โพลีโทป 4 รูปทรงสม่ำเสมอ

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ โพลีโทป 4 รูปทรงสม่ำเสมอ

ในทางเรขาคณิตโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ (หรือโพลีโครอนแบบสม่ำเสมอ ) คือ โพลีโทป 4 มิติที่จุดยอดสลับกันได้และเซลล์ของโพลีโทปนี้เป็นโพลีเฮดราแบบสม่ำเสมอและหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ในทางเรขาคณิตโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ (หรือโพลีโครอนแบบสม่ำเสมอ ) ^{[ 1 ]} คือ โพลีโทป 4 มิติที่จุดยอดสลับกันได้และเซลล์ของโพลีโทปนี้เป็นโพลีเฮดราแบบสม่ำเสมอและหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

มี รูปทรง หลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอ 4 มิติที่ไม่เป็น ปริซึม อยู่ 47 รูป นอกจากนี้ยังมีเซตอนันต์ของรูปทรงปริซึมนูนอีก 2 เซต พร้อมด้วยกรณีที่เกิดขึ้นเป็นปริซึมของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมออีก 17 กรณี และยังมีรูปทรงดาวที่ไม่เป็นนูนอีกจำนวนหนึ่งที่ไม่ทราบจำนวน

ประวัติการค้นพบ

โพลีโทปปกติแบบ นูน :
- พ.ศ. 2395 (ค.ศ. 1852) : Ludwig Schläfliพิสูจน์ในต้นฉบับของเขาTheorie der vielfachen Kontinuitätว่ามีโพลีท็อปปกติ 6 ชิ้นใน 4 มิติและมีเพียง 3 ใน 5 มิติขึ้นไปเท่านั้น
รูปทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติ 4 เหลี่ยม ( เซลล์รูป ทรงหลายเหลี่ยมดาวและ/หรือรูปทรงจุดยอด )
- 1852 : ลุดวิก ชลาฟลียังค้นพบรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ 4 รูปจากทั้งหมด 10 รูป โดยตัดออก 6 รูปที่มีเซลล์หรือรูปทรงจุดยอด{ 5 ^/ 2 5}และ{5, ⁵ / }
- พ.ศ. 2426 (ค.ศ. 1883 ) : Edmund Hessเสร็จสิ้นรายชื่อ 10 โพลีโทปปกติแบบไม่นูน 10 รายการในหนังสือของเขา (ในภาษาเยอรมัน) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder, von dr. เอ็ดมันด์ เฮสส์. Mit sechzehn lithographierten tafeln. .
รูปทรงหลายเหลี่ยม กึ่งปกติ แบบนูน : (คำจำกัดความต่างๆ ก่อน หมวดหมู่ เอกภาพ ของ Coxeter )
- 1900 : Thorold Gossetได้ระบุรายชื่อของโพลีโทปนูนกึ่งปกติที่ไม่ใช่ปริซึมที่มีเซลล์ปกติ ( ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ) ในสิ่งพิมพ์ของเขาเรื่อง On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensionsในสี่มิติ สิ่งนี้ให้เซลล์ 5 เซลล์ที่ปรับแก้แล้วเซลล์600 เซลล์ที่ปรับแก้แล้วและเซลล์24 เซลล์แบบสั้น^{[ 2 ]}
- 1910 : Alicia Boole Stottในการตีพิมพ์ของเธอเรื่อง การหักล้างทางเรขาคณิตของรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและการเติมเต็มพื้นที่ได้ขยายคำจำกัดความโดยอนุญาตให้ใช้ รูปทรง หลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียนและ เซลล์ ปริซึมด้วย การสร้างนี้ได้ระบุรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ 4 มิติจำนวน 45 รูป ซึ่งสอดคล้องกับรูปแบบที่ไม่ใช่ปริซึมที่ระบุไว้ด้านล่าง^{[ 3 ]}เซลล์ 24 มิติแบบสนับและปริซึมแอนติขนาดใหญ่หายไปจากรายการของเธอ^{[ 4 ]}
- 1911 : Pieter Hendrik Schouteตีพิมพ์การวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ของโพลีโทปที่ได้มาจากโพลีโทปปกติโดยใช้สัญลักษณ์ของ Boole-Stott นับโพลีโทปนูนสม่ำเสมอตามสมมาตรโดยอิงจาก5 เซลล์ 8 เซลล์ / 16 เซลล์และ24 เซลล์^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
- 1912 : EL Elteได้ขยายรายการของ Gosset อย่างอิสระด้วยการตีพิมพ์The Semiregular Polytopes of the Hyperspacesซึ่งเป็นโพลีโทปที่มีหน้ากึ่งปกติหนึ่งหรือสองประเภท^{[ 7 ]}
โพลีโทปนูนสม่ำเสมอ :
- ปี 1940 : การค้นคว้าได้รับการขยายความอย่างเป็นระบบโดยHSM Coxeterในผลงานตีพิมพ์ของเขาเรื่องRegular and Semi-Regular Polytopes
- โพลีโทป 4 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ :
  - ปี 1965 : ในที่สุด จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์และไมเคิล กายก็ได้รวบรวมรายชื่อรูปทรงนูนทั้งหมดไว้ในผลงาน ตีพิมพ์เรื่อง Four-Dimensional Archimedean Polytopes , established by computer analysis โดยเพิ่มรูปทรงนูน 4 มิติที่ไม่ใช่แบบวิทอฟ (non-Wythoffian) เพียงรูปเดียว คือ แกรนด์แอนติปริซึม (grand antiprism)
  - ในปี 1966 นอร์แมน จอห์นสันสำเร็จวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกเรื่อง"ทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมและรังผึ้งสม่ำเสมอ"ภายใต้การดูแลของอาจารย์ที่ปรึกษา ค็อกซ์เตอร์ ซึ่งเป็นการวางรากฐานทฤษฎีพื้นฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอสำหรับมิติ 4 และมิติที่สูงกว่า
  - ในปี 1986ค็อกซ์เตอร์ได้ตีพิมพ์บทความเรื่องRegular and Semi-Regular Polytopes IIซึ่งรวมถึงการวิเคราะห์ โครงสร้าง snub 24-cell ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะ และสมมาตรของ grand antiprism ที่ผิดปกติ
  - 1998 ^{[ 8 ]} -2000 : โพลีโทป 4 ตัวได้รับการตั้งชื่ออย่างเป็นระบบโดยนอร์แมน จอห์นสัน และกำหนดโดยการนับดัชนีออนไลน์ของจอร์จ โอลเชฟสกี (ใช้เป็นพื้นฐานสำหรับรายการนี้) จอห์นสันตั้งชื่อโพลีโทป 4 ตัวว่าโพลีโครา เช่นเดียวกับโพลีเฮดราสำหรับโพลีโทป 3 ตัว จากรากศัพท์ภาษากรีกpoly ("มาก") และchoros ("ห้อง" หรือ "พื้นที่") ^{[ 9 ]}ชื่อของโพลีโคราที่เป็นเอกรูปเริ่มต้นด้วยโพลีโคราปกติ 6 ตัวที่มีคำนำหน้าตามวงแหวนในแผนภาพ Coxeter; truncation t , cantellation, t , runcination t โดยมีรูปแบบวงแหวนเดี่ยวเรียกว่า rectified และคำนำหน้า bi, tri เพิ่มเมื่อวงแหวนแรกอยู่บนโหนดที่สองหรือสาม^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}
  - 2004 : มาร์โค มอลเลอร์ ได้ตีพิมพ์หลักฐานว่าเซตคอนเวย์-กายสมบูรณ์ในวิทยานิพนธ์ของเขาVierdimensionale Archimedische Polytopeมอลเลอร์ได้นำระบบการตั้งชื่อของจอห์นสันมาแสดงในรายการของเขา^{[ 12 ]}
  - 2008 : The Symmetries of Things ^{[ 13 ]}ได้รับการตีพิมพ์โดยJohn H. Conwayและมีรายการพิมพ์ครั้งแรกของโพลีโทป 4 มิติแบบนูนสม่ำเสมอและโพลีโทปมิติสูงกว่าโดยตระกูลกลุ่ม Coxeter พร้อมด้วย ไดอะแกรม รูปจุดยอด ทั่วไป สำหรับ การเรียงสับเปลี่ยน ไดอะแกรม Coxeter แบบวงแหวนแต่ละแบบ —snub, grand antiprism และ duoprism—ซึ่งเขาเรียกว่า proprism สำหรับ product prism เขาใช้ รูปแบบการตั้งชื่อ ijk -ambo ของเขาเองสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนวงแหวนที่มีดัชนีนอกเหนือจากการตัดทอนและ bitruncation และชื่อทั้งหมดของ Johnson ถูกรวมอยู่ในดัชนีหนังสือ
รูปทรงหลายเหลี่ยมดาว 4 มิติแบบไม่ปกติและสม่ำเสมอ : (คล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอแบบไม่นูน )
- 1966 : จอห์นสันอธิบายปริซึมแอนติแบบเอกรูปที่ไม่นูนสามอันในปริภูมิ 4 มิติในวิทยานิพนธ์ของเขา^{[ 14 ]}
- 1990-2006 : ในการค้นหาร่วมกัน จนถึงปี 2005 Jonathan Bowers และ George Olshevsky ได้ระบุโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ (นูนและไม่นูน) รวมทั้งหมด 1845 ชิ้น^{[ 15 ]}และค้นพบเพิ่มอีก 4 ชิ้นในปี 2006 รวมเป็น 1849 ชิ้น การนับนี้รวมถึงปริซึม 74 ชิ้นจากโพลีเฮดราแบบสม่ำเสมอที่ไม่ใช่ปริซึม 75 ชิ้น (เนื่องจากเป็นเซตจำกัด – ปริซึมลูกบาศก์ถูกยกเว้นเนื่องจากซ้ำกับเทสเซอแร็กต์) แต่ไม่รวมหมวดหมู่อนันต์ของดูโอปริซึมหรือปริซึมของแอนติปริซึม^{[ 16 ]}
- 2020-2023 : พบโพลีโคราใหม่ 342 รายการ ทำให้จำนวนโพลีโทป 4 มิติที่รู้จักทั้งหมดเพิ่มขึ้นเป็น 2191 รายการ รายชื่อนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าสมบูรณ์^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

