นี่คือคำศัพท์เฉพาะของทฤษฎีเทนเซอร์สำหรับคำอธิบายทฤษฎีเทนเซอร์จากมุมมองต่างๆ โปรดดูที่:

• เทนเซอร์
• เทนเซอร์ (นิยามภายใน)
• การประยุกต์ใช้ทฤษฎีเทนเซอร์ในวิทยาศาสตร์วิศวกรรม

สำหรับประวัติความเป็นมาของทฤษฎีเชิงนามธรรม โปรดดูที่พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรด้วย

แคลคูลัสริชชี

รากฐานแรกสุดของทฤษฎีเทนเซอร์ – สัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์^{[ 1 ]}

ลำดับของเทนเซอร์

ส่วนประกอบของเทนเซอร์เมื่อเทียบกับฐานคืออาร์เรย์ที่มีดัชนีลำดับของเทนเซอร์คือจำนวนดัชนีที่ต้องการ บางตำราอาจอ้างถึงลำดับของเทนเซอร์โดยใช้คำว่าดีกรีหรืออันดับ

อันดับของเทนเซอร์

อันดับของเทนเซอร์คือจำนวนขั้นต่ำของเทนเซอร์อันดับหนึ่งที่ต้องนำมาบวกกันเพื่อให้ได้เทนเซอร์นั้น เทนเซอร์อันดับหนึ่งอาจนิยามได้ว่าเป็นผลคูณภายนอกของจำนวนเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่จำเป็นเพื่อให้ได้ลำดับที่ถูกต้อง

เทนเซอร์ไดอะดิก

เท นเซอร์ แบบไดอะดิกคือเทนเซอร์อันดับสอง และสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์ จัตุรัส ในทางตรงกันข้ามไดแอดคือเทนเซอร์แบบไดอะดิกอันดับหนึ่งโดยเฉพาะ

สัญกรณ์ของไอน์สไตน์

สัญลักษณ์นี้อิงตามความเข้าใจที่ว่า เมื่อใดก็ตามที่อาร์เรย์หลายมิติมีตัวอักษรดัชนีซ้ำกัน การตีความโดยปริยายคือ ผลคูณจะถูกบวกเข้าด้วยกันเหนือค่าดัชนีที่อนุญาตทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ถ้าa _ijเป็นเมทริกซ์ ตามหลักการนี้a _iiคือ ผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์นั้น หลักการของไอน์สไตน์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในตำราฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ จนถึงขั้นที่ว่า หากไม่ต้องการใช้การบวก ก็มักจะระบุไว้อย่างชัดเจน

เดลต้าโครเนกเกอร์

สัญลักษณ์ Levi-Civita

เทนเซอร์โคแวเรียนต์

เทนเซอร์คอนทราแว เรียนต์

การตีความแบบคลาสสิกนั้นพิจารณาจากส่วนประกอบ ตัวอย่างเช่น ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์∫ a _i dx ⁱส่วนประกอบa _i คือเวกเตอร์โคแวเรียนต์ ซึ่งหมายความว่าดัชนีทั้งหมดเป็นค่าล่าง ส่วน คอนทราแวเรียนต์หมายความว่าดัชนีทั้งหมดเป็นค่าบน

เทนเซอร์ผสม

หมายถึงเทนเซอร์ใดๆ ที่มีทั้งดัชนีล่างและดัชนีบน

เทนเซอร์คาร์ทีเซียน

เทนเซอร์คาร์ทีเซียนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาต่างๆ ของกลศาสตร์ต่อเนื่องเช่นกลศาสตร์ของไหลและความยืดหยุ่นในกลศาสตร์ต่อเนื่อง แบบคลาสสิก พื้นที่ที่สนใจมักจะเป็น พื้นที่ยูคลิด 3 มิติเช่นเดียวกับพื้นที่สัมผัส ณ แต่ละจุด หากเราจำกัดพิกัดท้องถิ่นให้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีมาตราส่วนเดียวกันโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่สนใจเทนเซอร์เมตริกจะเป็นเดลต้าโครเนกเกอร์ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องแยกแยะส่วนประกอบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ และยิ่งไปกว่านั้นไม่จำเป็นต้องแยกแยะเทนเซอร์และความหนาแน่นของเทนเซอร์ ดัชนี เทนเซอร์คาร์ทีเซียนทั้งหมดเขียนเป็นตัวห้อย เทน เซอร์ คาร์ทีเซียนช่วยลดความซับซ้อนในการคำนวณได้อย่างมาก แต่ต้องแลกมาด้วยข้อจำกัดด้านความทั่วไปและความเข้าใจเชิงทฤษฎีบางประการ

การหดตัวของเทนเซอร์

การปรับขึ้นและปรับลงดัชนี

เทนเซอร์สมมาตร

เทนเซอร์แบบแอนติสมมาตร

ผลิตภัณฑ์ไขว้หลายรายการ

วิธีนี้หลีกเลี่ยงการใช้ส่วนประกอบในขั้นต้น และแตกต่างออกไปโดยการใช้สัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์อย่างชัดเจน

ผลคูณเทนเซอร์

ถ้าvและwเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์VและWตามลำดับ แล้ว

