โพลีโทปปกติ n มิติ มีลำดับการปรับแก้n ลำดับ การปรับแก้ ลำดับที่ศูนย์คือรูปแบบดั้งเดิม การปรับแก้ลำดับที่ ( n − 1) คือรูปคู่การปรับแก้ หนึ่งลำดับ จะลดขอบให้เป็นจุดยอด การ ปรับ แก้สอง ลำดับจะลดหน้าให้เป็นจุดยอด การ ปรับแก้ สามลำดับ จะลดเซลล์ให้เป็นจุดยอดการปรับแก้สี่ลำดับจะลดหน้าสี่หน้าให้เป็นจุดยอดการปรับแก้ห้าลำดับจะลดหน้าห้าหน้าให้เป็นจุดยอด และอื่นๆ

สามารถใช้สัญลักษณ์ Schläfliแบบขยาย เพื่อแสดงรูปทรงที่ปรับแก้แล้ว โดยมีตัวห้อยเพียงตัวเดียว:

• การแก้ไขลำดับที่ k = t {p , p , ..., p } = k r .

การดำเนินการตัดทอนที่สามารถนำไปใช้กับ โพลีโทป n มิติปกติได้ ในทุกรูปแบบ แผนภาพ Coxeter ที่ได้จะมีจุดสองจุดที่มีวงแหวนล้อมรอบ และการดำเนินการจะตั้งชื่อตามระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง การตัด ทอนจะตัดจุดยอดการตัดขอบจะตัดเส้น ขอบ การตัดหน้า จะตัดหน้า ย่อยและการตัดเซลล์ การดำเนินการระดับสูงกว่าจะตัดการดำเนินการระดับต่ำกว่าด้วย ดังนั้นการตัดขอบจึงตัดทอนจุดยอดด้วยเช่นกัน

1. t หรือt : การตัดขอบ - ใช้กับรูปหลายเหลี่ยมขึ้นไป การตัดขอบจะลบจุดยอดออก และแทรกหน้าตัดใหม่แทนที่จุดยอดเดิมแต่ละจุด หน้าตัดจะทำให้จำนวนขอบเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (คำนี้คิดค้นโดยเคปเลอร์มาจากภาษาละตินtruncare 'ตัดออก')

   

   • นอกจากนี้ยังมีการตัดทอนที่สูงกว่านั้นอีก เช่นการตัดทอนแบบบิต t หรือ2t การตัดทอนแบบไตร t 2,3 3t การตัดทอนแบบควอดริt หรือ4tการตัดทอนแบบควินติt หรือ5tเป็นต้น
2. t หรือrr : การแคนเทลเลชัน (Cantellation) - ใช้กับทรงหลายเหลี่ยมและทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนกว่านั้น อาจมองได้ว่าเป็นการปรับปรุงการปรับปรุง ให้ ดียิ่งขึ้นไปอีก การแคนเทลเลชันจะตัดทั้งจุดยอดและขอบ และแทนที่ด้วยหน้าตัดใหม่ เซลล์จะถูกแทนที่ด้วย สำเนา ที่ขยาย ทางโทโพโลยี ของตัวเอง (คำนี้คิดค้นโดยจอห์นสัน มาจากคำกริยาcantเช่นเดียวกับbevelซึ่งหมายถึงการตัดด้วยหน้าตัดที่เอียง)

   

