แอนติปริซึม

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ แอนติปริซึม

ในทางเรขาคณิตแอนติปริซึม n ด้านหรือn- แอ นติปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสำเนาขนานกันโดยตรงสองสำเนา(ไม่ใช่ภาพสะท้อน) ของรูปหลายเหลี่ยมnด้านเชื่อมต่อกันด้วยแถบสามเหลี่ยม..

Q: แอนติปริซึมขวา

สำหรับปริซึมแอนติปริซึมที่มี ฐาน เป็นรูปหลายเหลี่ยม ปกติ n ด้าน โดยทั่วไปจะพิจารณากรณีที่สำเนาทั้งสองนี้บิดกันด้วยมุม 180 / n องศา แกนของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือเส้น ที่ตั้งฉาก กับระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและอยู่ตรงกลางของรูปหลาย เหลี่ยม

ในทางเรขาคณิตแอนติปริซึม n ด้านหรือ $n-$ แอ นติปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสำเนาขนานกันโดยตรงสองสำเนา (ไม่ใช่ภาพสะท้อน) ของรูปหลายเหลี่ยม $n$ ด้านเชื่อมต่อกันด้วยแถบสามเหลี่ยม สลับกัน $2n$ $รูป$ โดยใช้สัญลักษณ์คอนเวย์ $A$ $n$ $แทน$

แอนติปริซึมเป็นกลุ่มย่อยของปริซึมมาทอยด์และเป็นโพลีเฮดรอน แบบสั้นชนิดหนึ่ง (ที่เสื่อมสภาพ )

แอนติปริซึมมีลักษณะคล้ายปริซึมยกเว้นว่าฐานจะบิดเบี้ยวสัมพันธ์กัน และด้านข้าง (ที่เชื่อมต่อฐาน) เป็น รูปสามเหลี่ยม $2n รูป$ แทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยม $n$ รูป

รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ของ ปริซึมแอนติปริซึม $n$ ด้าน คือ รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู $n$ ด้าน

ประวัติศาสตร์

ในหนังสือHarmonices Mundi ปี 1619 โยฮันเนส เคปเลอร์สังเกตเห็นการมีอยู่ของตระกูลแอนติปริซึมอนันต์^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้วถือว่าเป็นการค้นพบรูปทรงเหล่านี้เป็นครั้งแรก แต่รูปทรงเหล่านี้อาจเป็นที่รู้จักมาก่อนหน้านั้นแล้ว: บล็อกพิมพ์ที่ไม่มีลายเซ็นสำหรับโครงร่างของแอนติปริซึมหกเหลี่ยมได้รับการระบุว่าเป็นของฮีโรนีมัส อันเดรียซึ่งเสียชีวิตในปี 1556 ^{[ 2 ]}

คำว่า "antiprism" ในภาษาเยอรมันถูกนำมาใช้สำหรับรูปทรงเหล่านี้ในศตวรรษที่ 19 โดย Karl Heinze ให้เครดิตแก่Theodor Wittsteinว่า เป็นผู้นำมาใช้ ^{[ 3 ]}แม้ว่าคำว่า "anti-prism" ในภาษาอังกฤษจะถูกใช้มาก่อนสำหรับปริซึมเชิงแสงที่ใช้เพื่อยกเลิกผลกระทบขององค์ประกอบเชิงแสงหลัก^{[ 4 ]}แต่การใช้คำว่า "antiprism" ในภาษาอังกฤษในความหมายทางเรขาคณิตครั้งแรกปรากฏในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ในผลงานของHSM Coxeter ^{[ 5 ]}

กรณีพิเศษ

แอนติปริซึมขวา

สำหรับปริซึมแอนติปริซึมที่มี ฐาน เป็นรูปหลายเหลี่ยม ปกติ $n$ ด้าน โดยทั่วไปจะพิจารณากรณีที่สำเนาทั้งสองนี้บิดกันด้วยมุม $180 / n องศา$ แกนของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและอยู่ตรงกลางของรูปหลาย $เหลี่ยม$

สำหรับแอนติปริซึมที่มี $ฐาน$ $รูป n$ เหลี่ยม ปกติที่เท่ากันทุกประการบิดด้วยมุม $180$ $/$ $n$ $องศา$ จะได้ความสม่ำเสมอมากขึ้นหากฐานมีแกนเดียวกัน กล่าวคือ (สำหรับฐานที่ไม่อยู่ในระนาบ เดียวกัน ) หากเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของฐานตั้งฉากกับระนาบของฐาน แอนติปริซึมนั้นเรียกว่าแอนติปริซึมมุมฉากและ หน้าด้านข้าง $ทั้ง$ $2n$ หน้าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว^[⁶^]

กลุ่มสมมาตรของปริซึมแอนติปริซึมมุมฉาก $n$ คือ $D$ ที่มีอันดับ $4 n$ ซึ่งเรียกว่าสมมาตรแอนติปริซึมเนื่องจากสามารถได้มาจากการหมุนครึ่งล่างของปริซึมโดย $\pi /n$ สัมพันธ์กับครึ่งบน โพลีเฮดรอนเว้าที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้จะมีกลุ่มสมมาตรนี้ ดังนั้นจึงมีคำนำหน้า "anti" ก่อน "prismatic" ^{[ 7 ]}มีข้อยกเว้นสองประการที่มีกลุ่มที่แตกต่างจาก $D$ :

$n = 2$ :ทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติ ซึ่งมีกลุ่มสมมาตรขนาดใหญ่ $T$ อันดับ $24$ ซึ่งมี $D$ สามเวอร์ชัน เป็นกลุ่มย่อย
$n = 3 :$ ทรงแปดเหลี่ยมปกติซึ่งมีกลุ่มสมมาตรขนาดใหญ่ $O$ ลำดับ $48$ ซึ่งมี $D$ สี่เวอร์ชัน เป็นกลุ่มย่อย^{[ 8 ]}

ถ้าปริซึมแอนติปริซึม 2 หรือ 3 เหลี่ยมด้านขวาไม่เป็นเอกรูป กลุ่มสมมาตรของมันจะเป็น $D$ หรือ $D$ ตามปกติ กลุ่มสมมาตรจะมีอินเวอร์ชั่นก็ต่อ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่

กลุ่มการหมุนคือ $D$ ที่มีอันดับ $2 n$ ยกเว้นในกรณีต่อไปนี้:

$n = 2$ : ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ ซึ่งมีกลุ่มการหมุนขนาดใหญ่ $T$ ลำดับที่ $12$ ซึ่งมีกลุ่มย่อยเพียงกลุ่มเดียว $D$ ;
$n = 3$ : ทรงแปดเหลี่ยมปกติ ซึ่งมีกลุ่มการหมุนขนาดใหญ่ $O$ ลำดับที่ $24$ ซึ่งมี $D$ สี่เวอร์ชัน เป็นกลุ่มย่อย

ถ้าปริซึมแอนติปริซึม 2 หรือ 3 ด้านตั้งฉากไม่เป็นแบบเอกรูป กลุ่มการหมุนของมันจะเป็น $D$ หรือ $D$ ตามปกติ ปริซึมแอนติปริซึม $n$ ด้าน ตั้งฉากมี ฐานเป็นรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่เท่ากันทุกประการ และด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ ดังนั้นจึงมีกลุ่มสมมาตร (ไดเฮดรัล) เดียวกันกับ ปริซึมแอนติปริซึม $n$ ด้านแบบเอกรูป สำหรับ $n$ $\geq$ 4

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับจุดยอดของปริซึมแอ นติปริซึมมุมฉาก $n$ ด้าน (กล่าวคือ มี ฐานเป็นรูป $n$ เหลี่ยมปกติ และ ด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $2n$ $ด้าน$ โดยรัศมีวงกลมล้อมรอบฐานเท่ากับ 1) คือ:

\left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)

โดยที่ $0 \leq k \leq 2 n - 1$ ;

ถ้า ปริซึมแอนติ $n$ ตัวมีความสม่ำเสมอ (กล่าวคือ ถ้าสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า) แล้ว: $2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.$