${\displaystyle v\otimes w}$

เป็นเทนเซอร์ใน

${\displaystyle V\otimes W.}$

กล่าวคือ การดำเนินการ ⊗ เป็นการดำเนินการแบบไบนารีแต่รับค่าเข้าไปในพื้นที่ใหม่ (ในแง่ที่เข้มงวดคือเป็นการดำเนินการภายนอก ) การดำเนินการ ⊗ เป็นการแมปแบบไบลิเนียร์แต่ไม่มีเงื่อนไขอื่นใดที่นำมาใช้กับการดำเนินการนี้

เทนเซอร์บริสุทธิ์

เทนเซอร์บริสุทธิ์ของV ⊗ Wคือเทนเซอร์ที่มีรูปแบบเป็นv ⊗ w

สามารถเขียนได้ในรูปทวิภาคa ⁱ b ^jหรือเขียนให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้เป็น a ⁱ b ^j e _i ⊗ f _jโดยที่e _iเป็นฐานสำหรับVและf _jเป็นฐานสำหรับWดังนั้น เว้นแต่ว่าVและWจะมีมิติเท่ากัน อาร์เรย์ของส่วนประกอบจึงไม่จำเป็นต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทนเซอร์ บริสุทธิ์ ดังกล่าว ไม่ใช่แบบทั่วไป: หากทั้งVและWมีมิติมากกว่า 1 จะมีเทนเซอร์ที่ไม่บริสุทธิ์ และจะมีเงื่อนไขที่ไม่เป็นเชิงเส้นสำหรับเทนเซอร์ที่จะเป็นบริสุทธิ์ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดู ที่ การฝัง แบบSegre

พีชคณิตเทนเซอร์

ในพีชคณิตเทนเซอร์T ( V ) ของปริภูมิเวกเตอร์Vการดำเนินการ จะกลายเป็นการ ดำเนินการไบนารีปกติ (ภายใน) ผลที่ตามมาคือT ( V ) มีมิติอนันต์ เว้นแต่ว่าVจะมีมิติเป็น 0 พีชคณิตอิสระบนเซตXในทางปฏิบัติแล้วเหมือนกับพีชคณิตเทนเซอร์บนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีXเป็นฐาน${\displaystyle \otimes }$

ฮอดจ์ สตาร์ โอเปอเรเตอร์

แหล่งจ่ายไฟภายนอก

ผลคูณลิ่ม ( wedge product)เป็นรูปแบบปฏิสมมาตรของการดำเนินการ ⊗ ปริภูมิผลหารของT ( V ) ซึ่งการดำเนินการนี้กลายเป็นการดำเนินการภายใน คือพีชคณิตภายนอกของV ; มันเป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับโดยส่วนแบบแบ่งระดับที่มีน้ำหนักkเรียกว่ากำลังภายนอกลำดับที่kของV

กำลังสมมาตร พีชคณิตสมมาตร

นี่คือวิธีการสร้างพีชคณิตพหุ นาม ที่ ไม่เปลี่ยนแปลง

เมตริกเทนเซอร์

เทนเซอร์ความเครียด

เทนเซอร์พลังงานความเครียด

เมทริกซ์จาโคเบียน

ฟิลด์เทนเซอร์

ความหนาแน่นเทนเซอร์

อนุพันธ์ของลี

อนุพันธ์เทนเซอร์

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์

นี่เป็นการดำเนินการกับฟิลด์ ซึ่งไม่ได้สร้างฟิลด์ใหม่เสมอไป

ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต R

โมดูลคลิฟฟอร์ด

การนำเสนอพีชคณิตคลิฟฟอร์ดในรูปแบบที่ทำให้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดปรากฏออกมาในรูปของพีชคณิตเมทริกซ์

ฟังก์ชันทอร์

สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันอนุพันธ์ของผลคูณเทนเซอร์ และมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีชื่อนี้มาจากกลุ่มย่อยทอร์ชั่นในทฤษฎีกลุ่มอาเบเลียน

วิธีการเชิงสัญลักษณ์ของทฤษฎีที่ไม่เปลี่ยนแปลง

หมวดหมู่ที่ได้มา

การผ่าตัดหกครั้งของ Grothendieck

นี่คือ แนวทางเชิงนามธรรม ขั้นสูงที่ใช้ในบางส่วนของเรขาคณิต

ดู:

กลุ่มสปิน

กลุ่มสปิน-ซี

สปินเนอร์

กลุ่มพิน

พินอร์ส

สนามสปินเนอร์

สังหารสปินเนอร์

ท่อหมุน

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), การวิเคราะห์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์ (ฉบับพิมพ์ครั้งแรกของ Dover ปี 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). เวกเตอร์และเทนเซอร์ในวิศวกรรมและฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• ดิมิทรีเอนโก, ยูริ (2002). การวิเคราะห์เทนเซอร์และฟังก์ชันเทนเซอร์ไม่เชิงเส้น . สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. เทนเซอร์ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ และหลักการแปรผัน Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• ซินจ์, จอห์น แอล ; ชิลด์, อัลเฟรด (1949) เท นเซอร์แคลคูลัสสิ่งพิมพ์โดเวอร์ฉบับปี 1978 ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-63612-2.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )