การกำหนดรูปแบบในปริภูมิเฟสเป็นการกำหนดรูปแบบหนึ่งของกลศาสตร์ควอนตัมที่วางตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมไว้ในสถานะที่เท่าเทียมกันในปริภูมิเฟสคุณสมบัติหลักสองประการของการกำหนดรูปแบบในปริภูมิเฟสคือ สถานะควอนตัมถูกอธิบายด้วยการกระจายความน่าจะเป็นเสมือน (แทนที่จะเป็นฟังก์ชันคลื่นเวกเตอร์สถานะหรือเมทริกซ์ความหนาแน่น ) และการ คูณ ตัวดำเนินการถูกแทนที่ด้วยผลคูณแบบดาว

ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์โดยHilbrand Groenewoldในปี พ.ศ. 2489 ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา^{[ 1 ]}และโดยอิสระโดยJoe Moyal [ ^{2 ] โดย}แต่ละคนสร้างจากแนวคิดก่อนหน้าของHermann Weyl ^{[ 3 ]}และEugene Wigner ^{[ 4 ]}

ตรงกันข้ามกับการกำหนดรูปแบบในปริภูมิเฟส ภาพของชโรดิงเกอร์ใช้การแสดงแทนด้วยตำแหน่งหรือโมเมนตัม (ดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิตำแหน่งและปริภูมิโมเมนตัม )

ข้อได้เปรียบหลักของการกำหนดสูตรพื้นที่เฟสคือทำให้กลศาสตร์ควอนตัมดูคล้ายกับกลศาสตร์แฮมิลตัน มาก ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยการหลีกเลี่ยงรูปแบบตัวดำเนินการ ซึ่งทำให้ “‘ปลดปล่อย’ การควอนตัมของ ‘ภาระ’ ของพื้นที่ฮิลเบิร์ต ” ^{[ 5 ]}การกำหนดสูตรนี้มีลักษณะทางสถิติและนำเสนอการเชื่อมโยงเชิงตรรกะระหว่างกลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์สถิติ แบบคลาสสิก ทำให้สามารถเปรียบเทียบระหว่างทั้งสองได้อย่างเป็นธรรมชาติ (ดูขีดจำกัดแบบคลาสสิก ) กลศาสตร์ควอนตัมในพื้นที่เฟสมักเป็นที่นิยมใน การใช้งาน ด้านทัศนศาสตร์ควอนตัม บางอย่าง (ดูพื้นที่เฟสทางแสง ) หรือในการศึกษาการลดความสอดคล้องและปัญหาทางเทคนิคเฉพาะทางต่างๆ แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วรูปแบบนี้จะถูกนำมาใช้น้อยลงในสถานการณ์จริง^{[ 6 ]}

แนวคิดพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังการพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมในปริภูมิเฟสได้แตกแขนงออกไปสู่สาขาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่น การควอนตัมแบบการเปลี่ยนรูปของคอนต์เซวิช (ดูสูตรการควอนตัมของคอนต์เซวิช ) และเรขาคณิตแบบไม่สลับที่

การกระจายเฟสสเปซf ( x ,  p )ของสถานะควอนตัมเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเสมือน ในการกำหนดเฟสสเปซ การกระจายเฟสสเปซอาจถือได้ว่าเป็นคำอธิบายพื้นฐานดั้งเดิมของระบบควอนตัม โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงฟังก์ชันคลื่นหรือเมทริกซ์ความหนาแน่น^{[ 7 ]}