โพลีโทป 4 เหลี่ยมปกติ

โพลีโทป 4 มิติปกติเป็นส่วนย่อยของโพลีโทป 4 มิติสม่ำเสมอ ซึ่งตรงตามข้อกำหนดเพิ่มเติมโพลีโทป 4 มิติปกติสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ Schläfli { p , q , r } โดยมีเซลล์ประเภท { p , q }, หน้าประเภท { p }, รูปทรงขอบประเภท { r } และรูปทรงจุดยอดประเภท { q , r }

การมีอยู่ของโพลีโทป 4 มิติปกติ { p , q , r } ถูกจำกัดโดยการมีอยู่ของโพลีเฮดราปกติ { p , q } ซึ่งกลายเป็นเซลล์ และ { q , r } ซึ่งกลายเป็นรูปทรงจุดยอด

การดำรงอยู่เป็นโพลีโทป 4 มิติแบบจำกัดขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกัน: ^{[ 18 ]}

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).

รูป ทรงหลายเหลี่ยมปกติ 4 มิติ 16 รูปซึ่งมีคุณสมบัติว่าเซลล์ หน้า ขอบ และจุดยอดทั้งหมดเท่ากันทุกประการ:

โพลีโทปนูนปกติ 4 เซลล์ 6 แบบ ได้แก่5 เซลล์ {3,3,3}, 8 เซลล์ {4,3,3}, 16 เซลล์ {3,3,4}, 24 เซลล์ {3,4,3}, 120 เซลล์ {5,3,3} และ600 เซลล์ {3,3,5}
ลีโทปดาวปกติ 4 รูปทรง 10 แบบ : ไอโคซาเฮดรอล 120 เซลล์ {3,5, ^5/2 }, สเต ลเลตเล็ก 120 เซลล์ { ⁵ / }, เกรท 120 เซลล์ {5, ⁵ / } , แกรนด์ 120 เซลล์ 5,3, ^5/2 , เกรทสเต ลเลต 120 เซลล์ { ⁵ / }, แกรนด์สเตลเลต 120 เซลล์ { ⁵ / , ^5/2 }, แกรนด์แกรนด์ 120 เซลล์ {5, ⁵ / }, ไอโคซาเฮดรอล 120 เซลล์ 3, ⁵ / }, แกรนด์ 600 เซลล์ {3,3, ^5/2และแกรนด์แกรนด์สเตลเลต 120เซลล์{ ^5/2 } ,3,3}.

โพลีโทป 4 มิติแบบนูนสม่ำเสมอ

สมมาตรของโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอในสี่มิติ

กลุ่มย่อยตั้งฉาก
กระจกทั้ง 24 บานของF สามารถแยกออกเป็น กลุ่ม D ที่ตั้งฉากกัน 2 กลุ่มได้: =(กระจก 12 บาน) =(กระจก 12 บาน)
กระจกทั้ง 10 บานของB × A สามารถแยกออกเป็นกลุ่มตั้งฉากได้ 4 A และD : =(กระจก 3+1 บาน) =(กระจก 6 บาน)

ใน 4 มิติมีกลุ่มจุด สมมาตรแบบกระจกเงาพื้นฐาน 5 กลุ่ม ได้แก่ A =, B =, D =, F =, H =[ ¹⁰^]นอกจากนี้ยังมีกลุ่มปริซึม 3 ^{กลุ่ม} A A =, B A =, H A =และกลุ่มปริซึมคู่: I (p)×I (q) =แต่ละกลุ่มถูกกำหนดโดยโดเมนพื้นฐาน รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ากูร์ซาต์ ซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบสะท้อน

แต่ละโพลีโทป 4 มิติแบบสะท้อนแสงสม่ำเสมอสามารถสร้างขึ้นได้ในกลุ่มจุดสะท้อนแสงหนึ่งกลุ่มหรือมากกว่าใน 4 มิติโดยใช้การสร้างแบบ Wythoffซึ่งแสดงด้วยวงแหวนรอบการเรียงสับเปลี่ยนของโหนดในแผนภาพ Coxeter ระนาบสะท้อนสามารถจัดกลุ่มได้ ดังที่เห็นได้จากโหนดสีที่แยกจากกันด้วยกิ่งคู่ กลุ่มสมมาตรในรูปแบบ [a,b,a] มีสมมาตรแบบขยาย [[a,b,a]] ซึ่งเพิ่มลำดับสมมาตรเป็นสองเท่า ซึ่งรวมถึง [3,3,3], [3,4,3] และ [ p ,2, p ] โพลีโทปสม่ำเสมอในกลุ่มเหล่านี้ที่มีวงแหวนสมมาตรประกอบด้วยสมมาตรแบบขยายนี้

หากกระจกทั้งหมดที่มีสีเดียวกันในรูปทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปที่กำหนดนั้นไม่มีวงแหวน (ไม่ทำงาน) จะทำให้โครงสร้างนั้นมีสมมาตรต่ำลงโดยการลบกระจกที่ไม่ทำงานทั้งหมดออก หากโหนดทั้งหมดที่มีสีเดียวกันมีวงแหวน (ทำงาน) การดำเนินการ สลับสามารถสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติใหม่ที่มีสมมาตรแบบไครัลได้ โดยแสดงเป็นโหนดวงกลม "ว่างเปล่า" แต่โดยทั่วไปแล้วรูปทรงเรขาคณิตจะไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้เพื่อสร้างโซลูชันเอกรูป

กลุ่มเวล์	คอนเวย์ควอเทอร์เนียน	โครงสร้าง นามธรรม	คำสั่ง	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์	หมายเลขค็อกซ์เตอร์ (ชั่วโมง)	กระจกm =2 h
ไม่สามารถลดทอนได้
เอ	+1/60[I×I].21	เอส	120	[3,3,3]	[3,3,3] ⁺	5		10
ดี	±1/3[T×T].2	1/2. ² S	192	[3 ^1,1,1 ]	[3 ^1,1,1 ] ⁺	6		12
บี	±1/6[O×O].2	² S = S ≀S	384	[4,3,3]	[3 ^1,1,1 ] ⁺	8	4	12
เอฟ	±1/2[O×O].2	3. ² S	1152	[3,4,3]	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]	12	12	12
เอช	±[I×I].2	2.(A ×A ).2	14400	[5,3,3]	[5,3,3] ⁺	30		60
กลุ่มปริซึม
เอเอ	+1/24[O×O].2	S ×D	48	[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-		6	1
บีเอ	±1/24[O×O].2	S ×D	96	[4,3,2] = [4,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-	3	6	1
H A	±1/60[I×I].2	A ×D	240	[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3] ⁺	-		15	1
กลุ่มดูโอปริซึม (ใช้ 2p, 2q สำหรับจำนวนเต็มคู่)
I ( p )I ( q )	±1/2[D ×D ]	ดี ×ดี	4 พีคิว	[ p ,2, q ] = [ p ]×[ q ]	[ p ⁺ ,2, q ⁺ ]	-		พี	q
I ( 2p )I ( q )	±1/2[D ×D ]	D ×D	8 พีคิว	[2 p ,2, q ] = [2 p ]×[ q ]		-	พี	พี	q
I ( 2p )I ( 2q )	±1/2[D ×D ]	ดี ×ดี	16 พีคิว	[2 p ,2,2 q ] = [2 p ]×[2 q ]		-	พี	พี	q	q

การนับจำนวน

มีโพลีโทป 4 มิติแบบนูนสม่ำเสมอทั้งหมด 64 รูป ซึ่งรวมถึงโพลีโทป 4 มิติแบบนูนปกติ 6 รูป และไม่รวมเซตอนันต์ของดูโอปริซึมและ แอ น ติปริซึม

5 รูปเป็นปริซึมทรงหลายเหลี่ยมที่อิงตามทรงหลายเหลี่ยมเพลโต (1 รูปซ้อนทับกับทรงหลายเหลี่ยมปกติ เนื่องจากไฮเปอร์ปริซึมทรงลูกบาศก์เป็นเทสเซอแร็กต์ )
13 เป็นปริซึมทรงหลายเหลี่ยมที่อิงตามทรงหลายเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส
[3,3,3] ปกติแบบ self-dual ( 5-cell )
[3,4,3] ปกติแบบ self-dual ( 24-cell ) (ไม่รวม snub 24-cell)
[3,3,4] ปกติ ( เทสเซอแร็กต์ / 16 เซลล์ ) (3 ตัวซ้อนทับกับกลุ่ม 24 เซลล์)
15 ตัวอยู่ในกลุ่ม H [3,3,5] ปกติ ( ตระกูล 120 เซลล์ / 600 เซลล์ )
1 รูปแบบ snub พิเศษในกลุ่ม [3,4,3] ( ตระกูล 24 เซลล์ )
1 โพลีโทป 4 เหลี่ยมพิเศษที่ไม่ใช่แบบวิธอฟฟ์ คือ แกรนด์แอนติปริซึม
รวม: 68 − 4 = 64

รูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติที่เป็นเอกรูปทั้ง 64 รูปทรงนี้ ได้รับการจัดทำดัชนีไว้ด้านล่างโดย George Olshevsky รูปทรงสมมาตรที่ซ้ำกันจะถูกระบุดัชนีไว้ในวงเล็บ

นอกจาก 64 เซตข้างต้นแล้ว ยังมีเซตปริซึมอนันต์อีก 2 เซตที่สร้างรูปทรงนูนที่เหลือทั้งหมด:

เซตของปริซึมแอนติปริซึมแบบสม่ำเสมอ - sr{ p ,2}×{ } - ปริซึมทรงหลายเหลี่ยมของแอนติปริซึม สอง อัน
เซตของผล คูณคาร์ทีเซียน ของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่ มีความสม่ำเสมอ - { p }×{ q } - ผลคูณคาร์ทีเซียนของรูปหลายเหลี่ยมสองรูป

ตระกูลA

เซลล์ 5 เซลล์มี สมมาตร แบบเพนทาโคริกดิพลอยด์ [3,3,3] ^{[ 10 ]}ที่มีลำดับ 120 ซึ่งสมมาตรกับลำดับการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งห้า เนื่องจากจุดยอดทุกคู่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกัน

มีการกำหนดกลุ่มเซลล์ (ส่วนต่างๆ) โดยจัดกลุ่มตามตำแหน่งในแผนภาพ Coxeter โดยการลบโหนดที่ระบุออก

[3,3,3] โพลีโทปสม่ำเสมอ
#	ชื่อBowers (และชื่อย่อ)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง				จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อBowers (และชื่อย่อ)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(5)	ตำแหน่งที่ 2(10)	ตำแหน่งที่ 1(10)	ตำแหน่งที่ 0(5)	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
1	เพนทาโครอน5 เซลล์^{[ 10 ]} (ปากกา)		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	เพนทาโครอน 5 เซลล์ แบบปรับแก้ (rap)		r{3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	เพนทาโครอนแบบ ตัดทอน 5 เซลล์ (ส่วนปลาย)		t{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	เพนทาโครอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก 5 เซลล์ (srip)		rr{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	เพนทาโครอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดใหญ่ แบบตัดทอน 5 เซลล์ (การจับ)		tr{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	runcitruncated 5-cell Prismatorhombated pentachoron (prip)		t {3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] โพลีโทปสม่ำเสมอ
#	ชื่อBowers (และชื่อย่อ)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์และสัญลักษณ์ Schläfli	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง			จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อBowers (และชื่อย่อ)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์และสัญลักษณ์ Schläfli	ตำแหน่งที่ 3-0(10)	ตำแหน่งที่ 1-2(20)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
5	* แมงมุมปริซึมขนาดเล็ก 5 เซลล์ที่มีรูปร่างผิดปกติ (runcinated Small prismatodecachoron (spid))		t {3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	* เดคาคอรอน 5 เซลล์แบบตัดทอน (deca)		2t{3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	* ปลาปริสมาโตเดคาโครอนขนาดใหญ่ 5 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมด (วงศ์ Gippidae)		t {3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
ไม่สม่ำเสมอ	omnisnub 5 เซลล์ Snub decachoron (snad) Snub pentachoron (snip) ^{[ 19 ]}		ht {3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

รูปทรงโพลีโทป 4 มิติที่เป็นเอกรูปทั้งสามแบบที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายดอกจัน*มีสมมาตรเพนทาโคริกแบบขยาย ที่สูงกว่า ลำดับที่ 240 [[3,3,3]] เนื่องจากองค์ประกอบที่สอดคล้องกับองค์ประกอบใดๆ ของเซลล์ 5 มิติพื้นฐานสามารถแลกเปลี่ยนกับองค์ประกอบที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของคู่ของมันได้ มีกลุ่มย่อยดัชนีขนาดเล็กหนึ่งกลุ่ม [3,3,3] ⁺ลำดับที่ 60 หรือกลุ่มสองเท่าของมัน [[3,3,3]] ⁺ลำดับที่ 120 ซึ่งกำหนดเซลล์ 5 มิติแบบออมนิส นับ ซึ่งแสดงไว้เพื่อความสมบูรณ์ แต่ไม่ใช่แบบเอกรูป

ครอบครัวB

ครอบครัวนี้มีสมมาตรแบบดิพลอยด์เฮกซาเดคาโคริก^{[ 10 ]} [4,3,3] ที่มีลำดับ 24×16=384: 4!=24 การเรียงสับเปลี่ยนของแกนทั้งสี่ 2 ⁴ =16 สำหรับการสะท้อนในแต่ละแกน มีกลุ่มย่อยดัชนีขนาดเล็ก 3 กลุ่ม โดยสองกลุ่มแรกสร้างโพลีโทป 4 ที่สม่ำเสมอซึ่งซ้ำกันในครอบครัวอื่น ๆ ด้วย [1 ⁺ ,4,3,3], [4,(3,3) ⁺ ] และ [4,3,3] ⁺ทั้งหมดมีลำดับ 192

การตัดทอนเทสเซอแร็กต์

#	ชื่อ(ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ(ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(8)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่งที่ 1(32)	ตำแหน่งที่ 0(16)	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
10	เทสเซอแร็กต์หรือ เทสเซอแร็กต์ 8 เซลล์(tes)		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	เทสเซอแร็กต์ที่แก้ไขแล้ว (rit)		r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอน (แทท)		t{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	เทสเซอแร็กต์รูปวงกลมเทสเซอแร็กต์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก (srit)		rr{4,3,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Runcinated tesseract (หรือ runcinated 16-cell )Small disprismatotesseractihexadecachoron (sidpith)		t {4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	เทสเซอแร็กต์แบบบิตรันเคต (หรือแบบบิตรันเคต 16 เซลล์ )เทสเซอแร็กต์เฮกซาเดคาโครอน (ทาห์)		2t{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	เทสเซอแร็กต์แบบตัดทอนเทสเซอแร็กต์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดใหญ่ (กรวด)		tr{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Runcitruncated tesseract Prismatorhombated hexadecachoron (proh)		t {4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Omnitruncated tesseract (also omnitruncated 16-cell )Great disprismatotesseractihexadecachoron (gidpith)		t {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

เทสเซอแร็กต์ครึ่งที่เกี่ยวข้อง [1 ⁺ ,4,3,3] โพลีโทป 4 มิติสม่ำเสมอ
#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(8)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่งที่ 1(32)	ตำแหน่งที่ 0(16)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
[12]	ครึ่งเทสเซอแร็กต์เดมิเทสเซอแร็กต์= 16 เซลล์ (หกเหลี่ยม)		=h{4,3,3}={3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	เทสเซอแร็กต์แบบแคนติก = เทสเซอแร็กต์ แบบตัดทอน 16 เซลล์ (thex)		=h {4,3,3}=t{4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	เทสเซอแร็กต์แบบรันซิก = เทสเซอแร็กต์แบบปรับแก้ (ริท)		=h {4,3,3}=r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	เทสเซอแร็กต์รันซิแคนติก = เทสเซอแร็กต์บิตรันเคต (ทาห์)		=h {4,3,3}=2t{4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	= เทสเซอแร็กต์ที่ถูกแก้ไข (หนู)		=h {4,3,3}=r{4,3,3}						24	88	96	32
[16]	= เทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนบิต (tah)		=h {4,3,3}=2t{4,3,3}						24	120	192	96
[23]	= เซลล์ 24 เซลล์ที่ได้รับการแก้ไข (rico)		=h {4,3,3}=rr{3,3,4}						48	240	288	96
[24]	= เซลล์ 24 เซลล์แบบตัดทอน (tico)		=h {4,3,3}=tr{3,3,4}						48	240	384	192

#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(8)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่งที่ 1(32)	ตำแหน่งที่ 0(16)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
ไม่สม่ำเสมอ	omnisnub tesseract Snub tesseract (snet) ^{[ 20 ]} (หรือomnisnub 16-cell )		ht {4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

การตัดทอน 16 เซลล์

#	ชื่อ (ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ (ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(8)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่งที่ 1(32)	ตำแหน่งที่ 0(16)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
12	เฮกซาเดคาโครอน16 เซลล์^{[ 10 ]} (เฮก)		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	เซลล์ 16 เซลล์ที่ได้รับการแก้ไขแล้ว(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์* ) (ico)		=r{3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	เฮกซาเดคาโครอน (thex) แบบตัด ทอน 16 เซลล์		t{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	เซลล์ 16 เซลล์แบบปรับแก้(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์แบบปรับแก้* ) (rico)		=rr{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	ผลึก 16 เซลล์แบบรันซิเนต (หรือเทสเซอแร็กต์แบบรันซิเนต) (ซิดพิธ)		t {3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	บิตรันเคท 16 เซลล์ (หรือบิตรันเคท เทสเซอแร็กต์ ) (ทาห์)		2t{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	เซลล์ 16 เซลล์แบบย่อ(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์แบบย่อ* ) (tico)		=tr{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	Runcitruncated 16-cell Prismatorhombated tesseract (prit)		t {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมด (หรือเทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมด ) (กิดพิธ)		t {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	สลับเซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอน (เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์แบบสั้น ) (sadi)		sr{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
ไม่สม่ำเสมอ	Runcic snub rectified 16-cell Pyritosnub tesseract (pysnet)		sr {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) เช่นเดียวกับการจัดเรียงทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าให้กลาย เป็นทรงแปดเหลี่ยมการจัดเรียงทรง 16 เซลล์ให้กลายเป็นทรง 24 เซลล์ ซึ่งเป็นสมาชิกปกติของตระกูลต่อไปนี้