   • นอกจากนี้ยังมีแคนเทลเลชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบแคนเทลเลชันt หรือr2rไตรแคนเทลเลชันt หรือr3r ค วอดริแคนเทลเลชันt หรือr4rเป็นต้น
   • t หรือtr : การตัดทอนแบบแคนติทรันเคชัน (Cantitruncation ) - ใช้กับทรงหลายเหลี่ยม และทรงหลายเหลี่ยมที่ ซับซ้อนกว่านั้น อาจมองได้ว่าเป็นการตัดทอนการปรับแก้ทรงหลายเหลี่ยม การตัดทอนแบบแคนติทรันเคชันจะตัดทั้งจุดยอดและขอบ และแทนที่ด้วยหน้าตัดใหม่ เซลล์จะถูกแทนที่ด้วย สำเนา ที่ขยาย ทางโทโพโลยี ของตัวเอง (คำศัพท์ผสมนี้เป็นการรวมคำว่า cantellation และ truncation เข้าด้วยกัน)
     • นอกจากนี้ยังมีการตัดทอนที่สูงกว่าอีกด้วย เช่นbicantitruncation t หรือt2r , tricantitruncation t หรือt3r , quadricantitruncation t หรือt4rเป็นต้น
3. t : การตัด แบบรันซิเนชัน (Runcination) - ใช้กับโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป การตัดแบบรันซิเนชันจะตัดจุดยอด ขอบ และหน้าออก แล้วแทนที่ด้วยหน้าใหม่ หน้า 4 มิติจะถูกแทนที่ด้วยสำเนาที่ขยายทางโทโพโลยีของตัวเอง (คำนี้คิดค้นโดยจอห์นสัน มาจากภาษาละตินruncina ' ระนาบ ของช่างไม้ ')
   • นอกจากนี้ยังมีการตัดทอนที่สูงกว่านั้นอีก เช่นการตัดทอนแบบคู่t , การตัดทอนแบบสามt เป็นต้น
4. t หรือ2r2r : สเตอริเคชัน (Sterication) - ใช้กับโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป สเตอริเคชันจะตัดจุดยอด ขอบ หน้า และเซลล์ แล้วแทนที่แต่ละส่วนด้วยหน้าตัดใหม่ หน้าตัด 5 มิติจะถูกแทนที่ด้วยสำเนาที่ขยายทางโทโพโลยีของตัวเอง (คำนี้คิดค้นโดยจอห์นสัน มาจากภาษากรีกstereos 'ของแข็ง')
   • นอกจากนี้ยังมีสเตอริเคชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบสเตอริเคชันt หรือ2r3rไตรสเตอริเคชันt หรือ2r4rเป็นต้น
   • t หรือ2t2r : สเตอริแคนเทลเลชัน - นำไปใช้กับโพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมอและสูงกว่า
     • นอกจากนี้ยังมีสเตอริเคชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบสเตอริแคนเทลเลชันt หรือ2t3r , ไตรสเตอริแคนเทลเลชันt หรือ2t4rเป็นต้น
5. t : เพนเทลเลชัน (Pentellation) - ใช้กับโพลีโทป 6 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป เพนเทลเลชันจะตัดจุดยอด ขอบ หน้า เซลล์ และหน้า 4 มิติ โดยแทนที่แต่ละส่วนด้วยหน้าใหม่ หน้า 6 มิติจะถูกแทนที่ด้วยสำเนาที่ขยายทางโทโพโลยีของตัวเอง (เพนเทลเลชันมาจากภาษากรีกpente แปลว่า 'ห้า')
   • นอกจากนี้ยังมีเพนเทเลชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบเพนเทเลชันt , ทริปันเทเลชันt เป็นต้น
6. t หรือ3r3r : การตัดเหลี่ยม (Hexication) - ใช้กับโพลีโทป 7 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป การตัดเหลี่ยมจะตัดจุดยอด ขอบ หน้า เซลล์ หน้า 4 มิติ และหน้า 5 มิติ โดยแทนที่แต่ละส่วนด้วยเหลี่ยมใหม่ หน้า 7 มิติจะถูกแทนที่ด้วยสำเนาที่ขยายทางโทโพโลยีของตัวเอง (การตัดเหลี่ยมมาจากภาษากรีกhex 'หก')
   • นอกจากนี้ยังมีเฮกซิเคชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบเฮกซิเคชัน : t หรือ3r4r , ไตรเฮกซิเคชัน : t หรือ3r5rเป็นต้น
   • t หรือ3t3r : Hexiruncinated - ใช้กับUniform 7-polytopesและสูงกว่า
     • นอกจากนี้ยังมีเฮกซิรันซิเนชันที่สูงกว่า ได้แก่ไบเฮกซิรันซิเนชัน : t หรือ3t4r , ไตรเฮกซิรันซิเนชัน : t หรือ3t5rเป็นต้น
7. t : เฮปเทลเลชัน - ใช้กับโพลีโทป 8 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป เฮปเทลเลชันจะตัดจุดยอด ขอบ หน้า เซลล์ หน้า 4 มิติ หน้า 5 มิติ และหน้า 6 มิติ โดยแทนที่แต่ละส่วนด้วยหน้าใหม่ หน้า 8 มิติจะถูกแทนที่ด้วยสำเนาที่ขยายทางโทโพโลยีของตัวเอง (เฮปเทลเลชันมาจากภาษากรีกhepta 'เจ็ด')
   • นอกจากนี้ยังมีเฮปเทลเลชันที่สูงกว่านี้อีก เช่นไบเฮปเทลเลชันt , ไตรเฮปเทลเลชันt เป็นต้น
8. t หรือ4r4r : การแบ่งเป็นอ็อกเทลล์ - นำไปใช้กับโพลีโทป 9 มิติแบบสม่ำเสมอและสูงกว่า
9. t : การเชื่อมต่อ - ใช้กับโพลีโทป 10 มิติแบบสม่ำเสมอขึ้นไป