มีหลายวิธีในการแสดงการกระจาย ซึ่งล้วนมีความสัมพันธ์กัน^{[ 8 ] [ 9 ]} ที่น่าสนใจที่สุดคือการแสดงแบบวิกเนอร์ W ( x , p  )ซึ่งค้นพบเป็นครั้งแรก^{[ 4 ]} การแสดงแบบอื่นๆ (เรียงลำดับตามความแพร่หลายในวรรณกรรมโดยประมาณ) ได้แก่Glauber–Sudarshan P [ ^{10 ] [ 11 ] Husimi} Q [ ^{12 ] Kirkwood} –Rihaczek, Mehta, Rivier และ Born–Jordan ^{[ 13 ] [ 14 ]} ทางเลือกเหล่านี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อแฮมิลโทเนียนมีรูปแบบเฉพาะ เช่นลำดับปกติสำหรับการแสดงแบบ Glauber–Sudarshan P เนื่องจากเป็นการแสดงแบบวิกเนอร์ที่พบได้บ่อยที่สุด บทความนี้จึงมักจะใช้การแสดงแบบวิกเนอร์ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

การกระจายตัวในปริภูมิเฟสมีคุณสมบัติคล้ายกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในปริภูมิเฟส 2n มิติตัวอย่างเช่น มันเป็นค่าจริงซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันคลื่นที่โดยทั่วไปมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถเข้าใจความน่าจะเป็นของการอยู่ในช่วงตำแหน่งได้ ตัวอย่างเช่น โดยการอินทิเกรตฟังก์ชันวิกเนอร์เหนือโมเมนตัมทั้งหมดและเหนือช่วงตำแหน่ง:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

ถ้าÂ ( x ,  p )เป็นตัวดำเนินการที่แทนค่าที่สังเกตได้ ก็สามารถแปลงไปเป็นปริภูมิเฟสได้เป็นA ( x , p )โดยใช้การแปลงวิกเนอ ร์ ในทางกลับกัน ตัวดำเนินการนี้ก็สามารถกู้คืนได้โดยการแปลงเวล์

ค่าคาดหวังของสิ่งที่สังเกตได้เมื่อเทียบกับการกระจายเฟสสเปซคือ^{[ 2 ] [ 15 ]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

อย่างไรก็ตาม มีข้อควรระวังอยู่ประการหนึ่งคือ แม้จะมีลักษณะคล้ายคลึงกัน แต่W ( x ,  p ) ไม่ใช่การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ที่แท้จริง เพราะบริเวณภายใต้การแจกแจงนี้ไม่ได้แสดงถึงสถานะที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิงตามที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ข้อที่สามของทฤษฎีความน่าจะเป็น ยิ่งไปกว่านั้น โดยทั่วไปแล้วมันสามารถมี ค่าเป็นลบได้แม้กระทั่งสำหรับสถานะบริสุทธิ์ โดยมีข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือสถานะโคherent (ที่อาจ ถูกบีบอัด ) ซึ่ง เป็นการ ละเมิดสัจพจน์ข้อแรก

บริเวณที่มีค่าลบดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า "เล็ก" กล่าวคือ ไม่สามารถขยายไปยังบริเวณที่กะทัดรัดซึ่งใหญ่กว่าไม่กี่ħได้ และด้วยเหตุนี้จึงหายไปในขีดจำกัดแบบคลาสสิกบริเวณเหล่านี้ได้รับการปกป้องโดยหลักการความไม่แน่นอนซึ่งไม่อนุญาตให้ระบุตำแหน่งที่แม่นยำภายในบริเวณปริภูมิเฟสที่เล็กกว่าħและด้วยเหตุนี้จึงทำให้ "ความน่าจะเป็นเชิงลบ" ดังกล่าวดูไม่ขัดแย้งกัน หากด้านซ้ายของสมการถูกตีความว่าเป็นค่าคาดหวังในปริภูมิฮิลเบิร์ตโดยสัมพันธ์กับตัวดำเนินการ ในบริบทของทัศนศาสตร์ควอนตัมสมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทสมมูลทางแสง (สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติและการตีความของฟังก์ชันวิกเนอร์ โปรดดูบทความหลัก )

แนวทางทางเลือกในกลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้พื้นที่เฟสพยายามกำหนดฟังก์ชันคลื่น (ไม่ใช่แค่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเสมือน) บนพื้นที่เฟส โดยทั่วไปแล้วจะใช้การแปลงเซกัล-บาร์กมันน์เพื่อให้สอดคล้องกับหลักการความไม่แน่นอน ฟังก์ชันคลื่นในพื้นที่เฟสต้องไม่ใช่ฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ มิฉะนั้นมันอาจถูกจำกัดอยู่ในบริเวณเล็กๆ ของพื้นที่เฟส แต่การแปลงเซกัล-บาร์กมันน์เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเสมือนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคลื่นในพื้นที่เฟส ซึ่งก็คือการแสดงแทนแบบฮูซิมิ Qของฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง ${\displaystyle x+ip}$

ตัวดำเนินการไบนารีแบบไม่สลับที่พื้นฐานในสูตรปริภูมิเฟสที่แทนที่การคูณตัวดำเนินการมาตรฐานคือผลคูณดาว ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์★ [ ^{1 ]}การแสดงแต่ละแบบของการกระจายปริภูมิเฟสมี ผลคูณดาวลักษณะเฉพาะ ที่แตกต่างกัน เพื่อความชัดเจน เราจะจำกัดการอภิปรายนี้ไว้เฉพาะผลคูณดาวที่เกี่ยวข้องกับการแสดงแบบ ^วิกเนอร์-ไวล์

เพื่อความสะดวกในการเขียน เราขอแนะนำแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ซ้ายและอนุพันธ์ขวาสำหรับฟังก์ชันfและgอนุพันธ์ซ้ายและอนุพันธ์ขวาถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}$

นิยามเชิงอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ดาวคือ

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

โดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถตีความได้ว่าเป็นอนุกรมกำลังความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์เพิ่มเติมทำให้สามารถเขียนสิ่งนี้ได้ในรูปของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ของfและg :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนด★ -ผลิตภัณฑ์ในรูปแบบอินทิกรัลการสังเคราะห์^{[ 16 ]}โดยพื้นฐานแล้วผ่านการแปลงฟูริเยร์ :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(เช่น^{[ 7 ]}เกาส์เซียนประกอบกันแบบไฮเปอร์โบลิก :

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

หรือ

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

เป็นต้น)

การกระจาย สถานะพลังงานเรียกว่าstargenstates , ★ -genstates , stargenfunctionsหรือ★ -genfunctionsและพลังงานที่เกี่ยวข้องเรียกว่าstargenvalues ​​หรือ★ -genvalues ​​ซึ่งสามารถแก้ได้ ^ในลักษณะ เดียวกับ สมการ Schrödinger ที่ไม่ขึ้น กับเวลาโดยใช้ สมการ ★ -genvalue ^{[ 17 ] [ 18} ]

${\displaystyle H\ดาว W=E\cdot W,}$

โดยที่Hคือแฮมิลโทเนียน ซึ่งเป็นฟังก์ชันปริภูมิเฟสธรรมดา โดยส่วนใหญ่มักจะเหมือนกับแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิก

วิวัฒนาการตามเวลาของการกระจายพื้นที่เฟสกำหนดโดยการดัดแปลงควอนตัมของ การไหล ของLiouville ^{[ 2 ] [ 9 ] [ 19 ]} สูตรนี้เป็นผลมาจากการใช้การแปลง Wignerกับเมทริกซ์ความหนาแน่นของสมการ Liouville ควอนตัม ซึ่งก็ คือสมการ von Neumann

ในการแสดงภาพการกระจายของปริภูมิเฟสใดๆ พร้อมด้วยผลคูณแบบดาวที่เกี่ยวข้อง นี่คือ

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star HH\star f\right),}$

หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันวิกเนอร์

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

โดยที่ {{ , }} คือวงเล็บโมยาลซึ่งเป็นการแปลงวิกเนอร์ของคอมมิวเทเตอร์ควอนตัม ในขณะที่ { , } คือวงเล็บปัวซง แบบคลาสสิ ก^{[ 2 ]}

