ลักษณะเฉพาะควอนตัมคือวิถีในปริภูมิเฟสที่เกิดขึ้นในการกำหนดปริภูมิเฟสของกลศาสตร์ควอนตัมผ่านการแปลงวิกเนอร์ของตัวดำเนินการไฮเซนเบิร์กของพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอนิก วิถีเหล่านี้เป็นไปตามสมการแฮมิลตันในรูปแบบควอนตัมและมีบทบาทเป็นลักษณะเฉพาะซึ่งสามารถใช้แสดงสัญลักษณ์เวล์แบบขึ้นอยู่กับเวลาของตัวดำเนินการควอนตัมได้ ในขีดจำกัดแบบคลาสสิกลักษณะเฉพาะควอนตัมจะลดลงเหลือวิถีแบบคลาสสิก ความรู้เกี่ยวกับลักษณะเฉพาะควอนตัมเทียบเท่ากับความรู้เกี่ยวกับพลศาสตร์ควอนตัม

ในพลศาสตร์แฮมิลตันระบบคลาสสิกที่มีองศาอิสระจะถูกอธิบายด้วยพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอนิก ซึ่งก่อให้เกิดระบบพิกัดในปริภูมิเฟส ตัวแปรเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์ วงเล็บปัวซง เมทริกซ์สมมาตรเฉียง ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$$${\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},}$$$${\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$$${\displaystyle I^{kl}}$

$${\displaystyle \left\|I\right\|={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{Vmatrix}},}$$

โดยที่เมทริกซ์เอกลักษณ์กำหนดรูปแบบ 2 ที่ไม่เสื่อมสภาพในปริภูมิเฟส ปริภูมิเฟสจึงมีโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิง ซิมเพล็กติก ปริภูมิเฟสไม่ใช่ปริภูมิเมตริกดังนั้นระยะห่างระหว่างสองจุดจึงไม่ถูกกำหนด วงเล็บปัวซงของฟังก์ชันสองฟังก์ชันสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ที่มีทิศทางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันเป็นเกรเดียนต์ของฟังก์ชันเหล่านี้ การหมุนในปริภูมิยุคลิดทำให้ระยะห่างระหว่างสองจุดไม่เปลี่ยนแปลง การแปลงเชิงแคนอนิกในแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกทำให้พื้นที่ไม่เปลี่ยนแปลง ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแปรเชิงแคนอนิกมีความสัมพันธ์กับตัวดำเนินการของพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอนิก ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},\ldots ,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}$$

ตัวดำเนินการเหล่านี้ทำงานในปริภูมิฮิลเบิร์ตและปฏิบัติตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง

$${\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$$

กฎการเชื่อมโยงของ Weyl ^{[ 1 ]} ขยายการจับคู่ไปยังฟังก์ชันและตัวดำเนินการเฟสสเปซแบบใดก็ได้ ${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}$

กฎความสัมพันธ์ด้านเดียวถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดย Weyl โดยอาศัยการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตัวดำเนินการของตัวแปรมาตรฐาน ${\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}\ldots {\hat {\xi }}^{i_{s}}.}$$

ตัวดำเนินการไม่สลับที่กัน ดังนั้นการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์จึงไม่ได้นิยามอย่างเฉพาะเจาะจง สูตรข้างต้นใช้ผลคูณสมมาตรของตัวดำเนินการ ฟังก์ชันจริงสอดคล้องกับตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน ฟังก์ชันนี้เรียกว่าสัญลักษณ์ของตัวดำเนินการของไวล์ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$${\displaystyle f(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

ภายใต้การเชื่อมโยงแบบย้อนกลับเมทริกซ์ความหนาแน่นจะกลายเป็นฟังก์ชันวิกเนอร์ [ ^{2 ] ฟังก์ชัน} วิกเนอร์มีการใช้งานมากมายในฟิสิกส์ควอนตัมหลายอนุภาค ทฤษฎีจลน์ ทฤษฎีการชน เคมีควอนตัม ${\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}$

^{Groenewold [ 3 ]}และ Stratonovich ^{[ 4 ]}ได้เสนอกฎการเชื่อมโยง Weyl–Wigner เวอร์ชันที่ปรับปรุงแล้ว