แอนติปริซึมแบบสม่ำเสมอ

แอนติปริซึม $n เอก$ รูปมี รูป $n เหลี่ยม$ ปกติที่เท่ากัน สอง รูปเป็นฐาน และมี สามเหลี่ยมด้านเท่า $2n$ $รูป$ เป็นด้านข้าง เช่นเดียวกับปริซึมเอกรูป แอนติปริซึมเอกรูปก็ก่อตัวเป็นชั้นอนันต์ของทรงหลายเหลี่ยมที่สลับจุดยอด สำหรับ $n$ $= 2$ จะได้แอนติปริซึมสองเหลี่ยม (แอนติปริซึมเสื่อมสภาพ) ซึ่งมีลักษณะเหมือนกับทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติ สำหรับ $n$ $= 3$ ทรงแปดเหลี่ยมปกติจะเป็นแอนติปริซึมสามเหลี่ยม (แอนติปริซึมไม่เสื่อมสภาพ) ^[⁶^]

กลุ่มของแอนติปริซึมnเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ
วี
ที
อี
ชื่อแอนติปริซึม	ปริซึมคู่	(สามเหลี่ยม) ปริซึมแอนติสามเหลี่ยม	ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส)	ปริซึมแอนติรูปห้าเหลี่ยม	แอนติปริซึมหกเหลี่ยม	แอนติปริซึมเจ็ดเหลี่ยม	...	แอนติปริซึมอะเพโรโกนัล
ภาพทรงหลายเหลี่ยม							...
ภาพการปูพื้นทรงกลม							ภาพปูกระเบื้องระนาบ
การกำหนดค่าจุดยอด	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

แผนภาพ Schlegelของปริซึมแอนติกึ่งปกติเหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

เอ3	เอ4	เอ5	เอ6	เอ7	เอ8

คุณสมบัติ

ปริมาตรและพื้นที่ผิว

ให้ $a$ เป็นความยาวด้านของ ปริซึมแอนติปริซึม รูปหลายเหลี่ยม $n$ ด้านที่มีความสม่ำเสมอ ปริมาตรของมันคือ: $V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},$ และพื้นที่ผิวคือ: $A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.$ นอกจากนี้ ปริมาตรของแอนติปริซึม สี่เหลี่ยม มุมฉากปกติ $n$ ด้าน ที่มีความยาวด้านฐาน $l$ และความสูง $h$ จะได้รับจาก: ^{[ 9 ]} $V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).$

อนุพันธ์

รัศมีวงกลมล้อมรอบแนวนอนของรูปทรงเรขาคณิตปกติ $n$ -กอนที่ฐานคือ

R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}.

จุดยอดที่ฐานอยู่ที่

\left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;

จุดยอดด้านบนอยู่ที่

\left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.

โดยใช้การประมาณค่าเชิงเส้น จุดบนขอบสามเหลี่ยมด้านนอกของปริซึมแอนติปริซึมที่เชื่อมจุดยอดด้านล่างกับจุดยอดด้านบนจะอยู่ที่

\left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1

และที่

\left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.

โดยการสร้างผลรวมของกำลังสองของ $x$ และ $y$ พิกัดในเวกเตอร์สองตัวก่อนหน้านี้ ตัวหนึ่งคือกำลังสองของรัศมีวงกลมล้อมรอบส่วนนี้ที่ระดับความสูง $z$ เป็น

R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}].

ส่วนตัดขวางที่ระดับความสูง $0\leq z\leq h$ เหนือฐานคือ $2n$ -กอน (ตัดทอน) $n$ -กอน) กับ $n$ ด้านยาว $l_{1}(z)=l(1-z/h)$ สลับกับ $n$ ด้านยาว $l_{2}(z)=lz/h$ (ค่าเหล่านี้ได้มาจากความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวก่อนหน้า) สามารถแยกย่อยได้เป็น $n$ สามเหลี่ยมไร้เส้นไอโซเซลของขอบ $R(z),R(z)$ และ $l_{1}$ (ครึ่งเส้นรอบวง) $R(z)+l_{1}(z)/2$ ) บวก $n$ สามเหลี่ยมไร้เส้นไอโซเซลของขอบ $R(z),R(z)$ และ $l_{2}(z)$ (ครึ่งเส้นรอบวง) $R(z)+l_{2}(z)/2$ ตามสูตรของเฮรอน พื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ

Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(h-z)\left[(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}

และ

Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi }{n}}+h-z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}.

พื้นที่ของส่วนนี้คือ $n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]$ และปริมาตรคือ

V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}.

ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมมุมฉาก $n ด้านที่มีความยาว$ $l$ และ $ความสูง h$ เท่ากันคือ: $V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$ ซึ่งเล็กกว่าของแอนติปริซึม

การสรุปโดยทั่วไป

ในมิติที่สูงกว่า

แอนติปริซึมสี่มิติสามารถกำหนดได้ว่ามีโพลีเฮดราคู่ขนาน สอง อันเป็นหน้าตรงข้ามกัน โดยที่แต่ละหน้าสามมิติระหว่างหน้าทั้งสองนั้นมาจากส่วนคู่ขนานสองส่วนของโพลีเฮดรา ได้แก่ จุดยอดและรูปหลายเหลี่ยมคู่ขนาน หรือขอบคู่ขนานสองขอบ โพลีเฮดรานูนสามมิติทุกอันจะเทียบเท่ากับหน้าตรงข้ามกันสองหน้าของแอนติปริซึมสี่มิติที่สร้างขึ้นจากโพลีเฮดรามาตรฐานและโพลีเฮดราคู่ขนาน^{[ 10 ]}อย่างไรก็ตาม มีโพลีเฮดราสี่มิติบางอันที่ไม่สามารถรวมกับโพลีเฮดราคู่ขนานเพื่อสร้างแอนติปริซึมห้ามิติได้^{[ 11 ]}

โพลีเฮดราที่ตัดกันเอง

3/2-แอนติปริซึมแบบไม่สม่ำเสมอ	5/4-แอนติปริซึมแบบไม่สม่ำเสมอ	5/2-แอนติปริซึม	5/3-แอนติปริซึม
9/2-แอนตี้ปริซึม	9/4-แอนตี้ปริซึม	9/5-แอนตี้ปริซึม

ปริซึมแอนติรูปดาวเอกรูปจะถูกตั้งชื่อตามฐานรูปหลายเหลี่ยมดาว ${p / q}$ และมีอยู่ทั้งในรูปแบบเดินหน้าและถอยหลัง (ไขว้) รูปแบบไขว้จะมีรูปจุดยอด ที่ตัดกัน และแสดงด้วยเศษส่วน "กลับด้าน": $p /(p - q)$ แทนที่จะเป็น $p / q$ ; ตัวอย่างเช่น (5/3) แทนที่จะเป็น (5/2)

ปริซึม แอ นติ รูปดาวตั้งฉาก $n-$ แอนติปริซึมมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติหรือรูปดาว สองรูปที่เท่า กัน ทุกประการ และมีแกนร่วมกัน และ มีด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $2n$ $รูป$

ปริซึมรูปดาวใดๆ ที่มี ฐานเป็นรูปนูน ปกติหรือรูปหลายเหลี่ยมดาว สามารถทำให้เป็น ปริซึมรูปดาว ตั้งฉากได้ (โดยการเลื่อนและ/หรือบิดฐานด้านใดด้านหนึ่ง หากจำเป็น)

ปริซึมแอนติปริซึมเอกรูปที่ไม่ใช่รูปดาวและรูปดาวที่มีด้านมากถึง 15 ด้าน รวมทั้งปริซึมแอนติปริซึมของรูป 29 ด้าน (หรือรูปยี่สิบเก้าเหลี่ยม ) ตัวอย่างเช่น ปริซึมแอนติปริซึมไขว้รูปยี่สิบเก้าเหลี่ยม ( $29/ q ) ที่มีค่า$ $q$ มากที่สุดซึ่งทำให้สามารถเป็นปริซึมเอกรูปได้ คือ $q = 19$ และแสดงอยู่ที่มุมล่างขวาของภาพ สำหรับ $q \geq 20$ ถึง $28$ ปริซึมแอนติปริซึมไขว้จะไม่สามารถเป็นปริซึมเอกรูปได้หมายเหตุ: ปริซึมแอนติปริซึมไขว้รูปแปดเหลี่ยม (8/5) หายไป

ในรูปแบบย้อนกลับ แต่ไม่ใช่ในรูปแบบไปข้างหน้า สามเหลี่ยมที่เชื่อมฐานนูนหรือฐานรูปดาวจะตัดกับแกนสมมาตรการหมุน ดังนั้น:

ปริซึมแอนติแบบดาวกลับด้านที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติไม่สามารถมีขอบทุกด้านยาวเท่ากันได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นรูปทรงเอกรูปได้ "ข้อยกเว้น": ปริซึมแอนติแบบดาวกลับด้านที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (การจัดเรียงจุดยอด: 3.3/2.3.3) สามารถเป็นรูปทรงเอกรูปได้ แต่ในกรณีนั้น มันจะมีลักษณะเหมือนรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า: มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวเสื่อมสภาพ
ในทำนองเดียวกัน ปริซึมแอนติแบบดาวกลับด้านบางรูปที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ ไม่สามารถมีความยาวขอบเท่ากันทุกด้านได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นแบบสม่ำเสมอได้ ตัวอย่างเช่น ปริซึมแอนติแบบดาวกลับด้านที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ{7/5} (การจัดเรียงจุดยอด: 3.3.3.7/5) ไม่สามารถเป็นแบบสม่ำเสมอได้

นอกจากนี้ ยัง สามารถสร้างสารประกอบแอนติปริซึมรูปดาวที่มีฐานรูปดาว ${p / q} -gon ปกติได้ หาก$ $p$ และ $q$ มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวอย่างเช่น แอนติปริซึมรูปดาว (10/4) คือสารประกอบของแอนติปริซึมรูปดาว (5/2) สองตัว

ปริซึม คู่ของ ( $p / q$ ) แอนติปริซึมที่มี $q < p /2$ คือสี่เหลี่ยมคางหมู $p / q$ และปริซึมคู่ของปริซึมคู่ของ ( $p / q$ ) แอนติปริซึมที่มี $q > p /2$ กล่าวคือ แอนติปริซึมไขว้ คือ สี่เหลี่ยมคางหมูเว้า ( $p / q$ ) โดยที่ "เว้า" หมายถึงหน้า 2 มิติของทรงตัน 3 มิติ^{[ 12 ]}

จำนวนของแอนติปริซึมไขว้ที่สม่ำเสมอ

ถ้า ใช้สัญลักษณ์ $(p / q) สำหรับแอนติปริซึมแล้ว สำหรับ$ $q > p /2$ แอนติปริซึมจะเป็นแบบไขว้ (ตามนิยาม) และสำหรับ $q < p /2$ จะไม่เป็นแบบไขว้ ในส่วนนี้ถือว่าแอนติปริซึมทั้งหมดไม่ใช่แบบเสื่อมสภาพ กล่าวคือ $p \geq 3$ , $q \neq p /2$ นอกจากนี้ เงื่อนไข $(p, q) = 1$ ( $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ก็เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากไม่รวมจำนวนประกอบในการนับ จำนวนแอนติปริซึมแบบไขว้ที่สม่ำเสมอสำหรับ $p$ ที่กำหนด สามารถหาได้โดยใช้อสมการอย่างง่าย เงื่อนไขเกี่ยวกับ $q$ ที่เป็นไปได้ คือ

p / 2 < q < 2 / 3 p

และ

(

p

,

q

)

=

1

​

​

ตัวอย่าง:

$p$ = 3: 2 ≤ $q$ ≤ 1 – ปริซึมสามเหลี่ยมไขว้แบบสม่ำเสมอไม่มีอยู่จริง
$p$ = 5: 3 ≤ $q$ ≤ 3 – แอนติปริซึมหนึ่งอันของประเภท (5/3) สามารถเป็นแบบสม่ำเสมอได้
$p$ = 29: 15 ≤ $q$ ≤ 19 – มีความเป็นไปได้ห้าแบบ (15 ถึง 19) ดังแสดงในคอลัมน์ขวาสุด ใต้ปริซึมนูน (29/1) ในภาพด้านบน
$p$ = 15: 8 ≤ $q$ ≤ 9 – แอนติปริซึมที่มี q = 8 เป็นคำตอบ แต่ต้องปฏิเสธ q = 9 เนื่องจาก (15,9) = 3 และ 15/9 $=$ 5/3แอ $น$ ติปริซึม( 15/9 ) เป็นส่วนประกอบของแอนติปริซึมสาม ตัว ( 5/3 ) เนื่องจาก 9 สอดคล้องกับอสมการ ส่วนประกอบนี้จึงสามารถเป็นเอกรูปได้ และถ้าเป็น เช่นนั้น ส่วนประกอบของมันก็ต้องเป็นเอกรูปด้วยเช่นกัน อันที่จริง แอนติปริซึม (5/3) สามารถเป็นเอกรูปได้ตามตัวอย่างที่ 2