เซลล์24 เซลล์ แบบตัดปลาย จะถูกทำซ้ำในตระกูลนี้เพื่อความสมบูรณ์ มันเป็นการสลับกันระหว่างเซลล์ 16 เซลล์แบบตัดปลายหรือเซลล์ 24 เซลล์แบบตัดปลายโดยมีกลุ่มสมมาตรครึ่งหนึ่งคือ [(3,3) ⁺ ,4] เซลล์ทรงแปดเหลี่ยมแบบตัดปลายจะกลายเป็นทรงยี่สิบเหลี่ยม ลูกบาศก์จะกลายเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า และมีการสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใหม่ 96 รูปในช่องว่างจากจุดยอดที่ถูกลบออก

ตระกูลF

ครอบครัวนี้มีสมมาตร ไอโคไซเทตราโคริกแบบดิพลอยด์ [ ^{10 ] [} 3,4,3] ลำดับ 24×48=1152: สมมาตร 48 แบบของทรงแปดเหลี่ยมสำหรับแต่ละเซลล์ 24 เซลล์ มีกลุ่มย่อยดัชนีขนาดเล็ก 3 กลุ่ม โดยคู่ไอโซมอร์ฟิกสองคู่แรกสร้างโพลีโทป 4 มิติที่สม่ำเสมอซึ่งซ้ำกันในครอบครัวอื่น ๆ ด้วย [3 ⁺ ,4,3], [3,4,3 ⁺ ] และ [3,4,3] ⁺ทั้งหมดมีลำดับ 576

[3,4,3] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง				จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(24)	ตำแหน่งที่ 2(96)	ตำแหน่งที่ 1(96)	ตำแหน่งที่ 0(24)	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
22	24 เซลล์ (เหมือนกับ16 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว ) Icositetrachoron ^{[ 10 ]} (ico)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	เซลล์ 24 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว (เหมือนกับเซลล์ 16 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว ) เซลล์ไอโคไซเทตราโครอนที่ปรับแก้แล้ว (ริโค)		r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	เซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอน (เหมือนกับเซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอน ) ไอโคไซเทตราโครอนที่ถูกตัดทอน (ติโค)		t{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	ไอโคซิเทตราโครอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก 24 เซลล์ (สริโค)		rr{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	cantitruncated 24-cell Great rhombated icositetrachoron (grico)		tr{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	runcitruncated 24-cell Prismatorhombated icositetrachoron (prico)		t {3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3 ⁺ ,4,3] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(24)	ตำแหน่งที่ 2(96)	ตำแหน่งที่ 1(96)	ตำแหน่งที่ 0(24)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
31	† snub 24-cell Snub disicositetrachoron (sadi)		s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
ไม่สม่ำเสมอ	runcic ดูแคลน 24 เซลล์ Prismatorhombisnub icositetrachoron (prissi)		s {3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) ไตรคัพ	240	960	1008	288
[25]	cantic snub 24-cell (เหมือนกับcantellated 24-cell ) (srico)		s {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	runcicantic snub 24-cell (เหมือนกับruncitruncated 24-cell ) (prico)		s {3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) เซลล์ 24 เซลล์แบบสั้นที่นี่ แม้จะมีชื่อเรียกทั่วไปว่า 24 เซลล์แบบสั้น แต่ก็ไม่ได้คล้ายคลึงกับลูกบาศก์แบบสั้นแต่อย่างใด แต่ได้มาจากการสลับเซลล์ 24 เซลล์แบบตัดทอนหมายเลขสมมาตร ของมัน มีเพียง 576 เท่านั้น ( กลุ่ม ไอโคไซเตตราโคริกไอออนิกที่ลดลง [3 ⁺ ,4,3])

เช่นเดียวกับเซลล์ 5 เซลล์ เซลล์ 24 เซลล์เป็นแบบคู่ตัวเอง ดังนั้นรูปแบบทั้งสามต่อไปนี้จึงมีสมมาตรเป็นสองเท่า ทำให้สมมาตรทั้งหมดเป็น 2304 ( สมมาตรไอโคไซเตตราโคริกแบบขยาย [[3,4,3]])

[[3,4,3]] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์และสัญลักษณ์ Schläfli	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง		จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์และสัญลักษณ์ Schläfli	ตำแหน่งที่ 3-0(48)	ตำแหน่ง 2-1(192)	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
26	runcinated 24-cell Small prismatotetracontoctachoron (spic)		t {3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	Tetracontoctachoron 24 เซลล์แบบตัดทอน (ต่อ)		2t{3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	omnitruncated 24-cell Great prismatotetracontoctachoron (gippic)		t {3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]] ⁺โพลีโทป 4 มิติแบบไอโซโกนัล
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง			จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3-0(48)	ตำแหน่ง 2-1(192)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
ไม่สม่ำเสมอ	omnisnub 24-cell Snub tetracontoctachoron (snoc) Snub icositetrachoron (sni) ^{[ 21 ]}		ht {3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

ตระกูลH

ครอบครัวนี้มีสมมาตร เฮกซาโคซิโคริกแบบดิพลอยด์ [ ^{10 ] [} 5,3,3] ลำดับ120 ×120=24×600=14400: 120 สำหรับแต่ละโดเดคาเฮดรา 120 อัน หรือ 24 สำหรับแต่ละเตตระเฮดรา 600 อัน มีกลุ่มย่อยดัชนีขนาดเล็กหนึ่งกลุ่ม [5,3,3] ⁺ซึ่งทั้งหมดมีลำดับ 7200

การตัดทอน 120 เซลล์

#	ชื่อ(ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ(ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	ตำแหน่งที่ 3(120)	ตำแหน่งที่ 2(720)	ตำแหน่งที่ 1(1200)	ตำแหน่งที่ 0(600)	อัลท์	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
32	120 เซลล์ (hecatonicosachoron หรือ dodecacontachoron) ^{[ 10 ]} Hecatonicosachoron (สวัสดี)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	เซลล์ 120 เซลล์ที่แก้ไขแล้วเฮคาโทนิโคซาโครอนที่แก้ไขแล้ว (ราฮี)		r{5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	เฮคาโทนิโคซาโครอน แบบตัดทอน 120 เซลล์ (thi)		t{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	เซลล์ 120 เซลล์ รูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก เฮคาโทนิโคซาโครอน (สราฮี)		rr{5,3,3}	(2) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	runcinated 120-cell (also runcinated 600-cell )Small disprismatohexacosihecatonicosachoron (sidpixhi)		t {5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	bitruncated 120-cell (also bitruncated 600-cell )Hexacosihecatonicosachoron (xhi)		2t{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	cantitruncated 120-cell Great rhombated hecatonicosachoron (grahi)		tr{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	runcitruncated 120-cell Prismatorhombated hexacosichoron (prix)		t {5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	omnitruncated 120-cell (also omnitruncated 600-cell )Great disprismatohexacosihecatonicosachoron (gidpixhi)		t {5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
ไม่สม่ำเสมอ	omnisnub 120-cell Snub hecatonicosachoron (snixhi) ^{[ 22 ]} (เหมือนกับomnisnub 600-cell )		ht {5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

การตัดทอนเซลล์ 600 เซลล์

#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	สมมาตร	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง				จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ(ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	สมมาตร	ตำแหน่งที่ 3(120)	ตำแหน่งที่ 2(720)	ตำแหน่งที่ 1(1200)	ตำแหน่งที่ 0(600)	เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
35	เฮกซาโคซิโครอน600 เซลล์^{[ 10 ]} (เช่น)		{3,3,5}	[5,3,3] ลำดับที่ 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20-ลดขนาด 600 เซลล์ = แกรนด์แอนติปริซึม (ช่องว่าง)		โครงสร้าง ที่ไม่ใช่แบบวิธอฟฟ์	[[10,2 ⁺ ,10]] ลำดับที่ 400 ดัชนี 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24-เซลล์ที่ลดลง 600 เซลล์ = Snub 24-เซลล์ (sadi)		โครงสร้าง ที่ไม่ใช่แบบวิธอฟฟ์	[3 ⁺ ,4,3] ลำดับ 576 ดัชนี 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
ไม่สม่ำเสมอ	bi-24-diminished 600-cell Bi-icositetradiminished hexacosichoron (bidex)		โครงสร้าง ที่ไม่ใช่แบบวิธอฟฟ์	ลำดับที่ 144 ดัชนีที่ 100	(6) tdi				48	192	216	72
34	เซลล์ 600 เซลล์ที่ได้รับการแก้ไขเฮกซาโคซิโครอนที่ได้รับการแก้ไข (ร็อกซ์)		r{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
ไม่สม่ำเสมอ	120-diminished rectified 600-cell Swirlprismatodiminished rectified hexacosichoron (spidrox)		โครงสร้าง ที่ไม่ใช่แบบวิธอฟฟ์	ลำดับที่ 1200 ดัชนีที่ 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41	เฮกซาโคซิโคโรนแบบ ตัดทอน 600 เซลล์ (tex)		t{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	เฮกซาโคซิโครอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดเล็ก 600 เซลล์ (srix)		rr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	runcinated 600-cell (หรือ runcinated 120-cell ) (sidpixhi)		t {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	บิตรันเคท 600 เซลล์ (และบิตรันเคท 120 เซลล์ ) (xhi)		2t{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	cantitruncated 600-cell Great rhombated hexacosichoron (grix)		tr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	runcitruncated 600-cell Prismatorhombated hecatonicosachoron (prahi)		t {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	omnitruncated 600-cell (หรือ omnitruncated 120-cell ) (gidpixhi)		t {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