เซตของตัวดำเนินการที่กระทำในปริภูมิฮิลเบิร์ตนั้นปิดภายใต้การคูณตัวดำเนินการด้วยจำนวน และการบวก เซตดังกล่าวประกอบขึ้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์กฎการเชื่อมโยงที่กำหนดขึ้นโดยใช้การกระจายเทย์เลอร์จะรักษาการดำเนินการบนตัวดำเนินการ ความสัมพันธ์สามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพต่อไปนี้: ในที่นี้และเป็นฟังก์ชันและเป็นตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้อง และเป็นผลคูณแบบดาวที่กำหนดไว้ในส่วนถัดไป ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {V} }$$${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$$${\displaystyle f(\xi )}$${\displaystyle g(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle \star }$

องค์ประกอบของฐานจะถูกกำหนดด้วยตัวแปรเชิงมาตรฐานฐาน Groenewold-Stratonovich ที่ใช้กันทั่วไปมีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {V} }$${\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty ,+\infty )}$

$${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}$$

กฎความสัมพันธ์แบบสองด้านของ Weyl–Wigner สำหรับฟังก์ชันและตัวดำเนินการมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle f(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

$${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}$$$${\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}$$

ฟังก์ชันนี้ให้พิกัดของตัวดำเนินการในฐาน ฐานนี้เป็นฐานที่สมบูรณ์และตั้งฉากกัน: ${\displaystyle f(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$$${\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}$$$${\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}$$

มีการหารือเกี่ยวกับฐานตัวดำเนินการทางเลือกอื่นๆ ด้วย ^{[ 5 ]} เสรีภาพในการเลือกฐานตัวดำเนินการเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อปัญหาการเรียงลำดับตัวดำเนินการ พิกัดของวิถีอนุภาคในปริภูมิเฟสขึ้นอยู่กับฐานตัวดำเนินการ

เซตของตัวดำเนินการ Op( L ² (R ⁿ )) ปิดภายใต้การคูณของตัวดำเนินการ ปริภูมิเวกเตอร์จึงมีโครงสร้างพีชคณิตแบบเชื่อมโยง เมื่อกำหนดฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เราสามารถสร้างฟังก์ชันที่สามได้ เรียกว่า-ผลคูณ^{[ 3 ]} โดยกำหนดอย่างชัดเจนโดย ที่ คือตัวดำเนินการปัวซง - ผลคูณจะแยกออกเป็นส่วนสมมาตรและส่วนสมมาตรเฉียง ${\displaystyle \mathbb {V} }$$${\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],}$$$${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]}$$${\displaystyle \star }$$${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ),}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}}$$${\displaystyle \star }$$${\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}$$

ในขีดจำกัดแบบคลาสสิกผลคูณ จะกลายเป็นผลคูณจุดส่วนสมมาตรเฉียงเรียกว่าวงเล็บโมยาล^{[ 6 ]}นี่คือสัญลักษณ์เวล์ของคอมมิวเทเตอร์ ในขีดจำกัดแบบคลาสสิก วงเล็บโมยาลจะกลายเป็นวงเล็บปัวซง วงเล็บโมยาลเป็นการเปลี่ยนแปลงควอนตัมของวงเล็บปัวซงผลคูณ เป็นแบบสมาคม ในขณะที่ผลคูณ และวงเล็บโมยาลไม่ใช่แบบสมาคม ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle f\wedge g}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \circ }$

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าการแปลงพิกัดในปริภูมิเฟสจะมาพร้อมกับการแปลงตัวดำเนินการของพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอน และในทางกลับกันให้เป็นตัวดำเนินการวิวัฒนาการ และ เป็นแฮมิลโทเนียน พิจารณาแผนผังต่อไปนี้ ${\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }$$${\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}$$

วิวัฒนาการควอนตัมแปลงเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ต และภายใต้แผนที่การเชื่อมโยงวิกเนอร์ พิกัดในปริภูมิเฟส ในการแสดงแทนของไฮเซนเบิร์กตัวดำเนินการของตัวแปรแคนอนิกจะแปลงเป็น พิกัดปริภูมิเฟส ที่สอดคล้องกับตัว ^{ดำเนิน}การใหม่ในฐานเดิมจะได้รับโดย โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น ฟังก์ชัน ระบุการไหลของเฟสควอนตัมในกรณีทั่วไป จะเป็นแคนอนิกในอันดับแรกของτ ^{[ 7} ]$${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$$${\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}$${\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}$${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$$${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],}$$$${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$$${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

เซตของตัวดำเนินการของตัวแปรแคนอนิกนั้นสมบูรณ์ในแง่ที่ว่าตัวดำเนินการใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันของตัวดำเนินการการแปลงต่างๆ ก่อให้เกิดการแปลงของฟังก์ชันปริภูมิเฟสภายใต้กฎการเชื่อมโยงของวิกเนอร์ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$$${\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}]\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow \\&{}{\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}\end{aligned}}}$$

โดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ การแปลงฟังก์ชันภายใต้การวิวัฒนาการสามารถพบได้ดังนี้ ฟังก์ชันประกอบที่กำหนดในลักษณะนี้เรียกว่าฟังก์ชัน - ${\displaystyle f(\xi )}$$${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$$${\displaystyle \star }$

กฎการประกอบแตกต่างจากกฎแบบคลาสสิก อย่างไรก็ตาม การขยายกึ่งคลาสสิกของรอบ ๆ นั้นได้รับการกำหนดไว้อย่างดีในเชิงรูปแบบและเกี่ยวข้องกับกำลังคู่ของเท่านั้น สมการนี้แสดงให้เห็นว่า เมื่อพิจารณาถึงวิธีการสร้างลักษณะเฉพาะควอนตัมแล้ว สามารถค้นหาสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแฮมิลโทเนียนเพิ่มเติม ฟังก์ชันมีบทบาทเป็นลักษณะเฉพาะ^{[ 8 ]}ในลักษณะเดียวกับลักษณะเฉพาะแบบคลาสสิกที่ใช้ในการแก้สมการ Liouville แบบคลาสสิ ก ${\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}$${\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

การแปลงวิกเนอร์ของสมการวิวัฒนาการสำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่นในการแสดงแบบชโรดิงเกอร์นำไปสู่สมการลิอูวิลล์ควอนตัมสำหรับฟังก์ชันวิกเนอร์ การแปลงวิกเนอร์ของสมการวิวัฒนาการสำหรับตัวดำเนินการในการแสดงแบบไฮเซนเบิร์ก นำไปสู่สมการเดียวกันที่มีเครื่องหมายตรงข้าม (บวก)ทางด้านขวามือ: ฟังก์ชัน -แก้สมการนี้ในแง่ของลักษณะเฉพาะควอนตัม: ในทำนองเดียวกัน วิวัฒนาการของฟังก์ชันวิกเนอร์ในการแสดงแบบชโรดิงเกอร์กำหนดโดย ทฤษฎีบทลิอูวิลล์ของกลศาสตร์คลาสสิกไม่เป็นจริง ในระดับท้องถิ่น ปริมาตรของปริภูมิเฟสไม่ได้รับการรักษาไว้ในเวลา อันที่จริง การไหลของเฟสควอนตัมไม่รักษารูปแบบเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดที่กำหนดโดยกำลังภายนอกของ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}$$${\displaystyle \star }$$${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).}$$$${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).}$$${\displaystyle \omega ^{2s}}$${\displaystyle \omega ^{2}=I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l}}$

ฟังก์ชันวิกเนอร์แสดงถึงระบบควอนตัมในรูปแบบทั่วไปมากกว่าฟังก์ชันคลื่น ฟังก์ชันคลื่นอธิบายสถานะบริสุทธิ์ ในขณะที่ฟังก์ชันวิกเนอร์อธิบายกลุ่มของสถานะควอนตัม ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนใดๆ ก็สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้:

$${\displaystyle {\hat {f}}=\sum _{s}\lambda _{s}|s\rangle \langle s|.}$$

ตัวดำเนิน การเหล่านั้นที่มีค่าไอเกนเป็นค่าที่ไม่เป็นลบและผลรวมของค่าไอเกนเป็นจำนวนจำกัด สามารถแปลงไปเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นได้ กล่าวคือ ไปเป็นสถานะทางกายภาพบางอย่าง ฟังก์ชันวิกเนอร์เป็นภาพของเมทริกซ์ความหนาแน่น ดังนั้นฟังก์ชันวิกเนอร์จึงยอมรับการแยกส่วนในลักษณะเดียวกัน: ${\displaystyle \lambda _{s}}$

$${\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}$$

ด้วยและ ${\displaystyle \lambda _{s}\geq 0}$

$${\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}W_{s}(\xi ).}$$

สมการแฮมิลตันควอนตัมสามารถได้มาจากการประยุกต์ใช้การแปลงวิกเนอร์กับสมการวิวัฒนาการสำหรับตัวดำเนินการไฮเซนเบิร์กของพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอนิก $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$$

ด้านขวามือคำนวณเหมือนในกลศาสตร์คลาสสิก อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันประกอบคือฟังก์ชันผลคูณ ละเมิดความเป็นมาตรฐานของการไหลของเฟสเกินกว่าอันดับแรกใน ${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \tau }$