ในคอลัมน์แรกของตารางต่อไปนี้ สัญลักษณ์ต่างๆ คือ สัญลักษณ์ของ Schoenflies, Coxeter และ orbifold ตามลำดับ

ปริซึมแอนติ รูปดาว ( $p / q$ ) โดยสมมาตร สำหรับ $p \leq 12$
กลุ่มสมมาตร	ดาวสม่ำเสมอ(ตัวย่อ) ^{[ 13 ]}			ดวงดาวที่ถูกต้อง
$D [2,3] (2*3)$				3.3/2.3.3 ปริซึมสามเหลี่ยมไขว้
$D [2 +,8] (2*4)$				3.3/2.3.4 ปริซึมแอนติสี่เหลี่ยมไขว้
$D [2,5] (*225)$	3.3.3.5/2 ปริซึมแอนติเพนทาแกรม (สแต็ป)			3.3/2.3.5 ปริซึมแอนติเพนทากอนไขว้
$D [2 +,10] (2*5)$	3.3.3.5/3 ปริซึมไขว้รูปดาวห้าแฉก (starp)
$D [2 +,12] (2*6)$				3.3/2.3.6 ปริซึมหกเหลี่ยมไขว้
$D [2,7] (*227)$	3.3.3.7/2 ปริซึมแอนติเฮปตาแกรม (7/2) (รูปทรง)	3.3.3.7/4 ปริซึมไขว้รูปเจ็ดเหลี่ยม (7/4) (gisharp)
$D [2 +,14] (2*7)$	3.3.3.7/3 ปริซึมแอนติรูปเจ็ดเหลี่ยม (7/3) (กิชาป)
$D [2 +,16] (2*8)$	3.3.3.8/3 ปริซึมรูปแปดเหลี่ยม (สลอป)	3.3.3.8/5 ปริซึมไขว้รูปแปดเหลี่ยม (สตอร์ป)
$D [2,9] (*229)$	3.3.3.9/2 แอนติปริซึมเอนเนียแกรมมิก (9/2) (ขั้นบันได)	3.3.3.9/4 แอนติปริซึมแบบเอนเนียแกรม (9/4) (gisteap)
$D [2 +,18] (2*9)$	3.3.3.9/5 Enneagrammic crossed antiprism (gisterp)
$D [2 +,20] (2*10)$	3.3.3.10/3 Decagrammic antiprism (stidap)
$D [2,11] (*2.2.11)$	3.3.3.11/2 Undecagrammic (11/2)	3.3.3.11/4 อักษรสิบตัว (11/4)	3.3.3.11/6 Undecagrammic crossed (11/6)
$D [2 +,22] (2*11)$	3.3.3.11/3 Undecagrammic (11/3)	3.3.3.11/5 Undecagrammic (11/5)	3.3.3.11/7 Undecagrammic crossed (11/7)
$D [2 +,24] (2*12)$	3.3.3.12/5 โดเดคาแกรมมิก	3.3.3.12/7 รูปสิบสองเหลี่ยมไขว้กัน
...	...

ดูเพิ่มเติม

กราฟแอนติปริซึม , กราฟของแอนติปริซึม
แกรนด์แอนติปริซึมรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติ
รูปหลายเหลี่ยมเฉียงคือรูปหลายเหลี่ยมสามมิติที่มีส่วนนูนเป็นปริซึมตรงข้าม

อ่านเพิ่มเติม

แอนโทนี พิวจ์ (1976). โพลีเฮดรา: แนวทางเชิงภาพ . แคลิฟอร์เนีย: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์. ISBN 0-520-03056-7.บทที่ 2: รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบอาร์คิมีเดียน ปริซึม และแอนติปริซึม

ลิงก์ภายนอก

สื่อที่เกี่ยวข้องกับAntiprisms ใน Wikimedia Commons
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "แอนติปริซึม" . แมธเวิลด์ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]