ในพีชคณิตเชิงเส้นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบ⁠ ⁠ คือ ${\displaystyle m}$เมทริกซ์^{[ 1 ]}ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดียวของรายการ⁠ ⁠ ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์แถวคือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยแถวเดียวของ รายการ ⁠ ⁠ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠คือเวกเตอร์คอลัมน์ และ⁠ ⁠คือเวกเตอร์แถว: ${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {x}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {a}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$ (ตลอดทั้งบทความนี้ จะใช้ตัวหนาสำหรับทั้งเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์)

เวกเตอร์ แถวที่สลับแถวและคอลัมน์ (แสดงด้วยT ) จะได้เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ และเวกเตอร์คอลัมน์ที่สลับแถวและคอลัมน์ จะได้เป็นเวกเตอร์แถว การสลับแถวและ คอลัมน์ สองครั้งจะได้เวกเตอร์เดิม (แถวหรือคอลัมน์ ) กลับมา$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{\rm {T}}={\boldsymbol {x}}}$

เซตของเวกเตอร์แถวทั้งหมดที่มี สมาชิก nตัวในฟิลด์ ที่กำหนด (เช่นจำนวนจริง ) ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์nมิติในทำนองเดียวกัน เซตของเวกเตอร์คอลัมน์ทั้งหมดที่มี สมาชิก mตัว ก่อให้เกิด ปริภูมิเวกเตอร์ mมิติ

ปริภูมิของเวกเตอร์แถวที่มี สมาชิก nตัว สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิคู่ขนานของปริภูมิของเวกเตอร์คอลัมน์ที่มี สมาชิก nตัว เนื่องจากฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ บนปริภูมิของเวกเตอร์คอลัมน์สามารถแสดงได้ในรูปของการคูณทางซ้ายของเวกเตอร์แถวที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียว

เพื่อความสะดวกในการเขียนเวกเตอร์คอลัมน์ให้แทรกอยู่ในข้อความอื่น บางครั้งจึงเขียนเวกเตอร์คอลัมน์เป็นเวกเตอร์แถวแล้วทำการสลับแถวและคอลัมน์ (transpose)

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

หรือ

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

ผู้เขียนบางท่านยังใช้รูปแบบการเขียนเวกเตอร์คอลัมน์และเวกเตอร์แถวเป็นแถว แต่คั่นองค์ประกอบของเวกเตอร์แถวด้วยเครื่องหมายจุลภาคและคั่นองค์ประกอบของเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยเครื่องหมายเซมิโคลอน (ดูสัญลักษณ์ทางเลือกที่ 2 ในตารางด้านล่าง)

	เวกเตอร์แถว	เวกเตอร์คอลัมน์
สัญกรณ์เมทริกซ์มาตรฐาน (เว้นวรรคในอาร์เรย์ ไม่มีเครื่องหมายจุลภาค เครื่องหมายสลับแถวและคอลัมน์)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
สัญลักษณ์ทางเลือกที่ 1 (เครื่องหมายจุลภาคและเครื่องหมายสลับตำแหน่ง)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
รูปแบบการเขียนทางเลือกที่ 2 (ใช้เครื่องหมายจุลภาคและเครื่องหมายอัฒภาค ไม่ต้องใช้เครื่องหมายสลับตำแหน่ง)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}$

การคูณเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับการกระทำในการคูณเวกเตอร์แถวแต่ละตัวของเมทริกซ์หนึ่งกับเวกเตอร์คอลัมน์แต่ละตัวของเมทริกซ์อีกเมทริกซ์หนึ่ง

ผลคูณดอทของเวกเตอร์คอลัมน์สองตัวa และ b ซึ่งถือว่าเป็นองค์ประกอบของปริภูมิพิกัด จะเท่ากับผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สลับตำแหน่งของaกับb

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\rm {T}}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

เนื่องจากสมมาตรของผลคูณดอทผลคูณดอทของเวกเตอร์คอลัมน์สองตัวa และ b จึงเท่ากับผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สลับตำแหน่งของbกับa ด้วยเช่นกัน

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\rm {T}}\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

ผลคูณเมทริกซ์ของเวกเตอร์คอลัมน์และเวกเตอร์แถวจะให้ผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัวaและbซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของผลคูณเทนเซอร์ ที่ทั่วไปกว่า ผลคูณเมทริกซ์ของเวกเตอร์คอลัมน์ที่แทนด้วยaและเวกเตอร์แถวที่แทนด้วยbจะให้ส่วนประกอบของผลคูณไดอะดิกของเวกเตอร์ทั้งสอง

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

ซึ่งเป็นเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของผลคูณระหว่างเวกเตอร์คอลัมน์แทนค่าbและเวกเตอร์แถวแทนค่า a

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

เมทริกซ์n × n Mสามารถแทนแผนที่เชิงเส้นและทำหน้าที่กับเวกเตอร์แถวและคอลัมน์ในฐานะเมทริกซ์การแปลงของ แผนที่เชิงเส้นนั้น สำหรับเวกเตอร์แถวvผลคูณv M จะเป็นเวกเตอร์แถว pอีกตัวหนึ่ง:

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

เมทริกซ์Q ขนาด n × n อีกเมทริกซ์ หนึ่งสามารถกระทำต่อpได้

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

จากนั้นเราสามารถเขียนt = p Q = v MQ ได้ ดังนั้นการแปลงผลคูณเมทริกซ์MQ จะ แมปv ไปยัง tโดยตรงเมื่อดำเนินการต่อด้วยเวกเตอร์แถว การแปลงเมทริกซ์ที่ปรับเปลี่ยนปริภูมิnมิติเพิ่มเติมสามารถนำไปใช้กับด้านขวาของผลลัพธ์ก่อนหน้าได้

เมื่อเวกเตอร์คอลัมน์หนึ่งถูกแปลงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์อีกตัวหนึ่งภายใต้ การกระทำของเมทริกซ์ขนาด n × nการดำเนินการจะเกิดขึ้นทางด้านซ้าย

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

นำไปสู่การแสดงออกทางพีชคณิตQM v ^Tสำหรับผลลัพธ์ที่ประกอบขึ้นจาก อินพุต v ^Tการแปลงเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นทางด้านซ้ายในการใช้เวกเตอร์คอลัมน์สำหรับการแปลงอินพุตเป็นเมทริกซ์

• ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์
• สัญกรณ์ดัชนี
• เวกเตอร์ของหนึ่ง
• เวกเตอร์รายการเดียว
• เวกเตอร์หน่วยมาตรฐาน
• เวกเตอร์หน่วย