สิ่งนี้ให้ภาพประกอบที่กระชับของหลักการความสอดคล้อง : สมการนี้ลดลงอย่างชัดเจนเป็นสมการ Liouville แบบคลาสสิกในขีดจำกัดħ  → 0 อย่างไรก็ตาม ในการขยายควอนตัมของการไหลความหนาแน่นของจุดในปริภูมิเฟสไม่ได้รับการอนุรักษ์ของเหลวความน่าจะเป็นปรากฏเป็น "การแพร่กระจาย" และอัดได้^{[ 2 ]} ดังนั้นแนวคิดของวิถีควอนตัมจึงเป็นประเด็นที่ละเอียดอ่อนในที่นี้^{[ 20 ]} ดูภาพยนตร์เกี่ยวกับศักยภาพของ Morse ด้านล่าง เพื่อให้เข้าใจถึงความเป็นไม่เป็นท้องถิ่นของการไหลของเฟสควอนตัม

หมายเหตุ ด้วยข้อจำกัดที่กำหนดโดยหลักการความไม่แน่นอนในการกำหนดตำแหน่งนีลส์ โบร์จึงปฏิเสธการมีอยู่จริงทางกายภาพของวิถีดังกล่าวในระดับจุลภาคอย่างแข็งขัน ด้วยวิถีเฟสสเปซอย่างเป็นทางการ ปัญหาวิวัฒนาการเวลาของฟังก์ชันวิกเนอร์สามารถแก้ไขได้อย่างเข้มงวดโดยใช้วิธีอินทิกรัลเส้นทาง^{[ 21 ]}และวิธีลักษณะเฉพาะควอนตัม [ ^{22 ]}แม้ว่าจะมีอุปสรรคในทางปฏิบัติที่รุนแรงในทั้งสองกรณี ^{ก็ตาม}

แฮมิลโทเนียนสำหรับออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งเดียวในรูปแบบการแสดงแทนของวิกเนอร์-ไวล์ คือ

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

สม การ★ -genvalue สำหรับ ฟังก์ชัน Wigner แบบสถิตจึงมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}$

การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของฟังก์ชันวิกเนอร์ของสถานะพื้นฐานและสถานะกระตุ้นแรกแบบรวมกันสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่าย โปรดสังเกตการเคลื่อนที่แบบแข็งตัวในปริภูมิเฟสที่สอดคล้องกับการสั่นแบบดั้งเดิมในปริภูมิพิกัด

ฟังก์ชันวิกเนอร์สำหรับสถานะพื้นฐานของตัวสั่นฮาร์มอนิก ซึ่งเคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิดของปริภูมิเฟส กล่าวคือสถานะโคเฮเรนต์ สังเกตการหมุนแบบแข็ง ซึ่งเหมือนกับการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก: นี่เป็นคุณลักษณะพิเศษของ SHO ซึ่งแสดงให้เห็นถึงหลักการสอดคล้องจากเว็บไซต์การสอนทั่วไป^{[ 23 ]}

พิจารณาส่วนจินตนาการของ สมการ ★ -genvalue ก่อน

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}$

นี่หมายความว่าเราสามารถเขียน★ -genstates เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวได้:

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรนี้ ทำให้สามารถเขียนส่วนจริงของ สมการ ★ -genvalue ในรูปแบบของสมการ Laguerre ที่แก้ไขแล้ว (ไม่ใช่สมการของ Hermite !) ซึ่งคำตอบเกี่ยวข้องกับพหุนาม Laguerreดังนี้^{[ 18 ]}

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}$

แนะนำโดย Groenewold ^{[ 1 ]} พร้อมด้วยค่า ★ -genvalues ​​ที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก วิวัฒนาการตามเวลาของการกระจายวิกเนอร์แบบใดๆ นั้นเรียบง่ายW ( x ,  p ;  t = 0) = F ( u ) เริ่มต้น จะวิวัฒนาการตามสมการวิวัฒนาการข้างต้นที่ขับเคลื่อนโดยแฮมิลโทเนียนของออสซิลเลเตอร์ที่กำหนด โดย การหมุนอย่างแข็งทื่อ ในปริภูมิเฟส^{[ 1 ]}

