ในเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องรูปทรงหลาย เหลี่ยม จะมีความเป็นเอกลักษณ์เชิงโปร เจคทีฟ (หรือมีเสถียรภาพเชิงโปรเจคทีฟ ) หากมีการสร้างรูปทรงนูนที่ ไม่ซ้ำกัน โดยพิจารณาจากการแปลงเชิงโปรเจคทีฟ

การศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีเอกลักษณ์เชิงการฉายภาพนั้นริเริ่มโดยGeoffrey C. Shephard , Micha Perles , Peter McMullenและBranko Grünbaumต่อมาได้มีการศึกษาเพิ่มเติมที่สำคัญจากKarim AdiprasitoและGünter M. Zieglerด้วย

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสองรูปจะสมมูลกันในเชิงการจัดเรียงหากมีจำนวนหน้าเท่ากันและมีความสัมพันธ์การเกิดร่วมกันแบบเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าและมีโครงข่ายหน้าที่ สมมาตรกัน หรือเทียบเท่ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิง นามธรรมพื้นฐานที่สมมาตรกัน นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่าทั้งและเป็นการสร้างขึ้นจริงของโครงข่ายหน้า (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม) ${\displaystyle P,Q\subset {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

เมื่อกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนมาให้แล้ว สามารถสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สมมูลกันในเชิงการจัดเรียงได้หลายรูป โดยผ่านการแปลงพื้นที่โดยรอบ เช่นการแปลงไอโซเมตรีหรือการแปลงแอฟฟินกลุ่มการแปลงพื้นที่ยุคลิดที่ใหญ่ที่สุดที่รักษาความเป็นระนาบเดียวกัน และด้วยเหตุนี้จึงแปลงรูปทรงหลายเหลี่ยมไปเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สมมูลกันในเชิงการจัดเรียง คือ กลุ่มการแปลงเชิงโปรเจ คทีฟ รูปทรงหลาย เหลี่ยม จะ มี ความเป็น เอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟก็ต่อ เมื่อการสร้างรูปทรงอื่นๆ ทั้งหมดได้มาจากการแปลงเชิงโปรเจคทีฟ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือมี การสร้างรูปทรงนูนที่ไม่ซ้ำ กันเลยเมื่อพิจารณาจากการแปลงเชิงโปรเจคทีฟ ${\displaystyle P\subset {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ตัวอย่างเช่น รูปทรงเรขาคณิตแบบซิมเพล็กซ์เช่นสามเหลี่ยมและทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมีความเป็นเอกลักษณ์เชิงโปรเจกทีฟ ในทางตรงกันข้ามลูกบาศก์ไม่มีความเป็นเอกลักษณ์เชิงโปรเจกทีฟ เนื่องจากมีรูปทรงเรขาคณิตที่สร้างขึ้นซึ่งไม่สมมูลเชิงโปรเจกทีฟกับลูกบาศก์มาตรฐาน (ดูรูปประกอบ)

การแปลงเชิงโปรเจคทีฟบนปริภูมิยุคลิดมิติ n สามารถแมปจุดใดๆ ไปยังจุดอื่นๆได้ ดังนั้นโพลีโทปมิติ n ใดๆ ที่มีจุดยอดไม่เกินn จุด จึงมีเอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟ นอกจากนี้ การมีเอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟยังปิดภายใต้ทฤษฎีทวิภาวะเชิง ขั้ว เนื่องจากทฤษฎีทวิภาวะสลับจุดยอดและหน้าตัด ดังนั้น โพลีโทปมิติ n ใดๆ ที่มีหน้าตัดไม่เกิน n จุดจึงมีเอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟเช่นกัน สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า ตัวอย่างเช่นผลคูณของซิมเพล็กซ์สองอันมีเอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟ (เช่นปริซึมคู่ (3,3) ) ในมิติไม่เกินสาม โพลีโทปเหล่านี้เป็นเพียงโพลีโทปที่มีเอกลักษณ์เชิงโปรเจคทีฟ แต่ในมิติที่มากกว่านั้น มีตัวอย่างที่มี จุดยอดและหน้าตัด มากกว่า n จุด${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle n+2}$

ต่อไปนี้คือรายชื่อโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันในเชิงการฉายภาพในมิติสองทั้งหมด:

• สามเหลี่ยม
• จัตุรัส

โพลีโทป 3 มิติจะมีเอกลักษณ์เชิงการฉายภาพก็ต่อเมื่อมีขอบไม่เกินเก้าขอบ^{[ 1 ]} ดังนั้น รายการโพลีโทปที่มีเอกลักษณ์เชิงการฉายภาพในมิติสามจึงมีดังต่อไปนี้:

• จัตุรมุข
• พีระมิดสี่เหลี่ยม
• ปริซึมสามเหลี่ยม
• พีระมิดคู่สามเหลี่ยม

รายการโพลีโทป 4 มิติที่ไม่ซ้ำกันเชิงการฉายต่อไปนี้ ได้รับการรวบรวมโดยGeoffrey C. Shephard (แต่ไม่เคยได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการโดยตัวเขาเอง) และคาดว่าน่าจะครบถ้วน: ^{[ 1 ]}

#	การก่อสร้าง	สองชั้น	เวกเตอร์ f	คำอธิบาย
1	${\displaystyle \Delta _{4}}$	1*	(5,10,10,5)	4-ซิมเพล็กซ์
2	${\displaystyle \square \star \Delta _{1}}$	2*	(6,11,11,6)	การเชื่อมต่อระหว่างสี่เหลี่ยมและส่วนของเส้นตรง
3	${\displaystyle (\Delta _{2}\oplus \Delta _{1})\star \Delta _{0}}$	4	(6,14,15,7)	พีระมิดเหนือพีระมิดคู่สามเหลี่ยม
4	${\displaystyle (\Delta _{2}\times \Delta _{1})\star \Delta _{0}}$	3	(7,15,14,6)	พีระมิดเหนือปริซึมสามเหลี่ยม
5	${\displaystyle \Delta _{3}\oplus \Delta _{1}}$	6	(6,14,16,8)	พีระมิดคู่ทรงสี่หน้า
6	${\displaystyle \Delta _{3}\times \Delta _{1}}$	5	(8,16,14,6)	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
7	${\displaystyle \Delta _{2}\oplus \Delta _{2}}$	8	(6,15,18,9)	โพลีโทปแบบวงจรC (6,4)
8	${\displaystyle \Delta _{2}\times \Delta _{2}}$	7	(9,18,15,6)	(3,3)-ดูโอปริซึม
9	${\displaystyle (\square ,v)\oplus (\square ,w)}$	10	(7,17,18,8)	ผลรวมจุดยอดของกำลังสองสองจุด
10	${\displaystyle ((\square ,v)\oplus (\square ,w))^{\circ }}$	9	(8,18,17,7)	คู่ตรงข้ามของ${\displaystyle (\square ,v)\oplus (\square ,w)}$
11	${\displaystyle (\Delta _{2}\times \Delta _{1},v)\oplus \Delta _{1}}$	11*	(7,17,17,7)	ผลรวมย่อยโดยตรงของปริซึมสามเหลี่ยมและส่วนของเส้นตรงที่จุดยอดของปริซึม

*ตนเองสองฝ่าย

McMullen แสดงให้เห็นว่าโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงการฉายภาพจะปิดภายใต้การดำเนินการต่อไปนี้: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• การเชื่อมต่อ ของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะมีเอกลักษณ์เชิงการฉายภาพก็ต่อเมื่อและมีเอกลักษณ์เชิงการฉายภาพเช่นกัน${\displaystyle P\star Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
• ผลรวมของจุดยอด ของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่ไม่ซ้ำกันในเชิงโปรเจกทีฟ ก็ไม่ซ้ำกันในเชิงโปรเจกทีฟเช่นกัน${\displaystyle (P,v)\oplus (Q,w)}$
• ถ้ามีเอกลักษณ์เชิงโปรเจกทีฟ และเป็นจุดยอดของโดยที่ไม่ใช่ผลรวมจุดยอดที่มีจุดยอดที่โดดเด่นแล้วผลรวมย่อยโดยตรงจะมีเอกลักษณ์เชิงโปรเจกทีฟ (เรียกอีกอย่างว่าการแยกจุดยอด)${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (P,v)\oplus \Delta _{1}}$${\displaystyle v}$

การดำเนินการเหล่านี้เพียงพอที่จะสร้างรายการโพลีโทป 4 มิติที่ไม่ซ้ำกันในเชิงโปรเจคทีฟของเชพาร์ดได้ แต่ไม่ใช่ว่าโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันในเชิงโปรเจคทีฟทั้งหมดจะสามารถสร้างได้โดยใช้การดำเนินการเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น โพลีโทปที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะของเพอร์เลส (ดูด้านล่าง)

