเตอร์ หรือโดยทั่วไปใช้สำหรับเมทริกซ์ ดังนี้A %*% B
• Matlabเช่น   A' * B  หรือ   conj(transpose(A)) * B  หรือ   sum(conj(A) .* B)  หรือ  dot(A, B)
• Python (แพ็กเกจNumPy ) เป็น   np.dot(A, B)  หรือ  np.inner(A, B)
• GNU Octaveเหมือนกับ   sum(conj(X) .* Y, dim)Matlab และมีโค้ดที่คล้ายคลึงกัน
• ไลบรารี Intel oneAPI Math Kernel Library สำหรับค่าจริง p?dot dot = sub(x)'*sub(y)และค่าเชิงซ้อน p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์

• "ผลคูณภายใน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• คำอธิบายเกี่ยวกับผลคูณดอท รวมถึงกรณีที่ใช้เวกเตอร์เชิงซ้อน
• "ผลคูณดอท"โดย บรูซ ทอร์เรนซ์โครงการสาธิตของวูล์ฟแรมปี 2007