ผลคูณแบบแอนติสมมาตรของตัวดำเนินการจำนวนคู่ของตัวแปรแคนอนิกคือจำนวน c อันเป็นผลมาจากความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง ผลคูณเหล่านี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแปลงแบบเอกภาพ ซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์โดยเฉพาะดังนี้

$${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}$$

โดยทั่วไป ผลิตภัณฑ์ที่ไม่สมมาตร

$${\displaystyle q^{[i_{1}}(\xi ,\tau )\star q^{i_{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}]}(\xi ,\tau )}$$

นอกจากนี้ยังไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา และยิ่งไปกว่านั้นยังไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดด้วย

การแปลงปริภูมิเฟสที่เกิดจากตัวดำเนินการวิวัฒนาการจะรักษาวงเล็บโมยาลไว้ แต่ไม่รักษาวงเล็บปัวซง ดังนั้นแผนที่วิวัฒนาการ

$${\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}$$

ไม่เป็นแบบแคนอนิกเกินกว่า O(τ) ^{[ 8 ]}ลำดับแรกใน τ กำหนดพีชคณิตของกลุ่มการแปลง ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ พีชคณิตของการแปลงแคนอนิกของกลศาสตร์คลาสสิกตรงกับพีชคณิตของการแปลงเอกภาพของกลศาสตร์ควอนตัม อย่างไรก็ตาม กลุ่มทั้งสองนี้แตกต่างกันเนื่องจากการดำเนินการคูณในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมแตกต่างกัน

คุณสมบัติการแปลงของตัวแปรเชิงแคนอนิกและฟังก์ชันปริภูมิเฟสภายใต้การแปลงเอกภาพในปริภูมิฮิลเบิร์ตมีความแตกต่างที่สำคัญจากกรณีของการแปลงเชิงแคนอนิกในปริภูมิเฟส

ลักษณะเฉพาะของควอนตัมนั้นแทบจะไม่สามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่าในรูปของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคทางกายภาพ เหตุผลก็คือ กฎการประกอบแบบดาว ซึ่งเป็นกฎที่ไม่เฉพาะที่ และแตกต่างจากกฎการประกอบแบบจุดของกลศาสตร์คลาสสิก $${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$$

การอนุรักษ์พลังงานบ่งชี้ว่า คือ ฟังก์ชันของแฮมิลตัน ในความหมายทางเรขาคณิตทั่วไปนั้นไม่ได้ถูกอนุรักษ์ไว้ตามลักษณะเฉพาะของควอนตัม $${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$$$${\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]}$$${\displaystyle H(\xi )}$

ที่มาของวิธีการลักษณะเฉพาะสามารถสืบย้อนไปถึงกลศาสตร์เมทริกซ์ ของไฮเซนเบิร์ก ได้ สมมติว่าเราได้แก้สมการวิวัฒนาการสำหรับตัวดำเนินการของพิกัดเชิงแคนอนและโมเมนตัมในรูปแบบไฮเซนเบิร์กในกลศาสตร์เมทริกซ์แล้ว ตัวดำเนินการเหล่านี้วิวัฒนาการไปตาม เป็นที่ ทราบกันว่าสำหรับตัวดำเนินการใดๆเราสามารถหาฟังก์ชันf ( ξ )ซึ่ง แสดงในรูปแบบตัวดำเนินการเดียวกันณ เวลาτจะเท่ากับ สมการนี้แสดงให้เห็นว่ามีลักษณะเฉพาะที่กำหนดการวิวัฒนาการสำหรับตัวดำเนินการทั้งหมดใน Op( L2 (Rn ⁾ ) คุณสมบัตินี้ถูกถ่ายโอนอย่างสมบูรณ์ไปยังปริภูมิเฟสเมื่อมีการควอนตัมการเปลี่ยนรูป และในขีดจำกัดของ^ħ → 0ไปยังกลศาสตร์คลาสสิก $${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f({\hat {\xi }})}$${\displaystyle {\hat {f}}}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$$${\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}$