ตระกูลD

ตระกูลเดมิเทสเซอแร็กต์นี้[3 ^1,1,1 ] ไม่ได้แนะนำโพลีโทป 4 มิติแบบเอกรูปใหม่ แต่ควรค่าแก่การกล่าวซ้ำถึงโครงสร้างทางเลือกเหล่านี้ ตระกูลนี้มีลำดับ 12×16=192: 4!/2=12 การเรียงสับเปลี่ยนของแกนทั้งสี่ ครึ่งหนึ่งสลับกัน 2 ⁴ =16 สำหรับการสะท้อนในแต่ละแกน มีกลุ่มย่อยดัชนีขนาดเล็กหนึ่งกลุ่มที่สร้างโพลีโทป 4 มิติแบบเอกรูป [3 ^1,1,1 ] ⁺ลำดับ 96

[3 ^1,1,1 ] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์==	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง					จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์==	ตำแหน่งที่ 0(8)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่งที่ 1(8)	ตำแหน่งที่ 3(8)	ตำแหน่ง Alt (96)	3	2	1	0
[12]	เดมิเทสเซอแร็กต์ฮาล์ฟเทสเซอแร็กต์(เหมือนกับแบบ16 เซลล์ ) (หกเหลี่ยม)		=h{4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	เทสเซอแร็กต์แคนติก(เหมือนกับเซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอน ) (thex)		=h {4,3,3}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	เทสเซอแร็กต์แบบรันซิก(เหมือนกับเทสเซอแร็กต์แบบปรับแก้ ) (ริท)		=h {4,3,3}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	เทสเซอแร็กต์รันซิแคนติก(เหมือนกับเทสเซอแร็กต์บิตรันเคต ) (ทาห์)		=h {4,3,3}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

เมื่อโหนดสาขาที่แยกออกเป็น 3 กิ่งมีวงแหวนเหมือนกัน ความสมมาตรสามารถเพิ่มขึ้นได้ 6 เท่า เนื่องจาก [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] และด้วยเหตุนี้โพลีโทปเหล่านี้จึงถูกทำซ้ำจากตระกูล 24 เซลล์

[3[3 ^1,1,1 ]] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์==	จำนวนเซลล์ตามตำแหน่งที่ตั้ง			จำนวนองค์ประกอบ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปจุดยอด	แผนภาพค็อกซ์เตอร์==	ตำแหน่ง 0,1,3(24)	ตำแหน่งที่ 2(24)	ตำแหน่ง Alt (96)	3	2	1	0
[22]	เซลล์ 16 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์ ) (ico)		==={3 ^1,1,1 } = r{3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	เซลล์ 16 เซลล์แบบปรับแก้(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์แบบปรับแก้ ) (rico)		===r{3 ^1,1,1 } = rr{3,3,4} = r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	เซลล์ 16 เซลล์ที่ถูกตัดทอน(เหมือนกับเซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอน ) (tico)		===เสื้อ{3 ^1,1,1 } = tr{3,3,4} = เสื้อ{3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	snub 24-cell (sadi)		===ส{3 ^1,1,1 } = เอสอาร์{3,3,4} = ส{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

ในที่นี้เซลล์ 24 เหลี่ยมแบบสนับ (snub 24-cell ) ซึ่งมีกลุ่มสมมาตร [3 ^1,1,1 ] ⁺ในครั้งนี้ แสดงถึงการตัดทอนแบบสลับของเซลล์ 24 เหลี่ยมที่ถูกตัดทอน ทำให้เกิดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใหม่ 96 รูป ณ ตำแหน่งของจุดยอดที่ถูกลบออกไป แตกต่างจากลักษณะที่ปรากฏในกลุ่มก่อนหน้านี้ในฐานะโพลีโทป 4 เหลี่ยมแบบสนับบางส่วน เฉพาะในกลุ่มสมมาตรนี้เท่านั้นที่มันมีความคล้ายคลึงกับสนับของเคปเลอร์อย่างสมบูรณ์ นั่นคือลูกบาศก์สนับและทรงสิบสองเหลี่ยมสนับ

ปริซึมแอนติขนาดใหญ่

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอ 4 มิติที่ไม่เป็นไปตามแบบวิทอฟฟ์อยู่หนึ่งรูป ซึ่งรู้จักกันในชื่อ แกรน ด์แอนติปริซึมประกอบด้วยแอนติปริซึมห้าเหลี่ยม 20 รูปเรียงตัว เป็นวงแหวนตั้งฉากสองวงเชื่อมต่อกัน ด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่า 300 รูป มันมีความคล้ายคลึงอย่างคร่าวๆ กับ แอนติปริซึมสามมิติซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมขนานสองรูปที่เชื่อมต่อกันด้วยแถบสามเหลี่ยมอย่างไรก็ตาม แกรนด์แอนติปริซึมนั้นต่างจากแอนติปริซึมสามมิติตรงที่ไม่ใช่สมาชิกของตระกูลอนันต์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ

สมมาตรของมันคือกลุ่ม Coxeter ที่ลดลงแบบไอออนิก [[10,2 ⁺ ,10]], อันดับ 400

#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท		จำนวนองค์ประกอบ				สุทธิ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท		เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	สุทธิ
47	แกรนด์แอนติปริซึม (ช่องว่าง)			ไม่มีสัญลักษณ์	300 ( 3.3.3 )	20 ( 3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

ปริซึมแบบสม่ำเสมอ 4 โพลีโทป

โพลีโทปปริซึมคือผลคูณคาร์ทีเซียน ของโพลีโทปสองรูปที่มีมิติต่ำกว่า ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือ ปริซึม 3 มิติซึ่งเป็นผลคูณของรูปหลายเหลี่ยมและส่วนของเส้นตรงโพลีโทปปริซึมแบบสม่ำเสมอ 4 มิติประกอบด้วยตระกูลอนันต์สองตระกูล:

ปริซึมทรงหลายเหลี่ยม : ผลคูณของส่วนของเส้นตรงและทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ ตระกูลนี้มีจำนวนอนันต์เนื่องจากรวมถึงปริซึมที่สร้างขึ้นจากปริซึมสามมิติและแอนติปริซึมด้วย
ปริซึมคู่ : ผลคูณของรูปหลายเหลี่ยมสองรูป

ปริซึมทรงหลายเหลี่ยมนูน

ตระกูลของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติแบบปริซึมที่เห็นได้ชัดที่สุดคือปริซึมทรงหลายเหลี่ยม กล่าวคือ ผลคูณของทรงหลายเหลี่ยมกับส่วนของเส้นตรงเซลล์ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติดังกล่าวประกอบด้วยทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอสองทรงที่เหมือนกันวางอยู่บนระนาบ ขนาน ( เซลล์ ฐาน ) และชั้นของปริซึมที่เชื่อมต่อกัน ( เซลล์ ด้านข้าง ) ตระกูลนี้รวมถึงปริซึมสำหรับ ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอที่ไม่ใช่ปริซึม 75 ทรง(ซึ่ง 18 ทรงเป็นทรงนูน หนึ่งในนั้นคือปริซึมลูกบาศก์ ซึ่งระบุไว้ข้างต้นในชื่อเทสเซอแร็ กต์ )

มีปริซึมทรงหลายเหลี่ยมนูน 18 แบบที่สร้างขึ้นจากทรงหลายเหลี่ยมเพลโต 5 แบบ และทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียน 13 แบบ รวมถึงตระกูลปริซึมและแอนติปริซึม สามมิติ จำนวนอนันต์ จำนวนสมมาตรของปริซึมทรงหลายเหลี่ยมมีค่าเป็นสองเท่าของทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐาน

ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า: A × A

สมมาตรทรงสี่เหลี่ยมปริซึมนี้คือ [3,3,2] อันดับ 48 มีกลุ่มย่อยดัชนี 2 สองกลุ่มคือ [(3,3) ⁺ ,2] และ [3,3,2] ⁺แต่กลุ่มที่สองไม่ได้สร้างโพลีโทป 4 มิติที่สม่ำเสมอ

[3,3,2] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท			จำนวนองค์ประกอบ				สุทธิ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท			เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	สุทธิ
48	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (เทเป)			{3,3}×{ } t {3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าตัดยอด (tuttip)			t{3,3}×{ } t {3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3],2] โพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท			จำนวนองค์ประกอบ				สุทธิ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท			เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	สุทธิ
[51]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปรับแก้ (เหมือนกับปริซึมทรงแปดเหลี่ยม ) (ope)			r{3,3}×{ } t {3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปลายแหลม (เหมือนกับปริซึมทรงลูกบาศก์แปด เหลี่ยม ) (cope)			rr{3,3}×{ } t {3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าตัดยอด (เหมือนกับปริซึมทรงแปดเหลี่ยมตัดยอด ) (tope)			ตริ{3,3}×{ } เสื้อ {3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบเฉียง (เหมือนกับปริซึมทรงยี่สิบเหลี่ยม ) (ipe)			sr{3,3}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
ไม่สม่ำเสมอ	omnisnub tetrahedral antiprism Pyritohedral icosahedral antiprism (pikap)			$s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3	40	16+96 {3}	96	24

ปริซึมทรงแปดเหลี่ยม: B × A

สมมาตรของตระกูลปริซึมทรงแปดเหลี่ยมนี้คือ [4,3,2] อันดับ 96 มีกลุ่มย่อย 6 กลุ่มที่มีดัชนี 2 อันดับ 48 ซึ่งแสดงอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม 4 มิติสลับกันดังต่อไปนี้สมมาตรคือ [(4,3) ⁺ ,2], [1 ⁺ , 4,3,2], [4,3,2 ⁺ ], [4,3 ⁺ ,2], [4,(3,2) ⁺ ] และ [4,3,2] ⁺

#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท				จำนวนองค์ประกอบ				สุทธิ
#	ชื่อ (ตัวย่อแบบโบเวอร์ส)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท				เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	สุทธิ
[10]	ปริซึมทรงลูกบาศก์ (เหมือนกับเทสเซอแร็กต์ ) (เหมือนกับดูโอปริซึม 4-4 ) (เทส)			{4,3}×{ } t {4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	ปริซึมคิวโบกตาเฮดรัล (เหมือนกับปริซึมเตตระเฮดรัลแบบมีมุม ) (cope)			r{4,3}×{ } t {4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	ปริซึมทรงแปดเหลี่ยม (เหมือนกับปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบปรับแก้ )(เหมือนกับปริซึมแอนติปริซึมทรงสามเหลี่ยม ) (ope)			{3,4}×{ } t {4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	ปริซึมทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (เซอร์โคป)			rr{4,3}×{ } t {4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
53	ปริซึมทรงลูกบาศก์ตัดยอด (ticcup)			t{4,3}×{ } t {4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	ปริซึมทรงแปดเหลี่ยมตัดยอด (เหมือนกับปริซึมทรงสี่เหลี่ยมตัดยอด ) (tope)			t{3,4}×{ } t {4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	ปริซึมทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมตัดยอด (gircope)			ตริ{4,3}×{ } เสื้อ {4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	ปริซึมทรงลูกบาศก์แบบสั้น (สนิคคัพ)			sr{4,3}×{ }	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (เทเป)			h{4,3}×{ }	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าตัดยอด (tuttip)			h {4,3}×{ }	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	ปริซึมทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม (cope)			rr{3,3}×{ }	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	ปริซึมทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (เซอร์โคป)			s {3,4}×{ }	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	ปริซึมทรงแปดเหลี่ยมตัดยอด (โทป)			tr{3,3}×{ }	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	ปริซึมทรงยี่สิบหน้า (ipe)			s{3,4}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16 เซลล์ (หกเหลี่ยม)			s{2,4,3}	2+6+8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
ไม่สม่ำเสมอ	ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบออมนิสนับ = ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบไพริโทเฮดรัล (ปิกาป)			sr{2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3		40	16+96 {3}	96	24
ไม่สม่ำเสมอ	Edge-snub octahedral hosochoron Pyritosnub alterprism (pysna)			sr {2,3,4}	2 3.4.4.4	6 4.4.4	8 3.3.3.3	24 3.4.4	40	16+48 {3} 12+12+24+24 {4}	144	48
ไม่สม่ำเสมอ	ปริซึมแอนติคิวบิกออมนิสนับ (สนิแคป)			$s\left\{{\begin{array}{l}4\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.4	12+48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16+192 {3} 12 {4}	192	48
ไม่สม่ำเสมอ	Runcic snub cubic hosochoron Truncated tetrahedral alterprism (tuta)			s {2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	โดมทรงสามเหลี่ยม 8 หลัง		16	52	60	24

ปริซึมทรงยี่สิบหน้า: H × A

สมมาตรทรงยี่สิบหน้าปริซึมนี้คือ [5,3,2] อันดับ 240 มีกลุ่มย่อยดัชนี 2 สองกลุ่มคือ [(5,3) ⁺ ,2] และ [5,3,2] ⁺แต่กลุ่มที่สองไม่ได้สร้างโพลีโครอนที่เป็นเอกรูป

#	ชื่อ (ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท				จำนวนองค์ประกอบ				สุทธิ
#	ชื่อ (ชื่อและชื่อย่อของโบเวอร์)	รูปภาพ	รูปจุดยอด	แผนภาพ Coxeterและสัญลักษณ์ ชลาฟลี	เซลล์ตามประเภท				เซลล์	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	สุทธิ
57	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยม (โดป)			{5,3}×{ } t {5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยม (iddip)			r{5,3}×{ } t {5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	ปริซึมทรงยี่สิบหน้า (เหมือนกับปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบเฉียง ) (ipe)			{3,5}×{ } t {5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด (ทิดดิป)			t{5,3}×{ } t {5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า (sriddip)			rr{5,3}×{ } t {5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	ปริซึมทรงยี่สิบหน้าตัด (tipe)			t{3,5}×{ } t {5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด (griddip)			ตริ{5,3}×{ } เสื้อ {5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมแบบสนับ (สนิดดิป)			sr{5,3}×{ }	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
ไม่สม่ำเสมอ	ปริซึมแอนติปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมออมนิสนูนปริซึมแอนติปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมสนับ (สนิดแดป)			$s\left\{{\begin{array}{l}5\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.5	30+120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20+240 {3} 24 {5}	220	120

ดูโอปริซึม: [p] × [q]

ประการที่สองคือตระกูลอนันต์ของดูโอปริซึมเอกรูป ซึ่งเป็นผลคูณของ รูปหลายเหลี่ยมปกติสองรูป แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กินของดูโอปริซึมคือรูปทรงยอดของมันคือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบดิสฟีนอย ด์

ตระกูลนี้ทับซ้อนกับตระกูลแรก: เมื่อรูปหลายเหลี่ยม "ตัวประกอบ" หนึ่งในสองรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ผลคูณจะเทียบเท่ากับไฮเปอร์ปริซึมที่มีฐานเป็นปริซึมสามมิติ จำนวนสมมาตรของดูโอปริซึมที่มีตัวประกอบเป็นรูปpเหลี่ยมและ รูป qเหลี่ยม ("ดู โอปริซึม p,q ") คือ 4pq ถ้า p ≠ q ;ถ้าตัวประกอบทั้งสองเป็น รูป p ^{เหลี่ยม}จำนวนสมมาตรคือ 8p² เทสเซอแร็กต์ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นดูโอปริซึม 4,4 อีกด้วย

เวกเตอร์ fที่ขยายของ { p }×{ q } คือ ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q )

เซลล์: ปริซึมเหลี่ยม p q , ปริซึมเหลี่ยมq p
หน้า: สี่เหลี่ยมจัตุรัส pqรูป, เหลี่ยม p qรูป, เหลี่ยม q pรูป
ขอบ: 2pq
จุดยอด: pq

ไม่มีสิ่งใดในสี่มิติที่เป็นแบบจำลองที่สม่ำเสมอสำหรับตระกูลอนันต์ของแอนติปริซึม สาม มิติ

เซตอนันต์ของปริซึมคู่ pq -- ปริซึมเหลี่ยม p q , ปริซึมเหลี่ยม q p :

ชื่อ	กราฟค็อกซ์เตอร์	เซลล์	รูปภาพ	สุทธิ
ปริซึมคู่ 3-3 (ไตรดิป)		ปริซึมสามเหลี่ยม 3+3
ปริซึมคู่ 3-4 อัน (ทิสดิป)		ลูกบาศก์ 3 ลูกปริซึมสามเหลี่ยม 4 อัน
ปริซึมคู่ 4-4 (tes) (เหมือนกับเทสเซอแร็กต์)		ลูกบาศก์ 4+4
ปริซึมคู่ 3-5 อัน (trapedip)		ปริซึมห้าเหลี่ยม 3 อันปริซึมสามเหลี่ยม 5 อัน
4-5 ดูโอปริซึม (สควิปดิป)		ปริซึมห้าเหลี่ยม 4 อันลูกบาศก์ 5 อัน
5-5 ดูโอปริซึม (pedip)		ปริซึมห้าเหลี่ยม 5+5
ปริซึมคู่ 3-6 (thiddip)		ปริซึมหกเหลี่ยม 3 ชิ้นปริซึมสามเหลี่ยม 6 ชิ้น
4-6 ดูโอปริซึม (ชิดดิป)		ปริซึมหกเหลี่ยม 4 อันลูกบาศก์ 6 อัน
5-6 ดูโอปริซึม (ฟิดดิป)		ปริซึมหกเหลี่ยม 5 อันปริซึมห้าเหลี่ยม 6 อัน
ปริซึมคู่ 6-6 (hiddip)		ปริซึมหกเหลี่ยม 6+6

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

สามารถเปลี่ยนแปลงได้=ทำให้เกิดตระกูลของดูโอแอนติปริซึมแต่โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถทำให้เป็นรูปทรงเดียวกันได้ p=q=2 เป็นกรณีเดียว ที่ เป็นรูปทรงนูนที่สามารถทำให้เป็นรูปทรงเดียวกันได้ ซึ่งจะได้เซลล์ 16 เซลล์ปกติ p=5, q=5/3 เป็นกรณีเดียวที่เป็นรูปทรงไม่นูนที่สามารถทำให้เป็นรูปทรงเดียวกันได้ ซึ่งจะได้สิ่งที่เรียกว่า ดูโอแอนติ ปริซึมขนาดใหญ่ให้ ปริซึมปริซึมเหลี่ยม p-2q (การสลับขอบของปริซึมคู่ 2p-4q) แต่ไม่สามารถทำให้สม่ำเสมอได้ในทุกกรณี^{[ 23 ]}

ปริซึมปริซึมรูปหลายเหลี่ยม: [p] × [ ] × [ ]

เซตอนันต์ของปริซึมปริซึมสม่ำเสมอจะทับซ้อนกับปริซึมคู่ 4-p: (p≥3) -- ลูกบาศก์p และปริซึมเหลี่ยม 4p - (ทั้งหมดเหมือนกับปริซึมคู่ 4p ) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่สองในชุดนี้คือสมมาตรที่ต่ำกว่าของเทสเซอแร็กต์ ปกติ {4}×{4}

ปริซึมปริซึมรูปตัว *p นูน*
ชื่อ	{3}×{4}	{4}×{4}	{5}×{4}	{6}×{4}	{7}×{4}	{8}×{4}	{p}×{4}
แผนภาพค็อกซ์ เตอร์
ภาพ
เซลล์	3 {4}×{} 4 {3}×{}	4 {4}×{} 4 {4}×{}	5 {4}×{} 4 {5}×{}	6 {4}×{} 4 {6}×{}	7 {4}×{} 4 {7}×{}	8 {4}×{} 4 {8}×{}	p {4}×{} 4 {p}×{}
สุทธิ

ปริซึมแอนติปริซึมรูปหลายเหลี่ยม: [p] × [ ] × [ ]

เซตอนันต์ของปริซึมแอนติปริซึม สม่ำเสมอถูกสร้างขึ้นจาก แอนติปริซึมสม่ำเสมอขนานสองอัน): (p≥2) -- ปริซึมแอนติรูปเหลี่ยม 2p ชิ้นเชื่อมต่อกันด้วยปริซึมรูปเหลี่ยม 2p ชิ้นและปริซึมรูปสามเหลี่ยม 2p ชิ้น

ปริซึม*แอน* ติ ปริซึมรูปสามเหลี่ยมนูน
ชื่อ	s{2,2}×{}	s{2,3}×{}	s{2,4}×{}	s{2,5}×{}	s{2,6}×{}	s{2,7}×{}	s{2,8}×{}	s{2,p}×{}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ภาพ
รูปจุดยอด
เซลล์	2 s{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{}	2 s{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}	2 s{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}	2 s{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}	2 s{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}	2 s{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}	2 s{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}	2 s{2,p} 2 {p}×{} 2 p {3}×{}
สุทธิ

ปริซึมแอนติปริซึม p- เหลี่ยมมีหน้าสามเหลี่ยม4p หน้า หน้าสี่เหลี่ยม 4pหน้า และ หน้า p-เหลี่ยม 4หน้า มี ขอบ 10pขอบ และจุดยอด 4p จุด

การสลับที่ไม่สม่ำเสมอ

ค็อกซ์เตอร์แสดงให้เห็นเพียงสองวิธีแก้ปัญหาแบบเอกรูปสำหรับกลุ่มค็อกซ์เตอร์อันดับ 4 ที่วงแหวนทั้งหมดสลับกัน (แสดงด้วยโหนดวงกลมว่าง) วิธีแรกคือs{2 ^1,1,1 } ซึ่งแสดงถึงดัชนีกลุ่มย่อย 24 ( สมมาตร [2,2,2] ⁺ลำดับ 8) รูปแบบของเดมิเทสเซอแร็กต์, h{4,3,3} (สมมาตร [1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ], อันดับ 192) อันที่สองคือs{3 ^1,1,1 } ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยดัชนี 6 (สมมาตร [3 ^1,1,1 ] ⁺ลำดับ 96) รูปแบบของเซลล์ 24 เซลล์แบบสนับ, s{3,4,3}, (สมมาตร [3 ⁺ ,4,3], อันดับ 576)

การเปลี่ยนแปลงอื่นๆ เช่นเป็นการสลับเปลี่ยนจากเทสเซอแร็กต์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมดไม่สามารถทำให้สม่ำเสมอได้ เนื่องจากการแก้ปัญหาความยาวขอบที่เท่ากันโดยทั่วไปจะมีสมการเกินกำหนด (มีหกสมการแต่มีตัวแปรเพียงสี่ตัว) รูปทรงสลับที่ไม่สม่ำเสมอดังกล่าวสามารถสร้างเป็นโพลีโทป 4 มิติแบบทรานซิทีฟจุดยอดได้โดยการลบครึ่งเซตของจุดยอดหนึ่งในสองเซตของรูปทรงวงแหวนเต็ม แต่จะมีความยาวขอบไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับการสลับที่สม่ำเสมอ รูปทรงเหล่านี้จะมีสมมาตรครึ่งหนึ่งของรูปทรงที่สม่ำเสมอ เช่น [4,3,3] ⁺ลำดับ 192 คือสมมาตรของ เทสเซอแร็ก ต์แบบสลับที่ถูกตัดทอนทั้งหมด^{[ 24 ]}

โครงสร้าง Wythoff ที่มีการสลับกันทำให้เกิด รูปทรง ที่จุดยอดสลับกันได้ซึ่งสามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ แต่ไม่สม่ำเสมอเนื่องจากช่องว่างที่สลับกัน (รอบจุดยอดที่ถูกลบออก) ทำให้เกิดเซลล์ที่ไม่ปกติหรือกึ่งปกติ ชื่อที่เสนอสำหรับรูปทรงดังกล่าวคือรูปหลายเหลี่ยมแบบสเกลิฟอร์ม [ ^{25 ] หมวด}หมู่นี้อนุญาตให้ใช้เซตย่อยของของแข็ง Johnsonเป็นเซลล์ได้ เช่นโดม สามเหลี่ยม

แต่ละรูปแบบการจัดเรียงจุดยอดภายในทรงตันจอห์นสันจะต้องมีอยู่ภายในรูปทรงจุดยอดนั้น ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมีรูปแบบการจัดเรียงจุดยอดสองแบบ คือ 3,3,4 รอบฐาน และ 3,3,3,3 ที่ยอด

ภาพคลี่และรูปทรงจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูนทั้งสี่กรณีแสดงอยู่ด้านล่าง พร้อมทั้งรายชื่อเซลล์รอบจุดยอดแต่ละจุด

โพลีโทป 4 ด้านนูนสมมาตรจุดยอดสี่อันที่มีเซลล์ไม่สม่ำเสมอ
แผนภาพ ค็อกซ์เตอร์	s {2,4,3},	s {3,4,3},	คนอื่น
ความสัมพันธ์	24 จาก 48 จุดยอดของปริซึมทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมด้านเท่า	288 จาก 576 จุดยอดของเซลล์ 24 เซลล์ที่ถูกตัดทอน	72 จาก 120 จุดยอดของเซลล์ 600 เซลล์	600 จาก 720 จุดยอดของเซลล์ 600 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว
การฉายภาพ				พีระมิดสองวง
สุทธิ	runcic snub cubic hosochoron ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}	runcic snub 24-cell ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}	^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}	^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}
เซลล์
รูป จุดยอด	(1) 3.4.3.4: โดมสามเหลี่ยม (2) 3.4.6: โดมสามเหลี่ยม(1) 3.3.3: ทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่า (1) 3.6.6: ทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่าตัดยอด	(1) 3.4.3.4: โดมสามเหลี่ยม(2) 3.4.6: โดมสามเหลี่ยม(2) 3.4.4: ปริซึมสามเหลี่ยม (1) 3.6.6: ทรงสี่เหลี่ยม ตัดยอด (1) 3.3.3.3.3: ทรง ยี่สิบเหลี่ยม	(2) 3.3.3.5: ไอโคซาเฮดรอนลดขนาดสามเท่า (4) 3.5.5: ไอโคซาเฮดรอนลดขนาดสามเท่า	(1) 3.3.3.3: พีระมิดสี่เหลี่ยม (4) 3.3.4: พีระมิดสี่เหลี่ยม(2) 4.4.5: ปริซึมห้าเหลี่ยม (2) 3.3.3.5 ปริซึมแอนติห้าเหลี่ยม

การหาอนุพันธ์ทางเรขาคณิตสำหรับโพลีโคราแบบเอกรูป Wythoffian ที่ไม่ใช่ปริซึม 46 แบบ

โพลีโทป 4 มิติแบบวิธอฟฟ์ 46 รูปนั้นรวมถึง โพลี โทป 4 มิติแบบนูนปกติ 6 รูป ส่วนอีก 40 รูปที่เหลือสามารถได้มาจากโพลีโคราปกติโดยใช้การดำเนินการทางเรขาคณิตซึ่งรักษา ความสมมาตรส่วนใหญ่หรือทั้งหมดของพวกมันไว้และดังนั้นจึงสามารถจำแนกได้ตามกลุ่มสมมาตรที่พวกมันมีร่วมกัน

แผนภูมิสรุปการดำเนินการตัดทอน	ตัวอย่างตำแหน่งของจุดกำเนิดภาพลวงตาบนโดเมนพื้นฐาน

การดำเนินการทางเรขาคณิตที่ใช้ในการสร้างรูปทรง 4 มิติแบบสม่ำเสมอทั้ง 40 รูป จากรูปทรง 4 มิติแบบปกติ คือ การดำเนินการ ตัดทอน รูปทรง 4 มิติอาจถูกตัดทอนที่จุดยอด ขอบ หรือหน้า ทำให้เกิดการเพิ่มเซลล์ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบเหล่านั้น ดังแสดงในคอลัมน์ของตารางด้านล่าง

The Coxeter-Dynkin diagram shows the four mirrors of the Wythoffian kaleidoscope as nodes, and the edges between the nodes are labeled by an integer showing the angle between the mirrors (π/nradians or 180/n degrees). Circled nodes show which mirrors are active for each form; a mirror is active with respect to a vertex that does not lie on it.

Row	Operation	Schläfli symbol	Symmetry	Description
1	Parent	t{p,q,r}	[p,q,r]	Original regular form {p,q,r}
2	Rectification	t{p,q,r}		Truncation operation applied until the original edges are degenerated into points.
3	Birectification(Rectified dual)	t{p,q,r}		Face are fully truncated to points. Same as rectified dual.
4	Trirectification(dual)	t{p,q,r}		Cells are truncated to points. Regular dual {r,q,p}
5	Truncation	t{p,q,r}		Each vertex is cut off so that the middle of each original edge remains. Where the vertex was, there appears a new cell, the parent's vertex figure. Each original cell is likewise truncated.
6	Cantellation	t{p,q,r}		A truncation applied to edges and vertices and defines a progression between the regular and dual rectified form.
7	Runcination(or expansion)	t{p,q,r}		A truncation applied to the cells, faces and edges; defines a progression between a regular form and the dual.
8	Bitruncation	t{p,q,r}		A truncation between a rectified form and the dual rectified form.
9	Bicantellation	t{p,q,r}		Cantellated dual {r,q,p}.
10	Tritruncation	t{p,q,r}		Truncated dual {r,q,p}.
11	Cantitruncation	t{p,q,r}		Both the cantellation and truncation operations applied together.
12	Runcitruncation	t{p,q,r}		Both the runcination and truncation operations applied together.
13	Runcicantellation	t{p,q,r}		Runcitruncated dual {r,q,p}.
14	Bicantitruncation	t{p,q,r}		Cantitruncated dual {r,q,p}.
15	Omnitruncation(runcicantitruncation)	t{p,q,r}		Application of all three operators.
16	Snub	s{p,2q,r}	[p⁺,2q,r]	Alternated truncation
17	Cantic snub	s{p,2q,r}		Cantellated alternated truncation
18	Runcic snub	s{p,2q,r}		Runcinated alternated truncation
19	Runcicantic snub	s{p,2q,r}		Runcicantellated alternated truncation
20	Snub rectified	sr{p,q,2r}	[(p,q)⁺,2r]	Alternated truncated rectification
21		ht{2p,q,2r}	[(2p,q,2r,2⁺)]	Alternated runcination
22	Bisnub	2s{2p,q,2r}	[2p,q⁺,2r]	Alternated bitruncation
23	Omnisnub	ht{p,q,r}	[p,q,r]⁺	Alternated omnitruncation
24	Half	h{2p,3,q}	[1⁺,2p,3,q]=[(3,p,3),q]	Alternation of , same as
25	Cantic	h{2p,3,q}		Same as
26	Runcic	h{2p,3,q}		Same as
27	Runcicantic	h{2p,3,q}		Same as
28	Quarter	q{2p,3,2q}	[1⁺,2p,3,2q,1⁺]	Same as

See also convex uniform honeycombs, some of which illustrate these operations as applied to the regular cubic honeycomb.

If two polytopes are duals of each other (such as the tesseract and 16-cell, or the 120-cell and 600-cell), then bitruncating, runcinating or omnitruncating either produces the same figure as the same operation to the other. Thus where only the participle appears in the table it should be understood to apply to either parent.

Summary of constructions by extended symmetry

The 46 uniform polychora constructed from the A, B, F, H symmetry are given in this table by their full extended symmetry and Coxeter diagrams. The D symmetry is also included, though it only creates duplicates. Alternations are grouped by their chiral symmetry. All alternations are given, although the snub 24-cell, with its 3 constructions from different families is the only one that is uniform. Counts in parentheses are either repeats or nonuniform. The Coxeter diagrams are given with subscript indices 1 through 46. The 3-3 and 4-4 duoprismatic family is included, the second for its relation to the B family.

Coxeter group	Extendedsymmetry	Polychora		Chiralextendedsymmetry	Alternation honeycombs
[3,3,3]	[3,3,3](order 120)	6	\| \| \| \|
[3,3,3]	[2⁺[3,3,3]](order 240)	3	\| \|	[2⁺[3,3,3]]⁺(order 120)	(1)
[3,3^1,1]	[3,3^1,1](order 192)	0	(none)
	[1[3,3^1,1]]=[4,3,3] = (order 384)	(4)	\| \| \|
	[3[3^1,1,1]]=[3,4,3] = (order 1152)	(3)	\| \|	[3[3,3^1,1]]⁺=[3,4,3]⁺(order 576)	(1)	(= )
[4,3,3]	[3[1⁺,4,3,3]]=[3,4,3] = (order 1152)	(3)	\| \|
	[4,3,3](order 384)	12	\| \| \| \| \| \| \| \| \|	[1⁺,4,3,3]⁺(order 96)	(2)	(= )
	[4,3,3](order 384)	12	\| \| \| \| \| \| \| \| \|	[4,3,3]⁺(order 192)	(1)
[3,4,3]	[3,4,3](order 1152)	6	\| \| \| \|	[2⁺[3⁺,4,3⁺]](order 576)	1
[3,4,3]	[2⁺[3,4,3]](order 2304)	3	\| \|	[2⁺[3,4,3]]⁺(order 1152)	(1)
[5,3,3]	[5,3,3](order 14400)	15	\| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \|	[5,3,3]⁺(order 7200)	(1)
[3,2,3]	[3,2,3](order 36)	0	(none)	[3,2,3]⁺(order 18)	0	(none)
	[2⁺[3,2,3]](order 72)	0		[2⁺[3,2,3]]⁺(order 36)	0	(none)
	[[3],2,3]=[6,2,3] = (order 72)	1		[1[3,2,3]]=[[3],2,3]⁺=[6,2,3]⁺(order 36)	(1)
	[(2⁺,4)[3,2,3]]=[2⁺[6,2,6]] = (order 288)	1		[(2⁺,4)[3,2,3]]⁺=[2⁺[6,2,6]]⁺(order 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4](order 64)	0	(none)	[4,2,4]⁺(order 32)	0	(none)
	[2⁺[4,2,4]](order 128)	0	(none)	[2⁺[(4,2⁺,4,2⁺)]](order 64)	0	(none)
	[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3] = (order 384)	(1)		[(3,3)[4,2*,4]]⁺=[4,3,3]⁺(order 192)	(1)
	[[4],2,4]=[8,2,4] = (order 128)	(1)		[1[4,2,4]]=[[4],2,4]⁺=[8,2,4]⁺(order 64)	(1)
	[(2⁺,4)[4,2,4]]=[2⁺[8,2,8]] = (order 512)	(1)		[(2⁺,4)[4,2,4]]⁺=[2⁺[8,2,8]]⁺(order 256)	(1)

Uniform star polychora

Other than the aforementioned infinite duoprism and antiprism prism families, which have infinitely many nonconvex members, many uniform star polychora have been discovered. In 1852, Ludwig Schläfli discovered four regular star polychora: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2}, and {5/2,3,3}. In 1883, Edmund Hess found the other six: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, and {3,5/2,5}. Norman Johnson described three uniform antiprism-like star polychora in his doctoral dissertation of 1966: they are based on the three ditrigonal polyhedra sharing the edges and vertices of the regular dodecahedron. Many more have been found since then by other researchers, including Jonathan Bowers and George Olshevsky, creating a total count of 2127 known uniform star polychora at present (not counting the infinite set of duoprisms based on star polygons). There is currently no proof of the set's completeness.

External links

Convex uniform 4-polytopes
- Uniform, convex polytopes in four dimensions, Marco Möller (in German). Includes alternative names for these figures, including those from Jonathan Bowers, George Olshevsky, and Norman Johnson.
- Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview
- Java3D Applets with sources
Nonconvex uniform 4-polytopes
- Uniform polychora by Jonathan Bowers
- Stella4DStella (software) produces interactive views of known uniform polychora including the 64 convex forms and the infinite prismatic families.
Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes".
4D-Polytopes and Their Dual Polytopes of the Coxeter Group W(A4) Represented by Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [1]

v t e Fundamental convex regular and uniform polytopes in dimensions 2–10
Family	$A$	$B$	$I (p)$ / $D$	$E$ / $E$ / $E$ / $F$ / $G$	$H$
Regular polygon	Triangle	Square	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniform polychoron	Pentachoron	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1 • 2
Uniform 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1 • 2 • 3
Uniform 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	1 • 2 • 4
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniform 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniform n-polytope	n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1 • 2 • k	n-pentagonal polytope
หัวข้อ: ตระกูลของรูปทรงหลายเหลี่ยม • รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ • รายชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ • การดำเนินการกับรูปทรงหลายเหลี่ยม

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

25 ] หมวด

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8