นอกจากนี้ ยังสามารถทำการตัดขอบแบบผสมผสานได้ ซึ่งจะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นเนื้อเดียวกันขึ้นใหม่ ตัวอย่างเช่น การตัดขอบ แบบรันซิ (runcitruncation)คือ การนำการตัดขอบแบบรันซิเน ชั่น (runcination)และการตัดขอบแบบทรันซิเนชั่น (truncation)มาใช้ร่วมกัน

หากมีการใช้การตัดทอนทั้งหมดพร้อมกัน การดำเนินการดังกล่าวโดยทั่วไปอาจเรียกว่า การตัดทอนแบบออมนิทรันเคชัน (omnitruncation )

การดำเนินการพิเศษอย่างหนึ่งที่เรียกว่าการสลับ (alternation ) จะลบจุดยอดสลับออกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีเฉพาะด้านเป็นเลขคู่เท่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดปลายทั้งสองด้านโดยมีการสลับจุดยอดแล้ว เรียกว่า รูปทรงสั้น (snub )

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้นั้นสามารถสร้างขึ้นได้เสมอ และโดยทั่วไปจะไม่สะท้อนแสง และโดยทั่วไปก็จะไม่มีคำตอบที่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ

กลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากการสลับกันของไฮเปอร์คิวบ์เรียกว่าเดมิคิวบ์ในสามมิติ จะได้รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าในสี่มิติ จะได้รูปทรง16 เซลล์หรือเดมิเทสเซอแร็กต์

โพลีโท ปหนึ่งมิติเพียงรูปเดียวคือส่วนของเส้นตรง ซึ่งสอดคล้องกับตระกูล Coxeter A

ในสองมิติ มีตระกูลอนันต์ของรูปหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอ ซึ่ง ก็คือ รูปหลายเหลี่ยมปกติโดยรูปที่ง่ายที่สุดคือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหลายเหลี่ยมปกติที่ถูกตัดทอนจะกลายเป็น รูปหลายเหลี่ยม กึ่งปกติ ทางเรขาคณิต ที่มีสองสีและมีจำนวนด้านเป็นสองเท่า t{p}={2p} รูปหลายเหลี่ยมปกติ (และรูปแบบกึ่งปกติ) สองสามรูปแรกแสดงอยู่ด้านล่าง:

ชื่อ	สามเหลี่ยม ( 2-ซิมเพล็กซ์ )	สี่เหลี่ยมจัตุรัส ( ออร์โธเพล็กซ์ 2 ตัว ) ( ลูกบาศก์ 2 ตัว )	เพนตากอน	หกเหลี่ยม	เจ็ดเหลี่ยม	แปดเหลี่ยม	เอนเนียกอน	เดคากอน	เฮนเดคากอน
ชลาฟลี	{3}	{4} t{2}	{5}	{6} t{3}	{7}	{8} t{4}	{9}	{10} t{5}	{11}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ภาพ
ชื่อ	สิบสองเหลี่ยม	ไตรเดคากอน	เตตระเดคากอน	เพนทาเดคากอน	เฮกซาเดคากอน	เฮปตาเดคากอน	แปดเหลี่ยม	เอนเนียเดคากอน	อิโคซากอน
ชลาฟลี	{12} t{6}	{13}	{14} t{7}	{15}	{16} t{8}	{17}	{18} t{9}	{19}	{20} t{10}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ภาพ

นอกจากนี้ยังมีเซตของรูปหลายเหลี่ยมดาว อนันต์ (หนึ่งรูปสำหรับแต่ละจำนวนตรรกยะที่มากกว่า 2) แต่รูปเหล่านี้ไม่ใช่รูปนูน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือรูปดาวห้าแฉกซึ่งสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ 5/2 รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ {p/q} สามารถตัดทอนเป็นรูปหลายเหลี่ยมดาวกึ่งปกติ t{p/q}=t{2p/q} ได้ แต่จะกลายเป็นรูปที่ครอบคลุมสองชั้นหากqเป็นจำนวนคู่ การตัดทอนยังสามารถทำได้ด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่มีทิศทางกลับกัน t{p/(p−q)}={2p/(p−q)} ตัวอย่างเช่น t{5/3}={10/3}

ชื่อ	เพนทาแกรม	เฮปตาแกรม		อ็อกตาแกรม	เอนเนียแกรม		เดคากรัม	... เอ็น-แกรม
ชลาฟลี	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3} t{4/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3} t{5/3}	{ p/q }
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ภาพ

รูปหลายเหลี่ยมปกติ แทนด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {p} สำหรับรูปหลายเหลี่ยม p ด้าน รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นแบบสมมาตรในตัวเอง ดังนั้นการปรับแก้จะได้รูปหลายเหลี่ยมเดิม การตัดด้านอย่างสม่ำเสมอจะเพิ่มจำนวนด้านเป็น {2p} การตัดสลับด้านจะทำให้ได้รูปหลายเหลี่ยมเดิม {p} ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดด้านอย่างสม่ำเสมอทั้งหมดจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วย การดำเนินการต่อไปนี้สามารถทำกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดด้านอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งก็คือรูปหลายเหลี่ยมปกติเช่นกัน:

การดำเนินการ	สัญลักษณ์Schläfli แบบขยาย		ผลลัพธ์ปกติ	แผนภาพค็อกซ์เตอร์	ตำแหน่ง		สมมาตร
					(1)	(0)
พ่อแม่	{p}	t {p}	{p}		{}	--	[p] (ลำดับที่ 2p)
เรียงกระแส (คู่)	r{p}	t {p}	{p}		--	{}	[p] (ลำดับที่ 2p)
ตัดทอน	t{p}	t {p}	{2p}		{}	{}	[[p]]=[2p] (ลำดับ 4p)
ครึ่ง	h{2p}		{p}		--	--	[1 + ,2p]=[p] (ลำดับ 2p)
เมินเฉย	ส{พี}		{p}		--	--	[[p]] + =[p] (ลำดับ 2p)

ในสามมิติ สถานการณ์จะน่าสนใจยิ่งขึ้น มีทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูนอยู่ห้าแบบ ซึ่งรู้จักกันในชื่อทรงหลายเหลี่ยมเพลโต :

ชื่อ	Schläfli {p,q}	แผนภาพ	รูปภาพ(โปร่งใส)	รูปภาพ(ทึบ)	ภาพ(ทรงกลม)	ใบหน้า {p}	ขอบ	จุดยอด {q}	สมมาตร	สองชั้น
ทรงสี่หน้า ( 3-ซิมเพล็กซ์ ) (พีระมิด)	{3,3}					4 {3}	6	4 {3}	ที	(ตัวเอง)
ลูกบาศก์ ( ลูกบาศก์ 3 ลูก ) (ทรงหกเหลี่ยม)	{4,3}					6 {4}	12	8 {3}	โอ้	ทรงแปดเหลี่ยม
ทรงแปดเหลี่ยม ( 3-ออร์โธเพล็กซ์ )	{3,4}					8 {3}	12	6 {4}	โอ้	ลูกบาศก์
ทรงสิบสองเหลี่ยม	{5,3}					12 {5}	30	20 {3}2	ฉัน	ทรงยี่สิบหน้า
ทรงยี่สิบหน้า	{3,5}					20 {3}	30	12 {5}	ฉัน	ทรงสิบสองเหลี่ยม

นอกจากนี้ ยังมีทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ หรือทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียน อีก 13 ทรง ซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้โดยวิธีของไวทอฟฟ์หรือโดยการดำเนินการต่างๆ เช่นการตัดทอนบนทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ดังแสดงในตารางต่อไปนี้:

	พ่อแม่	ตัดทอน	แก้ไขแล้ว	Bitruncated (tr. dual)	ไบเรกติไฟด์(คู่)	แคนเทลเลต	Omnitruncated ( Cantitruncated )	เมินเฉย
ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 3-3-2	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
ทรงแปดเหลี่ยม 4-3-2	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
ทรงยี่สิบหน้า 5-3-2	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)

นอกจากนี้ยังมีเซตของปริซึมอนันต์ซึ่งมีหนึ่งอันสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติแต่ละรูป และเซตของแอนติปริซึมที่ สอดคล้องกัน ด้วย

#	ชื่อ	รูปภาพ	ปูกระเบื้อง	รูปจุดยอด	แผนภาพและสัญลักษณ์Schläfli
พี	ปริซึม				tr{2,p}
เอ	แอนติปริซึม				sr{2,p}

ทรงหลายเหลี่ยมดาวเอกรูปประกอบด้วยทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติอีก 4 ทรง ได้แก่ทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์และทรงหลายเหลี่ยมดาวกึ่งปกติอีก 53 ทรง นอกจากนี้ยังมีเซตอนันต์อีกสองเซต ได้แก่ ปริซึมดาว (หนึ่งอันสำหรับแต่ละรูปหลายเหลี่ยมดาว) และปริซึมดาวตรงข้าม (หนึ่งอันสำหรับแต่ละจำนวนตรรกยะที่มากกว่า 3/2)

การก่อสร้าง

รูปทรงหลายเหลี่ยมและลวดลายปูพื้นแบบเอกรูปของ Wythoff สามารถกำหนดได้ด้วยสัญลักษณ์ Wythoffซึ่งระบุขอบเขตพื้นฐานของวัตถุ การขยายสัญกรณ์ของSchläfli ซึ่ง Coxeterก็ใช้เช่นกันใช้ได้กับทุกมิติ โดยประกอบด้วยตัวอักษร 't' ตามด้วยชุดตัวเลขดัชนีที่สอดคล้องกับจุดวงแหวนของแผนภาพ Coxeterและตามด้วยสัญลักษณ์ Schläfli ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเมล็ดปกติ ตัวอย่างเช่น รูปทรงแปดเหลี่ยมตัดยอดแสดงด้วยสัญกรณ์: t {3,4}

การดำเนินการ	สัญลักษณ์Schläfli			แผนภาพค็อกซ์เตอร์		สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์	ตำแหน่ง:
พ่อแม่	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p,q}	t {p,q}			q | 2 p	{p}	{ }	--	--	--	{ }
ไบเรกติไฟด์(หรือแบบคู่ )	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q,p}	t {p,q}			พี| 2 คิว	--	{ }	{q}	{ }	--	--
ตัดทอน	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	t{p,q}	t {p,q}			2 q | p	{2p}	{ }	{q}	--	{ }	{ }
บิตที่ถูกตัดทอน (หรือคู่บิตที่ถูกตัดทอน)	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	t{q,p}	t {p,q}			2 พี|คิว	{p}	{ }	{2q}	{ }	{ }	--
แก้ไขแล้ว	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p,q}	t {p,q}			2 | pq	{p}	--	{q}	--	{ }	--
ขยายความ (หรือขยายความ )	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	rr{p,q}	t {p,q}			พีคิว| 2	{p}	{ }×{ }	{q}	{ }	--	{ }
แคนติทรันเคท(หรือออมนิทรันเคท )	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	tr{p,q}	t {p,q}			2 พีคิว|	{2p}	{ }×{}	{2q}	{ }	{ }	{ }

การดำเนินการ	สัญลักษณ์Schläfli			แผนภาพค็อกซ์เตอร์		สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์	ตำแหน่ง:
การแก้ไข Snub	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	sr{p,q}				| 2 พีคิว	{p}	{3} {3}	{q}	--	--	--
เมินเฉย	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	s{p,2q}	ht {p,q}				s{2p}	{3}	{q}	--	{3}

การสร้างรูปสามเหลี่ยม

ในสี่มิติ มีโพลีโทป 4 มิติแบบนูนปกติ 6 รูป ปริซึมบนทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและอาร์คิมีเดียน 17 รูป (ไม่รวมปริซึมลูกบาศก์ ซึ่งนับรวมเป็นเทสเซอแร็กต์ ไปแล้ว ) และเซตอนันต์สองเซต ได้แก่ ปริซึมบนแอนติปริซึมแบบนูน และดูโอปริซึม นอกจากนี้ ยังมีโพลีโทป 4 มิติแบบนูนกึ่งปกติ 41 รูป รวมถึงแกรนด์แอนติปริซึมที่ไม่ใช่แบบไวทอฟ และสนับ 24-เซลล์ โพลีโทป 4 มิติพิเศษทั้งสองนี้ประกอบด้วยกลุ่มย่อยของจุดยอดของ600-เซลล์

รูปทรงหลายเหลี่ยมดาวเอกรูปสี่มิติยังไม่ได้ถูกนับรวมทั้งหมด รูปทรงที่ถูกนับรวมแล้ว ได้แก่ รูปทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติ (Schläfli-Hess) 4 มิติ 10 รูป และปริซึม 57 รูปบนรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวเอกรูป รวมถึงตระกูลอนันต์สามตระกูล ได้แก่ ปริซึมบนแอนติปริซึมดาว ปริซึมคู่ที่เกิดจากการคูณรูปหลายเหลี่ยมดาวสองรูป และปริซึมคู่ที่เกิดจากการคูณรูปหลายเหลี่ยมธรรมดากับรูปหลายเหลี่ยมดาว ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติอีกจำนวนหนึ่งที่ไม่ทราบจำนวน ซึ่งไม่เข้าข่ายในหมวดหมู่ข้างต้น จนถึงปัจจุบันมีการค้นพบแล้วกว่าหนึ่งพันรูป

