โพลีโทป 5 เหลี่ยมสม่ำเสมอ

Q: โพลีโทป 5 เหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติ 5 มิติ สามารถแทนด้วย สัญลักษณ์ Schläfli {p,q,r,s} โดยมีเหลี่ยม 4 มิติ {p,q,r} เหลี่ยม ล้อมรอบแต่ละ หน้า มีรูปหลายเหลี่ยมปกติดังกล่าวอยู่สามรูปพอดี ซึ่งทั้งหมดเป็นรูปนูน:

กราฟของโพลีโทป 5 มิติแบบปกติและสม่ำเสมอ
5-ซิมเพล็กซ์	5-ซิมเพล็กซ์ที่แก้ไขแล้ว		ซิมเพล็กซ์ 5 ตัวที่ถูกตัดทอน
5-ซิมเพล็กซ์แบบแคนเทลเลต	รันซิเนต 5-ซิมเพล็กซ์		สเตอริเกต 5-ซิมเพล็กซ์
5-ออร์โธเพล็กซ์	ออร์โธเพล็กซ์ 5 ที่ถูกตัดทอน		5-ออร์โธเพล็กซ์ที่แก้ไขแล้ว
ออร์โธเพล็กซ์ 5 ออร์โธเพล็กซ์แบบแคนเทลเลต		รันซิเนต 5-ออร์โธเพล็กซ์
ลูกบาศก์ 5 ลูกแบบมีรูพรุน	ลูกบาศก์ 5 ลูกที่วิ่ง		5 ลูกบาศก์ที่ผ่านการฆ่าเชื้อแล้ว
5 ลูกบาศก์	ลูกบาศก์ 5 ที่ถูกตัดทอน		5 ลูกบาศก์ที่แก้ไขแล้ว
5-เดมิคิวบ์		เดมิคิวบ์ 5 ที่ถูกตัดทอน
ลูกบาศก์ 5 ครึ่งทรงโค้ง		5-เดมิคิวบ์แบบรันซิเนต

ในทางเรขาคณิตโพลีโทป 5มิติแบบสม่ำเสมอ คือ โพลีโทป 5 มิติ แบบสม่ำเสมอ ตามคำนิยาม โพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอเป็นแบบที่จุดยอดสลับกันได้และสร้างขึ้นจากหน้าตัดของ โพลีโทป 4 มิติ แบบ สม่ำเสมอ

ชุดของโพลีโทป 5 มิติแบบนูนและสม่ำเสมอ ทั้งหมด ยังไม่ได้รับการกำหนด แต่สามารถสร้างโพลีโทปจำนวนมากได้โดยใช้การสร้างแบบ Wythoff จาก กลุ่มสมมาตรจำนวนเล็กน้อยการดำเนินการสร้างเหล่านี้แสดงโดยการเรียงสับเปลี่ยนของวงแหวนในแผนภาพ Coxeter

ประวัติการค้นพบ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ : (หน้านูน)
- พ.ศ. 2395 (ค.ศ. 1852) : Ludwig Schläfliพิสูจน์ในต้นฉบับของเขาTheorie der vielfachen Kontinuitätว่ามีโพลีท็อปปกติ 3 อันใน 5 มิติ ขึ้น ไป
รูปทรงหลายเหลี่ยม กึ่งปกติ แบบนูน : (คำจำกัดความต่างๆ ก่อน หมวดหมู่ เอกภาพ ของ Coxeter )
- 1900 : Thorold Gossetได้ระบุรายชื่อของโพลีโทปนูนกึ่งปกติที่ไม่ใช่ปริซึมที่มีหน้าปกติ ( โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติ ) ในสิ่งพิมพ์ของเขาเรื่อง On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions ^{[ 1 ]}
โพลีโทปนูนสม่ำเสมอ :
- 1940-1988 : การค้นคว้าได้รับการขยายอย่างเป็นระบบโดยHSM Coxeterในผลงานตีพิมพ์ของเขาเรื่องRegular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III
- ปี 1966 : นอร์แมน ดับเบิลยู. จอห์นสันสำเร็จวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกภายใต้การดูแลของค็อกเซเตอร์ ในหัวข้อ " ทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมและรังผึ้งสม่ำเสมอ"ที่มหาวิทยาลัยโทรอนโต
โพลีโทปสม่ำเสมอที่ไม่นูน :
- 1966 : จอห์นสันอธิบายปริซึมแอนติแบบเอกรูปที่ไม่นูนสองอันในปริภูมิ 5 มิติในวิทยานิพนธ์ของเขา^{[ 2 ]}
- 2000-2024 : Jonathan Bowers และนักวิจัยคนอื่นๆ ค้นหาโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอที่ไม่นูนอื่นๆ^{[ 3 ]}โดยปัจจุบันมีโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอที่รู้จักอยู่ 1333 รายการที่อยู่นอกตระกูลอนันต์ (นูนและไม่นูน) โดยไม่รวมปริซึมของโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ รายชื่อนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าสมบูรณ์^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

โพลีโทป 5 เหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติ 5 มิติ สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {p,q,r,s} โดยมีเหลี่ยม 4 มิติ {p,q,r} เหลี่ยมล้อมรอบแต่ละหน้ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติดังกล่าวอยู่สามรูปพอดี ซึ่งทั้งหมดเป็นรูปนูน:

ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูนในมิติ 5 มิติขึ้นไป

โพลีโทป 5 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

เซตที่สมบูรณ์ของโพลีโทป 5 มิติแบบนูนสม่ำเสมอคืออะไร? ^{[ 6 ]}

ยังมีปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์อีกมากมาย

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอ 5 มิติที่รู้จักกัน 104 รูป รวมถึงตระกูลปริซึมคู่และปริซึมคู่รูปหลายเหลี่ยม-ทรงหลายเหลี่ยมจำนวนอนันต์ ทั้งหมดนี้ ยกเว้นปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่ ล้วนมีพื้นฐานมาจากการสร้างแบบ Wythoffซึ่งเป็นสมมาตรการสะท้อนที่สร้างขึ้นด้วยกลุ่ม Coxeter

สมมาตรของโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอในสี่มิติ

5- ซิมเพล็กซ์ เป็นรูปแบบปกติใน ตระกูลA 5-คิวบ์และ5-ออร์โธเพล็กซ์เป็นรูปแบบปกติในตระกูล B กราฟแยกสาขาของตระกูล D ประกอบด้วย5-ออร์โธเพล็กซ์รวมถึง5-เดมิคิวบ์ซึ่งเป็น5-คิวบ์แบบสลับ

แต่ละโพลีโทปสะท้อนแสงสม่ำเสมอ 5 มิติ สามารถสร้างขึ้นได้ในกลุ่มจุดสะท้อนแสงหนึ่งกลุ่มหรือมากกว่าใน 5 มิติ โดยใช้การสร้างแบบ Wythoffซึ่งแสดงด้วยวงแหวนรอบการเรียงสับเปลี่ยนของโหนดในแผนภาพ Coxeter ระนาบสะท้อนสามารถจัดกลุ่มได้ ดังที่เห็นได้จากโหนดสีที่แยกจากกันด้วยกิ่งคู่ กลุ่มสมมาตรในรูปแบบ [a,b,b,a] มีสมมาตรแบบขยาย[[ a,b,b,a]] เช่น [3,3,3,3] ซึ่งเพิ่มลำดับสมมาตรเป็นสองเท่า โพลีโทปสม่ำเสมอในกลุ่มเหล่านี้ที่มีวงแหวนสมมาตรประกอบด้วยสมมาตรแบบขยายนี้

หากกระจกทั้งหมดที่มีสีเดียวกันในรูปทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปที่กำหนดนั้นไม่มีวงแหวน (ไม่ทำงาน) จะทำให้โครงสร้างนั้นมีสมมาตรต่ำลงโดยการลบกระจกที่ไม่ทำงานทั้งหมดออก ในทางกลับกัน หากโหนดทั้งหมดที่มีสีเดียวกันมีวงแหวน (ทำงาน) การดำเนินการ สลับสามารถสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติใหม่ที่มีสมมาตรแบบไครัลได้ โดยแสดงเป็นโหนดวงกลม "ว่างเปล่า" แต่โดยทั่วไปแล้วรูปทรงเรขาคณิตจะไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้เพื่อสร้างโซลูชันเอกรูป

ครอบครัวพื้นฐาน^{[ 7 ]}

สัญลักษณ์กลุ่ม	คำสั่ง	สัญกรณ์วงเล็บ	กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์	หมายเลขค็อกซ์เตอร์ (h)	การสะท้อนm =5/2 h ^{[ 8 ]}
เอ	720	[3,3,3,3]	[3,3,3,3] ⁺	6		15
ดี	1920	[3,3,3 ^1,1 ]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	8		20
บี	3840	[4,3,3,3]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	10	5	20

ปริซึมสม่ำเสมอ

มีตระกูลปริซึมเอกรูปเชิงหมวดหมู่จำกัด 5 ตระกูล ของโพลีโทปโดยอิงจากโพลีโทป 4 มิติเอกรูป ที่ไม่เป็นปริซึม นอกจากนี้ยังมีตระกูลอนันต์ของโพลีโทป 5 มิติหนึ่งตระกูลโดยอิงจากปริซึมของดูโอปริซึม เอกรูป {p}×{q}×{ }

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์	การสะท้อน
เอเอ	120	[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ]	[3,3,3] ⁺			10		1
ดีเอ	384	[3 ^1,1,1 ,2] = [3 ^1,1,1 ]×[ ]	[3 ^1,1,1 ] ⁺			12		1
บีเอ	768	[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]	[3 ^1,1,1 ] ⁺		4	12		1
เอฟเอ	2304	[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]		12	12		1
H A	28800	[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[5,3,3] ⁺			60		1
ปริซึมดูโอปริซึม (ใช้ 2p และ 2q สำหรับเลขคู่)
I ( p )I ( q )A	8 พีคิว	[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ]	[p ⁺ ,2,q ⁺ ]		พี	q		1
I (2 p )I ( q )A	16 พีคิว	[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]		พี	พี	q		1
I (2 p )I (2 q )A	32 พีคิว	[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]		พี	พี	q	q	1

ปริซึมคู่แบบสม่ำเสมอ

มี กลุ่มโพลีโทป แบบ ดูโอปริซึมเอกรูป 3 กลุ่มตามหมวดหมู่ โดยอิงจากผลคูณคาร์ทีเซียนของโพลีเฮดราเอกรูปและโพลีกอนปกติ : { q , r }×{ p }

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์	การสะท้อน
กลุ่มปริซึม (ใช้ 2p สำหรับเลขคู่)
A I ( p )	48 เพนนี	[3,3,2, p ] = [3,3]×[ p ]	[(3,3) ⁺ ,2, p ⁺ ]		6	พี
A I ( 2p )	96 เพนนี	[3,3,2,2 p ] = [3,3]×[2 p ]			6	พี	พี
B I ( p )	96 เพนนี	[4,3,2, p ] = [4,3]×[ p ]		3	6	พี
B I ( 2p )	192 หน้า	[4,3,2,2 p ] = [4,3]×[2 p ]		3	6	พี	พี
H I ( p )	240 เพนนี	[5,3,2, p ] = [5,3]×[ p ]	[(5,3) ⁺ ,2, p ⁺ ]		15	พี
H I ( 2p )	480 เพนนี	[5,3,2,2 p ] = [5,3]×[2 p ]	[(5,3) ⁺ ,2, p ⁺ ]		15	พี	พี

การแจงนับโพลีโทป 5 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ

ตระกูล ซิมเพล็กซ์ : A [3 ⁴ ]
- โพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอ 19 อัน
ตระกูล ไฮเปอร์คิวบ์ / ออร์โธเพล็กซ์ : B [4,3 ³ ]
- โพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอ 31 อัน
ตระกูล เดมิไฮเปอร์คิวบ์ D /E : [3 ^2,1,1 ]
- รูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติแบบเดียวกัน 23 รูป (8 รูปที่ไม่ซ้ำกัน)
ปริซึมโพลีคอรัล:
- โครงสร้างโพลีโทป 5 มิติแบบเอกรูป 56 แบบ (45 แบบที่ไม่ซ้ำกัน) โดยอิงตามตระกูลปริซึม: [3,3,3]×[ ], [4,3,3]×[ ], [5,3,3]×[ ], [3 ^1,1,1 ]×[ ]
- ปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอ 5 มิติที่ไม่ใช่แบบวิทอฟฟ์เพียงชนิดเดียวที่รู้จักกัน ซึ่งสร้างขึ้นจากปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่ สองอัน ที่เชื่อมต่อกันด้วยปริซึมทรงหลายเหลี่ยม

รวมแล้วได้ดังนี้: 19+31+8+45+1=104

นอกจากนี้ยังมี:

โครงสร้างโพลีโทป 5 มิติแบบเอกรูปจำนวนอนันต์ที่อิงตามตระกูลปริซึมดูโอปริซึม: [ p ]×[ q ]×[ ]
โครงสร้างโพลีโทป 5 มิติแบบเอกรูปจำนวนอนันต์ที่อิงตามตระกูลดูโอปริซึม: [3,3]×[ p ], [4,3]×[ p ], [5,3]×[ p ]

ตระกูลA

มีทั้งหมด 19 รูปแบบ โดยอิงจากลำดับการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของแผนภาพ Coxeterที่มีวงแหวนตั้งแต่หนึ่งวงขึ้นไป (16+4-1 กรณี)

นอร์ แมน จอห์นสันเป็นผู้ตั้งชื่อโครงสร้างเหล่านี้ โดยอ้างอิงจากวิธีการก่อสร้างของไวทอฟฟ์บนพื้นฐานของโครงสร้าง 5-ซิมเพล็กซ์ (เฮกซาเทอรอน) ปกติ

ตระกูลA มีสมมาตรลำดับที่ 720 ( แฟกทอเรียล 6) 7 ใน 19 รูป ที่มีแผนภาพ Coxeter แบบวงแหวนสมมาตร มีสมมาตรแบบสองเท่า ลำดับที่ 1440

พิกัดของโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอที่มีสมมาตรซิมเพล็กซ์ 5 มิติ สามารถสร้างได้จากการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวนเต็มอย่างง่ายในปริภูมิ 6 มิติ โดยทั้งหมดอยู่ในระนาบไฮเปอร์ที่มีเวกเตอร์ปกติ (1,1,1,1,1,1)

#	จุดเริ่มต้น	ระบบการตั้งชื่อของจอห์นสันชื่อโบเวอร์ส และแผนภาพค็อกซ์เตอร์ (ตัวย่อ)	จำนวนองค์ประกอบ k-face					รูปจุดยอด	จำนวนเหลี่ยมตามตำแหน่ง: [3,3,3,3]
#	จุดเริ่มต้น		4	3	2	1	0	รูปจุดยอด	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)	อัลท์
1	(0,0,0,0,0,1) หรือ (0,1,1,1,1,1)	5-ซิมเพล็กซ์ เฮกซาเทอรอน (hix)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) หรือ (0,0,1,1,1,1)	Rectified 5-simplex rectified hexateron (rix)	12	45	80	60	15	t{3,3}×{ }	r{3,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) หรือ (0,1,2,2,2,2)	Truncated 5-simplex truncated hexateron (tix)	12	45	80	75	30	เตตราห์.ไพร์	t{3,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) หรือ (0,1,1,2,2,2)	Cantellated 5-simplex small rhombated hexateron (sarx)	27	135	290	240	60	ปริซึมลิ่ม	rr{3,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r{3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) หรือ (0,0,1,2,2,2)	Bitruncated 5-simplex bitruncated hexateron (bittix)	12	60	140	150	60		2t{3,3,3}	-	-	-	t{3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) หรือ (0,1,2,3,3,3)	Cantitruncated 5-simplex great rhombated hexateron (garx)	27	135	290	300	120		tr{3,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t{3,3,3}
7	(0,0,1,1,1,2) หรือ (0,1,1,1,2,2)	Runcinated 5-simplex small prismated hexateron (spix)	47	255	420	270	60		t {3,3,3}	-	{3}×{3}	{ }×r{3,3}	r{3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) หรือ (0,1,2,2,3,3)	Runcitruncated 5-simplex prismatotruncated hexateron (pattix)	47	315	720	630	180		t {3,3,3}	-	{6}×{3}	{ }×r{3,3}	rr{3,3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) หรือ (0,1,1,2,3,3)	Runcicantellated 5-simplex prismatorhombated hexateron (pirx)	47	255	570	540	180		t {3,3,3}	-	{3}×{3}	{ }×t{3,3}	2t{3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) หรือ (0,1,2,3,4,4)	Runcicantitruncated 5-simplex great prismated hexateron (gippix)	47	315	810	900	360	เซลล์5 เซลล์	t {3,3,3}	-	{3}×{6}	{ }×t{3,3}	tr{3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) หรือ (0,1,2,2,2,3)	Steritruncated 5-simplex celliprismated hexateron (cappix)	62	330	570	420	120		t{3,3,3}	{ }×t{3,3}	{3}×{6}	{ }×{3,3}	t {3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) หรือ (0,1,2,3,3,4)	Stericantitruncated 5-simplex celligreatorhombated hexateron (cograx)	62	480	1140	1080	360		tr{3,3,3}	{ }×tr{3,3}	{3}×{6}	{ }×rr{3,3}	t {3,3,3}
13	(0,0,0,1,1,1)	Birectified 5-simplex dodecateron (dot)	12	60	120	90	20	{3}×{3}	r{3,3,3}	-	-	-	r{3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	Bicantellated 5-simplex small birhombated dodecateron (sibrid)	32	180	420	360	90		rr{3,3,3}	-	{3}×{3}	-	rr{3,3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	Bicantitruntcated 5-simplex great birhombated dodecateron (gibrid)	32	180	420	450	180		tr{3,3,3}	-	{3}×{3}	-	tr{3,3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	Stericated 5-simplex small cellated dodecateron (scad)	62	180	210	120	30	Irr. 16-cell	{3,3,3}	{ }×{3,3}	{3}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	Stericantellated 5-simplex small cellirhombated dodecateron (card)	62	420	900	720	180		rr{3,3,3}	{ }×rr{3,3}	{3}×{3}	{ }×rr{3,3}	rr{3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Steriruncitruncated 5-simplex celliprismatotruncated dodecateron (captid)	62	450	1110	1080	360		t {3,3,3}	{ }×t{3,3}	{6}×{6}	{ }×t{3,3}	t {3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Omnitruncated 5-simplex great cellated dodecateron (gocad)	62	540	1560	1800	720	Irr. {3,3,3}	t {3,3,3}	{ }×tr{3,3}	{6}×{6}	{ }×tr{3,3}	t {3,3,3}
ไม่สม่ำเสมอ		Omnisnub 5-simplex snub dodecateron (snod) snub hexateron (snix)	422	2340	4080	2520	360		ht {3,3,3}	ht {3,3,2}	ht {3,2,3}	ht {3,3,2}	ht {3,3,3}	(360) Irr. {3,3,3}

ครอบครัวB

ตระกูลB มีสมมาตรลำดับที่ 3840 (5 ! × 2 5 ⁾

ตระกูลนี้มี โพลีโทปสม่ำเสมอแบบวิธอฟ (Wythoffian uniform polytopes) จำนวน ^2⁵− 1 = 31 รูป ซึ่งสร้างขึ้นโดยการทำเครื่องหมายที่โหนดหนึ่งหรือมากกว่าของแผนภาพค็อกซ์เตอร์ (Coxeter diagram ) นอกจากนี้ยังเพิ่มโพลีโทปสม่ำเสมออีก 8 รูป ซึ่งสร้างขึ้นจากการสลับกันโดยมีสมมาตรครึ่งหนึ่ง ซึ่งก่อให้เกิดสำเนาที่สมบูรณ์ของ ตระกูล ดังนี้... =..... (ยังมีตัวเลือกอื่นๆ อีกหลายอย่างที่ไม่ได้ระบุไว้ เพราะจะทำให้เกิดการซ้ำซ้อนเท่านั้น เช่น... =.... และ... =.... สิ่งเหล่านี้จะทำให้เกิดการจำลองแบบสมบูรณ์ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 เหลี่ยมที่มีหมายเลข 20 ถึง 34 โดยที่สมมาตรถูกทำลายลงครึ่งหนึ่ง)

เพื่อให้ง่ายต่อการจำแนก จึงแบ่งออกเป็นสองกลุ่มย่อย แต่ละกลุ่มมี 12 รูปแบบ และมีรูปแบบ "กลาง" อีก 7 รูปแบบ ซึ่งอยู่ในทั้งสองกลุ่มอย่างเท่าเทียมกัน

รูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติแบบ 5 ลูกบาศก์นั้นได้มาจากขอบนูนของจุดฐานที่ระบุไว้ในตารางต่อไปนี้ โดยพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดและเครื่องหมายทั้งหมด จุดฐานแต่ละจุดสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติแบบสม่ำเสมอที่แตกต่างกัน พิกัดทั้งหมดสอดคล้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติแบบสม่ำเสมอที่มีความยาวด้าน 2

#	จุดเริ่มต้น	ชื่อแผนภาพค็อกซ์เตอร์	จำนวนองค์ประกอบ					รูปจุดยอด	จำนวนเหลี่ยมตามตำแหน่ง: [4,3,3,3]
#	จุดเริ่มต้น	ชื่อแผนภาพค็อกซ์เตอร์	4	3	2	1	0	รูปจุดยอด	[4,3,3] (10)	[4,3,2] (40)	[4,2,3] (80)	[2,3,3] (80)	[3,3,3] (32)	อัลท์
20	(0,0,0,0,1)√2	5-ออร์โธเพล็กซ์ไตรอะคอนทาไดเทอรอน (tac)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	-	-	-	-	{3,3,3}
21	(0,0,0,1,1)√2	ไตรอะคอนทาไดเทอรอนที่ถูกแก้ไข ด้วย 5-ออร์โธเพล็กซ์ (หนู)	42	240	400	240	40	{ }×{3,4}	{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
22	(0,0,0,1,2)√2	Truncated 5-orthoplex truncated triacontaditeron (tot)	42	240	400	280	80	(อ็อกตาห์.ไพร์)	{3,3,4}	-	-	-	t{3,3,3}
23	(0,0,1,1,1)√2	ไบเรคติไฟด์ 5-คิวบ์เพนเทอแร็กติทริคอนทาไดเทอรอน (ไนต) (ไบเรคติไฟด์ 5-ออร์โธเพล็กซ์)	42	280	640	480	80	{4}×{3}	r{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
24	(0,0,1,1,2)√2	Cantellated 5-orthoplex small rhombated triacontaditeron (sart)	82	640	1520	1200	240	ปริซึมลิ่ม	r{3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	rr{3,3,3}
25	(0,0,1,2,2)√2	Bitruncated 5-orthoplex bitruncated triacontaditeron (bittit)	42	280	720	720	240		t{3,3,4}	-	-	-	2t{3,3,3}
26	(0,0,1,2,3)√2	Cantitruncated 5-orthoplex great rhombated triacontaditeron (gart)	82	640	1520	1440	480		t{3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	t {3,3,3}
27	(0,1,1,1,1)√2	เพนเทอแร็กต์แบบแก้ไข 5 ลูกบาศก์ (rin)	42	200	400	320	80	{3,3}×{ }	r{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28	(0,1,1,1,2)√2	Runcinated 5-orthoplex small prismated triacontaditeron (spat)	162	1200	2160	1440	320		r{4,3,3}	{ }×r{3,4}	{3}×{4}		t {3,3,3}
29	(0,1,1,2,2)√2	Bicantellated 5-cube small birhombated penteractitriacontaditeron (sibrant) (Bicantellated 5-orthoplex)	122	840	2160	1920	480		rr{3,3,4}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3,3}
30	(0,1,1,2,3)√2	Runcitruncated 5-orthoplex prismatotruncated triacontaditeron (pattit)	162	1440	3680	3360	960		rr{3,3,4}	{ }×r{3,4}	{6}×{4}	-	t {3,3,3}
31	(0,1,2,2,2)√2	Bitruncated 5-cube bitruncated penteract (bittin)	42	280	720	800	320		2t{4,3,3}	-	-	-	t{3,3,3}
32	(0,1,2,2,3)√2	Runcicantellated 5-orthoplex prismatorhombated triacontaditeron (pirt)	162	1200	2960	2880	960		2t{4,3,3}	{ }×t{3,4}	{3}×{4}	-	t {3,3,3}
33	(0,1,2,3,3)√2	Bicantitruncated 5-cube great birhombated triacontaditeron (gibrant) (Bicantitruncated 5-orthoplex)	122	840	2160	2400	960		tr{3,3,4}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3,3}
34	(0,1,2,3,4)√2	Runcicantitruncated 5-orthoplex great prismated triacontaditeron (gippit)	162	1440	4160	4800	1920		tr{3,3,4}	{ }×t{3,4}	{6}×{4}	-	t {3,3,3}
35	(1,1,1,1,1)	เพนเทอแร็กต์ ลูกบาศก์ 5 ลูก (เพนท์)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2	สเตอริเคท 5-คิวบ์ เซลล์ขนาดเล็ก เพนเทอแร็กติไตรคอนทาไดเทอรอน (น้อย) (สเตอริเคท 5-ออร์โธเพล็กซ์)	242	800	1040	640	160	เตตร.แอนติพรอม	{4,3,3}	{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2	เพนเทอแร็กต์ปริซึมขนาดเล็กรูปทรง ลูกบาศก์ 5 ลูกแบบรัน ซิเนต (ช่วง)	202	1240	2160	1440	320		t {4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×r{3,3}	r{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2	Steritruncated 5-orthoplex celliprismated triacontaditeron (cappin)	242	1520	2880	2240	640		t {4,3,3}	{4,3}×{ }	{6}×{4}	{ }×t{3,3}	t{3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√2	เพนเทอแร็กต์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก 5 ลูกบาศก์ประดับด้วยช่องแสง (sirn)	122	680	1520	1280	320	ปริซึมลิ่ม	rr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r{3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2	Stericantellated 5-cube cellirhombated penteractitriacontaditeron (carnit) (Stericantellated 5-orthoplex)	242	2080	4720	3840	960		rr{4,3,3}	rr{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×rr{3,3}	rr{3,3,3}
41	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2	Runcicantellated 5-cube prismatorhombated penteract (prin)	202	1240	2960	2880	960		t {4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×t{3,3}	2t{3,3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2	Stericantitruncated 5-orthoplex celligreatorhombated triacontaditeron (cogart)	242	2320	5920	5760	1920		t {4,3,3}	rr{4,3}×{ }	{6}×{4}	{ }×tr{3,3}	tr{3,3,3}
43	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2	เพนเทอแร็กต์ แบบตัด 5 ลูกบาศก์ที่ถูกตัด (สีแทน)	42	200	400	400	160	เตตราห์.ไพร์	t{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2	Steritruncated 5-cube celliprismated triacontaditeron (capt)	242	1600	2960	2240	640		t{4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×{3,3}	t {3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2	Runcitruncated 5-cube prismatotruncated penteract (pattin)	202	1560	3760	3360	960		t {4,3,3}	-	{8}×{3}	{ }×r{3,3}	rr{3,3,3}
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2	Steriruncitruncated 5-cube celliprismatotruncated penteractitriacontaditeron (captint) (Steriruncitruncated 5-orthoplex)	242	2160	5760	5760	1920		t {4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×t{3,3}	t {3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√2	Cantitruncated 5-cube great rhombated penteract (girn)	122	680	1520	1600	640		tr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t{3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2	Stericantitruncated 5-cube celligreatorhombated penteract (cogrin)	242	2400	6000	5760	1920		tr{4,3,3}	tr{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×rr{3,3}	t {3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2	Runcicantitruncated 5-cube great prismated penteract (gippin)	202	1560	4240	4800	1920		t {4,3,3}	-	{8}×{3}	{ }×t{3,3}	tr{3,3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2	Omnitruncated 5-cube great cellated penteractitriacontaditeron (gacnet) (omnitruncated 5-orthoplex)	242	2640	8160	9600	3840	Irr. {3,3,3}	tr{4,3}×{ }	tr{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×tr{3,3}	t {3,3,3}
51		5-เดมิคิวบ์เฮมิเพอแร็กต์ (ฮิน)=	26	120	160	80	16	r{3,3,3}	h{4,3,3}	-	-	-	-	(16) {3,3,3}
52		แคนติก 5 ลูกบาศก์ครึ่งลำไส้เล็กส่วนต้นที่ถูกตัด (บาง)=	42	280	640	560	160		h {4,3,3}	-	-	-	(16) r{3,3,3}	(16) t{3,3,3}
53		Runcic 5-cube Small rhombated hemipenteract (sirhin)=	42	360	880	720	160		h {4,3,3}	-	-	-	(16) r{3,3,3}	(16) rr{3,3,3}
54		สเตอริก 5 ลูกบาศก์ปริซึมเล็ก เฮมิเพเทอร์แร็กต์ (ซิฟิน)=	82	480	720	400	80		h{4,3,3}	h{4,3}×{}	-	-	(16) {3,3,3}	(16) t {3,3,3}
55		Runcicantic 5-cube Great rhombated hemipenteract (girhin)=	42	360	1040	1200	480		h {4,3,3}	-	-	-	(16) 2t{3,3,3}	(16) tr{3,3,3}
56		Stericantic 5-cube Prismatotruncated hemipenteract (pithin)=	82	720	1840	1680	480		h {4,3,3}	h {4,3}×{}	-	-	(16) rr{3,3,3}	(16) t {3,3,3}
57		Steriruncic 5-cube Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)=	82	560	1280	1120	320		h {4,3,3}	h{4,3}×{}	-	-	(16) t{3,3,3}	(16) t {3,3,3}
58		Steriruncicantic 5-cube Great prismated hemipenteract (giphin)=	82	720	2080	2400	960		h {4,3,3}	h {4,3}×{}	-	-	(16) tr{3,3,3}	(16) t {3,3,3}
ไม่สม่ำเสมอ		Alternated runcicantitruncated 5-orthoplex Snub prismatotriacontaditeron (snippit) Snub hemipenteract (snahin)=	1122	6240	10880	6720	960		sr{3,3,4}	sr{2,3,4}	sr{3,2,4}	-	ht {3,3,3}	(960) Irr. {3,3,3}
ไม่สม่ำเสมอ		Edge-snub 5-orthoplex Pyritosnub penteract (pysnan)	1202	7920	15360	10560	1920		sr {3,3,4}	sr {2,3,4}	sr {3,2,4}	s{3,3}×{ }	ht {3,3,3}	(960) Irr. {3,3}×{ }
ไม่สม่ำเสมอ		Snub 5-cube Snub penteract (snan)	2162	12240	21600	13440	960		ht {3,3,4}	ht {2,3,4}	ht {3,2,4}	ht {3,3,2}	ht {3,3,3}	(1920) Irr. {3,3,3}

ตระกูลD

ตระกูลD มีสมมาตรลำดับที่ 1920 (5! x 2 ⁴ )

ตระกูลนี้มีโพลีโทปแบบเอกรูปของวิธอฟ 23 แบบ ซึ่งได้มาจาก การเรียงสับเปลี่ยน 3×8-1 ของ แผนภาพค็อกซ์เตอร์ D ที่มีวงแหวนหนึ่งวงขึ้นไป 15 แบบ (2×8-1) ซ้ำมาจากตระกูล B และ 8 แบบเป็นเอกลักษณ์เฉพาะของตระกูลนี้ แม้แต่ 8 แบบนั้นก็ยังซ้ำการสลับจากตระกูล B อยู่ดี

ในการทำซ้ำ 15 ครั้ง โหนดทั้งสองที่สิ้นสุดกิ่งที่มีความยาว 1 จะถูกล้อมไว้ ดังนั้นทั้งสองชนิดขององค์ประกอบเหมือนกันและสมมาตรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า: ความสัมพันธ์คือ... =.... และ... =...สร้างการจำลองแบบสมบูรณ์ของโพลีโทป 5 มิติที่เป็นเอกรูป 20 ถึง 34 ข้างต้น รูปแบบใหม่ทั้ง 8 รูปแบบมีโหนดหนึ่งที่มีวงแหวนล้อมรอบและอีกโหนดหนึ่งไม่มี โดยมีความสัมพันธ์ดังนี้... =...ทำซ้ำโพลีโทป 5 มิติที่เป็นเอกรูป 51 ถึง 58 ข้างต้น

#	แผนภาพ Coxeter สัญลักษณ์ Schläfliสัญลักษณ์ชื่อ Johnson และ Bowers	จำนวนองค์ประกอบ					รูปจุดยอด	ลักษณะตามตำแหน่ง: [3 ^1,2,1 ]
#		4	3	2	1	0	รูปจุดยอด	[3,3,3] (16)	[3 ^1,1,1 ] (10)	[3,3]×[ ] (40)	[ ]×[3]×[ ] (80)	[3,3,3] (16)	อัลท์
[51]	=h{4,3,3,3}, 5-เดมิคิวบ์เฮมิเพนเทอแร็กต์ (hin)	26	120	160	80	16	r{3,3,3}	{3,3,3}	h{4,3,3}	-	-	-
[52]	=h {4,3,3,3}, cantic 5-cube Truncated hemipenteract (thin)	42	280	640	560	160		t{3,3,3}	h {4,3,3}	-	-	r{3,3,3}
[53]	=h {4,3,3,3}, runcic 5-cube Small rhombated hemipenteract (sirhin)	42	360	880	720	160		rr{3,3,3}	h {4,3,3}	-	-	r{3,3,3}
[54]	=h {4,3,3,3}, สเตอริก 5-คิวบ์เฮมิเพเทอร์แร็กต์ปริซึมขนาดเล็ก (ซิฟิน)	82	480	720	400	80		t {3,3,3}	h{4,3,3}	h{4,3}×{}	-	{3,3,3}
[55]	=h {4,3,3,3}, runcicantic 5-cube Great rhombated hemipenteract (girhin)	42	360	1040	1200	480		2t{3,3,3}	h {4,3,3}	-	-	tr{3,3,3}
[56]	=h {4,3,3,3}, สเตอริแคนติก 5-คิวบ์ปริซึมตัดครึ่งเฮมิเพอแร็กต์ (พิธิน)	82	720	1840	1680	480		t {3,3,3}	h {4,3,3}	h {4,3}×{}	-	rr{3,3,3}
[57]	=h {4,3,3,3}, steriruncic 5-cube Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)	82	560	1280	1120	320		t {3,3,3}	h {4,3,3}	h{4,3}×{}	-	t{3,3,3}
[58]	=h {4,3,3,3}, steriruncicantic 5-cube Great prismated hemipenteract (giphin)	82	720	2080	2400	960		t {3,3,3}	h {4,3,3}	h {4,3}×{}	-	tr{3,3,3}
ไม่สม่ำเสมอ	=ht {3,3,3,4}, alternated runcicantitruncated 5-orthoplex Snub hemipenteract (snahin)	1122	6240	10880	6720	960		ht {3,3,3}	sr{3,3,4}	sr{2,3,4}	sr{3,2,4}	ht {3,3,3}	(960) Irr. {3,3,3}

รูปทรงปริซึมที่สม่ำเสมอ

มี กลุ่มรูป ทรง หลายเหลี่ยม ปริซึมเอกรูปจำกัด 5 กลุ่ม โดยอิงจากรูปทรงหลายเหลี่ยม4 มิติเอกรูป ที่ไม่เป็นปริซึม เพื่อความง่าย จึงไม่ได้แสดงการสลับส่วนใหญ่ไว้

เอ × เอ

กลุ่มผลึกทรงปริซึมนี้มี9 รูปแบบ :

ตระกูลA x A มีสมมาตรลำดับที่ 240 (2*5!)

#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	จำนวนองค์ประกอบ
#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	แง่มุมต่างๆ	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
59	= {3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์ (penp)	7	20	30	25	10
60	= r{3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบปรับแก้ (rappip)	12	50	90	70	20
61	= t{3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบตัดยอด (ทิปปิป)	12	50	100	100	40
62	= rr{3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบมีมุม (srippip)	22	120	250	210	60
63	= t {3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบรันซิเนต (สไปดิป)	32	130	200	140	40
64	= 2t{3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบบิตรันเคต (decap)	12	60	140	150	60
65	= tr{3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบตัดทอน (กริปปิป)	22	120	280	300	120
66	= t {3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบตัดทอน Runci (prippip)	32	180	390	360	120
67	= t {3,3,3}×{ } ปริซึม 5 เซลล์แบบ Omnitruncated (gippiddip)	32	210	540	600	240

บี × เอ

ตระกูลปริซึมนี้มี16 รูปแบบ (สามรูปแบบมีร่วมกับ ตระกูล [3,4,3]×[ ])

ตระกูลA ×B มีสมมาตรลำดับที่ 768 (2 ⁵4 !)

สามารถสร้างรูปทรงสามรูปสุดท้ายได้โดยใช้ขอบที่มีความยาวเท่ากัน แต่ก็ยังคงไม่สม่ำเสมออยู่ดี เนื่องจากบางหน้าสี่ด้านของรูปทรงเหล่านั้นไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่สม่ำเสมอ

#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	จำนวนองค์ประกอบ
#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	แง่มุมต่างๆ	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
[16]	= ปริซึมเทสเซอแร็กติก{4,3,3}×{ } (เหมือนกับลูกบาศก์ 5 ด้าน )	10	40	80	80	32
68	= r{4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบปรับแก้ (rittip)	26	136	272	224	64
69	= t{4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบตัดยอด (แทตทิป)	26	136	304	320	128
70	= rr{4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบมีจุด (srittip)	58	360	784	672	192
71	= t {4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบรันซิเนต (ซิดพิธิป)	82	368	608	448	128
72	= 2t{4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบบิตรันเคต (tahp)	26	168	432	480	192
73	= tr{4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบตัดปลาย (ปลายกรวด)	58	360	880	960	384
74	= t {4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบรันซิตรันเคต (prohp)	82	528	1216	1152	384
75	= t {4,3,3}×{ } ปริซึมเทสเซอแร็กติกแบบตัดปลายทั้งหมด (gidpithip)	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4}×{ } ปริซึม 16 เซลล์ (เฮกซิป)	18	64	88	56	16
77	= r{3,3,4}×{ } ปริซึม 16 เซลล์แบบปรับแก้ (ไอโคป) (เหมือนกับปริซึม 24 เซลล์ )	26	144	288	216	48
78	= t{3,3,4}×{ } ปริซึม 16 เซลล์แบบตัดยอด (thexip)	26	144	312	288	96
79	= rr{3,3,4}×{ } ปริซึม 16 เซลล์แบบมีเส้นประ (ริโคป) (เหมือนกับปริซึม 24 เซลล์แบบปรับแก้แล้ว )	50	336	768	672	192
80	= tr{3,3,4}×{ } ปริซึมตัดยอด 16 เซลล์ (ticope) (เหมือนกับปริซึมตัดยอด 24 เซลล์ )	50	336	864	960	384
81	= t {3,3,4}×{ } Runcitruncated 16-cell prism (prittip)	82	528	1216	1152	384
82	= sr{3,3,4}×{ } ปริซึม 24 เซลล์แบบสนับ (sadip)	146	768	1392	960	192
ไม่สม่ำเสมอ	ปริซึมเทสเซอแร็กติกแก้ไข (ริต้า)	50	288	464	288	64
ไม่สม่ำเสมอ	อัลเทอร์ปริซึม 16 เซลล์แบบตัดทอน (เท็กซา)	26	168	384	336	96
ไม่สม่ำเสมอ	bitruncated tesseractic alterprism (taha)	50	288	624	576	192

F × A

กลุ่มผลึกทรงปริซึมนี้มี10 รูปแบบ

ตระกูลA x F มีสมมาตรลำดับที่ 2304 (2*1152) โพลีโทปสามรูป 85, 86 และ 89 (พื้นหลังสีเขียว) มีสมมาตรคู่ [[3,4,3],2] ลำดับที่ 4608 ส่วนรูปสุดท้ายคือปริซึมแบบสนับ 24 เซลล์ (พื้นหลังสีน้ำเงิน) มีสมมาตร [3 + ^, 4,3,2] ลำดับที่ 1152

#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	จำนวนองค์ประกอบ
#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	แง่มุมต่างๆ	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
[77]	= {3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์ (ไอโคป)	26	144	288	216	48
[79]	= r{3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์ปรับแก้ (ริโคป)	50	336	768	672	192
[80]	= ปริซึมตัดยอด 24 เซลล์ t{3,4,3}×{ } (ticope)	50	336	864	960	384
83	= rr{3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์แบบมีมุม (sricope)	146	1008	2304	2016	576
84	= t {3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์แบบรันซิน (สปิคคัพ)	242	1152	1920	1296	288
85	= 2t{3,4,3}×{ } bitruncated 24-cell prism (contip)	50	432	1248	1440	576
86	= tr{3,4,3}×{ } ปริซึมตัดยอด 24 เซลล์ (gricope)	146	1008	2592	2880	1152
87	= t {3,4,3}×{ } runcitruncated 24-cell prism (pricope)	242	1584	3648	3456	1152
88	= t {3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์แบบตัดปลายทั้งหมด (gippiccup)	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= s{3,4,3}×{ } ปริซึม 24 เซลล์แบบสนับ (sadip)	146	768	1392	960	192

H × A

กลุ่มผลึกทรงปริซึมนี้มี15 รูปแบบ :

ตระกูลA x H มีสมมาตรลำดับที่ 28800 (2*14400)

#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	จำนวนองค์ประกอบ
#	แผนภาพ Coxeterและชื่อสัญลักษณ์Schläfli	แง่มุมต่างๆ	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
89	= {5,3,3}×{ } ปริซึม 120 เซลล์ (hipe)	122	960	2640	3000	1200
90	= r{5,3,3}×{ } ปริซึม 120 เซลล์แบบแก้ไข (rahipe)	722	4560	9840	8400	2400
91	= t{5,3,3}×{ } ปริซึมตัดยอด 120 เซลล์ (thipe)	722	4560	11040	12000	4800
92	= rr{5,3,3}×{ } ปริซึม 120 เซลล์แบบ Cantellated (srahip)	1922	12960	29040	25200	7200
93	= t {5,3,3}×{ } ปริซึม 120 เซลล์แบบรันซิน (sidpixhip)	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t{5,3,3}×{ } ปริซึม 120 เซลล์แบบบิตรันเคต (xhip)	722	5760	15840	18000	7200
95	= tr{5,3,3}×{ } ปริซึมตัดยอด 120 เซลล์ (กราฟ)	1922	12960	32640	36000	14400
96	= t {5,3,3}×{ } Runcitruncated 120-cell prism (prixip)	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t {5,3,3}×{ } ปริซึม Omnitruncated 120 เซลล์ (gidpixhip)	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5}×{ } ปริซึม 600 เซลล์ (exip)	602	2400	3120	1560	240
99	= r{3,3,5}×{ } ปริซึม 600 เซลล์แบบแก้ไข (roxip)	722	5040	10800	7920	1440
100	= t{3,3,5}×{ } ปริซึมตัดยอด 600 เซลล์ (texip)	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr{3,3,5}×{ } ปริซึม 600 เซลล์แบบ Cantellated (srixip)	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr{3,3,5}×{ } ปริซึมตัดทอน 600 เซลล์ (grixip)	1442	11520	31680	36000	14400
103	= t {3,3,5}×{ } ปริซึม 600 เซลล์แบบรันซิตรันเคต (prahip)	2642	18720	44880	43200	14400

ปริซึมคู่

ปริซึมดูโอปริซึมแบบสม่ำเสมอ { p }×{ q }×{ } ก่อให้เกิดคลาสอนันต์สำหรับจำนวนเต็มp , q >2 ทั้งหมด {4}×{4}×{ } สร้างรูปแบบสมมาตรที่ต่ำกว่าของลูกบาศก์ 5มิติ

เวกเตอร์ fที่ขยายของ { p }×{ q }×{ } คำนวณได้เป็น ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 )

แผนภาพค็อกซ์เตอร์	ชื่อ	จำนวนองค์ประกอบ
แผนภาพค็อกซ์เตอร์	ชื่อ	4 หน้า	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
	{ p }×{ q }×{ } ^{[ 9 ]}	พี + คิว +2	3 pq +3 p +3 q	4 pq +2 p +2 q	5 พีคิว	2 พีคิว
	{ p } ² ×{ }	2( p +1)	3 p ( p +1)	4 p ( p +1)	5 หน้า²	2 หน้า²
	{3} ² ×{ }	8	36	48	45	18
	{4} ² ×{ } = 5-ลูกบาศก์	10	40	80	80	32

ปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่

ปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนแบบเอกรูป 5 มิติที่ไม่เป็นไปตามกฎของวิธอฟฟ์เพียงรูปเดียวที่รู้จัก มีจุดยอด 200 จุด ขอบ 1100 เส้น หน้า 1940 หน้า (รูปห้าเหลี่ยม 40 รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส 500 รูป สามเหลี่ยม 1400 รูป) เซลล์ 1360 เซลล์ ( ทรง สี่เหลี่ยม ด้านเท่า 600 รูป ปริซึมแอ นติปริซึมห้าเหลี่ยม 40 รูป ปริซึม สามเหลี่ยม 700 รูป ปริซึมห้าเหลี่ยม 20 รูป) และไฮเปอร์เซลล์ 322 เซลล์ ( ปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่ 2 รูปปริซึมแอนติปริซึมห้าเหลี่ยม 20 รูปและปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 300 รูป )

#	ชื่อ	จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ	แง่มุมต่างๆ	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
104	ปริซึมแอนติปริซึมขนาดใหญ่ (แกปปิป) ^{[ 10 ]}	322	1360	1940	1100	200

หมายเหตุเกี่ยวกับการสร้าง Wythoff สำหรับโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอ

การสร้าง รูปทรงหลายเหลี่ยมสะท้อนแสง 5 มิติแบบสม่ำเสมอทำได้โดยใช้ กระบวนการ สร้างแบบ Wythoffและแสดงผลผ่านแผนภาพ Coxeterโดยที่แต่ละโหนดแทนกระจก โหนดต่างๆ จะถูกล้อมกรอบเพื่อระบุว่ากระจกใดทำงานอยู่ ชุดรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอทั้งหมดที่สร้างขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่ซ้ำกันของโหนดที่ถูกล้อมกรอบ รูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติแบบสม่ำเสมอจะถูกตั้งชื่อโดยสัมพันธ์กับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในแต่ละตระกูล บางตระกูลมีตัวสร้างปกติสองตัว ดังนั้นจึงอาจมีวิธีการตั้งชื่อสองวิธี

ต่อไปนี้คือตัวดำเนินการหลักที่มีให้สำหรับการสร้างและการตั้งชื่อโพลีโทป 5 มิติแบบเอกรูป

การดำเนินการสุดท้าย คือ การตัดมุม และโดยทั่วไปคือการสลับมุม เป็นการดำเนินการที่สามารถสร้างรูปทรงที่ไม่สะท้อนแสงได้ รูปทรงเหล่านี้วาดด้วย "วงแหวนกลวง" ที่จุดเชื่อมต่อ

รูปแบบปริซึมและกราฟแยกสาขาสามารถใช้สัญกรณ์การจัดทำดัชนีการตัดทอนแบบเดียวกันได้ แต่จำเป็นต้องมีระบบการกำหนดหมายเลขที่ชัดเจนบนโหนดเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น

การดำเนินการ	สัญลักษณ์ Schläfliแบบขยาย		คำอธิบาย
พ่อแม่	t {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	โพลีโทป 5 เหลี่ยมปกติใดๆ
แก้ไขแล้ว	t {p,q,r,s}	r{p,q,r,s}	ขอบทั้งหมดถูกตัดให้เหลือเพียงจุดเดียว โพลีโทป 5 มิติในตอนนี้มีหน้าตัดรวมกันของโพลีโทปหลักและโพลีโทปคู่
ไบเรกติไฟด์	t {p,q,r,s}	2r{p,q,r,s}	การแปลงภาพเป็นภาพขาวดำจะลดทอนภาพด้านให้เหลือเพียงจุด และเซลล์ ให้เหลือเพียง ภาพคู่ของมัน
ไตรเรกติไฟด์	t {p,q,r,s}	3r{p,q,r,s}	การแก้ไขสัญญาณแบบไตรเรคติฟิเคชันจะลดเซลล์ให้เหลือเพียงจุด (การแก้ไขสัญญาณแบบคู่)
ควอดริเรคติไฟด์	t {p,q,r,s}	4r{p,q,r,s}	การแปลงเหลี่ยมมุมเป็นสี่เหลี่ยมลดเหลี่ยมมุมฉาก 4 ด้านให้เหลือเพียงจุด (แบบคู่)
ตัดทอน	t {p,q,r,s}	t{p,q,r,s}	จุดยอดเดิมแต่ละจุดจะถูกตัดออก โดยมีหน้าใหม่มาเติมเต็มช่องว่าง การตัดทอนมีระดับความเป็นอิสระ ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาหนึ่งที่สร้างโพลีโทป 5 มิติที่ถูกตัดทอนอย่างสม่ำเสมอ โพลีโทป 5 มิตินี้จะมีหน้าเดิมเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในด้านจำนวนด้าน และประกอบด้วยหน้าของโพลีโทปคู่
แคนเทลเลต	t {p,q,r,s}	rr{p,q,r,s}	นอกจากการตัดจุดยอดแล้ว ขอบเดิมแต่ละด้านจะถูกลบเหลี่ยมโดยมีหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ปรากฏขึ้นแทนที่
รันซิเนต	t {p,q,r,s}		กระบวนการรันซิเนชั่นจะลดจำนวนเซลล์และสร้างเซลล์ใหม่ที่จุดยอดและขอบ
ฆ่าเชื้อแล้ว	t {p,q,r,s}	2r2r{p,q,r,s}	กระบวนการสเตอริเซชันจะลดจำนวนเหลี่ยมและสร้างเหลี่ยมใหม่ (ไฮเปอร์เซลล์) ที่จุดยอดและขอบในช่องว่าง (เช่นเดียวกับ การ ขยายรูปทรง 5 มิติ)
ออมนิทรันเคท	t {p,q,r,s}		มีการใช้ตัวดำเนินการทั้งสี่ ได้แก่ การตัดทอน การหาจุดร่วม การลดทอน และการหาค่าคงที่
ครึ่ง	h{2p,3,q,r}		การสลับกันเหมือนกับ
บทเพลงสวด	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
รันซิก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
รันซิแคนติก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
สเตอริก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
สเตอริรันซิก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
สเตอริแคนติก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
สเตอริรันซิแคนติก	h {2p,3,q,r}		เหมือนกัน
เมินเฉย	s{p,2q,r,s}		การตัดทอนแบบสลับ
การแก้ไข Snub	sr{p,q,2r,s}		การแก้ไขแบบตัดทอนสลับกัน
	ht {p,q,r,s}		การตัดทอนแบบสลับ
การเมินเฉยอย่างสมบูรณ์	ht {p,q,r,s}		การตัดทอนแบบสลับ

รังผึ้งที่เป็นระเบียบและสม่ำเสมอ

มีกลุ่ม Coxeter affine พื้นฐานห้ากลุ่ม และกลุ่มปริซึม 13 กลุ่มที่สร้างการปูพื้นแบบปกติและสม่ำเสมอในปริภูมิยูคลิด 4 มิติ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

กลุ่มพื้นฐาน
#	กลุ่มค็อกซ์เตอร์			แผนภาพค็อกซ์เตอร์	แบบฟอร์ม
1	${\tilde {A}}_{4}$	[3 ^[5] ]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]			19
3	${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3 ^1,1 ]	[4,3,3,4,1 ⁺ ]	=	23 (ใหม่ 8 รายการ)
4	${\tilde {D}__{4}$	[3 ^1,1,1,1 ]	[1 ⁺ ,4,3,3,4,1 ⁺ ]	=	9 (0 ใหม่)
5	${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]			31 (ใหม่ 21 รายการ)

มีโครงสร้างรังผึ้งปกติ สามแบบ ในปริภูมิยูคลิด 4 มิติ:

รังผึ้งเทสเซอแร็กติกพร้อมสัญลักษณ์ {4,3,3,4}=ในกลุ่มผึ้งนี้มีรังผึ้งที่เหมือนกันทั้งหมด 19 รัง
โครงสร้างรังผึ้ง 24 เซลล์พร้อมสัญลักษณ์ {3,4,3,3}ในตระกูลนี้มีโครงสร้างรังผึ้งสะท้อนแสงแบบสม่ำเสมอ 31 แบบ และแบบสลับอีก 1 แบบ
- รังผึ้งแบบตัดทอน 24 เซลล์ที่มีสัญลักษณ์ t{3,4,3,3}
- โครงสร้างรังผึ้งแบบ Snub 24 เซลล์พร้อมสัญลักษณ์ s{3,4,3,3}และสร้างขึ้นจากโครงสร้างsnub 24-cell สี่อัน , โครงสร้าง16-cell หนึ่งอัน และโครงสร้าง5-cell ห้าอัน ที่แต่ละจุดยอด
รังผึ้ง 16 ช่องพร้อมสัญลักษณ์ {3,3,4,3}

ตระกูลอื่นๆ ที่สร้างรังผึ้งที่มีโครงสร้างสม่ำเสมอ:

มีรูปแบบวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน 23 รูปแบบ โดย 8 รูปแบบใหม่อยู่ใน ตระกูล รังผึ้ง 16 เซลล์โดยมีสัญลักษณ์ h{4,3 ² ,4} ซึ่งมีลักษณะทางเรขาคณิตเหมือนกับรังผึ้ง16 เซลล์=
มีวงแหวนที่มีลักษณะเฉพาะ 7 รูปแบบจากกลุ่มนี้ ${\tilde {A}}_{4}$ ${\tilde {A}}_{4}$ ครอบครัวใหม่ทั้งหมด รวมถึง:
มีรูปแบบวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน 9 รูปแบบใน: [3 ^1,1,1,1 ] ${\tilde {D}__{4}$ ตระกูลนี้ มีแบบใหม่สองแบบ รวมถึงแบบรังผึ้งเทสเซอแร็กติกหนึ่งในสี่ส่วนด้วย=และโครงสร้างรังผึ้งเทสเซอแร็กติกแบบบิตรันเคต=.

นอกจากนี้ ยังมีการจัดเรียงพื้นผิวแบบสม่ำเสมอ ที่ไม่เป็นไปตามแบบ Wythoffในปริภูมิ 4 มิติ โดยอาศัยการยืด (การแทรกชั้น) และการหมุน (การหมุนชั้น) จากรูปทรงสะท้อนเหล่านี้

กลุ่มปริซึม
#	กลุ่มค็อกซ์เตอร์
1	${\tilde {C}}_{3}$ × ${\tilde {I}__{1}$	[4,3,4,2,∞]
2	${\tilde {B}}_{3}$ × ${\tilde {I}__{1}$	[4,3 ^1,1 ,2,∞]
3	${\tilde {A}}_{3}$ × ${\tilde {I}__{1}$	[3 ^[4] ,2,∞]
4	${\tilde {C}}_{2}$ × x ${\tilde {I}__{1}$ ${\tilde {I}__{1}$	[4,4,2,∞,2,∞]
5	${\tilde {H}}_{2}$ × x ${\tilde {I}__{1}$ ${\tilde {I}__{1}$	[6,3,2,∞,2,∞]
6	${\tilde {A}}_{2}$ × x ${\tilde {I}__{1}$ ${\tilde {I}__{1}$	[3 ^[3] ,2,∞,2,∞]
7	${\tilde {I}__{1}$ × x x ${\tilde {I}__{1}$ ${\tilde {I}__{1}$ ${\tilde {I}__{1}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8	${\tilde {A}}_{2}$ x ${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[3] ,2,3 ^[3] ]
9	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[3 ^[3] ,2,4,4]
10	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[3 ^[3] ,2,6,3]
11	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[4,4,2,4,4]
12	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[4,4,2,6,3]
13	${\tilde {G}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[6,3,2,6,3]

รังผึ้งไฮเปอร์โบลิกแบบปกติและสม่ำเสมอ

กลุ่มกะทัดรัดไฮเปอร์โบลิก

มีกลุ่ม Coxeter ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด 5 กลุ่ม ที่มีอันดับ 5 โดยแต่ละกลุ่มสร้างโครงสร้างรังผึ้งสม่ำเสมอในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 4 มิติ ในรูปของการเรียงสับเปลี่ยนของวงแหวนของแผนภาพ Coxeter

${\วงกว้าง {AF}__{4}$ = [(3,3,3,3,4)]:	${\bar {DH}__{4}$ = [5,3,3 ^1,1 ]:	${\bar {H}}_{4}$ = [3,3,3,5]: ${\bar {BH}}_{4}$ = [4,3,3,5]: ${\bar {K}__{4}$ = [5,3,3,5]:

มีรังผึ้งไฮเปอร์โบลิกนูนขนาดกะทัดรัดปกติ 5 อันในปริภูมิ H ⁴ : ^{[ 13 ]}

รังผึ้งไฮเปอร์โบลิกนูนขนาดกะทัดรัดปกติ
ชื่อรังผึ้ง	สัญลักษณ์Schläfli {p,q,r,s}	ประเภทFacet {p,q,r}	ประเภทเซลล์{p,q}	ประเภทใบหน้า{p}	รูปหน้า{s}	รูปขอบ{r,s}	รูปจุดยอด {q,r,s}	สองชั้น
คำสั่งซื้อที่ 5 5 เซลล์ (เพนเต้)	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
คำสั่งซื้อที่ 3 เซลล์ 120 เซลล์ (ฮิตเต้)	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
เทสเซอแร็กต์ลำดับที่ 5 (พิเทสต์)	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
คำสั่งซื้อที่ 4 120 เซลล์ (ห่วยแตก)	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
แบตเตอรี่ Order-5 ขนาด 120 เซลล์ (Phitte)	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	ตนเองสอง

นอกจากนี้ ยังมีโครงสร้างรังผึ้งรูปดาวไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัดปกติ 4 แบบในปริภูมิ H4 ^ด้วย :

รังผึ้งดาวไฮเปอร์โบลิกปกติขนาดกะทัดรัด
ชื่อรังผึ้ง	สัญลักษณ์Schläfli {p,q,r,s}	ประเภทFacet {p,q,r}	ประเภทเซลล์{p,q}	ประเภทใบหน้า{p}	รูปหน้า{s}	รูปขอบ{r,s}	รูปจุดยอด {q,r,s}	สองชั้น
ลำดับที่ 3 เซลล์รูปดาวขนาดเล็ก 120 เซลล์ (sishitte)	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}
เซลล์ 600 เซลล์เรียงตามลำดับเพนทาแกรม (ฟิปเต)	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}
ลำดับที่ 5 ไอโคซาเฮดรอล 120 เซลล์ (ทิฟไพต์)	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}
สั่งซื้อชุดที่ 3 แบตเตอรี่ขนาด 120 เซลล์ (gohitte)	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}

กลุ่มพาราคอมแพ็กต์ไฮเปอร์โบลิก

มีกลุ่ม Coxeter ไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ 9 กลุ่มที่มีอันดับ 5ซึ่งแต่ละกลุ่มสร้างรังผึ้งแบบสม่ำเสมอในปริภูมิ 4 มิติ โดยเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของวงแหวนของแผนภาพ Coxeter กลุ่มพาราคอมแพ็กต์สร้างรังผึ้งที่มีด้านหรือรูปทรงจุด ยอด อนันต์

${\bar {P}__{4}$ = [3,3 ^[4] ]: ${\bar {BP}}_{4}$ = [4,3 ^[4] ]: ${\bar {FR}}_{4}$ = [(3,3,4,3,4)]: ${\bar {DP}}_{4}$ = [3 ^[3]×[] ]:	${\bar {N}__{4}$ = [4,/3\,3,4]: ${\bar {O}__{4}$ = [3,4,3 ^1,1 ]: ${\bar {S}}_{4}$ = [4,3 ^2,1 ]: ${\bar {M}}_{4}$ = [4,3 ^1,1,1 ]:	${\bar {R}}_{4}$ = [3,4,3,4]:

หมายเหตุ

↑ที. กอสเซ็ต :ว่าด้วยรูปทรงปกติและกึ่งปกติในปริภูมิ n มิติ , วารสารคณิตศาสตร์, แมคมิลแลน, 1900
↑อภิธานศัพท์หลายมิติ , จอร์จ โอลเชฟสกี
↑ Bowers, Jonathan (2000). "Uniform Polychora" (PDF)ใน Reza Sarhagi (บรรณาธิการ). Bridges 2000.การประชุม Bridges. หน้า239–246 .
↑เครื่องแบบโพลีเทรา , โจนาธาน โบเวอร์ส
↑โพลีโทปสม่ำเสมอ
↑ ACW (24 พฤษภาคม 2012), "โพลีโทป 5 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ" , Open Problem Garden , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 5 ตุลาคม 2016 , เรียกดู เมื่อ 4 ตุลาคม 2016
↑โพลีโทปปกติและกึ่งปกติ III, หน้า 315 กลุ่มจำกัด 5 มิติสามกลุ่ม
↑ Coxeter ,รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ , §12.6 จำนวนการสะท้อน, สมการ 12.61
↑ "N,k-dippip" .
↑ "แกปปิป "
↑โพลีโทปปกติ หน้า 297 ตารางที่ IV บริเวณพื้นฐานสำหรับกลุ่มที่ไม่สามารถลดรูปได้ซึ่งสร้างขึ้นโดยการสะท้อน
↑รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและกึ่งปกติ เล่ม 2 หน้า 298–302 รังผึ้งสี่มิติ
↑ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, บทที่ 10: รังผึ้งปกติในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก, ตารางสรุป IV หน้า 213

ลิงก์ภายนอก

คลิทซิง, ริชาร์ด. "โพลีโทปสม่ำเสมอ 5 มิติ (โพลีเทอรา) "– รวมถึงรูปแบบที่ไม่นูน ตลอดจนโครงสร้างที่ซ้ำกันจากตระกูล B และ D

วี ที อี โพลีโทปนูน ปกติและสม่ำเสมอพื้นฐานในมิติ 2–10
ตระกูล	$หนึ่ง$	$บี$	$I (p)$ / $D$	$อี$ / $อี$ / $อี$ / $เอฟ$ / $จี$	$เอช$
รูปหลายเหลี่ยมปกติ	สามเหลี่ยม	สี่เหลี่ยม	พี-กอน	หกเหลี่ยม	เพนตากอน
ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ	จัตุรมุข	ทรงแปดเหลี่ยม • ทรงลูกบาศก์	เดมิคิวบ์		ทรงสิบสองเหลี่ยม • ทรงยี่สิบเหลี่ยม
โพลีโครอนแบบสม่ำเสมอ	เพนทาโครอน	เทสเซอแร็กต์ 16 เซลล์	เดมิเทสเซอแร็กต์	24 เซลล์	120 เซลล์ • 600 เซลล์
โพลีโทป 5 เหลี่ยมสม่ำเสมอ	5-ซิมเพล็กซ์	5-ออร์โธเพล็กซ์ • 5-คิวบ์	5-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 6 รูปทรงสม่ำเสมอ	6-ซิมเพล็กซ์	6-ออร์โธเพล็กซ์ • 6-คิวบ์	6-เดมิคิวบ์	1 • 2
โพลีโทป 7 รูปทรงสม่ำเสมอ	7-ซิมเพล็กซ์	7-ออร์โธเพล็กซ์ • 7-คิวบ์	7-เดมิคิวบ์	1 • 2 • 3
โพลีโทป 8 รูปทรงสม่ำเสมอ	8-ซิมเพล็กซ์	8-ออร์โธเพล็กซ์ • 8-คิวบ์	8-เดมิคิวบ์	1 • 2 • 4
โพลีโทป 9 รูปทรงสม่ำเสมอ	9-ซิมเพล็กซ์	9-ออร์โธเพล็กซ์ • 9-คิวบ์	9-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 10 รูปทรงสม่ำเสมอ	10-ซิมเพล็กซ์	10-ออร์โธเพล็กซ์ • 10-คิวบ์	10 เดมิคิวบ์
โพลีโทปnสม่ำเสมอ	n - ซิมเพล็กซ์	n - ออร์โธเพล็กซ์ • n - คิวบ์	n - เดมิคิวบ์	1 • 2 • k	n - โพลีโทปห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ตระกูลของรูปทรงหลายเหลี่ยม • รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ • รายชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ • การดำเนินการกับรูปทรงหลายเหลี่ยม

วี ที อี รังผึ้งนูน พื้นฐานแบบปกติและสม่ำเสมอในมิติ 2–9
ช่องว่าง	ตระกูล	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}__{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}__{n-1}$
อี²	การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ	หกเหลี่ยม
อี³	รังผึ้งนูนสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ
อี⁴	รังผึ้ง 4 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ	รังผึ้ง 24 ช่อง
อี⁵	รังผึ้ง 5 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ
อี⁶	รังผึ้ง 6 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ	2
อี⁷	รังผึ้ง 7 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ	1 • 3
อี⁸	รังผึ้ง 8 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ	1 • 2 • 5
อี⁹	รังผึ้ง 9 อันสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ
อี¹⁰	รังผึ้ง 10 ชิ้นแบบสม่ำเสมอ	0	δ	h δ	q δ
E ^{n −1}	รังผึ้งสม่ำเสมอ ( n −1)	0	δ	h δ	q δ	1 • 2 • k

[1] ที. กอสเซ็ต :ว่าด้วยรูปทรงปกติและกึ่งปกติในปริภูมิ n มิติ , วารสารคณิตศาสตร์, แมคมิลแลน, 1900

[2] อภิธานศัพท์หลายมิติ , จอร์จ โอลเชฟสกี

[3] Bowers, Jonathan (2000). "Uniform Polychora" (PDF)ใน Reza Sarhagi (บรรณาธิการ). Bridges 2000.การประชุม Bridges. หน้า239–246 .

[4] เครื่องแบบโพลีเทรา , โจนาธาน โบเวอร์ส

[5] โพลีโทปสม่ำเสมอ

[6] ACW (24 พฤษภาคม 2012), "โพลีโทป 5 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ" , Open Problem Garden , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 5 ตุลาคม 2016 , เรียกดู เมื่อ 4 ตุลาคม 2016

[7] โพลีโทปปกติและกึ่งปกติ III, หน้า 315 กลุ่มจำกัด 5 มิติสามกลุ่ม

[8] Coxeter ,รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ , §12.6 จำนวนการสะท้อน, สมการ 12.61

[9] "N,k-dippip" .

[10] "แกปปิป "

[11] โพลีโทปปกติ หน้า 297 ตารางที่ IV บริเวณพื้นฐานสำหรับกลุ่มที่ไม่สามารถลดรูปได้ซึ่งสร้างขึ้นโดยการสะท้อน

[12] รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและกึ่งปกติ เล่ม 2 หน้า 298–302 รังผึ้งสี่มิติ

[13] Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, บทที่ 10: รังผึ้งปกติในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก, ตารางสรุป IV หน้า 213

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]