ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์

ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์ ( WDF) ใช้ในการประมวลผลสัญญาณในฐานะการแปลงในการ วิเคราะห์เวลา-ความถี่

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบวิกเนอร์ (WDF) ถูกเสนอขึ้นครั้งแรกในวิชาฟิสิกส์ ในปี 1932 โดยยูจีน วิกเนอร์เพื่ออธิบายการแก้ไขเชิงควอนตัมในกลศาสตร์สถิติ แบบคลาสสิก และมีความสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัมในปริภูมิเฟส (ดูเพิ่มเติมเพื่อเปรียบเทียบ: การกระจายความน่าจะเป็นแบบกึ่งวิกเนอร์หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันวิกเนอร์หรือการกระจายวิกเนอร์-วิลล์ )

เนื่องจากโครงสร้างทางพีชคณิต ร่วมกัน ระหว่างคู่ ตำแหน่ง-โมเมนตัมและคู่เวลา-ความถี่ จึงทำให้ฟังก์ชันนี้มีประโยชน์ในการประมวลผลสัญญาณเช่นกัน ในฐานะการแปลงในวิเคราะห์เวลา-ความถี่ ซึ่งเป็นหัวข้อของบทความนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับการแปลงฟูริเยร์ในช่วงเวลาสั้น ๆเช่นการแปลงกาบอร์ฟังก์ชันการกระจายวิกเนอร์ให้ความละเอียดเชิงเวลาเทียบกับความถี่สูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ ภายใต้ข้อจำกัดของหลักการความไม่แน่นอน ข้อเสียคือการเกิดพจน์ไขว้ขนาดใหญ่ระหว่างส่วนประกอบสัญญาณแต่ละคู่ และระหว่างความถี่บวกและลบ ซึ่งทำให้สูตรดั้งเดิมของฟังก์ชันไม่เหมาะสมกับการใช้งานวิเคราะห์ส่วนใหญ่ จึงมีการเสนอการปรับเปลี่ยนในภายหลัง ซึ่งยังคงรักษาความคมชัดของฟังก์ชันการกระจายวิกเนอร์ไว้ แต่ลดพจน์ไขว้ลงอย่างมาก

ฟังก์ชันการแจกแจงวิกเนอร์มีนิยามที่แตกต่างกันหลายแบบ นิยามที่ให้ไว้ในที่นี้เป็นนิยามเฉพาะสำหรับการวิเคราะห์เวลา-ความถี่ เมื่อกำหนดอนุกรมเวลา ฟังก์ชัน ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติแบบไม่คงที่ของอนุกรมเวลานี้จะกำหนดโดย ${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

โดยที่หมายถึงค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของกระบวนการ และคือค่าเฉลี่ย ซึ่งอาจเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันของเวลา จากนั้นฟังก์ชันวิกเนอร์จะกำหนดโดยการแสดงฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติในรูปของเวลาเฉลี่ยและเวลาหน่วง ก่อน แล้วจึงทำการแปลงฟูริเยร์ของเวลาหน่วงนั้น ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle W_{x}(t,f)}$${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

ดังนั้นสำหรับ อนุกรมเวลาเดี่ยว (ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์) ฟังก์ชันวิกเนอร์จึงกำหนดได้ง่ายๆ ดังนี้

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

แรงจูงใจในการใช้ฟังก์ชันวิกเนอร์คือ ฟังก์ชันนี้จะลดรูปไปเป็น ฟังก์ชัน ความหนาแน่นสเปกตรัมได้ตลอดเวลาสำหรับกระบวนการสถิต แต่ในขณะเดียวกันก็เทียบเท่ากับฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบไม่สถิตโดยสมบูรณ์ ดังนั้น ฟังก์ชันวิกเนอร์จึงบอกเราได้ (โดยประมาณ) ว่าความหนาแน่นสเปกตรัมเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป ${\displaystyle t}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการใช้ WDF ในการวิเคราะห์เวลา-ความถี่

เมื่อสัญญาณอินพุตคงที่ การกระจายความถี่ตามเวลาของสัญญาณจะเป็นเส้นตรงแนวนอนตามแกนเวลา ตัวอย่างเช่น ถ้าx ( t ) = 1 แล้ว

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

เมื่อสัญญาณอินพุตเป็นฟังก์ชันไซน์ การกระจายเวลา-ความถี่ของสัญญาณจะเป็นเส้นแนวนอนขนานกับแกนเวลา โดยเบี่ยงเบนจากแกนเวลาด้วยความถี่ของสัญญาณไซน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าx ( t ) = e ^{i2π kt}แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(fk\right)}\,d\tau \\&=\delta (fk).\end{aligned}}}$

เมื่อสัญญาณอินพุตเป็นฟังก์ชันชิปเชิงเส้น ความถี่ทันทีจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าการกระจายความถี่ตามเวลาควรเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ถ้า

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$,

ดังนั้นความถี่ทันทีของมันคือ

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

และ WDF ของมัน

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

เมื่อสัญญาณอินพุตเป็นฟังก์ชันเดลต้า เนื่องจากมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะที่ t=0 และประกอบด้วยส่วนประกอบความถี่อนันต์ ดังนั้นการกระจายความถี่ตามเวลาของสัญญาณควรเป็นเส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่าการกระจายความถี่ตามเวลาของฟังก์ชันเดลต้าก็ควรเป็นฟังก์ชันเดลต้าเช่นกัน ตาม WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\เดลต้า (t).\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์ (Wigner distribution function) เหมาะที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เวลา-ความถี่เมื่อเฟสของสัญญาณอินพุตอยู่ในลำดับที่ 2 หรือต่ำกว่า สำหรับสัญญาณเหล่านั้น WDF สามารถสร้างการกระจายเวลา-ความถี่ของสัญญาณอินพุตได้อย่างแม่นยำ

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$,

ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้า ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์ไม่ใช่การแปลงเชิงเส้น เทอมไขว้ ("จังหวะเวลา") เกิดขึ้นเมื่อมีส่วนประกอบมากกว่าหนึ่งส่วนในสัญญาณอินพุต ซึ่งคล้ายคลึงกับจังหวะความถี่ใน เวลา ^{[ 1 ]} ใน การกระจายความน่าจะเป็นแบบกึ่งวิกเนอร์ในฟิสิกส์ดั้งเดิมเทอมนี้มีผลทางฟิสิกส์ที่สำคัญและมีประโยชน์ ซึ่งจำเป็นสำหรับค่าคาดหวังที่เที่ยงตรง ในทางตรงกันข้าม การแปลงฟูริเยร์ในช่วงเวลาสั้น ๆ ไม่มีคุณลักษณะนี้ คุณลักษณะเชิงลบของ WDF สะท้อนถึงขีดจำกัดกาบอร์ของสัญญาณคลาสสิกและไม่เกี่ยวข้องทางกายภาพกับโครงสร้างควอนตัมพื้นฐานใด ๆ ที่เป็นไปได้

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนที่แสดงให้เห็นถึงลักษณะเฉพาะของพจน์ไขว้ในฟังก์ชันการแจกแจงวิกเนอร์

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

เพื่อลดความยากลำบากของเทอมไขว้ ได้มีการเสนอแนวทางต่างๆ ไว้ในเอกสาร^{[ 2 ] [ 3 ]}ซึ่งบางส่วนนำไปสู่การแปลงใหม่ เช่นฟังก์ชันการกระจาย Wigner ที่แก้ไข การแปลง Gabor –Wignerฟังก์ชันการกระจาย Choi-Williamsและการกระจายคลาสของ Cohen

ฟังก์ชันการแจกแจงวิกเนอร์มีคุณสมบัติที่เห็นได้ชัดหลายประการดังแสดงในตารางต่อไปนี้

คุณสมบัติการฉายภาพ

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

คุณสมบัติทางพลังงาน

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

คุณสมบัติการฟื้นฟู

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

ความถี่เฉลี่ยของสภาวะและเวลาเฉลี่ยของสภาวะ

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

คุณสมบัติของโมเมนต์

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

อสังหาริมทรัพย์

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

ทรัพย์สินในภูมิภาค

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

ทฤษฎีบทการคูณ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

ทฤษฎีบทการสังเคราะห์

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

ทฤษฎีความสัมพันธ์

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

ความแปรปรวนร่วมแบบเลื่อนเวลา

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

ความแปรปรวนร่วมของการปรับเปลี่ยน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

ความแปรปรวนของมาตราส่วน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

เมื่อสัญญาณไม่จำกัดเวลา ฟังก์ชันการกระจายวิกเนอร์ (Wigner Distribution Function) ของสัญญาณนั้นยากต่อการนำไปใช้ ดังนั้นเราจึงเพิ่มฟังก์ชันใหม่ (มาสก์) เข้าไปในส่วนการอินทิเกรต เพื่อให้เราต้องนำฟังก์ชันเดิมไปใช้เพียงบางส่วนแทนที่จะอินทิเกรตตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงบวกอนันต์

ฟังก์ชันดั้งเดิม:

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

ใช้งานร่วมกับหน้ากาก:

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

อยู่ ที่ไหนจริงและมีกำหนดเวลา ${\displaystyle w(\tau )}$

ตามคำจำกัดความ:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

สมมติว่าสำหรับและ${\displaystyle w(t)=0}$${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$${\displaystyle p<-Q}$${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

เรายกตัวอย่างดังนี้${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันจริงอยู่ที่ไหน${\displaystyle w(\tau )}$

จากนั้นเราจะเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างสองสภาวะ

ในอุดมคติ:${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

เมื่อฟังก์ชันมาสก์ทำงานซึ่งหมายความว่าไม่มีฟังก์ชันมาสก์${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

จากนั้นเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่มีฟังก์ชันมาสก์:

เราจะเห็นว่าค่าของ x(t) อยู่ระหว่าง –B ถึง B เท่านั้น ดังนั้นการดำเนินการดังกล่าวจึงสามารถกำจัดพจน์ไขว้ของฟังก์ชันได้ แต่ถ้า x(t) ไม่ใช่ฟังก์ชันเดลต้าหรือฟังก์ชันความถี่แคบ แต่เป็นฟังก์ชันที่มีความถี่กว้างหรือมีระลอกคลื่น ขอบของสัญญาณอาจยังคงอยู่ระหว่าง –B และ B ซึ่งยังคงทำให้เกิดปัญหาพจน์ไขว้${\displaystyle w(\tau )}$${\displaystyle w(\tau )}$

ตัวอย่างเช่น:

• การแสดงผลแบบเวลา-ความถี่
• การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น
• สเปกโตรแกรม
• กาบอร์แปลง
• การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ
• การแปลงกาบอร์-วิกเนอร์
• ฟังก์ชันการกระจายวิกเนอร์ที่ดัดแปลง
• ทฤษฎีบทสมมูลเชิงแสง
• การแจกแจงแบบพหุนามวิกเนอร์-วิลล์
• ฟังก์ชันการกระจายชั้นเรียนของโคเฮน
• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบกึ่งวิกเนอร์
• การแปลงระหว่างการกระจายในการวิเคราะห์ความถี่เวลา
• การกระจายเวลา-ความถี่แบบไบลิเนียร์

• Wigner, E. (1932). "เกี่ยวกับการแก้ไขควอนตัมสำหรับสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก" (PDF) . Physical Review . 40 (5): 749– 759. Bibcode : 1932PhRv...40..749W . doi : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .
• J. Ville , 1948. "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Câbles et Transmission , 2 , 61–74.
• TACM Classen และ WFG Mecklenbrauker, 1980. "การกระจายแบบวิกเนอร์ - เครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณเวลา-ความถี่; ตอนที่ 1," Philips J. Res., เล่มที่ 35, หน้า 217–250.
• L. Cohen (1989): Proceedings of the IEEE 77หน้า 941–981, การกระจายความถี่ตามเวลา—บทวิจารณ์
• L. Cohen, การวิเคราะห์เวลา-ความถี่ , Prentice-Hall, นิวยอร์ก, 1995. ISBN 978-0135945322
• S. Qian และ D. Chen, การวิเคราะห์เวลา-ความถี่ร่วม: วิธีการและการประยุกต์ใช้ , บทที่ 5, Prentice Hall, NJ, 1996
• B. Boashash, "หมายเหตุเกี่ยวกับการใช้การแจกแจงวิกเนอร์สำหรับการวิเคราะห์สัญญาณเวลา-ความถี่", IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , Vol. 36 , No. 9, pp. 1518–1521, กันยายน 1988. doi : 10.1109/29.90380 . B. Boashash, บรรณาธิการ, การวิเคราะห์และประมวลผลสัญญาณเวลา-ความถี่ – เอกสารอ้างอิงที่ครอบคลุม , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4.
• F. Hlawatsch, GF Boudreaux-Bartels : "การแสดงสัญญาณเวลา-ความถี่เชิงเส้นและเชิงกำลังสอง" IEEE Signal Processing Magazine, หน้า 21–67, เม.ย. 1992
• RL Allen และ DW Mills, การวิเคราะห์สัญญาณ: เวลา ความถี่ มาตราส่วน และโครงสร้าง , Wiley-Interscience, NJ, 2004
• เจียน-จิวน์ ติง, บันทึกการเรียนเรื่องการวิเคราะห์ความถี่เวลาและการแปลงเวฟเล็ต, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า, มหาวิทยาลัยแห่งชาติไต้หวัน (NTU), ไทเป, ไต้หวัน, 2015
• Kakofengitis, D. และ Steuernagel, O. (2017). "กระแสควอนตัมเฟสสเปซของวิกเนอร์ในระบบสองสถานะที่ถูกกระตุ้นอย่างอ่อนและไม่เป็นเชิงเส้นอย่างอ่อน" European Physical Journal Plus 14.07.2017

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์

ค้นหาคำว่า "ฟังก์ชันการแจกแจงวิกเนอร์"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• โปรแกรม Sonogram Visible Speech เป็นซอฟต์แวร์ฟรีที่ได้รับอนุญาตภายใต้ GPL สำหรับการแยกแยะภาพจาก Wigner Distribution