Perles & Shephard (1974) ใช้แผนภาพ Galeเพื่อสร้างโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจคทีฟจำนวนมาก และแสดงให้เห็นว่าจำนวนของโพลีโทปเหล่านี้เพิ่มขึ้นอย่างน้อยแบบเลขชี้กำลังตามมิติ^{[ 4 ]} โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถเริ่มต้นจากโครงสร้างจุด-เส้นที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจคทีฟได้ เช่น ได้มาจากการเข้ารหัสพหุนามที่มีศูนย์จริงเพียงตัวเดียว หลังจากคูณจุดทั้งหมดด้วยสองเท่าแล้ว สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นแผนภาพ Gale ของโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจคทีฟ การเริ่มต้นจากโครงสร้างที่เหมาะสม (เช่นโครงสร้างของ Perles ) สามารถใช้เพื่อสร้างโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจคทีฟซึ่งไม่มีการรับรู้ด้วยพิกัดเชิงตรรกะ^{[ 5 ]}

หน้าของโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงการฉายไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกันเชิงการฉาย ในปี 2013 Adiprasito & Padrol แสดงให้เห็นว่าโพลีโทปทุกรูปที่มีพิกัดจุดยอดพีชคณิตปรากฏเป็นหน้าของโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงการฉาย^{[ 6 ]} สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงการฉายเป็นไปตามรูปแบบของความเป็นสากลและไม่สามารถคาดหวังทฤษฎีโครงสร้างที่เรียบง่ายได้

ในปี 2015 Adiprasito และ Ziegler ได้สร้างโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจกทีฟจำนวนอนันต์ในมิติ 69 ^{[ 1 ]} มีโพลีโทปที่ไม่ซ้ำกันเชิงโปรเจกทีฟเพียงจำนวนจำกัดในมิติสองและสาม และยังเป็นคำถามที่เปิดอยู่ว่าจะเป็นเช่นเดียวกันในมิติสี่หรือไม่

โพลีโทปสมมาตรศูนย์กลางจะมีเอกลักษณ์เชิงเส้น (หรือมีเสถียรภาพเชิงเส้น ) หากมีการสร้างสมมาตรจุดกำเนิดที่ไม่ซ้ำกันจนถึงการแปลงเชิงเส้น คลาสของโพลีโทปที่มีเอกลักษณ์เชิงเส้นยังปิดภายใต้ความเป็นคู่เชิงขั้ว ตัวอย่างของโพลีโทปที่มีเอกลักษณ์เชิงเส้น ได้แก่ลูกบาศก์และครอสโพลีโทปในทุกมิติ และโดยทั่วไปแล้วโพลีโทป Hanner ทั้งหมด ในปี 1969 Peter McMullenแสดงให้เห็นว่าโพลีโทป 0/1 สมมาตรศูนย์กลางทุกอัน มีเอกลักษณ์เชิงเส้น^{[ 7 ]} ในบทความเดียวกัน McMullen ได้ร่างข้อโต้แย้งว่าสิ่งนี้ให้ลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของโพลีโทปที่มีเอกลักษณ์เชิงเส้น ต่อมา David Assaf (1976) ได้สร้างตัวอย่างค้าน แสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งของ McMullen ต้องไม่สมบูรณ์^{[ 8 ]} ตัวอย่างค้านที่ให้มาคือโพลีโทป 0/1 สมมาตรศูนย์กลางซึ่งคู่ของมันไม่สามารถสร้างเป็นโพลีโทป 0/1 ได้ ${\displaystyle P}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนจะมีโพลีโทปที่มีการรับรู้แบบนูนที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนจนถึงการแปลงเชิงโปรเจกทีฟ วิธีหนึ่งในการสร้างโพลีโทปดังกล่าวคือการใช้แผนภาพเกลเริ่มต้นจากการกำหนดค่าจุด-เส้นที่มีการรับรู้ที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน (จนถึงการแปลงเชิงโปรเจกทีฟ) หลังจากคูณจุดทั้งหมดด้วยสองเท่าแล้ว เราสามารถตีความได้ว่าเป็นแผนภาพเกลของโพลีโทปแบบนูน^{[ 9 ]}${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$