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทุกรูปสามารถมองได้ว่าเป็นภาพของบริเวณพื้นฐานในกระจกจำนวนเล็กน้อย ในรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติ (หรือรังผึ้งลูกบาศก์ 3 มิติ) บริเวณพื้นฐานถูกล้อมรอบด้วยกระจก 4 บาน กระจกในปริภูมิ 4 มิติเป็นระนาบ สามมิติ แต่เพื่อความสะดวกในการพิจารณา เราจะพิจารณาเฉพาะส่วนตัดสองมิติกับพื้นผิวสามมิติของทรงกลม หลายมิติเท่านั้น ดังนั้น กระจกจึงก่อตัวเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า

โพลี โทป 4 มิติปกติทั้งสิบหกแบบแต่ละแบบเกิดจากกลุ่มสมมาตรหนึ่งในสี่กลุ่ม ดังต่อไปนี้:

• กลุ่ม [3,3,3]: 5 เซลล์ {3,3,3} ซึ่งเป็นแบบทวิภาคในตัวเอง
• กลุ่ม [3,3,4]: 16-เซลล์ {3,3,4} และ เทสเซอแร็กต์คู่{4,3,3}
• กลุ่ม [3,4,3]: เซลล์ 24 เซลล์ {3,4,3} ที่เป็นคู่ตัวเอง
• กลุ่ม [3,3,5]: {3,3,5} ที่มี 600 เซลล์ , {5,3,3} ที่มี 120 เซลล์ คู่ขนาน และสเตลเลชันปกติทั้งสิบของกลุ่มนี้
• กลุ่ม [3 ^1,1,1 ]: ประกอบด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันของตระกูล [3,3,4] เท่านั้น

(กลุ่มต่างๆ ถูกตั้งชื่อตามสัญลักษณ์ของค็อกซ์เตอร์ )

รังผึ้งนูนสม่ำเสมอแปดอันในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันจากรังผึ้งลูกบาศก์ {4,3,4} โดยใช้การดำเนินการเดียวกันกับที่ใช้ในการสร้างโพลีโทป 4 มิติสม่ำเสมอแบบวิธอฟฟ์

สำหรับซิมเพล็กซ์สมมาตรที่กำหนด จุดกำเนิดอาจวางอยู่บนจุดยอดทั้งสี่ ขอบทั้ง 6 ด้าน หน้าทั้ง 4 ด้าน หรือปริมาตรภายใน บนองค์ประกอบทั้ง 15 นี้ จะมีจุดหนึ่งซึ่งภาพสะท้อนในกระจกทั้งสี่บาน จะเป็นจุดยอดของโพลีโทป 4 ด้านที่เป็นเอกรูป

สัญลักษณ์ Schläfli แบบขยายสร้างขึ้นโดยการใช้ตัวtตามด้วยตัวเลขห้อย 0, 1, 2, 3 จำนวน 1 ถึง 4 ตัว หากมีตัวเลขห้อยเพียงตัวเดียว จุดกำเนิดจะอยู่ที่มุมของบริเวณพื้นฐาน กล่าวคือ จุดที่กระจกสามบานมาบรรจบกัน มุมเหล่านี้จะถูกเขียนแทนด้วย

• 0 : จุดยอดของโพลีโทป 4 มิติหลัก (จุดศูนย์กลางของเซลล์ของโพลีโทปคู่)
• 1 : จุดกึ่งกลางของขอบของตัวแม่ (จุดกึ่งกลางของหน้าของตัวคู่)
• 2 : จุดกึ่งกลางของหน้าของผู้ปกครอง (จุดกึ่งกลางของขอบของคู่)
• 3 : จุดศูนย์กลางของเซลล์ของผู้ปกครอง (จุดยอดของคู่)

(สำหรับรูปหลายเหลี่ยม 4 มิติแบบคู่ตัวเองสองรูป คำว่า "คู่" หมายถึงรูปหลายเหลี่ยม 4 มิติที่คล้ายกันในตำแหน่งคู่) ตัวเลขห้อยสองตัวขึ้นไปหมายความว่าจุดกำเนิดอยู่ระหว่างมุมที่ระบุไว้

บทสรุปเชิงสร้างสรรค์

รูปแบบการสร้าง 15 รูปแบบตามตระกูล สรุปไว้ด้านล่าง ตระกูลแบบสมมาตรตัวเองแสดงอยู่ในคอลัมน์เดียว ส่วนตระกูลอื่นๆ แสดงเป็นสองคอลัมน์ โดยมีรายการร่วมกันในแผนภาพ Coxeter แบบสมมาตร แถวสุดท้าย แถวที่ 10 แสดงรายการโครงสร้าง snub 24-cell ซึ่งรวมถึง 4-polytope เอกรูปที่ไม่เป็นปริซึมทั้งหมด ยกเว้นgrand antiprism ที่ไม่ใช่แบบ Wythoffian ซึ่งไม่มีตระกูล Coxeter

เอ	บีซี		ดี	เอฟ	เอช
[3,3,3]	[4,3,3]		[3,3 1,1 ]	[3,4,3]	[5,3,3]
5 เซลล์{3,3,3}	16 เซลล์{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์{3,3 1,1 }	24 เซลล์{3,4,3}	600 เซลล์{3,3,5}	120 เซลล์{5,3,3}
เซลล์ 5 เซลล์ที่แก้ไขแล้วr{3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่แก้ไขแล้วr{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่แก้ไขแล้วr{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์ที่แก้ไขแล้วr{3,3 1,1 }	เซลล์ 24 เซลล์ที่แก้ไขแล้วr{3,4,3}	เซลล์ 600 เซลล์ที่แก้ไขแล้วr{3,3,5}	เซลล์ 120 เซลล์ที่แก้ไขแล้วr{5,3,3}
เซลล์ 5 เซลล์ที่ถูกตัดทอนt{3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอนt{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนt{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนt{3,3 1,1 }	เซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอนt{3,4,3}	เซลล์ 600 เซลล์ที่ถูกตัดทอนt{3,3,5}	เซลล์ 120 เซลล์ที่ถูกตัดทอนt{5,3,3}
เซลล์ 5 เซลล์ที่ถูกปิดบังrr{3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์rr{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่ประดับประดาrr{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์ที่ถูกขับร้อง2r{3,3 1,1 }	เซลล์ 24 เซลล์rr{3,4,3}	เซลล์ 600 เซลล์rr{3,3,5}	เซลล์ 120 เซลล์rr{5,3,3}
รันซิเนต 5 เซลล์t {3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่รันซิเนตt {3,3,4}	เทสเซอแร็กต์รันซิเนตt {4,3,3}		รันซิเนต 24 เซลล์t {3,4,3}	รันซิเนต 600 เซลล์รันซิเนต 120 เซลล์t {3,3,5}
บิตรันเคท 5 เซลล์t {3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอน2t{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนบิต2t{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอน2t{3,3 1,1 }	บิตรันเคท 24 เซลล์2t{3,4,3}	บิตรันเคต 600 เซลล์บิตรันเคต 120 เซลล์2t{3,3,5}
เซลล์ 5 เซลล์ที่ถูกตัดทอนtr{3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอนtr{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนtr{4,3,3}	เดมิเทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดtr{3,3 1,1 }	เซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอนtr{3,4,3}	เซลล์ 600 เซลล์ที่ถูกตัดทอนtr{3,3,5}	เซลล์ 120 เซลล์ที่ถูกตัดทอนtr{5,3,3}
รันซิตรันเคท 5 เซลล์t {3,3,3}	รันซิตรันเคท 16 เซลล์t {3,3,4}	รันซิตรันเคตเทสเซอแร็กต์t {4,3,3}	รันซิแคนเทลเลเต็ด เดมิเทสเซอแร็กต์rr{3,3 1,1 }	รันซิตรันเคท 24 เซลล์t {3,4,3}	runcitruncated 600-cellt {3,3,5}	runcitruntated 120-cellt {5,3,3}
เซลล์ 5 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดt {3,3,3}	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดt {3,3,4}	เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดt {3,3,4}		เซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดt {3,4,3}	omnitruncated 120-cell omnitruncated 600-cellt {5,3,3}
	สลับแคนติครันเคต 16 เซลล์sr{3,3,4}		เมินเดมิเทสเซอแร็กต์sr{3,3 1,1 }	เซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอนสลับกันs{3,4,3}

รูปแบบที่ถูกตัดทอน

ตารางต่อไปนี้กำหนดรูปแบบการตัดทอน 15 รูปแบบ แต่ละรูปแบบสามารถมีเซลล์ได้ตั้งแต่หนึ่งถึงสี่ชนิด โดยอยู่ในตำแหน่ง 0, 1, 2, 3 ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น เซลล์เหล่านี้มีป้ายกำกับโดยใช้สัญลักษณ์การตัดทอนทรงหลายเหลี่ยม

• ปริซึมnเหลี่ยมแสดงด้วยสัญลักษณ์ : {n}×{ }
• พื้นหลังสีเขียวจะปรากฏบนแบบฟอร์มที่เทียบเท่ากับแบบฟอร์มหลักหรือแบบฟอร์มคู่
• พื้นหลังสีแดงแสดงถึงส่วนที่ถูกตัดทอนของรูปต้นแบบ และพื้นหลังสีน้ำเงินแสดงถึงส่วนที่ถูกตัดทอนของรูปคู่

การดำเนินการ	สัญลักษณ์ Schläfli		แผนภาพค็อกซ์เตอร์	เซลล์ตามตำแหน่ง:
				(3)	(2)	(1)	(0)
พ่อแม่	{p,q,r}	t {p,q,r}		{p,q}	--	--	--
แก้ไขแล้ว	r{p,q,r}	t {p,q,r}		r{p,q}	--	--	{q,r}
ไบเรกติไฟด์(หรือเรกติไฟด์คู่)	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t {p,q,r}		{q,p}	--	--	r{q,r}
เส้นตรงสามเส้น(หรือเส้นตรงคู่ )	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t {p,q,r}		--	--	--	{r,q}
ตัดทอน	t{p,q,r}	t {p,q,r}		t{p,q}	--	--	{q,r}
บิตรันเคท	2t{p,q,r}	2t{p,q,r}		t{q,p}	--	--	t{q,r}
ไตรทรันเคท(หรือคู่ทรันเคท)	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t {p,q,r}		{q,p}	--	--	t{r,q}
แคนเทลเลต	rr{p,q,r}	t {p,q,r}		rr{p,q}	--	{ }×{r}	r{q,r}
ไบแคนเทลเลต(หรือแคนเทลเลตคู่)	r2r{p,q,r} = rr{r,q,p}	t {p,q,r}		r{p,q}	{p}×{ }	--	rr{q,r}
รันซิเนต (หรือขยาย )	e{p,q,r}	t {p,q,r}		{p,q}	{p}×{ }	{ }×{r}	{r,q}
แคนติทรันเคท	tr{p,q,r}	tr{p,q,r}		tr{p,q}	--	{ }×{r}	t{q,r}
ไบแคนติทรันเคท(หรือแคนติทรันเคทคู่)	t2r{p,q,r} = tr{r,q,p}	t {p,q,r}		t{q,p}	{p}×{ }	--	tr{q,r}
รันซิตรันเคท	e {p,q,r}	t {p,q,r}		t{p,q}	{2p}×{ }	{ }×{r}	rr{q,r}
Runcicantellated (หรือ runcitrunted dual)	e {p,q,r} = e {r,q,p}	t {p,q,r}		tr{p,q}	{p}×{ }	{ }×{2r}	t{r,q}
Runcicantitruntacated (หรือomnitruncated )	o{p,q,r}	t {p,q,r}		tr{p,q}	{2p}×{ }	{ }×{2r }	tr{q,r}

แบบฟอร์มครึ่ง

โครงสร้างครึ่งทางมีอยู่โดยมีช่องว่างแทนที่จะเป็นโหนดวงแหวน กิ่งที่อยู่ติดกับช่อง ว่าง และโหนดที่ไม่ได้ใช้งานจะต้องมีลำดับเป็นเลขคู่ โครงสร้างครึ่งทางมีจุดยอดเหมือนกับโครงสร้างวงแหวนที่เหมือนกันทุกประการ

การดำเนินการ	สัญลักษณ์ Schläfli		แผนภาพค็อกซ์เตอร์	เซลล์ตามตำแหน่ง:
				(3)	(2)	(1)	(0)
สลับครึ่ง	h{p,2q,r}	ht {p,2q,r}		h{p,2q}	--	--	--
การแก้ไขสลับ	hr{2p,2q,r}	ht {2p,2q,r}		hr{2p,2q}	--	--	h{2q,r}
การตัดทอนแบบสลับ	s{p,2q,r}	ht {p,2q,r}		s{p,2q}	--	--	h{2q,r}
Bisnub การตัดบิตแบบสลับ	2s{2p,q,2r}	ht {2p,q,2r}		s{q,2p}	--	--	s{q,2r}
การแก้ไขแบบ Snub การแก้ไขแบบตัดทอนสลับกัน	sr{p,q,2r}	ht {p,q,2r}		sr{p,q}	--	s{2,2r}	s{q,2r}
ออมนิสนับการตัดทอนแบบสลับ	os{p,q,r}	ht {p,q,r}		sr{p,q}	{p}×{ }	{ }×{r}	sr{q,r}