พลศาสตร์แบบคลาสสิกเทียบกับพลศาสตร์แบบควอนตัม

สมการของ Liouville
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง	สมการอนุพันธ์ย่อยอันดับอนันต์
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho (\xi ,\tau )=-\{\rho (\xi ,\tau ),{\mathcal {H}}(\xi )\}}$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}W(\xi ,\tau )=-W(\xi ,\tau )\wedge H(\xi )}$
สมการของแฮมิลตัน
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับจำกัด	สมการอนุพันธ์ย่อยอันดับอนันต์
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}c^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},{\mathcal {H}}(\zeta )\}|_{\zeta =c(\xi ,\tau )}}$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}}$
เงื่อนไขเริ่มต้น	เงื่อนไขเริ่มต้น
${\displaystyle c^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$	${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$
กฎหมายการประนีประนอม
องค์ประกอบจุด	${\displaystyle \star }$-องค์ประกอบ
${\displaystyle c(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=c(c(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}$	${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}$
ความไม่เปลี่ยนแปลง
วงเล็บปัวซง	วงเล็บโมยาล
${\displaystyle \{c^{i}(\xi ,\tau ),c^{j}(\xi ,\tau )\}=\{\xi ^{i},\xi ^{j}\}}$	${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}}$
การประหยัดพลังงาน
องค์ประกอบจุด	${\displaystyle \star }$-องค์ประกอบ
${\displaystyle H(\xi )=H(c(\xi ,\tau ))}$	${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))}$
คำตอบของสมการ Liouville
องค์ประกอบจุด	${\displaystyle \star }$-องค์ประกอบ
${\displaystyle \rho (\xi ,\tau )=\rho (c(\xi ,-\tau ),0)}$	${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0)}$

ตารางนี้เปรียบเทียบคุณสมบัติของลักษณะเฉพาะในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม PDE และ ODE หมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและสมการเชิงอนุพันธ์สามัญตามลำดับ สมการ Liouville ควอนตัมคือการแปลง Weyl–Wigner ของสมการวิวัฒนาการ von Neumann สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่นในการแสดงแบบ Schrödinger สมการ Hamilton ควอนตัมคือการแปลง Weyl–Wigner ของสมการวิวัฒนาการสำหรับตัวดำเนิน การ ของพิกัดและโมเมนตัมเชิงแคนอนในการแสดงแบบ Heisenberg

ในระบบคลาสสิก ลักษณะเฉพาะมักจะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง เช่น สมการแฮมิลตันแบบคลาสสิก และเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง เช่น สมการลิอูวิลล์แบบคลาสสิก ฟังก์ชันก็เป็นลักษณะเฉพาะเช่นกัน แม้ว่าทั้งสองอย่างจะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับอนันต์ก็ตาม ${\displaystyle c^{i}(\xi ,\tau )}$${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$${\displaystyle f(\xi ,\tau )}$

การไหลของเฟสควอนตัมประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับการวิวัฒนาการควอนตัม การขยายแบบกึ่งคลาสสิกของลักษณะควอนตัมและฟังก์ชันของลักษณะควอนตัมในอนุกรมกำลังใน ħ ช่วยให้สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยของปริมาณสังเกตทางกายภาพที่ขึ้นอยู่กับเวลาได้โดยการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบคู่ลำดับจำกัดสำหรับวิถีในปริภูมิเฟสและฟิลด์จาโคบี^{[ 9 ] [ 10 ]}ลำดับของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญขึ้นอยู่กับการตัดทอนของอนุกรมกำลัง ผลกระทบของการทะลุผ่านไม่ใช่แบบรบกวนในħ และไม่ถูกจับโดยการขยาย ความหนาแน่นของของไหลความน่าจะเป็นควอนตัมไม่ได้รับการรักษาไว้ในปริภูมิเฟส เนื่องจากของไหลควอนตัมแพร่กระจาย^{[ 6 ]} ลักษณะเฉพาะของควอนตัมจะต้องแยกออกจากวิถีของทฤษฎี De Broglie–Bohm [ ^{11 ]} วิถีของวิธีการอินทิกรัลเส้นทางในปริภูมิเฟสสำหรับแอมพลิจูด^{[ 12 ]} และฟังก์ชัน Wigner ^{[ 13 ] [ 14 ]} และวิถีของ Wigner ^{[ 5 ] จนถึงปัจจุบัน มีเพียงระบบค วอน} ตัมไม่กี่ระบบเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไขอย่างชัดเจนโดยใช้วิธีลักษณะเฉพาะของควอนตัม^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle \star }$

• วิธีการลักษณะเฉพาะ
• การแปลงวิกเนอร์-เวย์ล
• ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป
• ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์
• ฟังก์ชันการกระจายวิกเนอร์ที่ดัดแปลง
• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบวิกเนอร์
• ความน่าจะเป็นเชิงลบ

• H. Weyl , ทฤษฎีกลุ่มและกลศาสตร์ควอนตัม (สำนักพิมพ์ Dover, นิวยอร์ก, 1931)
• VI. Arnold , วิธีการทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 2, Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 1989)
• MV Karasev และVP Maslov , วงเล็บปัวซงแบบไม่เชิงเส้น เรขาคณิตและการหาปริมาณเชิงตัวเลขการแปลบทความทางคณิตศาสตร์ 119 (สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์ 1993)