${\displaystyle W(x,p;t)=W\left(x\cos \omega t-{\frac {p}{m\omega }}\sin \omega t,\,p\cos \omega t+m\omega x\sin \omega t;\,0\right).}$

โดยทั่วไป “การกระแทก” (หรือสถานะที่สอดคล้องกัน) ของพลังงานE ≫ ħωสามารถแสดงถึงปริมาณระดับมหภาคและปรากฏเหมือนวัตถุคลาสสิกที่หมุนอย่างสม่ำเสมอในปริภูมิเฟส ซึ่งเป็นออสซิลเลเตอร์เชิงกลธรรมดา (ดูภาพเคลื่อนไหว) การรวมเหนือทุกเฟส (ตำแหน่งเริ่มต้นที่t  = 0) ของวัตถุดังกล่าว ซึ่งเป็น “รั้ว” ต่อเนื่อง จะให้การกำหนดค่าที่ไม่ขึ้นกับเวลาคล้ายกับ★ -genstates F ( u ) แบบคงที่ข้างต้น ซึ่งเป็นการแสดงภาพที่เข้าใจง่ายของขีดจำกัดคลาสสิกสำหรับระบบแอคชั่นขนาดใหญ่^{[ 6 ]}

นอกจากนี้ ยังสามารถระบุลักษณะของฟังก์ชันเฉพาะได้โดยการเป็นสถานะบริสุทธิ์ที่มีสมมาตรแบบหมุน (ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันในรูปแบบ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle W(x,p)=f({\sqrt {x^{2}+p^{2}}})}$${\displaystyle W\star W=(2\pi \hbar )^{-1}W}$

สมมติว่าอนุภาคเริ่มต้นอยู่ในสถานะเกาส์เซียน ที่มีความไม่แน่นอนน้อยที่สุด โดยค่าเฉลี่ยของตำแหน่งและโมเมนตัมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในปริภูมิเฟส ฟังก์ชันวิกเนอร์สำหรับสถานะดังกล่าวที่เคลื่อนที่อย่างอิสระคือ

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

โดยที่αเป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายความกว้างเริ่มต้นของฟังก์ชันเกาส์เซียนและ τ = m / α ² ħ

ในขั้นต้น ตำแหน่งและโมเมนตัมไม่มีความสัมพันธ์กัน ดังนั้น ใน 3 มิติ เราคาดว่าเวกเตอร์ตำแหน่งและโมเมนตัมจะมีโอกาสตั้งฉากกันมากกว่าขนานกันถึงสองเท่า

อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งและโมเมนตัมจะมีความสัมพันธ์กันมากขึ้นเมื่อสถานะเปลี่ยนแปลงไป เนื่องจากส่วนของการกระจายตัวที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดในตำแหน่งนั้นต้องการโมเมนตัมที่มากขึ้นเพื่อให้ไปถึงได้: ในเชิงอนุกรม

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

( การ "บีบ"สัมพัทธ์นี้สะท้อนถึงการแพร่กระจายของกลุ่มคลื่น อิสระ ในพื้นที่พิกัด)

อันที่จริง เป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าพลังงานจลน์ของอนุภาคจะกลายเป็นรัศมีในเชิงอะซิมโทติกเท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดมาตรฐานของกลศาสตร์ควอนตัมของสถานะพื้นฐานโมเมนตัมเชิงมุมที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุถึงความเป็นอิสระของการวางแนว: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

ศักยภาพของมอร์สใช้เพื่อประมาณโครงสร้างการสั่นของโมเลกุลไดอะตอมิก

การทะลุผ่าน (Tunneling)เป็นปรากฏการณ์ควอนตัมที่โดดเด่นอย่างหนึ่ง ซึ่งอนุภาคควอนตัมที่ไม่มีพลังงานเพียงพอที่จะบินผ่านสิ่งกีดขวางได้ ก็ยังสามารถทะลุผ่านสิ่งกีดขวางนั้นได้ ปรากฏการณ์นี้ไม่มีอยู่ในกลศาสตร์คลาสสิก